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动能定理
1.理解动能定理的分析过程。
2.学会运用动量定理 功能关系解决综合性问题。
动能定理
1.动能定理：作用在物体上的合外力的功等于物体动能的变化，.
（1）动能定理的表达式是标量式.
（2）动能定理中的初末速度、是相对同一参考系的速度．
（3）动能定理可以应用于单一物体，也可以用于能够看成单一物体的物体系.
（4）动能定理适用于物体的直线运动、曲线运动、恒力做功、变力做功．力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以分段作用，只要求出在作用过程中各力做功的多少和正负即可，这些正是应用动能定理解题的优越性所在．
（5）若物体的运动过程包含几个不同过程，那么可以分段应用动能定理，也可把全过程作为一个整体来处理.
（6）动能定理中的力包含了物体所受到的所有外力，包含了所有性质的力. 若对一个整体使用动能定理，一定要分清哪些力是内力，哪些力是外力.
（7）一个物体的动能变化与合外力对物体所做功具有等量代换关系，据此可以计算变力做功．
2.功能关系
（1）功是能量转化的量度，做功的过程就是能量转化的过程，做了多少功，就有多少能量发生了变化，不同形式的能的变化对应着不同力的功．例如，动能的变化要用合力的功（所有力做功的代数和）来量度，重力势能的变化要用重力的功来量度，电势能的变化要用电场力的功来量度，机械能的变化要用除重力之外的力的功来量度，等等．
（2）常见的几种功能关系
①一个物体的动能变化与合外力对物体所做的功有等量代换关系，这种等量代换关系为计算变力做功提供了一种简便的方法.
②重力做功大小与重力势能改变量相等. 重力做正功，重力势能减小；重力做负功，重力势能增大.
③弹力做功大小与弹性势能改变量相等. 弹力做正功，弹性势能减小；弹力做负功，弹性势能增大.
④重力和弹力之外的力对物体做的功等于物体机械能的变化.
⑤摩擦力做功与能量转化. 静摩擦力做功过程中，只有机械能的相互转移，没有机械能转化为其它形式的能；一对滑动摩擦力所做的总功是系统由于摩擦力做功而损失的机械能.
类型一：功能关系
例1．如图所示，质量为m的物块与转台之间的动摩擦因数为μ，物体与转轴相距R，物块随转台由静止开始转动，当转速增加到某值时，物块即将在转台上滑动，此时转台已开始做匀速运动，在这一过程中，摩擦力对物体做的功为?
A．0 B．2πμmgR?
C．2μmgR D．μmgR／2?
解析： 当物块随转台匀速运动时，μmg＝m知，mv2＝μmgR．由动能定理知：摩擦力Ff的功Wf＝mv2－0＝μmgR．?
答案： D?
类型二:运用动能定理解决圆周运动问题
例2．如图所示，在一个光滑水平面的中心开一个小孔O，穿一根细绳，在其一端系一小球，另一端用力F向下拉着，使小球在水平面上以半径r做匀速圆周运动，现慢慢增大拉力，使小球运动半径逐渐减小，当拉力由F变为8F时，小球运动半径由r变成，在此过程中，拉力对小球做的功为?
A．0 B．Fr?
C．4.5Fr D．1.5Fr?
解析： 由向心力公式得?
F＝ ①?
8F＝ ②?
由动能定理得
W＝ ③?
由①②③求得W＝1.5Fr?
答案： D?
类型三：动能定理平抛结合问题
例3．（2014·福建卷Ⅰ）图为某游乐场内水上滑梯轨道示意图，整个轨道在同一竖直平面内，表面粗糙的AB段轨道与四分之一光滑圆弧轨道BC在B点水平相切．点A距水面的高度为H，圆弧轨道BC的半径为R，圆心O恰在水面．一质量为m的游客(视为质点)可从轨道AB的任意位置滑下，不计空气阻力．
(1)若游客从A点由静止开始滑下，到B点时沿切线方向滑离轨道落在水面上的D点，OD＝2R，求游客滑到B点时的速度vB大小及运动过程轨道摩擦力对其所做的功Wf；
(2)若游客从AB段某处滑下，恰好停在B点，又因受到微小扰动，继续沿圆弧轨道滑到P点后滑离轨道，求P点离水面的高度h.(提示：在圆周运动过程中任一点，质点所受的向心力与其速率的关系为F向＝m)
解析： (1)游客从B点做平抛运动，有2R＝vBt①
R＝gt2②
由①②式得vB＝③
从A到B，根据动能定理，有
mg(H－R)＋Wf＝mv－0④
由③④式得Wf＝－(mgH－2mgR)⑤
(2)设OP与OB间夹角为θ，游客在P点时的速度为vP，受到的支持力为N，从B到P由机械能守恒定律，有
mg(R－Rcos θ)＝mv－0⑥
过P点时，根据向心力公式，有mgcos θ－N＝meq \f(v,R)⑦
N＝0⑧
cos θ＝⑨
由⑥⑦⑧⑨式解得h＝R.⑩
答案：(1) －(mgH－2mgR) (2)R
类型四：动能定理
例4．某运动员臂长L，将质量为m的铅球推出，铅球出手的速度大小为v0，方向与水平方向成30°角，则该运动员对铅球所做的功是?
