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第6讲 竖直平面内的圆周运动
1.理解生活中竖直平面内的运动实例
2.会解决竖直平面内的运动
类型一：竖直平面内的圆周运动
1.向心力来源（最高点和最低点）：汽车做圆周运动，重力和桥面的支持力提供向心力。
2.汽车过桥分析
（1）过凸形桥分析（求汽车过桥时对桥的压力）
设质量为m的汽车以速度v在圆弧半径为R的凸形桥上运动，选取汽车为研究对象进行受力分析如图所示，汽车在最高点做圆周运动，重力mg和桥面对汽车的支持力N的合力提供其做圆周运动的向心力。则：
又 ，那么，，根据牛顿第三定律有：。
可以看出，汽车对桥的压力小于汽车受到的重力，而且汽车速度越大，对桥的压力越小。
①当时，，即。
②当时，。
③当时，汽车会脱离桥面，发生危险。
（2）过凹形桥分析（求汽车过桥时对桥的压力）
设质量为m的汽车以速度v在圆弧半径为R的凹形桥上运动，选取汽车为研究对象进行受力分析如图所示，汽车在最低点做圆周运动，重力mg和桥面对汽车的支持力N的合力提供其做圆周运动的向心力。则：
又 ，那么，，根据牛顿第三定律有：。
可以看出，汽车对桥的压力大于汽车受到的重力，而且汽车速度越大，对桥的压力越大。
二.离心运动和近心运动
1.离心运动
（1）物体做离心运动的条件：合外力突然消失，或不足以提供所需的向心力。
（2）离心运动：做匀速圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或者不足以提供所需的向心力情况下，做逐渐远离圆心的运动，这种运动叫做离心运动。
2.近心运动
（1）物体做离心运动的条件：合外力突然增大，或合外力大于所需的向心力。
（2）近心运动：做匀速圆周运动的物体，在所受合外力突然增大或者大于所需的向心力情况下，做逐渐靠近圆心的运动，这种运动叫做近心运动。
三 竖直平面内的圆周运动的两类模型
竖直平面内的圆周运动一般是变速圆周运动，运动的速度大小和方向在不断发生变化，运动过程复杂，合外力不仅要改变运动方向，还要改变速度大小，所以一般不研究任意位置的情况，只研究特殊的临界位置──最高点和最低点。两类模型——轻绳类和轻杆类。
1.轻绳类
如图1所示，运动质点在一轻绳的作用下绕中心点作变速圆周运动。由于绳子只能提供拉力而不能提供支持力，质点在最高点所受的合力不能为零，合力的最小值是物体的重力。所以：
（1）质点过最高点的临界条件：质点达最高点时绳子的拉力刚好为零，质点在最高点的向心力全部由质点的重力来提供，这时有，式中的是质点通过最高点的最小速度，叫临界速度；
（2）质点过最高点的最小向心加速度；
（3）质点能通过最高点的条件是，当质点的速度小于这一值时，质点将运动不到最高点。
绳模型
最高点： 最低点：
说明：绳子只要存在拉力，则小球一定能通过最高点。当只存在重力作为向心力的时候向心力最小，令，解得临界速度。因而当时才能通过最高点。
2.轻杆类（环）
如图2所示，运动质点在一轻杆的作用下，绕中心点作变速圆周运动，由于轻杆能对质点提供支持力和拉力，所以质点过最高点时受的合力可以为零，质点在最高点可以处于平衡状态。所以质点过最高点的最小速度为零。
（1）当时，轻杆对质点有竖直向上的支持力，其大小等于质点的重力，即；
（2）当时，；
（3）当，质点的重力不足以提供向心力，杆对质点有指向圆心的拉力，且拉力随速度的增大而增大；
（4）当时，质点的重力大于其所需的向心力，轻杆对质点的竖直向上的支持力，支持力随的增大而减小。
竖直平面内的圆周运动一般可以划分为这两类，如竖直（光滑）圆弧内侧的圆周运动，水流星的运动，过山车运动等，可化为竖直平面内轻绳类圆周运动；汽车过凸形拱桥，小球在竖直平面内的（光滑）圆环内运动，小球套在竖直圆环上的运动等，可化为轻竖直平面内轻杆类圆周运动。
杆模型
（支持力）
最高点情况分类讨论 （拉力）
（只有重力）
最低点：
1．下列有关洗衣机中脱水筒的脱水原理的说法正确的是 ( )．
A．水滴受离心力作用而背离圆心方向甩出
B．水滴受到向心力，由于惯性沿切线方向甩出
C．水滴受到的离心力大于它受到的向心力，而沿切线方向甩出
D．水滴与衣服间的附着力小于它所需要的向心力，于是水滴沿切线方向甩出
解析 根据离心运动的特点知，水滴的离心现象是由于水滴与衣服间的附着力小于水滴运动所需要的向心力，即提供的向心力不足，所以水滴沿切线方向甩出，正确选项为D.
