第十六章：二次根式练习题（含解析）2021-2022学年江西省八年级下学期人教版数学期末试题选编

第十六章：二次根式 练习题
一、单选题
1．（2022春·江西赣州·八年级统考期末）已知是整数，a是正整数，a的最小值是（ ）
A．0 B．3 C．6 D．24
2．（2022春·江西上饶·八年级统考期末）若代数式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是( )
A． B．且 C． D．且
3．（2022春·江西赣州·八年级统考期末）计算的结果是（ ）
A． B．3 C． D．9
4．（2022秋·江西吉安·八年级统考期末）下列式子是最简二次根式的是(　　)
A． B． C． D．
二、填空题
5．（2022春·江西赣州·八年级统考期末）的化简结果为______．
6．（2022春·江西宜春·八年级统考期末）观察分析下列数据，寻找规律：0，，，3，，…，那么第9个数据是_______．
7．（2022春·江西赣州·八年级统考期末）若最简二次根式是同类二次根式，则m－n＝________．
8．（2022春·江西上饶·八年级统考期末）计算：______．
9．（2022春·江西赣州·八年级统考期末）已知实数、满足，则的值为______．
10．（2022春·江西赣州·八年级统考期末）比较大小：-3________-2
三、解答题
11．（2022春·江西上饶·八年级统考期末）观察下列各式及其验证过程：
，验证：；
，验证：．
(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果，并进行验证．
(2)写出用（为任意自然数，且）表示的等式反映上述各式的规律，并给出证明．
12．（2022春·江西新余·八年级统考期末）阅读下列解题过程：
例：若代数式，求a的取值．
解：原式，
当时，原式，解得（舍去）；
当时，原式，等式恒成立；
当时，原式，解得；
所以，a的取值范围是．
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：
(1)当时，化简：；
(2)若，求a的取值；
(3)请直接写出满足的a的取值范围________．
13．（2022春·江西景德镇·八年级统考期末）分式的计算先化简，再求值：，其中．
14．（2022春·江西赣州·八年级统考期末）计算：；
15．（2022春·江西新余·八年级统考期末）计算：
(1)
(2)
16．（2022春·江西赣州·八年级统考期末）阅读并完成下面问题：
①；
②；
③．
试求：
(1)下列各数中，与的积是有理数的是______．
A.；B．2；C．；D．
(2)的倒数为______．
(3)若，求的值．
17．（2022春·江西上饶·八年级统考期末）计算：
(1)
(2)
18．（2022春·江西吉安·八年级统考期末）先化简，再求值，其中．
19．（2022春·江西赣州·八年级校考期末）先化简，再求值：，其中x＝+2．
20．（2022春·江西上饶·八年级统考期末）先化简，再求值：（m﹣）（m+）﹣m（m﹣6），其中m＝．
21．（2022春·江西赣州·八年级统考期末）小明家装修，电视背景墙长BC为m，宽AB为m，中间要接一个长为m，宽为m的大理石图案（图中阴影部分），除去大理石图案部分，其他部分贴壁布，求壁布的面积．（结果化为最简二次根式）
参考答案：
1．C
【分析】因为是整数，且，则6a是完全平方数，满足条件的最小正整数a为6．
【详解】解：∵，且是整数，
∴是整数，即6a是完全平方数；
∴a的最小正整数值为6．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次根式，把24分解成平方数与另一个因数相乘的形式是解题的关键．
2．D
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件，被开方数大于等于0，分母不等于0，可得；x+3≥0，x-1≠0，解不等式就可以求解．
【详解】∵代数式在有意义，
∴x+3≥0，x-1≠0，
解得：x≥-3且x≠1，
故选D．
【点睛】本题主要考查了分式和二次根式有意义的条件，关键是掌握：①分式有意义，分母不为0；②二次根式的被开方数是非负数．
3．B
【分析】直接根据二次根式的性质求解即可．
【详解】解：，
故选B．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握是解答此题的关键．
4．D
【分析】根据最简二次根式的概念依次对各选项进行判断即可．
【详解】解：A．被开方数有分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B．|a+1|，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C．2，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D．是最简二次根式，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，关键是掌握最简二次根式的条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
5．
【分析】将被开方数的分子分母同乘以5，再化简即可得．
【详解】解：原式，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简方法是解题关键．
6．
【分析】通过观察可知，规律是根号下的被开方数依次是：所以第9个数据应是
【详解】解：∵0，，，3，，…，
以此类推，第n个数为
∴第9个数据是
故答案为：
【点睛】主要考查了学生的分析，总结，归纳能力，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律，还考查了二次根式的性质．
7．0
【分析】根据同类二次根式的被开方数相同，根指数相同，然后联立二元一次方程组，解出即可得出m－n的值．
【详解】解：∵最简二次根式是同类二次根式，
∴可得：，
解得：，
∴．
故答案为：0
【点睛】本题考查了同类二次根式的概念，解本题的关键在熟练掌握同类二次根式的概念．同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
8．
【分析】先化简 ，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题考查的是二次根式的加减运算，掌握“二次根式的加减运算的运算法则”是解本题的关键．
9．
【分析】由绝对值与算术平方根的非负性可得：且 再把求解得到的的值代入，分母有理化后可得答案.