A． B．mgl＋mv02?
C． mv02 D．mgl＋mv02?
解析： 运动员对铅球的作用力为F，由动能定理知：WF－mgLsin30°＝mv02?
所以WF＝mgL＋mv02?
答案： A?
基础演练
1．质量为m的小球，从离桌面H高处由静止下落，桌面离地面高度为h，如图1所示，若以桌面为参考平面，那么小球落地时的重力势能及整个下落过程中重力势能的变化分别是（ ）
A．mgh，减少mg（Ｈ－h）
B．mgh，增加mg（Ｈ＋h）
C．－mgh，增加mg（Ｈ－h）
D．－mgh，减少mg（Ｈ＋h）
答案：D
2．物体从高处自由下落，若选地面为参考平面，则下落时间为落地时间的一半时，物体所具有的动能和重力势能之比为 （ ）
A．1:4 B．1:3
C．1:2 D．1:1
答案：B
3．质量为m的小球用长为L的轻绳悬于O点，如图所示，小球在水 平力F作用下由最低点P缓慢地移到Q点，在此过程中F做的功为（ ）
FLsinθ
B．mgLcosθ
C．mgL（1－cosθ）
D．FLtanθ
答案：C
4．如图所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上，在弹簧压缩到最短的整个过程中，下列关于能量的叙述中正确的应是（ ）
A．重力势能和动能之和总保持不变
B．重力势能和弹性势能之和总保持不变
C．动能和弹性势能之和保持不变
D．重力势能、弹性势能和动能之和总保持不变
答案：D
5．在离地面高为A处竖直上抛一质量为m的物块，抛出时的速度为v0，当它落到地面时速度为V，用g表示重力加速度，则在此过程中物块克服空气阻力所做的功等于 ( )
A．mghmV2mv02 B．mV2mv02－mgh
C．mgh+mv02mV2 D．mgh+mV2mv02
答案：C
6.如图所示，人站在电动扶梯的水平台阶上，与扶梯一起沿斜面加速上升．在这个过程中，人脚所受的静摩擦力 （ ）
A．等于零，对人不做功；
B．水平向左，对人做负功；
C．水平向右，对人做正功；
D．沿斜面向上，对人作正功．
答案：C
7.一物体静止在升降机的地板上，在升降机匀加速上升的过程中，地板对物体的支持力所做的功等于 （ ）
A.物体克服重力所做的功
B.物体动能的增加量
C.物体动能增加量与重力势能增加量之和
D.物体动能增加量与重力势能增加量之差
答案：C
8．质量为m的物体，由静止开始下落，由于阻力作用，下落的加速度为g，在物体下落h的过程中，下列说法中正确的应是 （ ）
A．物体的动能增加了mgh B．物体的机械能减少了mgh
C．物体克服阻力所做的功为mgh D．物体的重力势能减少了mgh
答案：ACD
9如图所示，一轻弹簧固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬点O在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速地释放，让它自由摆下，不计空气阻力，在重物由A点摆向最低点的过程中（ ）
A．重物的重力势能减少
B．重物的重力势能增大
C．重物的机械能不变
D．重物的机械能减少
答案：AD
10．关于机械能是否守恒的叙述，正确的是 （ ）
A．做匀速直线运动的物体机械能一定守恒
B．做变速运动的物体机械能可能守恒
C．外力对物体做功为零时，机械能一定守恒
D．若只有重力对物体做功，物体的机械能一定守恒
答案：BD
巩固提高
1.一质量为m的小球，用长为l的轻绳悬挂于O点．小球在水平拉力F作用下，从平衡位置P点很缓慢地移动到Q点，如图所示，则拉力F所做的功为（ ）
A． mglcosθ B． mgl（1﹣cosθ） C． Flcosθ D． Flsinθ
答案：B
2.足球比赛时，某方获得一次罚点球机会，该方一名运动员将质量为m的足球以速度v0猛地踢出，结果足球以速度v撞在球门高h的门梁上而被弹出．现用g表示当地的重力加速度，则此足球在空中飞往门梁的过程中克服空气阻力所做的功应等于（ ）
A． mgh+﹣ B．
C． D． mgh+﹣
答案：C
3.质量为m的物体以初速度v0沿水平面向左开始运动，起始点A与一轻弹簧O端相距s，如图所示．已知物体与水平面间的动摩擦因数为μ，物体与弹簧相碰后，弹簧的最大压缩量为x，则从开始碰撞到弹簧被压缩至最短，物体克服弹簧弹力所做的功为（ ）
A． mv02﹣μmg（s+x） B． mv02﹣μmgx
C． μmgs D． μmg（s+x）
答案：A
4.在平直的公路上，汽车由静止开始做匀加速运动，当速度达到Vm，立即关闭发动机而滑行直到停止，v-t 图线如图，汽车的牵引力大小为F1,摩擦力大小为F2，全过程中，牵引力做功为W1，克服摩擦力做功为W2，则( )
A.F1:F2=1:3 B. W1:W2 =1:3
C.W1:W2 =1:1 D. F1:F2 = 4:1