答案 D
2．火车以某一速度v通过某弯道时，内、外轨道均不受侧压力作用，下面分析正确的是 ( )．
A．轨道半径R＝
B．若火车速度大于v时，外轨将受到侧压力作用，其方向平行于轨道平面向外
C．若火车速度小于v时，外轨将受到侧压力作用，其方向平行于轨道平面向内
D．当火车质量改变时，安全速率也将改变
解析 不挤压内、外轨时，火车受力如图所示，由向心力公式知mgtan θ＝m，所以R＝，v＝，可见A、D错．当速度大于v时，向心力增大，mg和FN的合力提供向心力不足，挤压外轨，获得外轨的侧压力，方向平行于轨道平面向内，由牛顿第三定律可知，外轨受到侧压力，方向平行于轨道平面向外，B对；火车速度小于v时，内轨受到侧压力，方向平行于轨道平面向内，D错．
答案 B
3．在杂技节目“水流星”的表演中，碗的质量m1＝0.1 kg，内部盛水质量m2＝0.4 kg，拉碗的绳子长l＝0.5 m，使碗在竖直平面内做圆周运动，如果碗通过最高点的速度v1＝9 m/s，通过最低点的速度v2＝10 m/s，求：
(1)碗在最高点时绳的拉力及水对碗的压力；
(2)碗在最低点时绳的拉力及水对碗的压力．(g＝10 m/s2)
解析 (1)对水和碗：m＝m1＋m2＝0.5 kg，FT1＋mg＝，FT1＝－mg＝N＝76 N，以水为研究对象，设最高点碗对水的压力为F1，F1＋m2g＝，F1＝60.8 N，水对碗的压力F1′＝F1＝60.8 N，方向竖直向上．
(2)对水和碗：m＝m1＋m2＝0.5 kg，FT2－mg＝，FT2＝＋mg＝105 N，以水为研究对象，F2－m2g＝，F2＝84 N，水对碗的压力F2′＝F1＝84 N，方向竖直向下．
答案 (1)76 N 60.8 N (2)105 N 84 N
4．歼击机的“稳定盘旋过载”指的是歼击机做水平盘旋时的加速度，这个参数越大，表明战机近距格斗中能更快的抢占有利攻击阵位，也能更灵活地逃脱敌机或导弹的追击．国产某新型战机的稳定盘旋过载为6g(g为重力加速度，取g＝10 m/s2)，在飞行速度为360 m/s时，求它水平盘旋的最小半径和机翼与水平面间的夹角的正切值．
解析 飞机水平盘旋时加速度为6g，由牛顿第二定律：
m×6g＝m
故R＝＝ m＝2 160 m.
飞机盘旋时，其重力和空气对飞机的升力的合力作为向心力，受力情况如图所示，设盘旋时机翼与水平面的夹角为θ，空气对飞机的升力F垂直于机翼，[]
则Fcos θ＝mg，Fsin θ＝ma
所以tan θ＝＝6
答案 2 160 m
5．长L＝0.5 m的轻杆，其一端连接着一个零件A，A的质量m＝2 kg.现让A在竖直平面内绕O点做匀速圆周运动，如图5－7－13所示．在A通过最高点时，求下列两种情况下A对杆的作用力：
图5－7－13
(1)A的速率为1 m/s；
(2)A的速率为4 m/s.(g＝10 m/s2)
解析 以A为研究对象，设其受到杆的拉力为F，则有mg＋F＝m.
(1)代入数据v＝1 m/s，
可得F＝m＝2×N＝－16 N，即A受到杆的支持力为16 N．根据牛顿第三定律可得A对杆的作用力为压力，大小为16 N.
(2)代入数据v＝4 m/s，
可得F＝m＝2×N＝44 N，即A受到杆的拉力为44 N．根据牛顿第三定律可得A对杆的作用力为拉力，大小为44 N.
答案 (1)16 N (2)44 N
基础演练
1．如图所示，长为L的细线，一端固定在O点，另一端系一个球.把小球拉到与悬点O处于同一水平面的A点，并给小球竖直向下的初速度，使小球绕O点在竖直平面内做圆周运动。要使小球能够在竖直平面内做圆周运动，在A处小球竖直向下的最小初速度应为（ ）
A． B．
C． D．
2．由上海飞往美国洛杉矶的飞机与洛杉矶返航飞往上
海的飞机，若往返飞行时间相同，且飞经太平洋上空等高匀速飞行，飞行中两种情
况相比较，飞机上的乘客对座椅的压力 （ ）
A．相等 B．前者一定稍大于后者
C．前者一定稍小于后者 D．均可能为零
3．用一根细线一端系一小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥顶上，如图（1）所示，设小球在水平面内作匀速圆周运动的角速度为ω，线的张力为T，则T随ω2变化的图象是图（2）中的 （ ）
4．在质量为M的电动机飞轮上，固定着一个质量为m的重物，重物到轴的距离为R，如图所示，为了使电动机不从地面上跳起，电动机飞轮转动的最大角速度不能超过
（ ）
A． B．
C． D．
5．如图所示，具有圆锥形状的回转器（陀螺），半径为R，绕它的轴在光滑的桌面上以角速度ω快速旋转，同时以速度v向左运动，若回转器的轴一直保持竖直，为使回转器从左侧桌子边缘滑出时不会与桌子边缘发生碰撞，v至少应等于（ ）
A．ωR B．ωH
C．R D．R
6．如图，细杆的一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转
动现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a、b分别表示小
球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是（ ）
A．a处为拉力，b处为拉力
B．a处为拉力，b处为推力
C．a处为推力，b处为拉力
D．a处为推力，b处为推力
7．如图所示在方向竖直向下的匀强电场中，一个带负电q，质量为
m且重力大于所受电场力的小球，从光滑的斜面轨道的点A由静
止下滑，若小球恰能通过半径为R的竖直圆形轨道的最高点B而
作圆周运动，问点A的高度h至少应为多少？
参考答案：
1．C 2．C 3．C 4．B 5．D 6．AB 7．5R/2
巩固提高
1．用细绳拴着小球做圆锥摆运动，如图5－6－8所示，下列说法正确的是
( )．
图5－6－8
A．小球受到重力、绳子的拉力和向心力的作用
B．小球做圆周运动的向心力是重力和绳子的拉力的合力
C．向心力的大小可以表示为Fn＝mrω2，也可以表示为Fn＝mgtan θ
D．以上说法都正确
解析 小球受两个力的作用：重力和绳子的拉力，两个力的合力提供向心力，因此有Fn＝mgtan θ＝mrω2.所以正确答案为B、C.
