雅礼教育集团 2023 年上学期期中考试试卷
高二数学
时量：120分钟；分值：150 分
一 单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求.
1. 已知集合 A x | 4 x 4 ， B x | log2 x log2 3 ，则 A B （ ）
A. 4,3 B. 0,3 C. 0,4 D. 3,4
2．如图所示，单位圆上有动点 A，B，当 OA OB 取得最大值时， OA OB 等于（ ）
A．0 B． 1 C．1 D．2
x
3．已知 = 1- yi，其中 x，y是实数， i是虚数单位，则 x y =（ ）
1+ i
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知 p : x k
2 x
，q: ≤0，如果 p是 q的充分不必要条件，则实数 k的取值范围是（ ）
x 1
A． 2, B． 1,
C． 1, D． , 1
5．函数 f x 2 x sin 2x 的图像最有可能的是（ ）
A． B．
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1
C． D．
6
π
、已知函数 f x sin x 0, t 3 在 上有且仅有 2个零点，则 t的取值范围是（ ）
A．
5 8 5 8 5 8
B． C． D．
3 3 3 3 3 3
7. 某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚
的深度，称为这个时段的降雨量(单位： ). 24 降雨量的等级划分如下表：
等级 24 降雨量(精确到 0.1)
…… ……
小雨 0.1～9.9
中雨 10.0～24.9
大雨 25.0～49.9
暴雨 50.0～99.9
…… ……
在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为 200 ，
高为 300 的圆锥形雨量器．若一次降雨过程中，该雨量器
收集的 24 的雨水高度是 150 (如图所示)，则这 24 降雨
量的等级是
A. 小雨 B. 中雨
C. 大雨 D. 暴雨
n
8．已知 m，n为实数， f (x) e x mx n 1，若 f (x) 0对 x R恒成立，则 的最小值
m
是（ ）
A． 1 B．0 C．1 D．2
二 多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求，全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.
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2
9．已知A、 B是随机事件，则下列结论正确的是（ ）
A．若A、 B是互斥事件，则P AB P A P B
B．若A、 B是对立事件，则A、 B是互斥事件
C．若事件A、 B相互独立，则 P A B P A P B
D．事件A、 B至少有一个发生的概率不小于A、 B恰好有一个发生的概率
1 n10 2 4 、已知Cn Cn，则在二项式 2x 的展开式中，正确的说法是（ ）
x
A．n 6 B．常数项是第 3项
C．各项的系数和是 1 D．第 4项的二项式系数最大
11、已知数列 an 为等比数列，首项 a1 0，公比 q 1,0 ，则下列叙述正确的是（ ）
A．数列 an 的最大项为 a1 B．数列 an 的最小项为a2
C．数列 anan 1 为递增数列 D．数列 a2n 1 a2n 为递增数列
12．已知 a 0,b 0，且 a 2b 1，则下列不等式成立的是（ ）
1 2 1
A． ab B． 8
8 a b
C 6． a b D．3a b 3
2
三 填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.
1 1
13 log 3．计算： log5 7 7 ______.
2
14、写出命题“ x Z ,| x | N”的否定: 。
15、假设某市场供应的 N95口罩中，市场占有率和优质率的信息如下表：
品牌 甲 乙 其他
市场占有率 50% 30% 20%
优质率 80% 90% 70%
在该市场中任意买一 N95口罩，用 A1, A2 , A3分别表示买到的口罩为甲品牌、乙品牌、其
他品牌，B表示买到的是优质品，则 P（A2|B）= 。
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3
x2 y2 x2 y2
16．如图所示，已知双曲线 2 1(b1 0)和椭圆 2 1(b2 0)有共同的右焦点 F ，4 b1 9 b2
记曲线 为双曲线的右支和椭圆围成的曲线，若M ，N分别在曲线 中的双曲线和椭圆上，
则 MNF周长的最小值等于__________．
四 解答题：本题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17、 (10分）已知数列 是等差数列.
5
（1）若 1 = 2， 2 = ，求 ；2 10
（2）若 15 = 5 2 + 6 + ，求 k。
18 2、 (12分）已知函数 f x lnx ax 2a 3 a R .
(1)若 a 3，求函数 f x 在 x=1处的切线方程；
(2)求函数 f x 的最大值。
19、(12分）如图， ABCD为圆柱OO 的轴截面， EF 是圆柱上异于 AD，
BC的母线.