答案：CD
5.水平传送带匀速运动，速度大小为v，现将一小工件放到传送带上。设工件初速为零，当它在传送带上滑动一段距离后速度达到v而与传送带保持相对静止。设工件质量为m，它与传送带间的滑动摩擦系数为 μ，则在工件相对传送带滑动的过程中 （ ）
A．滑摩擦力对工件做的功为mv2／2
B．工件的机械能增量为mv2／2
C．工件相对于传送带滑动的路程大小为v2／2μg
D．传送带对工件做功为零
答案：ABC
把质量为3.0kg的石块，从高30m的某处，以的速度向斜上方抛出，，不计空气阻力，石块落地时的速率是 ；若石块在运动过程中克服空气阻力做了73.5J的功，石块落地时的速率又为 。
答案：
7.验证机械能守恒定律的实验采用重物自由下落的方法:
⑴用公式时对纸带上起点的要求是 为此目的，所选择的纸带第１，２两点间距应接近 ．
⑵若实验中所用重锤质量ｍ＝１kg，打点纸带如图6所示，打点时间间隔为0.02s,则记录B点时,重锤的速度＝ ，重锤动能＝ ．从开始下落起至Ｂ点，重锤的重力势能减少量是 ，因此可以得出的结论是 ．
(3)即使在实验操作规范，数据测量及数据处理很准确的前提下，该实验求得的ΔEP也一定略 ΔEK(填大于或小于)，这是实验存在系统误差的必然结果，该系统误差产生的主要原因是 。
答案：⑴ 纸带是打第一个点的瞬间开始自由下落的 、 2mm
⑵ 0.59m/s、 0.174J、 0.176J、 在重力的作用下，物体的动能和势能相互转化，但总的机械能守恒
(3) 大于 重锤下落时受到空气阻力以及纸带受到打点计时器的阻力作用，重锤机械能减小。
8.物体的质量为m，沿光滑的弯曲轨道滑下，轨道的形状如图所示，与弯曲轨道相接的圆轨道的半径为R，要使物体沿光滑圆轨道能通过最高点，物体应从离轨道最低处多高的地方由静止开始滑下
答案： h=2.5R
9.如图所示,mA=4kg,mB=1kg,A与桌面间的动摩擦因数μ=0.2,B与地面间的距离s=0.8m,A、B间绳子足够长，A、B原来静止，求：
B落到地面时的速度为多大；
B落地后,A在桌面上能继续滑行多远才能静止下来。（g取10m/s2）
答案：0.8m/s 0.16m
10.一个质量m=0.20kg的小球系于轻质弹簧的一端，且套在光滑竖立的圆环上，弹簧的上端固定于环的最高点A，环的半径R=0.5m，弹簧的原长L0=0.5m，劲度系数为4.8N/m，如图所示，若小球从图中所示位置B点由静止开始滑动到最低点C时，弹簧的弹性势能Ep弹=0.6J，求
（1）小球到C点时的速度vc的大小。
（2）小球在C点对环的作用力。（g=10m/s2）
答案：3m/s 2.4N
1.（2014春 灵宝市校级月考）关于动能的理解，下列说法正确的是（ ）
A． 动能是普遍存在的机械能的一种基本形式，凡是运动物体都具有动能
B． 动能总是正值，但对于不同的参考系，同一物体的动能大小是不同的
C． 一定质量的物体，动能变化时，速度一定变化，但速度变化时，动能不一定变化
D． 动能不变的物体，一定处于平衡状态
答案：ABC
2．关于运动物体所受的合力、合力的功、运动物体动能的变化，下列说法正确的是（ ）
A． 运动物体所受的合力不为零，合力必做功，物体的动能一定要变化
B． 运动物体所受的合力为零，则物体的动能一定不变
C． 运动物体的动能保持不变，则该物体所受合力不一定为零
D． 运动物体所受合力不为零，则该物体一定做变速运动
答案：BCD
3．（3分）某物体同时受到两个在同一直线上的力F1、F2的作用，物体由静止开始做直线运动，其位移与力F1、F2的关系图象如图所示，在这4m内，物体具有最大动能时的位移是（ ）
A． 1m B． 2m C． 3m D． 4m
答案：B
4．（2014赤坎区校级考试）一个质量为1kg的物体被人用手由静止向上提升1m，这时物体的速度是2m/s，则下列说法中错误的是（ ）
A． 手对物体做功12J B． 合外力对物体做功12J
C． 合外力对物体做功2J D． 物体克服重力做功10J
答案：B
蹦床是运动员在一张绷紧的弹性网上蹦跳并在空中做各种动作的运动项目．如图所示，运动员着网后的最低点是C，从B点脱离网后沿竖直方向蹦到最高点A．则运动员动能最大的点是否为B点？ （填是或否）
答案：否
6.（2014浦东新区校级期中）如图所示，质量为m的小物体由静止开始从A点下滑，经斜面的最低点B，再沿水平面到C点停止．已知A与B的高度差为h，A与C的水平距离为s，物体与斜面间及水平面间的滑动摩擦系数相同，则物体由A到C过程中，摩擦力对物体做功是 ，滑动摩擦系数是 ．
答案：﹣mgh；
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1.（2014东城联考）从h高处以v0竖直向上抛出一个质量为m的小球，若取抛出处物体的重力势能为零，不计空气阻力，则物体落地时的机械能为