答案 BC
2．在光滑的水平面上，用长为l的细线拴一质量为m的小球，使小球以角速度ω做匀速圆周运动．下列说法中正确的是 ( )．
A．l、ω不变，m越大线越易被拉断
B．m、ω不变，l越小线越易被拉断
C．m、l不变，ω越大线越易被拉断
D．m不变，l减半且角速度加倍时，线的拉力不变
解析 在光滑的水平面上细线对小球的拉力提供小球做圆周运动的向心力．由Fn＝mω2r知，在角速度ω不变时，Fn与小球的质量m、半径l都成正比，A正确，B错误；质量m不变时，Fn又与l和ω2成正比，C正确，D错误．
答案 AC
3．如图5－6－9所示，在匀速转动的圆筒内壁上紧靠着一个物体，物体随筒一起转动，物体所需的向心力由下面哪个力来提供 ( )．
图5－6－9[]
A．重力 B．弹力
C．静摩擦力 D．滑动摩擦力
解析 本题可用排除法．首先可排除A、D两项．若向心力由静摩擦力提供，则静摩擦力或其分力应指向圆心，这是不可能的，C错．故选B.
答案 B
4．在水平冰面上，狗拉着雪橇做匀速圆周运动，O点为圆心．能正确地表示雪橇受到的牵引力F及摩擦力Ff的图是 ( )．
[][]
解析 由于雪橇在冰面上滑动，故滑动摩擦力方向必与运动方向相反，即方向应为圆的切线方向，因做匀速圆周运动，合外力一定指向圆心，由此可知C正确．
答案 C
5．游客乘坐过山车，在圆弧轨道最低点处获得的向心加速度达20 m/s2，g取10 m/s2，那么此位置的座椅对游客的作用力相当于游客重力的 ( )．
A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍
解析 游客乘坐过山车在圆弧轨道最低点的受力如图所示．由牛顿第二定律得FN－mg＝ma向＝2mg，
则FN＝mg＋2mg＝3mg，＝3.
答案 C
6．A、B两球都做匀速圆周运动，A球的质量为B球质量的3倍，A球在半径为25 cm的圆周上运动，B球在半径为16 cm 的圆周上运动，且A球的转速为30 r/min，B球的转速为75 r/min，求A球所受的向心力与B球所受的向心力之比．
解析 由题意知＝3，＝，＝＝
由F＝mω2r得＝×2×＝.
答案
7．如图5－6－10所示，有一个水平大圆盘绕过圆心的竖直轴匀速转动，小强站在距圆心为r处的P点不动，关于小强的受力下列说法正确的是 ( )．
图5－6－10
A．小强在P点不动，因此不受摩擦力作用
B．若使圆盘以较小的转速转动时，小强在P点受到的摩擦力为零
C．小强随圆盘做匀速圆周运动，圆盘对他的摩擦力充当向心力
D．如果小强随圆盘一起做变速圆周运动，那么其所受摩擦力仍指向圆心
解析 由于小强随圆盘做匀速圆周运动，一定需要向心力，该力一定指向圆心方向，而重力和支持力在竖直方向上，它们不能充当向心力，因此他会受到摩擦力作用，且充当向心力，A、B错误，C正确；当小强随圆盘一起做变速圆周运动时，合力不再指向圆心，则摩擦力不再指向圆心．D错．[]
答案 C
8．如图5－6－11所示，在光滑杆上穿着两个小球m1、m2，有m1＝2m2，用细线把两球连起来，当盘架匀速转动时，两小球刚好能与杆保持无相对滑动，此时两小球到转轴的距离r1与r2之比为 ( )．
图5－6－11
A．1∶1 B．1∶
C．2∶1 D．1∶2
解析 设两球受绳子的拉力分别为F1、F2.
对m1：F1＝m1ωr1
对m2：F2＝m2ωr2
因为F1＝F2，ω1＝ω2
解得＝＝.
