浙江省杭州四校联盟2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题（含答案）

2022学年第二学期四校联盟期中考试试卷
高二年级数学学科
本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.考生须知：
1.本卷满分150分，考试时间120分钟；
2.答题前，在答题卷指定区域填写学校 班级 姓名 试场号 座位号及准考证号；
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
4.考试结束后，只需上交答题卷.
第I卷（选择题）
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在空间直角坐标系中，，则的值为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.-1
2.已知等比数列的公比，前3项和为-21，且，则（ ）
A.1 B.3 C.-1 D.-3
3.第19届亚运会将于今年在杭州举行.你在西湖边遇到了志愿者装扮的吉祥物“琮琮” "莲莲”和“宸宸”.假如你要和三个吉祥物一起拍合照，且你不希望站在两端，则共有（ ）种不同的站法.
A.24 B.18 C.12 D.9
4.如图，在正方体中，棱长为2，点分别为棱 中点，则点到平面的距离为（ ）
A.2 B. C. D.
5.已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A.一定有极大值
B.当时，有极小值
C.当时，可能无零点
D.若在区间上单调递增，则
6.已知圆关于直线对称，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.1
7.已知，则的大小为（ ）
A. B.
C. D.
8.已知双曲线，以右顶点为圆心，为半径的圆上一点（不在轴上）处的切线与交于两点，且为中点，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知的二项展开式各项系数和为32，则下列说法正确的是（ ）
A. B.含的项系数为90
C.第3项的二项式系数为10 D.常数项为1
10.已知函数，则（ ）
A. B.是周期函数
C.在单调递减 D.
11.已知数列满足，其中是给定的实数.设，以下判断正确的是（ ）
A.是等差数列
B.
C.的通项公式为
D.数列的最小项是
12.二次曲线，则下列选项正确的是（ ）
A.曲线关于轴对称
B.曲线在处的切线为
C.曲线与直线有两个交点
D.曲线与圆有四个交点
第II卷（非选择题）
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一.如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为：，则第10条斜线上，各数之和为__________.
14.椭圆，直线与椭圆截得的弦的中点分别为，则椭圆的上顶点到直线的距离为__________.
15.从1，2，3，4，5，6，7，8中依次取出4个不同的数，分别记作，若和的奇偶性相同，则的取法共有__________种（用数字作答）.
16.已知不等式恒成立，则的取值范围为__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.设数列满足，等比数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
18.已知函数.
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）方程恰有两个不同的实根，求的取值范围.
19.为了保证我国东海油气田海域的海上平台的生产安全，海事部门在某平台的正东方向设立了两个观测站和（点在点 点之间），它们到平台的距离分别为1海里和4海里，记海平面上到两观测站的距离之比为的点的轨迹为曲线，规定曲线及其内部区域为安全预警区（如图）.
（1）以为坐标原点，1海里为单位长度，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，求曲线的方程；
（2）海平面上有巡航观察点可以在过点垂直于的直线上运动.
（i）若为的中点，求的最小值；
（ii）过作直线与曲线相切于点.证明：直线过定点.
20.如图，在四棱台中，底面是菱形，，梯形底面，.设为的中点.
（1）求证：平面；
（2）上是否存在一点，使得与平面所成角余弦为，请说明理由.
21.已知是抛物线上一点，是的焦点，.
（1）求的方程；
（2）设，直线与交于，若的重心在上，求面积的最大值.
22.已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）若函数的值域为，求的取值范围.
2022学年第二学期四校联盟期中考试试卷
高二年级数学学科参考答案
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D C B D B D A
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
题号 9 10 11 12
答案 AC ACD BCD CD
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.55. 14. 15.912 16.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.解：（1），当时，也符合.
所以
，所以，所以
（2），所以
两式相减：
于是
18.解：（1），
所以，又，所以切线方程为
（2）因为，所以
当时，，所以单调递增；
当时，，所以单调递减
又，
所以该函数的图象如下：
又因为的根的个数等价于与图象的公共点的个数.所以
19.解：（1）设，则由题意，根据题意可知，曲线的方程为：
（2）直线的方程为.
（i）若为的中点，则
当时，的最小值为
（ii）极点关于圆的极线为
即，由此猜想：直线过定点.证明如下：
设，切线为
设，同理可得，
则直线的方程为过定点.
20.（1）证明：取的中点，连接，则共面
又，所以；由底面是菱形，，
可知，又，所以平面
（2）因为平面平面平面，，
平面平面，所以平面
则以为原点，分别为轴建系
已知
设，则
设平面法向量
由可得
故不存在这样符合条件的点
21.解：（1）
（2）设直线，
由，得到，则
，于是
设重心为，则
则，则
又
设，则
易得当时，，所以
22.解：（1）
当时，当，则递增.
当时，当，则递增；当，则递减.
（2）函数的值域为等价于函数的最小值小于等于0.
考虑反面：对恒成立.
即，化简得
设，则，设，则易得在上是单调递增，因为，又，故存在，使得.当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以
因为，所以，设，则，
（1）式两边取对数可得，所以，设，则在上单调递减，又因为，所以，则有.
所以，所以.
所以的取值范围为