A. B.
C. D.
答案：C
2.（2014东城联考）两质量相等的小球A和B，A球系在一根不可伸长的细绳的一端，B球系在一根原长小于细绳长度的橡皮筋一端，绳与橡皮筋的另一端都固定在O点，不计细绳和橡皮筋的质量。现将两球都拉到如图5所示的位置上，让细绳和橡皮筋均水平拉直（此时橡皮筋为原长），然后无初速释放，当两球通过最低点时，橡皮筋与细绳等长，小球A和B速度大小分别为vA和vB。关于上述过程，下列说法中正确的是（ ）
A．小球A、B从释放的位置下落到最低点的过程中，绳和橡皮筋都对小球做了功
B．小球A、B从释放的位置下落到最低点的过程中，重力对小球A、B所做的功不相等
C．在最低点时vA＜vB
D．在最低点时vA＞vB
答案：D
3.某同学将质量为0.50kg、静止在地面上的足球踢出，足球上升的最大高度为10m，足球在最高点的速度大小为20m/s。忽略空气阻力的作用，则这个过程中足球克服重力做功为 J，该同学对足球做的功为 J。（g取10m/s2）
答案：50，150
4.在一次测试中，质量为1.6×103kg的汽车沿平直公路行驶，其发动机的输出功率恒为100kW。汽车的速度由10m/s增加到16m/s，用时1.7s，行驶距离22.6m。若在这个过程中汽车所受的阻力恒定，则汽车的速度为10m/s时牵引力的大小为 N，此时汽车加速度的大小为 m/s2。
答案：1.0×104，5.0
5.如图所示是健身用的“跑步机”示意图，质量为m的运动员踩在与水平面成α角的静止皮带上，运动员用力后蹬皮带，皮带运动过程中受到的阻力恒定为f，使皮带以速度v匀速运动，则在运动过程中下列说法正确的是( )
A.人脚对皮带的摩擦力是皮带运动的动力
B.人对皮带不做功
C.人对皮带做功的功率为mgv
D.人对皮带做功的功率为fv
答案：AD
6.如图15所示，AB是一段位于竖直平面内的弧形轨道，高度为h，末端B处的切线沿水平方向。一个质量为m的小物体P（可视为质点）从轨道顶端处A点由静止释放，滑到B点时以水平速度v飞出，落在水平地面的C点，其轨迹如图中虚线BC所示。已知P落地时相对于B点的水平位移OC= l，重力加速度为g，不计空气阻力的作用。
（1）请计算P在弧形轨道上滑行的过程中克服摩擦力所做的功；
（2）现于轨道下方紧贴B点安装一水平传送带，传送带右端E轮正上方与B点相距。先将驱动轮锁定，传送带处于静止状态。使P仍从A点处由静止释放，它离开B点后先在传送带上滑行，然后从传送带右端水平飞出，恰好仍落在地面上C点，其轨迹如图中虚线EC所示。若将驱动轮的锁定解除，并使驱动轮以角速度ω顺时针匀速转动，再使P仍从A点处由静止释放，最后P的落地点是D点（图中未画出）。已知驱动轮的半径为r，传送带与驱动轮之间不打滑，且传送带的厚度忽略不计。求：
①小物块P与传送带之间的动摩擦因数；
②若驱动轮以不同的角速度匀速转动，可得到与角速度ω对应的OD值，讨论OD的可能值与ω的对应关系。
答案：（1） （1）①
②（a） OD=l （b）OD=（ （c）OD=
7.（2015春 阜阳校级月考）第21届冬奥会于北京时间2010年3月1日中午12点，在加拿大温哥华胜利闭幕，冬奥会的举办引起大众的滑雪热．某娱乐城的滑雪场地示意图如图所示．雪道由助滑坡AB和BC及斜坡CE组成，AB、CE均为倾角为θ=37°的斜坡，BC是半径为R=14m的圆弧道，圆弧道和斜坡相切于B，圆弧道末端C点的切线水平，A、B两点竖直高度差h1=37.2m，滑雪爱好者连同滑雪装备总质量为70kg，从A点由静止自由滑下，在C点水平滑出，经一段时间后，落到斜坡上的E点，测得E点到C点的距离为75m（不计空气阻力，g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8），求：
（1）滑雪爱好者离开C点时的速度大小；
（2）滑雪爱好者经过C点时对轨道的压力大小；
（3）滑雪爱好者由A点滑到C点的过程中克服雪坡阻力所做的功．
答案：（1）vc=20m/s （2）FNC′=2700N （3）Wf=﹣14000J
8.（2015澄城县校级期中）哈尔滨第24届世界大学生冬运会某滑雪道为曲线轨道，滑雪道长s=2.5×103m，竖直高度h=720m．运动员从该滑道顶端由静止开始滑下，经t=200s到达滑雪道底端时速度v=30m/s，人和滑雪板的总质量m=80kg，取g=10m/s2，求人和滑雪板
（1）到达底端时的动能；
（2）在滑动过程中重力做功的功率；
（3）在滑动过程中克服阻力做的功．
答案：（1）到达底端时的动能为3.6×104J；
（2）在滑动过程中重力做功的功率为2880W；
（3）在滑动过程中克服阻力做的功为5.4×105J
9.（仓山区校级期中）距沙坑高7m处，以v0=10m/s的初速度竖直向上抛出一个重力为5N的物体，物体落到沙坑并陷入沙坑0.4m深处停下．不计空气阻力，g=10m/s2．求：