答案 D
9．如图5－6－12所示，将完全相同的两小球A、B，用长L＝0.8 m的细绳悬于以v＝4 m/s向左匀速运动的小车顶部，两球与小车前后壁接触．由于某种原因，小车突然停止，此时悬线中张力之比FA∶FB为(g＝10 m/s2) ( )．
图5－6－12
A．1∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．1∶4
解析 小车突然停止，B球将做圆周运动，所以FB＝m＋mg＝30m；A球做水平方向减速运动，FA＝mg＝10m，故此时悬线中张力之比为FA∶FB＝1∶3，C选项正确．
答案 C
10．如图5－6－13所示，质量为m的物体，沿半径为r的圆轨道自A点滑下，A与圆心O等高，滑至B点(B点在O点正下方)时的速度为v，已知物体与轨道间的动摩擦因数为μ，求物体在B点所受的摩擦力．
图5－6－13
解析 物体由A滑到B的过程中，受到重力、轨道弹力及摩擦力的作用，做圆周运动，在B点物体的受力情况如图所示，其中轨道弹力FN与重力mg的合力提供物体做圆周运动的向心力；由牛顿第二定律有FN－mg＝，可求得FN＝mg＋，则滑动摩擦力为Ff＝μFN＝μm.
答案 μm
1．下列关于向心加速度的说法中正确的是 ( )．
A．向心加速度表示做圆周运动的物体速率改变的快慢
B．向心加速度表示角速度变化的快慢
C．向心加速度描述线速度方向变化的快慢
D．匀速圆周运动的向心加速度不变
解析 匀速圆周运动中速率不变，向心加速度只改变速度的方向，显然A项是错误的；匀速圆周运动的角速度是不变的，所以B项也是错误的；匀速圆周运动中速度的变化只表现为速度方向的变化，作为反映速度变化快慢的物理量，向心加速度只描述速度方向变化的快慢，所以C项正确；向心加速度的方向是变化的，所以D项也是错误的．
答案 C
2．关于匀速圆周运动，下列说法正确的是 ( )．
A．由an＝知，匀速圆周运动的向心加速度恒定
B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
C．匀速圆周运动不属于匀速运动
D．向心加速度越大，物体速率变化越快
解析 加速度是矢量，且方向始终指向圆心，因此为变量，所以A错；由向心加速度的意义可知B对、D错；匀速运动是匀速直线运动的简称，匀速圆周运动其实是匀速率圆周运动，属于曲线运动，C正确．[]
答案 BC
3．如图5－5－12所示是自行车的轮盘与车轴上的飞轮之间的链条传动装置，P是轮盘上的一个齿，Q是飞轮上的一个齿．下列说法中正确的是 ( )．
图5－5－12
A．P、Q两点的角速度大小相等
B．P、Q两点的向心加速度大小相等
C．P点的向心加速度小于Q点的向心加速度
D．P点的向心加速度大于Q点的向心加速度
解析 P、Q两点的线速度大小相等，由a＝知，选项C正确，其余选项均错误．[]
答案 C
4．一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为4 m/s，转动周期为2 s，则下列说法错误的是 ( )．
A．角速度为0.5 rad/s B．转速为0.5 r/s
C．轨迹半径为 m D．加速度大小为4π m/s2
解析 角速度为ω＝＝π rad/s，A错误；转速为n＝＝0.5 r/s，B正确；半径r＝＝ m，C正确；向心加速度大小为an＝＝4π m/s2，D正确．
答案 A
5．如图5－5－13所示，压路机大轮的半径R是小轮半径r的2倍，压路机匀速行驶时，大轮边缘上A点的向心加速度为0.12 m/s2，那么小轮边缘上B点的向心加速度为多大？大轮上距轴心的距离为的C点的向心加速度为多大？
图5－5－13
解析 压路机匀速行驶时，vB＝vA，由a＝，得＝＝2
得aB＝2aA＝0.24 m/s2
又ωA＝ωC，由a＝ω2r，得＝＝
得aC＝aA＝0.04 m/s2.
答案 0.24 m/s2 0.04 m/s2
6．Maloof Money Cup是全球最大的滑板赛事，于2011年9月在南非举行．如图5－5－14所示，某滑板运动员恰好从B点进入半径为2 m的圆弧轨道，该圆弧轨道在C点与水平轨道相接，运动员滑到C点时的速度大小为10 m/s，求他到达C点前、后的瞬时加速度(不计各种阻力)．
图5－5－14
解析 运动员经圆弧滑到C点前做圆周运动．因为不计各种阻力，故经过C点之前的瞬间运动员只在竖直方向上受力，只有向心加速度．由an＝得运动员到达C点前的瞬时加速度
a1＝m/s2＝50 m/s2，方向竖直向上
运动员滑过C点后，进入水平轨道做匀速直线运动，故加速度a2＝0.