（1）证明： BE 平面 DEF；
（2）若 AB BC 2,BE 2，求二面角 B DF E
的余弦值.
20、如图，P为半圆（AB为直径）上一动点，OA OB，OA OB 2，记 BAP ．
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4
(1)当 15 时，求 OP的长；
(2)当 PAO面积最大时，求 ．
21．已知抛物线T : y2 2 px(0 p 4)的焦点为F，M为T上一动点，N为圆 E : x2 ( y 4)2 1
上一动点， |MN | |MF |的最小值为 17 1 .
(1)求 T的方程；
(2) 直线 l交T于A，B两点，交 x轴的正半轴于点C，点D与C关于原点O对称，且OA OB 12，
求证 kAD kBD为定值。
22．我校高二某班级共有 50名同学（男女各占一半），为弘扬传统文化，班委会组织了“古
诗词男女对抗赛”，将同学随机分成 25组，每组男女同学各一名，每名同学均回答同样的五
个不同问题，答对一题得一分，答错或不答得零分，总分 5分为满分。.最后 25组同学得分
如下表：
组别号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
男同学得分 5 4 5 5 4 5 5 4 4 4 5 5 4
女同学得分 4 3 4 5 5 5 4 5 5 5 5 3 5
分差 1 1 1 0 -1 0 1 -1 -1 -1 0 2 -1
组别号 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
男同学得分 4 3 4 4 4 4 5 5 5 4 3 3
女同学得分 5 3 4 5 4 3 5 5 3 4 5 5
分差 -1 0 0 -1 0 1 0 0 2 0 -2 -2
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5
（I）列出 2 2列联表，依据α=0.10 的独立性检验，能否认为“该次对抗赛是否得满分”与“同
学性别”有关联？
2
（Ⅱ）某课题研究小组假设各组男女同学分差服从正态分布 N , ，首先根据前 20组男
女同学的分差确定 和 ，然后根据后面 5组同学的分差来检验模型，检验方法是：记后面
5组男女同学分差与 的差的绝对值分别为 xi (i 1,2,3,4,5)，若出现下列两种情况之一，则
不接受该模型，否则接受该模型.①存在 xi 3 ；②记满足 2 xi 3 的 i的个数为 k，在
2
服从正态分布 N , 的总体（个体数无穷大）中任意取 5个个体，其中落在区间
( 3 , 2 ) ( 2 , 3 )内的个体数大于或等于 k的概率为 P， P 0.003 .
试问该课题研究小组是否会接受该模型.
α 0.10 0.05 0.010
参考公式和数据：
x2 n(ad bc)
2
x 2.706 3.841 6.635
(a b)(c d )(a c)(b d )
0.8 0.894, 0.9 0.949,0.9575 0.803, 43 0.9574 36， 43 43 0.9573 1.62 103；若
X ~ N , 2 ，有 P( 2 X 2 ) 0.9544， P( 3 X 3 ) 0.9974 .
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高二数学
时量：120分钟；分值：150 分
一 单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求.
*1、【答案】D
【解析】因为 A x | 4 x 4 ，B x | log2x log23 x | x 3 ，所以
A B x | 3 x 4 ．
***2．【答案】D
【详解】因为 |OA OB | | BA |，A，B是单位圆上的动点，所以 OA OB 的最大值为 2，此
时OA与OB反向.
***3．【答案】C
x
x x(1 i) x x
1
x 2
【解析】由 = 1- yi，得 1 yi i 1 yi
2
1+ i (1 i)(1 i)
，得 ，得 x ，得 ，2 2 y y 1
2
所以 x y 3 .
*4．【答案】A
2 x
【详解】q: ≤0，即 q : x 1或 x 2，又 p : x k， p是q的充分不必要条件，
x 1
所以 k 2，即 k的取值范围是 2, .
*5．【答案】A
【详解】函数 f x 2 x sin 2x 的定义域为 R， f x 2 x sin[2( x)] f (x)，即函数 f (x)是
奇函数，D不正确；
当 0 x π时，由 f (x) 0
π
得： sin 2x 0，而0 2x 2π，因此 2x π，解得 x 2 ，
于是得 f (x)在 (0, π)上有且只有一个零点，B，C不正确，A正确.