（1）物体上升到最高点时离抛出点的高度；
（2）物体在沙坑中受到的平均阻力大小是多少？
答案：（1）物体上升到最高点时离抛出点的高度5m；
（2）物体在沙坑中受到的平均阻力大小是155N
10.（2014塔区校级期中）如图所示，一只20kg的狗拉着一个80kg的雪橇以3m/s的速度冲上坡度为θ=arcsin的斜坡．已知斜坡对雪橇的摩擦阻力恒为20N，狗拉雪橇上坡时的加速度为0.2m/s2，经过10s拉雪橇的套绳突然断开，雪橇刚好能冲上坡顶．求斜坡长．（g取10m/s2）
答案：斜坡的长度50m
Ｏ
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
０
7.8
17.6
31.4
49.0
mm
图6
6中小学教育资源及组卷应用平台
动能定理
1.理解动能定理的分析过程。
2.学会运用动量定理 功能关系解决综合性问题。
动能定理
1.动能定理：___________________________________，.
（1）动能定理的表达式是标量式.
（2）动能定理中的初末速度、是相对同一参考系的速度．
（3）动能定理可以应用于单一物体，也可以用于能够看成单一物体的物体系.
（4）动能定理适用于物体的直线运动、曲线运动、恒力做功、变力做功．力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以分段作用，只要求出在作用过程中各力做功的多少和正负即可，这些正是应用动能定理解题的优越性所在．
（5）若物体的运动过程包含几个不同过程，那么可以分段应用动能定理，也可把全过程作为一个整体来处理.
（6）动能定理中的力包含了物体所受到的所有外力，包含了所有性质的力. 若对一个整体使用动能定理，一定要分清哪些力是内力，哪些力是外力.
（7）一个物体的动能变化与合外力对物体所做功具有等量代换关系，据此可以计算变力做功．
2.功能关系
（1）功是能量转化的量度，做功的过程就是能量转化的过程，做了多少功，就有多少能量发生了变化，不同形式的能的变化对应着不同力的功．例如，动能的变化要用合力的功（所有力做功的代数和）来量度，重力势能的变化要用重力的功来量度，电势能的变化要用电场力的功来量度，机械能的变化要用除重力之外的力的功来量度，等等．
（2）常见的几种功能关系
①一个物体的动能变化与合外力对物体所做的功有等量代换关系，这种等量代换关系为计算变力做功提供了一种简便的方法.
②重力做功大小与重力势能改变量相等. 重力做正功，重力势能________；重力做负功，重力势能________.
③弹力做功大小与弹性势能改变量相等. 弹力做正功，弹性势能________；弹力做负功，弹性势能________.
④重力和弹力之外的力对物体做的功等于物体机械能的变化.
⑤摩擦力做功与能量转化. 静摩擦力做功过程中，只有机械能的相互转移，没有机械能转化为其它形式的能；一对滑动摩擦力所做的总功是系统由于摩擦力做功而损失的机械能.
类型一：功能关系
例1．如图所示，质量为m的物块与转台之间的动摩擦因数为μ，物体与转轴相距R，物块随转台由静止开始转动，当转速增加到某值时，物块即将在转台上滑动，此时转台已开始做匀速运动，在这一过程中，摩擦力对物体做的功为?
A．0 B．2πμmgR?
C．2μmgR D．μmgR／2?
类型二:运用动能定理解决圆周运动问题
例2．如图所示，在一个光滑水平面的中心开一个小孔O，穿一根细绳，在其一端系一小球，另一端用力F向下拉着，使小球在水平面上以半径r做匀速圆周运动，现慢慢增大拉力，使小球运动半径逐渐减小，当拉力由F变为8F时，小球运动半径由r变成，在此过程中，拉力对小球做的功为?
A．0 B．Fr?
C．4.5Fr D．1.5Fr?
类型三：动能定理平抛结合问题
例3．（·福建卷Ⅰ）图为某游乐场内水上滑梯轨道示意图，整个轨道在同一竖直平面内，表面粗糙的AB段轨道与四分之一光滑圆弧轨道BC在B点水平相切．点A距水面的高度为H，圆弧轨道BC的半径为R，圆心O恰在水面．一质量为m的游客(视为质点)可从轨道AB的任意位置滑下，不计空气阻力．
(1)若游客从A点由静止开始滑下，到B点时沿切线方向滑离轨道落在水面上的D点，OD＝2R，求游客滑到B点时的速度vB大小及运动过程轨道摩擦力对其所做的功Wf；
(2)若游客从AB段某处滑下，恰好停在B点，又因受到微小扰动，继续沿圆弧轨道滑到P点后滑离轨道，求P点离水面的高度h.(提示：在圆周运动过程中任一点，质点所受的向心力与其速率的关系为F向＝m)
类型四：动能定理
例4．某运动员臂长L，将质量为m的铅球推出，铅球出手的速度大小为v0，方向与水平方向成30°角，则该运动员对铅球所做的功是?