答案 50 m/s2，方向竖直向上 0
7．物体做半径为R的匀速圆周运动，它的向心加速度、角速度、线速度和周期分别为a、ω、v和T，则下列关系式正确的是 ( )．
A．ω＝ B．v＝aR C．a＝ωv D．T＝2π
解析 由a＝Rω2，v＝Rω可得ω＝ ，v＝，a＝ωv，即A、B错误，C正确；又由T＝与ω＝ 得T＝2π，即D正确．
答案 CD
8．a、b两辆玩具车在各自的圆轨道上做匀速圆周运动，在相同的时间内，它们通过的路程之比为3∶4，转过的角度之比为2∶3，则它们的向心加速度大小之比为 ( )．
A．2∶1 B．1∶2 C．9∶16 D．4∶9
解析 a、b两玩具车的线速度之比va∶vb＝sa∶sb＝3∶4，角速度之比ωa∶ωb＝θa∶θb＝2∶3，故它们的向心加速度之比aa∶ab＝vaωa∶vbωb＝1∶2，B正确．
答案 B
1．(赣州高一检测)质量为m的滑块从半径为R的半球形碗的边缘滑向碗底，过碗底时速度为v，若滑块与碗间的动摩擦因数为μ，则在过碗底时滑块受到摩擦力的大小为( )
A．μmg B．μm
C．μm(g+) D．μm(-g)
2．半径为R的光滑半圆球固定在水平面上，如图所示。顶部有一小物体甲，今给它一个水平初速度v0=，则物体甲将( )
A．沿球面下滑至M点
B．先沿球面下滑至某点N，然后便离开球面做斜下抛运动
C．按半径大于R的新的圆弧轨道做圆周运动
D．立即离开半圆球做平抛运动
3.长L=0.5 m、质量可忽略的杆，其一端连有质量为m=2 kg的小球，以另一端O为转轴，它绕O点在竖直平面内做圆周运动，当通过最高点时，如图所示。求下列情况下杆对球的作用力(计算大小，并说明是拉力还是支持力，g=10 m/s2)
(1)当v1=1 m/s时，大小为多少？是拉力还是支持力？[]
4.(·太原高一检测)如图，质量为m1=0.5 kg的小杯里盛有质量为m2=1 kg的水，用绳子系住小杯在竖直平面内做“水流星”表演，转动半径为r=1 m，小杯通过最高点的速度为v=4 m/s，g取10 m/s2，求：
(1)在最高点时，绳的拉力大小;
(2)在最高点时,杯底对水的压力大小;
(3)为使小杯经过最高点时水不流出, 在最高点时的最小速率是多少
1C 2D 3(1)16 N 支持力 (2)44 N 拉力 4(1)9 N (2)6 N (3) m/s
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第6讲 竖直平面内的圆周运动
1.理解生活中竖直平面内的运动实例
2.会解决竖直平面内的运动
类型一：竖直平面内的圆周运动
1.向心力来源（最高点和最低点）：汽车做圆周运动，重力和桥面的支持力提供向心力。
2.汽车过桥分析
（1）过凸形桥分析（求汽车过桥时对桥的压力）
设质量为m的汽车以速度v在圆弧半径为R的凸形桥上运动，选取汽车为研究对象进行受力分析如图所示，汽车在最高点做圆周运动，重力mg和桥面对汽车的支持力N的合力提供其做圆周运动的向心力。则：
又 ，那么，，根据牛顿第三定律有：。
可以看出，汽车对桥的压力小于汽车受到的重力，而且汽车速度越大，对桥的压力越小。
①当时，，即。
②当时，。
③当时，汽车会脱离桥面，发生危险。
（2）过凹形桥分析（求汽车过桥时对桥的压力）
设质量为m的汽车以速度v在圆弧半径为R的凹形桥上运动，选取汽车为研究对象进行受力分析如图所示，汽车在最低点做圆周运动，重力mg和桥面对汽车的支持力N的合力提供其做圆周运动的向心力。则：
又 ，那么，，根据牛顿第三定律有：。
可以看出，汽车对桥的压力大于汽车受到的重力，而且汽车速度越大，对桥的压力越大。
二.离心运动和近心运动
1.离心运动
（1）物体做离心运动的条件：合外力突然消失，或不足以提供所需的向心力。
（2）离心运动：做匀速圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或者不足以提供所需的向心力情况下，做逐渐远离圆心的运动，这种运动叫做离心运动。
2.近心运动
（1）物体做离心运动的条件：合外力突然增大，或合外力大于所需的向心力。
（2）近心运动：做匀速圆周运动的物体，在所受合外力突然增大或者大于所需的向心力情况下，做逐渐靠近圆心的运动，这种运动叫做近心运动。
三 竖直平面内的圆周运动的两类模型
竖直平面内的圆周运动一般是变速圆周运动，运动的速度大小和方向在不断发生变化，运动过程复杂，合外力不仅要改变运动方向，还要改变速度大小，所以一般不研究任意位置的情况，只研究特殊的临界位置──最高点和最低点。两类模型——轻绳类和轻杆类。