**6、【答案】D
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1
π π π
【解析】当 0 x t时， x t ，因为 f x 在 0, t 上有且仅有 2个零点，
3 3 3
π 5 8
则有 2 t 3π，解得 .
3 3 3
***7. 【答案】B
1
【解析】因为圆锥内积水的高度是圆锥总高度的一半，所以圆锥内积水部分水面的半径为 ×
2
1 1× 200 = 50 2，故积水量 V 水= 50 150 125000 ( 32 )，3
125000
所以此次降雨在平地上积水的厚度h 2 12.5 ( )，100
因为 10.0 < 12.5 < 24.9，所以这一天的雨水属于中雨．
** 8．【答案】B
【详解】 f (x) e x mx n 1, f (x) e x m ，
当m 0时， f (x) 0恒成立，则 f (x)单调递增， f 0 n，显然 f (x) 0不恒成立，
当m 0时， x ( , lnm)时， f (x) 0，函数 f (x)单调递减； x (ln m , )时， f (x) 0，
函数 f (x)单调递增，
∴ f (x)min f (lnm) m m lnm n 1，
∵ f (x) 0恒成立，∴m m lnm n 1 0，
∴ n m lnm m 1，
n m lnm m 1 lnm 1∴ 1，
m m m
令h(m)
1
lnm 1,m 0，
m
h (m) 1 1 m 1 2 2 ,h(m)在区间(0,1)上单调递减，在区间 (1, )上单调递增，m m m
∴h(m)min h(1) 0．
二 多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求，全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.
**9．【答案】BD
【详解】对于 A选项，若A、B是互斥事件，则 A B ，则 P AB 0 P A P B ，A
错；
对于 B选项，若A、 B是对立事件，则A、 B是互斥事件，B对；
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2
对于 C选项，若事件A、 B相互独立，
则 P A B P A P B P AB P A P B P A P B P A P B ，C错；
对于 D选项，事件A、 B至少发生一个包含三种情况： AB、 AB、 AB，
事件A、 B恰好发生一个包含两种情况： AB、 AB，
因此，事件A、 B至少有一个发生的概率不小于A、 B恰好有一个发生的概率，D对.
**10、【答案】ACD
2 4
【解析】由Cn Cn得 n 6，A对；
n k
2x 1 1二项式
T Ck 2x 6 k 的展开式通项 k 1 6 Ck 1
k 26 k x6 2 k，
x 6 x
令6 2k 0，可得 k 3，故常数项是第4项，B错；
对于 C选项，各项的系数和是 2 1 6 1，C对；
对于 D选项，展开式共 7项，第 4项二项式系数最大，D对.
***11、【答案】ABC
【解析】对于 A，由题意知：当 n为偶数时， an 0 a1；当n为奇数时， an 0，
an 2 an a
2
n q 1 0， a1最大；综上所述：数列 an 的最大项为 a1，A正确；
2
对于 B，当n为偶数时，an 0，an 2 an an q 1 0， a2 最小；当n为奇数时，an 0 a2；
综上所述：数列 an 的最小项为 a2，B正确；
2
对于 C， anan 1 anq， an 1a
2
n 2 an 1q， an 1an 2 ana
2 2
n 1 q an 1 an q q2 1 a2n，
1 q 0， q2 1 0， an 1an 2 anan 1 0， 数列 anan 1 为递增数列，C正确；
对于 D， a2n 1 a2n a2n 1 1 q ， a2n 1 a2n 2 a2n 1 1 q ，
a2n 1 a2n 2 a2n 1 a2n 1 q a2n 1 a 22n 1 1 q q 1 a 2n 1 ；
1 q 0， 1 q 0， q2 1 0，又 a2n 1 0，
a2n 1 a2n 2 a2n 1 a2n 0， 数列 a2n 1 a2n 为递减数列，D错误.