A． B．mgl＋mv02?
C． mv02 D．mgl＋mv02?
基础演练
1．质量为m的小球，从离桌面H高处由静止下落，桌面离地面高度为h，如图1所示，若以桌面为参考平面，那么小球落地时的重力势能及整个下落过程中重力势能的变化分别是（ ）
A．mgh，减少mg（Ｈ－h）
B．mgh，增加mg（Ｈ＋h）
C．－mgh，增加mg（Ｈ－h）
D．－mgh，减少mg（Ｈ＋h）
2．物体从高处自由下落，若选地面为参考平面，则下落时间为落地时间的一半时，物体所具有的动能和重力势能之比为 （ ）
A．1:4 B．1:3
C．1:2 D．1:1
3．质量为m的小球用长为L的轻绳悬于O点，如图所示，小球在水 平力F作用下由最低点P缓慢地移到Q点，在此过程中F做的功为（ ）
FLsinθ
B．mgLcosθ
C．mgL（1－cosθ）
D．FLtanθ
4．如图所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上，在弹簧压缩到最短的整个过程中，下列关于能量的叙述中正确的应是（ ）
A．重力势能和动能之和总保持不变
B．重力势能和弹性势能之和总保持不变
C．动能和弹性势能之和保持不变
D．重力势能、弹性势能和动能之和总保持不变
5．在离地面高为A处竖直上抛一质量为m的物块，抛出时的速度为v0，当它落到地面时速度为V，用g表示重力加速度，则在此过程中物块克服空气阻力所做的功等于 ( )
A．mghmV2mv02 B．mV2mv02－mgh
C．mgh+mv02mV2 D．mgh+mV2mv02
6.如图所示，人站在电动扶梯的水平台阶上，与扶梯一起沿斜面加速上升．在这个过程中，人脚所受的静摩擦力 （ ）
A．等于零，对人不做功；
B．水平向左，对人做负功；
C．水平向右，对人做正功；
D．沿斜面向上，对人作正功．
7.一物体静止在升降机的地板上，在升降机匀加速上升的过程中，地板对物体的支持力所做的功等于 （ ）
A.物体克服重力所做的功
B.物体动能的增加量
C.物体动能增加量与重力势能增加量之和
D.物体动能增加量与重力势能增加量之差
8．质量为m的物体，由静止开始下落，由于阻力作用，下落的加速度为g，在物体下落h的过程中，下列说法中正确的应是 （ ）
A．物体的动能增加了mgh B．物体的机械能减少了mgh
C．物体克服阻力所做的功为mgh D．物体的重力势能减少了mgh
9如图所示，一轻弹簧固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬点O在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速地释放，让它自由摆下，不计空气阻力，在重物由A点摆向最低点的过程中（ ）
A．重物的重力势能减少
B．重物的重力势能增大
C．重物的机械能不变
D．重物的机械能减少
10．关于机械能是否守恒的叙述，正确的是 （ ）
A．做匀速直线运动的物体机械能一定守恒
B．做变速运动的物体机械能可能守恒
C．外力对物体做功为零时，机械能一定守恒
D．若只有重力对物体做功，物体的机械能一定守恒
巩固提高
1.一质量为m的小球，用长为l的轻绳悬挂于O点．小球在水平拉力F作用下，从平衡位置P点很缓慢地移动到Q点，如图所示，则拉力F所做的功为（ ）
A． mglcosθ B． mgl（1﹣cosθ） C． Flcosθ D． Flsinθ
2.足球比赛时，某方获得一次罚点球机会，该方一名运动员将质量为m的足球以速度v0猛地踢出，结果足球以速度v撞在球门高h的门梁上而被弹出．现用g表示当地的重力加速度，则此足球在空中飞往门梁的过程中克服空气阻力所做的功应等于（ ）
A． mgh+﹣ B．
C． D． mgh+﹣
3.质量为m的物体以初速度v0沿水平面向左开始运动，起始点A与一轻弹簧O端相距s，如图所示．已知物体与水平面间的动摩擦因数为μ，物体与弹簧相碰后，弹簧的最大压缩量为x，则从开始碰撞到弹簧被压缩至最短，物体克服弹簧弹力所做的功为（ ）
A． mv02﹣μmg（s+x） B． mv02﹣μmgx
C． μmgs D． μmg（s+x）