1.轻绳类
如图1所示，运动质点在一轻绳的作用下绕中心点作变速圆周运动。由于绳子只能提供拉力而不能提供支持力，质点在最高点所受的合力不能为零，合力的最小值是物体的重力。所以：
（1）质点过最高点的临界条件：质点达最高点时绳子的拉力刚好为零，质点在最高点的向心力全部由质点的重力来提供，这时有，式中的是质点通过最高点的最小速度，叫临界速度；
（2）质点过最高点的最小向心加速度；
（3）质点能通过最高点的条件是，当质点的速度小于这一值时，质点将运动不到最高点。
绳模型
最高点： 最低点：
说明：绳子只要存在拉力，则小球一定能通过最高点。当只存在重力作为向心力的时候向心力最小，令，解得临界速度。因而当时才能通过最高点。
2.轻杆类（环）
如图2所示，运动质点在一轻杆的作用下，绕中心点作变速圆周运动，由于轻杆能对质点提供支持力和拉力，所以质点过最高点时受的合力可以为零，质点在最高点可以处于平衡状态。所以质点过最高点的最小速度为零。
（1）当时，轻杆对质点有竖直向上的支持力，其大小等于质点的重力，即；
（2）当时，；
（3）当，质点的重力不足以提供向心力，杆对质点有指向圆心的拉力，且拉力随速度的增大而增大；
（4）当时，质点的重力大于其所需的向心力，轻杆对质点的竖直向上的支持力，支持力随的增大而减小。
竖直平面内的圆周运动一般可以划分为这两类，如竖直（光滑）圆弧内侧的圆周运动，水流星的运动，过山车运动等，可化为竖直平面内轻绳类圆周运动；汽车过凸形拱桥，小球在竖直平面内的（光滑）圆环内运动，小球套在竖直圆环上的运动等，可化为轻竖直平面内轻杆类圆周运动。
杆模型
（支持力）
最高点情况分类讨论 （拉力）
（只有重力）
最低点：
1．下列有关洗衣机中脱水筒的脱水原理的说法正确的是 ( )．
A．水滴受离心力作用而背离圆心方向甩出
B．水滴受到向心力，由于惯性沿切线方向甩出
C．水滴受到的离心力大于它受到的向心力，而沿切线方向甩出
D．水滴与衣服间的附着力小于它所需要的向心力，于是水滴沿切线方向甩出
解析 根据离心运动的特点知，水滴的离心现象是由于水滴与衣服间的附着力小于水滴运动所需要的向心力，即提供的向心力不足，所以水滴沿切线方向甩出，正确选项为D.
答案 D
2．火车以某一速度v通过某弯道时，内、外轨道均不受侧压力作用，下面分析正确的是 ( )．
A．轨道半径R＝
B．若火车速度大于v时，外轨将受到侧压力作用，其方向平行于轨道平面向外
C．若火车速度小于v时，外轨将受到侧压力作用，其方向平行于轨道平面向内
D．当火车质量改变时，安全速率也将改变
解析 不挤压内、外轨时，火车受力如图所示，由向心力公式知mgtan θ＝m，所以R＝，v＝，可见A、D错．当速度大于v时，向心力增大，mg和FN的合力提供向心力不足，挤压外轨，获得外轨的侧压力，方向平行于轨道平面向内，由牛顿第三定律可知，外轨受到侧压力，方向平行于轨道平面向外，B对；火车速度小于v时，内轨受到侧压力，方向平行于轨道平面向内，D错．
答案 B
3．在杂技节目“水流星”的表演中，碗的质量m1＝0.1 kg，内部盛水质量m2＝0.4 kg，拉碗的绳子长l＝0.5 m，使碗在竖直平面内做圆周运动，如果碗通过最高点的速度v1＝9 m/s，通过最低点的速度v2＝10 m/s，求：
(1)碗在最高点时绳的拉力及水对碗的压力；
(2)碗在最低点时绳的拉力及水对碗的压力．(g＝10 m/s2)
解析 (1)对水和碗：m＝m1＋m2＝0.5 kg，FT1＋mg＝，FT1＝－mg＝N＝76 N，以水为研究对象，设最高点碗对水的压力为F1，F1＋m2g＝，F1＝60.8 N，水对碗的压力F1′＝F1＝60.8 N，方向竖直向上．
(2)对水和碗：m＝m1＋m2＝0.5 kg，FT2－mg＝，FT2＝＋mg＝105 N，以水为研究对象，F2－m2g＝，F2＝84 N，水对碗的压力F2′＝F1＝84 N，方向竖直向下．
答案 (1)76 N 60.8 N (2)105 N 84 N
4．歼击机的“稳定盘旋过载”指的是歼击机做水平盘旋时的加速度，这个参数越大，表明战机近距格斗中能更快的抢占有利攻击阵位，也能更灵活地逃脱敌机或导弹的追击．国产某新型战机的稳定盘旋过载为6g(g为重力加速度，取g＝10 m/s2)，在飞行速度为360 m/s时，求它水平盘旋的最小半径和机翼与水平面间的夹角的正切值．
解析 飞机水平盘旋时加速度为6g，由牛顿第二定律：
m×6g＝m
故R＝＝ m＝2 160 m.
