贵溪市2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题
单选题（每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 小李年初向银行贷款万元用于购房，购房贷款的年利率为，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分次等额还清，每年次，问每年应还万元 ( )
A. B. C. D.
2．函数在上单调递增，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
3. 设是等差数列的前项和，若，则 =（ ）
A． B． C． D．
4. 某地病毒爆发，全省支援，需要从我市某医院某科室的名男医生含一名主任医师、名女医生含一名主任医师中分别选派名男医生和名女医生，则在至少有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为( )
A. B. C. D.
5. 如图所示为一正态曲线，为方程的正根，若用区间内的概率作为某次高二年级人参加数学考试的优秀率，则优秀人数约为( )
附：，，
A. B. C. D.
6．若是函数的极值点，则方程在的不同实根个数为（ ）
A． B． C． D．
7．已知是圆的直径，点P是圆的圆心，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．0
8. 已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
9．已知等比数列{an}的公比，等差数列{bn}的首项b1＝12，若a9＞b9且a10＞b10，则以下结论正确的有（ ）
A．a9 a10＜0 B．a9＞a10 C．b10＞0 D．b9＞b10
10．二项式 的展开式中第项是常数项，则( )
A. B.
C. 二项式系数最大的项为第项 D. 系数最小的项为第项
11． 下列求导正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
12. 已知函数的图象关于直线对称，函数对于任意的满足其中是函数的导函数，则下列不等式成立的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题（每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）
13. 已知，求 ．
14. 电报发射台发出“”和“一”的比例为，由于干扰，传送“”时失真的概率为，传送“一”时失真的概率为，则接受台收到“”时发出信号恰是“”的概率为__________.
15. 已知数列满足，则数列的前n项和__________.
16. 已知是定义在上的奇函数，，且当时，则不等式的解集是______.
四、解答题（17题10分，其它每小题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（10分）已知正项数列的前项和为，且是4与的等比中项.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
18.（12分）设函数．
(1)求函数在处的切线方程；
(2)求函数的极值．
19.（12分）设抛物线C：的焦点为F，过点的动直线l与抛物线C交于A，B两点，当F在l上时，直线l的斜率为．
（1）求抛物线的方程；
（2）在线段AB上取点D，满足，，证明：点D总在定直线上．
20.（12分）如图，四棱锥中，底面ABCD为菱形，平面ABCD，E为PD中点．
平面平面
设，，三棱锥的体积为，求二面角的余弦值．
21．（12分）已知函数．
（1）若，求函数在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性．
22.（12分）已知数列的前项和为.
（1）求的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和；
（3）若数列满足，求证：.高二（下)期中考试数学试题答案
单选题（每小题5分，共40分 ）
1 B 2 A 3 D 4 B 5 C 6 A 7 D 8 C
多选题（每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得2分）
9 A D 10 A C D 11 BC 12 A D
1. B 解：设每年应还万元，
则，
，选．故选B．
2． A 解：，
函数在区间上单调递增，
在区间上恒成立，，，
而在区间上单调递减，，，
的取值范围是：故选：．
3. D 解：根据等差数列片断和的性质得出、、、成等差数列，并将和都用表示，可得出的值．若数列为等差数列，则也成等差数列，因为，所以，
则数列是以为首项，以为公差的等差数列，
则，
所以，所以. 故选：D．
4. B 解：需要从我市某医院某科室的名男医生含一名主任医师、名女医生含一名主任医师中分别选派名男医生和名女医生．
设事件表示“有一名主任医师被选派”，表示“另一名主任医师被选派”，
， ，
则在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为：
．故选：B．
5. C 解：因为的正根为，所以，由图可知，，
由可得，
所以，
所以，优秀人数为，故选C．
6．A 解：首先根据极值点为1，求得，再结合函数的单调性，判断实根个数.由，得则
函数在，单调递增，
,函数与的交点个数为个.故选：A
7. D 解：由点P是圆的圆心，
则点P为直线上的任意一点，
又，
所以当最小时，的取值最小，
所以的最小值是圆心到直线的距离，即，
所以．故选：D．
8.C 解：∵ 球的体积为，所以球的半径,设正四棱锥的底面边长为，高为，
则，,所以，
所以正四棱锥的体积，
所以，
当时，，当时，，
所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，
又时，，时，,所以正四棱锥的体积的最小值为，
所以该正四棱锥体积的取值范围是. 故选：C.