4.在平直的公路上，汽车由静止开始做匀加速运动，当速度达到Vm，立即关闭发动机而滑行直到停止，v-t 图线如图，汽车的牵引力大小为F1,摩擦力大小为F2，全过程中，牵引力做功为W1，克服摩擦力做功为W2，则( )
A.F1:F2=1:3 B. W1:W2 =1:3
C.W1:W2 =1:1 D. F1:F2 = 4:1
5.水平传送带匀速运动，速度大小为v，现将一小工件放到传送带上。设工件初速为零，当它在传送带上滑动一段距离后速度达到v而与传送带保持相对静止。设工件质量为m，它与传送带间的滑动摩擦系数为 μ，则在工件相对传送带滑动的过程中 （ ）
A．滑摩擦力对工件做的功为mv2／2
B．工件的机械能增量为mv2／2
C．工件相对于传送带滑动的路程大小为v2／2μg
D．传送带对工件做功为零
把质量为3.0kg的石块，从高30m的某处，以的速度向斜上方抛出，，不计空气阻力，石块落地时的速率是 ；若石块在运动过程中克服空气阻力做了73.5J的功，石块落地时的速率又为 。
7.验证机械能守恒定律的实验采用重物自由下落的方法:
⑴用公式时对纸带上起点的要求是 为此目的，所选择的纸带第１，２两点间距应接近 ．
⑵若实验中所用重锤质量ｍ＝１kg，打点纸带如图6所示，打点时间间隔为0.02s,则记录B点时,重锤的速度＝ ，重锤动能＝ ．从开始下落起至Ｂ点，重锤的重力势能减少量是 ，因此可以得出的结论是 ．
(3)即使在实验操作规范，数据测量及数据处理很准确的前提下，该实验求得的ΔEP也一定略 ΔEK(填大于或小于)，这是实验存在系统误差的必然结果，该系统误差产生的主要原因是 。
8.物体的质量为m，沿光滑的弯曲轨道滑下，轨道的形状如图所示，与弯曲轨道相接的圆轨道的半径为R，要使物体沿光滑圆轨道能通过最高点，物体应从离轨道最低处多高的地方由静止开始滑下
9.如图所示,mA=4kg,mB=1kg,A与桌面间的动摩擦因数μ=0.2,B与地面间的距离s=0.8m,A、B间绳子足够长，A、B原来静止，求：
B落到地面时的速度为多大；
B落地后,A在桌面上能继续滑行多远才能静止下来。（g取10m/s2）
10.一个质量m=0.20kg的小球系于轻质弹簧的一端，且套在光滑竖立的圆环上，弹簧的上端固定于环的最高点A，环的半径R=0.5m，弹簧的原长L0=0.5m，劲度系数为4.8N/m，如图所示，若小球从图中所示位置B点由静止开始滑动到最低点C时，弹簧的弹性势能Ep弹=0.6J，求
（1）小球到C点时的速度vc的大小。
（2）小球在C点对环的作用力。（g=10m/s2）
1.（灵宝市校级月考）关于动能的理解，下列说法正确的是（ ）
A． 动能是普遍存在的机械能的一种基本形式，凡是运动物体都具有动能
B． 动能总是正值，但对于不同的参考系，同一物体的动能大小是不同的
C． 一定质量的物体，动能变化时，速度一定变化，但速度变化时，动能不一定变化
D． 动能不变的物体，一定处于平衡状态
2．关于运动物体所受的合力、合力的功、运动物体动能的变化，下列说法正确的是（ ）
A． 运动物体所受的合力不为零，合力必做功，物体的动能一定要变化
B． 运动物体所受的合力为零，则物体的动能一定不变
C． 运动物体的动能保持不变，则该物体所受合力不一定为零
D． 运动物体所受合力不为零，则该物体一定做变速运动
3．某物体同时受到两个在同一直线上的力F1、F2的作用，物体由静止开始做直线运动，其位移与力F1、F2的关系图象如图所示，在这4m内，物体具有最大动能时的位移是（ ）
A． 1m B． 2m C． 3m D． 4m
4．（赤坎区校级考试）一个质量为1kg的物体被人用手由静止向上提升1m，这时物体的速度是2m/s，则下列说法中错误的是（ ）
A． 手对物体做功12J B． 合外力对物体做功12J
C． 合外力对物体做功2J D． 物体克服重力做功10J
蹦床是运动员在一张绷紧的弹性网上蹦跳并在空中做各种动作的运动项目．如图所示，运动员着网后的最低点是C，从B点脱离网后沿竖直方向蹦到最高点A．则运动员动能最大的点是否为B点？ （填是或否）
6.（浦东新区校级期中）如图所示，质量为m的小物体由静止开始从A点下滑，经斜面的最低点B，再沿水平面到C点停止．已知A与B的高度差为h，A与C的水平距离为s，物体与斜面间及水平面间的滑动摩擦系数相同，则物体由A到C过程中，摩擦力对物体做功是 ，滑动摩擦系数是 ．