故选：ABC
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3
*12、【答案】AC
1 1 a 2b 2 1 1
【解析】对于 A， ab a 2b ( ) ，当且仅当 a 2b 时取“=”，A正确；
2 2 2 8 2
B 2 1 (a 2b)( 2 1) 4 4b a 4 2 4b a
4b a 1
对于 ， 8，当且仅当 ，即 a 2b
a b a b a b a b a b 2
时取“=”，B不正确；
3
对于 C，因 ( a b) 2 a ( 2b) 2 a b a 3 2b (a 2b) 3 ( a b )2，则有 ，
2 2 2 2 2
6 a a 2b 1 2 1
即 a b ，当且仅当 2b，即a 4b时取“=”，由 a ,b a 4b 得 ，所2 2 3 6
2
以当 a ,b
1
时，
3 6 ( a b)
6
max ，C正确；2
1
对于 D，由 a 2b 1， a 0,b 0得， 0 b ， a b 1 b
1
( ,1)，而函数 y 3x 在 R上
2 2
单调递增，因此， 3 3a b 3，D不正确.
三 填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.
*13、【答案】1
1 1 log 3
【详解】 log 7 75 log5 2 3 1.
2
*14、【答案】 x0 Z , x0 N 。
*15、【答案】 1
3
【解析】 P B P A1 P B | A1 P A2 P B | A2 P A3 P B | A3
50% 80% 30% 90% 20% 70% 81%
PP A | B = A2B = 27% = 12 P B 81% 3 .
***16．【答案】2
【详解】设双曲线和椭圆共同的左焦点为 F1，根据双曲线和椭圆定义可知MF1 MF 4，
NF1 NF 6，
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4
得 MNF周长为：
C MNF MN MF NF
MN MF1 4 6 NF1
2 MN NF1 MF1
根据三角形性质可知，当M ，N，F1三点共线时 NF1 MF1 取最大值，此时 MNF周长最小，
当M ，N，F1三点共线时 NF1 MF1 MN ， MNF最小周长为
C MNF 2 MN NF1 MF1 2 MN MN 2
四 解答题：本题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
***17 5 1、 【详解】（1）解：因为 1 = 2， 2 = ，所以 = .2 2
( 1)
根据公式 = 1 + ，可得2
= 10 × 2 + 10×(10 1) 1 8510 × = .……………………………………………………52 2 2
2 = 5 + + 15 + （ ）因为 ，所以 1 1515 2 6 = 5 2 + + 2 6 ，
即 15 8 = 5 2 + 6 + ，因此 3 8 = 2 + 6 + ，
所以 3 1 + 7 = 1 + + 1 + 5 + 1 + 1 ，由题意知 ≠ 0，
所以 15 = 1，所以 = 16……………………………………………………………………10
**18、【详解】（1）解：当 a 3时， f x ln x 3x 15，x∈ 0, f x 1 3 1 3x， ，x x
f '(1) 2,又f (1) 18
则函数 f x 在 x=1处的切线方程为：2x+y+16=0……………………………………………6
1
(2）解：当 a 0时， f x a 0，此时函数 f x 在 0, 上单调递增，无最大值；x
1 1 ax 1
当 a 0时，由 f x a 0可得 x .
x x a
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5
1
当0 x 时， f (x) > 0，此时函数 f x 单调递增，a
1
当 x 时， f x 0，此时函数 f x 单调递减，
a
所以， f x f 1 2 lna 2a 2max 。……………………………………………………11 a
1 2
综上，当 a 0时，函数 f x 无最大值；当a 0时， f x f 2 lna 2amax 。…12 a
***19、【解析】（1）证明：如右图，连接 AE，由题意
知 AB为 O的直径，所以 AE BE .
因为 AD，EF是圆柱的母线，所以 AD∥EF且 AD EF ,所
以四边形 AEFD是平行四边形.
所以 AE∥DF , 所以BE DF .
因为 EF是圆柱的母线，所以 EF 平面 ABE,
又因为 BE 平面 ABE，所以EF BE .
又因为DF EF F ，DF， EF 平面 DEF，
所以 BE 平面 DEF.……………………6
（2）由（1）知 EA，EB，EF两两相互垂直，
如图，以点 E为原点，EA，EB，EF所在直线为 x，y，z轴建立空间直角坐标系 E xyz，
则 B(0, 2,0),D( 2,0, 2),E(0,0,0),F (0,0, 2) .………………………………………………8
由（1）知 BE 平面 DEF，故平面 DEF的法向量可取为
EB (0, 2,0) .