飞机盘旋时，其重力和空气对飞机的升力的合力作为向心力，受力情况如图所示，设盘旋时机翼与水平面的夹角为θ，空气对飞机的升力F垂直于机翼，[]
则Fcos θ＝mg，Fsin θ＝ma
所以tan θ＝＝6
答案 2 160 m
5．长L＝0.5 m的轻杆，其一端连接着一个零件A，A的质量m＝2 kg.现让A在竖直平面内绕O点做匀速圆周运动，如图5－7－13所示．在A通过最高点时，求下列两种情况下A对杆的作用力：
图5－7－13
(1)A的速率为1 m/s；
(2)A的速率为4 m/s.(g＝10 m/s2)
解析 以A为研究对象，设其受到杆的拉力为F，则有mg＋F＝m.
(1)代入数据v＝1 m/s，
可得F＝m＝2×N＝－16 N，即A受到杆的支持力为16 N．根据牛顿第三定律可得A对杆的作用力为压力，大小为16 N.
(2)代入数据v＝4 m/s，
可得F＝m＝2×N＝44 N，即A受到杆的拉力为44 N．根据牛顿第三定律可得A对杆的作用力为拉力，大小为44 N.
答案 (1)16 N (2)44 N
基础演练
1．如图所示，长为L的细线，一端固定在O点，另一端系一个球.把小球拉到与悬点O处于同一水平面的A点，并给小球竖直向下的初速度，使小球绕O点在竖直平面内做圆周运动。要使小球能够在竖直平面内做圆周运动，在A处小球竖直向下的最小初速度应为（ ）
A． B．
C． D．
2．由上海飞往美国洛杉矶的飞机与洛杉矶返航飞往上
海的飞机，若往返飞行时间相同，且飞经太平洋上空等高匀速飞行，飞行中两种情
况相比较，飞机上的乘客对座椅的压力 （ ）
A．相等 B．前者一定稍大于后者
C．前者一定稍小于后者 D．均可能为零
3．用一根细线一端系一小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥顶上，如图（1）所示，设小球在水平面内作匀速圆周运动的角速度为ω，线的张力为T，则T随ω2变化的图象是图（2）中的 （ ）
4．在质量为M的电动机飞轮上，固定着一个质量为m的重物，重物到轴的距离为R，如图所示，为了使电动机不从地面上跳起，电动机飞轮转动的最大角速度不能超过
（ ）
A． B．
C． D．
5．如图所示，具有圆锥形状的回转器（陀螺），半径为R，绕它的轴在光滑的桌面上以角速度ω快速旋转，同时以速度v向左运动，若回转器的轴一直保持竖直，为使回转器从左侧桌子边缘滑出时不会与桌子边缘发生碰撞，v至少应等于（ ）
A．ωR B．ωH
C．R D．R
6．如图，细杆的一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转
动现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a、b分别表示小
球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是（ ）
A．a处为拉力，b处为拉力
B．a处为拉力，b处为推力
C．a处为推力，b处为拉力
D．a处为推力，b处为推力
7．如图所示在方向竖直向下的匀强电场中，一个带负电q，质量为
m且重力大于所受电场力的小球，从光滑的斜面轨道的点A由静
止下滑，若小球恰能通过半径为R的竖直圆形轨道的最高点B而
作圆周运动，问点A的高度h至少应为多少？
巩固提高
1．用细绳拴着小球做圆锥摆运动，如图5－6－8所示，下列说法正确的是
( )．
图5－6－8
A．小球受到重力、绳子的拉力和向心力的作用
B．小球做圆周运动的向心力是重力和绳子的拉力的合力
C．向心力的大小可以表示为Fn＝mrω2，也可以表示为Fn＝mgtan θ
D．以上说法都正确
2．在光滑的水平面上，用长为l的细线拴一质量为m的小球，使小球以角速度ω做匀速圆周运动．下列说法中正确的是 ( )．
A．l、ω不变，m越大线越易被拉断
B．m、ω不变，l越小线越易被拉断
C．m、l不变，ω越大线越易被拉断
D．m不变，l减半且角速度加倍时，线的拉力不变
3．如图5－6－9所示，在匀速转动的圆筒内壁上紧靠着一个物体，物体随筒一起转动，物体所需的向心力由下面哪个力来提供 ( )．
图5－6－9[]
A．重力 B．弹力
C．静摩擦力 D．滑动摩擦力
4．在水平冰面上，狗拉着雪橇做匀速圆周运动，O点为圆心．能正确地表示雪橇受到的牵引力F及摩擦力Ff的图是 ( )．
5．游客乘坐过山车，在圆弧轨道最低点处获得的向心加速度达20 m/s2，g取10 m/s2，那么此位置的座椅对游客的作用力相当于游客重力的 ( )．
A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍
6．A、B两球都做匀速圆周运动，A球的质量为B球质量的3倍，A球在半径为25 cm的圆周上运动，B球在半径为16 cm 的圆周上运动，且A球的转速为30 r/min，B球的转速为75 r/min，求A球所受的向心力与B球所受的向心力之比．
7．如图5－6－10所示，有一个水平大圆盘绕过圆心的竖直轴匀速转动，小强站在距圆心为r处的P点不动，关于小强的受力下列说法正确的是 ( )．