【详解】解： ，
且
故答案为：
【点睛】本题考查的是绝对值与算术平方根的非负性，二次根式的除法运算，熟悉分母有理化是解题的关键.
10．
【分析】根据二次根式的大小比较进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次根式的大小比较，熟练掌握二次根式的大小比较的方法是解题的关键．
11．(1)猜想：，验证见解析．
(2)（为任意自然数，且），证明见解析．
【分析】根据题中所给的式子进行验证即可．
根据题中式子的验证过程找出规律即可．
【详解】（1）猜想：，
验证：
（2）（为任意自然数，且），证明如下：
（为任意自然数，且）．
【点睛】本题是一个找规律的题目，主要考查了二次根式的性质与化简，观察时，既要注意等式的左右两边的关系，还要注意右边必须是一种特殊形式．
12．(1)4
(2)-2或4
(3)
【分析】（1）利用二次根式的非负性即可得到原式，再根据a的取值范围去绝对值即可求解．
（2）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求解．
（3）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求解．
(1)
解：原式，
∵，
∴原式．
(2)
原式，
当时，原式，
解得，
当时，原式（舍去），
当时，原式，
解得，
∴的值为-2或4．
(3)
由题意得：
，
当时，原式，
解得，
当，原式，等式恒成立，
当时，原式，
解得（舍去），
综上所述：a的取值范围为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简、化简绝对值，熟练掌握二次根式的性质及绝对值的意义，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
13．，
【分析】先将小括号内的式子进行通分计算，然后算括号外面的除法，最后代入求值．
【详解】解：原式
，
当时，
原式
．
【点睛】本题考查分式的化简求值，平方差公式，理解二次根式的性质，解题的关键是掌握分式混合运算的运算顺序（先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的）和计算法则．
14．
【分析】首先把每一个二次根式都化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可求得结果．
【详解】解：

【点睛】本题考查了根据二次根式的性质化简，二次根式的加减运算，熟练掌握和运用根据二次根式的性质化简是解决本题的关键．
15．(1)
(2)9
【分析】（1）先根据二次根式、绝对值和零次幂的性质化简，再进行计算即可；
（2）利用完全平方公式、二次根式的性质和二次根式的乘法运算法则计算即可．
(1)
解：原式；
(2)
原式．
【点睛】本题考了实数的混合运算，二次根式的混合运算，掌握二次根式、绝对值、零次幂的性质以及完全平方公式是解题的关键．
16．(1)A
(2)
(3)1
【分析】（1）阅读题干可以发现规律：与的积为有理数，由此可直接判断；
（2）利用倒数的定义，以及从题干中发现的规律，将分母有理化即可；
（3），代入求解即可．
（1）
解：阅读题干可以发现：与的积为有理数，
，
故选A；
（2）
解：的倒数，
故答案为：；
（3）
解：∵，
．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握分母有理化和平方差公式是解决问题的关键．
17．(1)
(2)
【分析】（1）先把各二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可．
（2）用完全平方公式计算
（1）
原式
（2）
原式
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
18．，
【分析】先根据分式混合运算法则进行计算，然后再代入数据进行计算即可．
【详解】解：
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简计算，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键．
19．，1+2
【详解】先化简，再代入求解．
【解答】解：原式＝
＝，
当x＝+2时，
原式＝＝1+2．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，二次根式的运算，分解因式是分式乘法运算的关键．
20．6m﹣3，6﹣3
【分析】直接利用平方差公式以及单项式乘以多项式运算法则，再将的值代入即可得出答案．
【详解】解：原式＝m2﹣3﹣（m2﹣6m）
＝m2﹣3﹣m2+6m
＝6m﹣3，
当m＝时，
原式＝6﹣3．
【点睛】本题考查了平方差公式以及单项式乘以多项式运算法则，二次根式的混合运算，掌握以上知识点是解题的关键．
21． m2
【分析】利用二次根式的乘法运算法则以及二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【详解】解：由题意可得：
=
=
∴壁布的面积为m2．
【点睛】此题主要考查了二次根式的应用，正确掌握二次根式的混合运算法则是解题关键．