设平面 BDF的法向量为 n (x, y, z)，由DF ( 2,0,0)，
BF (0, 2, 2)，
n
DF 0 2x 0 x 0
得
n
，即 ，即 ，
BF 0 2y 2z 0 y 2z
取 z 1，得 n (0, 2,1) . 设二面角 B DF E的平面角为θ,
n EB
则 cos cos n ,EB
2 2 6
，
n EB 3 2 3
6
由图可知θ为锐角，所以二面角B DF E的余弦值为 .………………………………12
3
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6
**20、【详解】（1）由题意，在 AOB中， AOB 90 ，OA OB，OA OB 2，
∴ AOB为等腰直角三角形， BAO 45 ∴O在以 AB为直径的圆上，
取 AB的中点C，连接CO，
∴ APO 45 ， ACO 90 ，
在△APO中， PAO 60 ，OA 2，
OP OA
由正弦定理， 2 2，
sin 60 sin 45
解得：OP 6…………………………………………………………………………………6
（2）由题意及（1）知， BAP ， BAO 45 ，
在△APO中， APO 45 ，OA 2，由余弦定理，
OA2 PA2 PO2 2PA PO cos APO，
即 PA2 PO2 2PA PO 4，
4 PA2 PO2即 2PA PO 2PA PO 2PA PO 2 2 PA PO ，
∴ PA PO 4 2 2，当且仅当PA PO时，等号成立，
S 1又 △PAO PA PO sin 45 ，2
PAO 180 45 ∴当且仅当 PA PO时， PAO的面积最大，此时 67.5 ，
2
∴ PAO BAO 67.5 45 22.5 ．………………………………………………12
*** p21 ．【详解】（1）由题得 F ,0 ,E (0,4)，当点M，N，
2
F，E四点共线且点M，N在 E，F中间时，|MN | |MF |取得
最小值，
2
最小值为 | FE | p 1 42 1 17 1，又 p 0，解得
2
p 2，所以 T的方程为 y2 4x .………………………………5
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7
（2）当直线 l的斜率为 0时，显然不适合题意；
当直线 l的斜率不为 0时，设直线 l的方程为 x ty m(m 0), A x1, y1 ,B x2 , y2 ，联立
y2 4x,
得 y2 4ty 4m 0，
x ty m
2 2
则 16t2 16m 0, y1 y2 4t, y1y2 4m，所以 x1x
y1 y2 2
2 m ，又 ，4 4 OA OB 12
所以 x1x2 y1y2 m
2 4m 12，所以m2 4m 12 0，解得m 6或m 2（舍去），
即C(6,0)，所以D( 6,0)，……………………………………………………………………9
y1 y2 x1y2 x2 y1 6 y1 y2
所以 kAD kBD x1 6 x2 6 x
，又
1 6 x2 6
x1y2 x2 y1 6 y1 y2 ty1 6 y2 ty2 6 y1 6 y1 y2 2ty1y2 12 y1 y2 48t 48t
0，所以 kAD kBD为定值。.………………………………………………………………12
*22．【详解】（I）由表可得
男同学 女同学 总计
该次大赛得满分 10 14 24
该次大赛未得满分 15 11 26
总计 25 25 50
………………………………………………3
零假设为H0 ：“该次对抗赛是否得满分”与“同学性别”之间无关联。
x2 50 (10 11 14 15)
2
1.282 2.706 x
24 26 25 25 0.10
依据小概率α=0.10的独立性检验，没有充分证据推断H0 不成立，所以可认为H0 成立，即
认为“该次大赛是否得满分”与“同学性别”之间无关联；………………………6
2 1 2
（Ⅱ）由表格可得 0, (1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1) 0.8 ；
20
由题知 x1 0, x2 2, x3 0, x4 2, x5 2 ，而 2 1.788, 3 2.682，
故不存在 xi 3 ；………………………………………………………………8
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8
而满足 2 xi 3 的 i的个数为 3，即 k 3，当
X ~ N , 2 , P( 3 X 2 ) P( 2 X 3 ) 0.9974 0.9544 0.043
2
设从服从正态分布 N , 的总体（个体数无穷大）中任意取 5个个体，其中值属于
( 3 , 2 ) ( 2 , 3 )的个体数为 Y，则Y ~ B(5,0.043)，
所以，P(Y 3) 1 0.9575 C15 0.043 0.957
4 C 25 0.043
2 0.9573 0.0008 0.003，……11
综上，第②种情况出现，所以该小组不会接受该模型.………………………………………12
附：
*：本学期内容
**：本学期和前面交叉内容
***：本学期前所学内容
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