9.AD
解：设等差数列的公差为d，运用等差数列和等比数列的通项公式分析A正确，B与C不正确，结合条件判断等差数列为递减数列，即可得到D正确.数列{an}是公比q为的等比数列，{bn}是首项为12，公差设为d的等差数列，
则，，∴a9 a10＝＜0，故A正确；
∵a1正负不确定，故B错误；
∵a10正负不确定，∴由a10＞b10，不能求得b10的符号，故C错误；
由a9＞b9且a10＞b10，则＞12+8d，＞12+9d，
可得等差数列{bn}一定是递减数列，即d＜0，即有b9＞b10，故D正确.故选：AD.
10. ACD
解：二项式的展开式中第项，
令，得，则，
展开式的通项为，
因为展开式的项共有项，故第项的二项式系数最大，
因为展开式的系数为，第项的系数为负数，且其绝对值最大，所以系数最小的项为第项．故选ACD．
11.【答案】BC 解：对于选项A，，选项A错误；
对于选项B，选项B正确；
对于选项C，，选项C正确；
对于选项D，，选项D错误．故选BC．
12.AD 解：令，
则当在上单调递减，
函数的图象关于直线对称，不妨令，则为偶函数，
故，即为上的偶函数，
故，故A正确；
由知，，故B错误；
同理可得，，故D正确；
，故C错误；
综上所述，以上四个不等式成立的为．故选AD．
填空题（每小题5分，共20分）
13 【答案】 14 【答案】 15【答案】
16答案
13.【答案】
解：注：
．故答案为．
14.【答案】 解：设收到“”，发出“”，
由贝叶斯公式可得：故答案为
15.【答案】
解：由得，
所以数列是以3为公比的等比数列，其中首项，
所以，所以，
所以，
故答案为：.
16.答案 解： 设，由
当时，即，所以在是上单调递增.
为奇函数，则为偶函数，在是上单调递减
,即（）
设，当时，，即
由，为奇函数，则，所以
由在是上单调递增，，所以，即，所以
当时，，即
由，则，根据在是上单调递减
所以当时，则，即，所以
综上所述：不等式的解集是：
解答题（17题10分，其它每小题12分，共70分）
17.解：（1）由题意得：，①,当时，.②，①－②得.
∵，∴，当时，，，
∴是以1为首项，2为公差的等差数列，∴.…………5分
（2），
设， …………7分
.……………………10分
18.解：(1) x +y=0；(2) 的极大值为，极小值为.
.(1)由得，，
过点(0,0)，斜率为-1的直线为y=-x，
所以函数在处的切线方程为x +y=0；…………5分
(2)由(1)知，＝0时，，
或时，时，，…………9分
所以x=-1时，取得极大值，x=ln2时，取得极小值，
故的极大值为，极小值为.……………………12分
19.解：（1）抛物线C：的焦点为F，．
又过点的动直线l与抛物线C交于A，B两点，
当F在l上时直线l的斜率为．，解得．
故抛物线的方程为；……………4分
（2）证明：设，，，直线l的方程为．
由，得，
，． …………6分
，，
，，
故，化简得．……………9分
又，整理得，
即，则或．…………………11分
当点D在定直线上时，直线l与抛物线C只有一个交点，与题意不符．
故点D在定直线上．…………………………12分
20.解：平面ABCD，平面ABCD，，
底面ABCD为菱形，，
又，AC，平面PAC，平面PAC，
平面BPD，平面平面 ……………4分
，设菱形ABCD的边长为a，
则，
则，取BC中点M，连接AM，结合题意得，
平面ABCD，AM、AD在平面ABCD内，，，
，AD，AP两两互相垂直， ……………6分
以A为坐标原点，分别以AM，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，
设平面AEC的法向量为，则，
取，得，易知平面ADE的一个法向量，
设二面角的平面角为，由图可知，
则，……………………11分
二面角的余弦值为 ……………………12分
21.解：（1）∵，∴．
∴＝xex+2ex，∴，．
∴，所以切线方程是；……………4分
（2）∵
①若时，．
当时，，当时，
所以在上为减函数，在上为增函数；……………6分
②若时，，
当或，，当时，，
∴在，上为增函数，在上为减函数；………8分
③若时，，成立，所以在上为单调递增的；…9分
④若时，，
当或时，，当时，，
∴在，上为增函数，在上为减函数．…………11分
综上：①若时，在（﹣∞，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数；
②若时， y＝f（x） 在，上为增函数，在上为减函数；
③若时，在上为单调递增的；
④若时，在上为增函数，在上为减函数．
…………………………12分
22.解：(1)时，，则，两式相减得，
而，则，又，所以，故
所以是首项和公差都为1的等差数列，故；……………3分
(2)由(1)知，，
，
，
；…………………………7分
(3)因为，
所以当时，，……………9分
时，，
所以时，，，即有，而
从而.…………………………12分