图5－6－10
A．小强在P点不动，因此不受摩擦力作用
B．若使圆盘以较小的转速转动时，小强在P点受到的摩擦力为零
C．小强随圆盘做匀速圆周运动，圆盘对他的摩擦力充当向心力
D．如果小强随圆盘一起做变速圆周运动，那么其所受摩擦力仍指向圆心
8．如图5－6－11所示，在光滑杆上穿着两个小球m1、m2，有m1＝2m2，用细线把两球连起来，当盘架匀速转动时，两小球刚好能与杆保持无相对滑动，此时两小球到转轴的距离r1与r2之比为 ( )．
图5－6－11
A．1∶1 B．1∶
C．2∶1 D．1∶2
9．如图5－6－12所示，将完全相同的两小球A、B，用长L＝0.8 m的细绳悬于以v＝4 m/s向左匀速运动的小车顶部，两球与小车前后壁接触．由于某种原因，小车突然停止，此时悬线中张力之比FA∶FB为(g＝10 m/s2) ( )．
图5－6－12
A．1∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．1∶4
10．如图5－6－13所示，质量为m的物体，沿半径为r的圆轨道自A点滑下，A与圆心O等高，滑至B点(B点在O点正下方)时的速度为v，已知物体与轨道间的动摩擦因数为μ，求物体在B点所受的摩擦力．
图5－6－13
1．下列关于向心加速度的说法中正确的是 ( )．
A．向心加速度表示做圆周运动的物体速率改变的快慢
B．向心加速度表示角速度变化的快慢
C．向心加速度描述线速度方向变化的快慢
D．匀速圆周运动的向心加速度不变
2．关于匀速圆周运动，下列说法正确的是 ( )．
A．由an＝知，匀速圆周运动的向心加速度恒定
B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
C．匀速圆周运动不属于匀速运动
D．向心加速度越大，物体速率变化越快
答案 BC
3．如图5－5－12所示是自行车的轮盘与车轴上的飞轮之间的链条传动装置，P是轮盘上的一个齿，Q是飞轮上的一个齿．下列说法中正确的是 ( )．
图5－5－12
A．P、Q两点的角速度大小相等
B．P、Q两点的向心加速度大小相等
C．P点的向心加速度小于Q点的向心加速度
D．P点的向心加速度大于Q点的向心加速度
4．一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为4 m/s，转动周期为2 s，则下列说法错误的是 ( )．
A．角速度为0.5 rad/s B．转速为0.5 r/s
C．轨迹半径为 m D．加速度大小为4π m/s2
5．如图5－5－13所示，压路机大轮的半径R是小轮半径r的2倍，压路机匀速行驶时，大轮边缘上A点的向心加速度为0.12 m/s2，那么小轮边缘上B点的向心加速度为多大？大轮上距轴心的距离为的C点的向心加速度为多大？
图5－5－13
6．Maloof Money Cup是全球最大的滑板赛事，于2011年9月在南非举行．如图5－5－14所示，某滑板运动员恰好从B点进入半径为2 m的圆弧轨道，该圆弧轨道在C点与水平轨道相接，运动员滑到C点时的速度大小为10 m/s，求他到达C点前、后的瞬时加速度(不计各种阻力)．
图5－5－14
7．物体做半径为R的匀速圆周运动，它的向心加速度、角速度、线速度和周期分别为a、ω、v和T，则下列关系式正确的是 ( )．
A．ω＝ B．v＝aR C．a＝ωv D．T＝2π
8．a、b两辆玩具车在各自的圆轨道上做匀速圆周运动，在相同的时间内，它们通过的路程之比为3∶4，转过的角度之比为2∶3，则它们的向心加速度大小之比为 ( )．
A．2∶1 B．1∶2 C．9∶16 D．4∶9
1．(赣州高一检测)质量为m的滑块从半径为R的半球形碗的边缘滑向碗底，过碗底时速度为v，若滑块与碗间的动摩擦因数为μ，则在过碗底时滑块受到摩擦力的大小为( )
A．μmg B．μm
C．μm(g+) D．μm(-g)
2．半径为R的光滑半圆球固定在水平面上，如图所示。顶部有一小物体甲，今给它一个水平初速度v0=，则物体甲将( )
A．沿球面下滑至M点
B．先沿球面下滑至某点N，然后便离开球面做斜下抛运动
C．按半径大于R的新的圆弧轨道做圆周运动
D．立即离开半圆球做平抛运动
3.长L=0.5 m、质量可忽略的杆，其一端连有质量为m=2 kg的小球，以另一端O为转轴，它绕O点在竖直平面内做圆周运动，当通过最高点时，如图所示。求下列情况下杆对球的作用力(计算大小，并说明是拉力还是支持力，g=10 m/s2)
(1)当v1=1 m/s时，大小为多少？是拉力还是支持力？[]
4.(·太原高一检测)如图，质量为m1=0.5 kg的小杯里盛有质量为m2=1 kg的水，用绳子系住小杯在竖直平面内做“水流星”表演，转动半径为r=1 m，小杯通过最高点的速度为v=4 m/s，g取10 m/s2，求：
(1)在最高点时，绳的拉力大小;
(2)在最高点时,杯底对水的压力大小;
(3)为使小杯经过最高点时水不流出, 在最高点时的最小速率是多少
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