1.（东城联考）从h高处以v0竖直向上抛出一个质量为m的小球，若取抛出处物体的重力势能为零，不计空气阻力，则物体落地时的机械能为
A. B.
C. D.
2.（东城联考）两质量相等的小球A和B，A球系在一根不可伸长的细绳的一端，B球系在一根原长小于细绳长度的橡皮筋一端，绳与橡皮筋的另一端都固定在O点，不计细绳和橡皮筋的质量。现将两球都拉到如图5所示的位置上，让细绳和橡皮筋均水平拉直（此时橡皮筋为原长），然后无初速释放，当两球通过最低点时，橡皮筋与细绳等长，小球A和B速度大小分别为vA和vB。关于上述过程，下列说法中正确的是（ ）
A．小球A、B从释放的位置下落到最低点的过程中，绳和橡皮筋都对小球做了功
B．小球A、B从释放的位置下落到最低点的过程中，重力对小球A、B所做的功不相等
C．在最低点时vA＜vB
D．在最低点时vA＞vB
3.某同学将质量为0.50kg、静止在地面上的足球踢出，足球上升的最大高度为10m，足球在最高点的速度大小为20m/s。忽略空气阻力的作用，则这个过程中足球克服重力做功为 J，该同学对足球做的功为 J。（g取10m/s2）
4.在一次测试中，质量为1.6×103kg的汽车沿平直公路行驶，其发动机的输出功率恒为100kW。汽车的速度由10m/s增加到16m/s，用时1.7s，行驶距离22.6m。若在这个过程中汽车所受的阻力恒定，则汽车的速度为10m/s时牵引力的大小为 N，此时汽车加速度的大小为 m/s2。
5.如图所示是健身用的“跑步机”示意图，质量为m的运动员踩在与水平面成α角的静止皮带上，运动员用力后蹬皮带，皮带运动过程中受到的阻力恒定为f，使皮带以速度v匀速运动，则在运动过程中下列说法正确的是( )
A.人脚对皮带的摩擦力是皮带运动的动力
B.人对皮带不做功
C.人对皮带做功的功率为mgv
D.人对皮带做功的功率为fv
6.如图15所示，AB是一段位于竖直平面内的弧形轨道，高度为h，末端B处的切线沿水平方向。一个质量为m的小物体P（可视为质点）从轨道顶端处A点由静止释放，滑到B点时以水平速度v飞出，落在水平地面的C点，其轨迹如图中虚线BC所示。已知P落地时相对于B点的水平位移OC= l，重力加速度为g，不计空气阻力的作用。
（1）请计算P在弧形轨道上滑行的过程中克服摩擦力所做的功；
（2）现于轨道下方紧贴B点安装一水平传送带，传送带右端E轮正上方与B点相距。先将驱动轮锁定，传送带处于静止状态。使P仍从A点处由静止释放，它离开B点后先在传送带上滑行，然后从传送带右端水平飞出，恰好仍落在地面上C点，其轨迹如图中虚线EC所示。若将驱动轮的锁定解除，并使驱动轮以角速度ω顺时针匀速转动，再使P仍从A点处由静止释放，最后P的落地点是D点（图中未画出）。已知驱动轮的半径为r，传送带与驱动轮之间不打滑，且传送带的厚度忽略不计。求：
①小物块P与传送带之间的动摩擦因数；
②若驱动轮以不同的角速度匀速转动，可得到与角速度ω对应的OD值，讨论OD的可能值与ω的对应关系。
7.（ 阜阳校级月考）第21届冬奥会于北京时间2010年3月1日中午12点，在加拿大温哥华胜利闭幕，冬奥会的举办引起大众的滑雪热．某娱乐城的滑雪场地示意图如图所示．雪道由助滑坡AB和BC及斜坡CE组成，AB、CE均为倾角为θ=37°的斜坡，BC是半径为R=14m的圆弧道，圆弧道和斜坡相切于B，圆弧道末端C点的切线水平，A、B两点竖直高度差h1=37.2m，滑雪爱好者连同滑雪装备总质量为70kg，从A点由静止自由滑下，在C点水平滑出，经一段时间后，落到斜坡上的E点，测得E点到C点的距离为75m（不计空气阻力，g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8），求：
（1）滑雪爱好者离开C点时的速度大小；
（2）滑雪爱好者经过C点时对轨道的压力大小；
（3）滑雪爱好者由A点滑到C点的过程中克服雪坡阻力所做的功．
8.（澄城县校级期中）哈尔滨第24届世界大学生冬运会某滑雪道为曲线轨道，滑雪道长s=2.5×103m，竖直高度h=720m．运动员从该滑道顶端由静止开始滑下，经t=200s到达滑雪道底端时速度v=30m/s，人和滑雪板的总质量m=80kg，取g=10m/s2，求人和滑雪板
（1）到达底端时的动能；
（2）在滑动过程中重力做功的功率；
（3）在滑动过程中克服阻力做的功．
9.（仓山区校级期中）距沙坑高7m处，以v0=10m/s的初速度竖直向上抛出一个重力为5N的物体，物体落到沙坑并陷入沙坑0.4m深处停下．不计空气阻力，g=10m/s2．求：
（1）物体上升到最高点时离抛出点的高度；
（2）物体在沙坑中受到的平均阻力大小是多少？
10.（塔区校级期中）如图所示，一只20kg的狗拉着一个80kg的雪橇以3m/s的速度冲上坡度为θ=arcsin的斜坡．已知斜坡对雪橇的摩擦阻力恒为20N，狗拉雪橇上坡时的加速度为0.2m/s2，经过10s拉雪橇的套绳突然断开，雪橇刚好能冲上坡顶．求斜坡长．（g取10m/s2）
Ｏ
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
０
7.8
17.6
31.4
49.0
mm
图6
6
