2022-2023学年八年级数学下册12.2 二次根式的乘除（课件） 同步精品课堂（苏科版）(共46张PPT)

(共46张PPT)
12.2二次根式的乘除
第12章 二次根式
教师
xxx
苏科版 八年级下册
二次根式的乘、除法法则
最简二次根式
二次根式乘除法法则的逆用
二次根式乘除的混合运算
01
03
02
04
CONTANTS
目 录
05
二次根式乘除的应用
二次根式的乘、除法法则
01
学校教学楼后有一长方形花坛（长、宽如图所示，单位：m），现在学校根据需要，想把它改建为草坪．若全部铺满，需购买多少平方米的草皮？
情景引入
比较左右两边的等式，你有什么发现
6
6
20
20
30
30
1.计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律
(1)
(2)
(3)
新知探究
2．用上题你所发现的规律填空:
＝
思考与交流：在前面所发现的规律表达式 · ＝ 中，a，b可否为任意实数？说明理由．
注意：式中a，b
都必须是非负数．
（1） × _____
；
（2） ×＝____________．
新知探究
这就是说，两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根．
二次根式的乘法法则
注意：被开方数 a，b 既可以是数，也可以是代数式，但都必须是非负的．
新知探究
例1 计算：
解：
提示：
两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即：
典型例题
1.思考：你能计算出 ？
解：
是最后的结果吗？还能怎么处理呢？
探究新知
比较左右两边的等式，你有什么发现
计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律
合作交流
1.独立思考，完成计算；
2.四人一组，讨论规律.
探究新知
计算下列各式：
对比乘法法则里字母的取值范围，除法法则里字母的取值范围有何变化
观察计算结果，你能发现什么规律
分母不为0
归纳
探究新知
(1) ___÷___=____;
= _____;
计算下列各式:
(2) ___÷___=____;
(3) ___÷___=____;
= _____;
= _____.
2
3
4
5
6
7
观察两者有什么关系？
探究新知
这就是说，两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根．
二次根式的除法法则
探究新知
　　（2）二次根式的运算结果要尽量化到最简；
　　（3）如果被开方数是带分数，应先将它化成假分数，以免出现类似
这样的错误；
　　（4）如果是几个二次根式相除，应按除法法则依次计算，也可以把除法　
运算转化为乘法运算来计算．
易错警示：
　　（1）在 中，特别注意 b＞0，若b＝0，则无意义；
探究新知
例题2 计算：
典型例题
解:
提示：类似(2)中被开方数中含有带分数，应先将带分数化成
假分数，再运用二次根式除法法则进行运算.
例题3 计算:
（1） ;
（2） .
（1） ;
（2）
典型例题
积与商的算术平方根的性质
02
反过来，根据二次根式的乘法法则可得
我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简．
这就是说，积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．
新知探究
例4 化简：
解：
典型例题
我们知道，把二次根式的乘法法则反过来就得到积的算术平方根的性质．
类似地，把二次根式的除法法则反过来，就得到
商的算术平方根，等于被除式的算术平方根与除式的算术平方根的商．
二次根式的商的算术平方根
探究新知
注意：
　　（1）商的算术平方根的实质是逆用二次根式的除法．
　　（2）应用商的算术平方根的前提条件是商中被除式是非负数，
除式是正数．
　　（3）商的算术平方根的性质的作用是化简二次根式，将分母中
的根号化去．
探究新知
解:
补充解法：
例题5 化简:
（1） ;
（2） ;
（1）
（2）
还有其它解法吗
典型例题
解：
提示：像（5）可以先用商的算术平方根的性质，再运用积的算术平方根性质.
（3） ;
（4） ;
（5） .
（3）
（4）
（5）
典型例题
最简二次根式
03
观察上面各数并思考：
（1）这些数能否再化简？ （2）这些数有什么共同特点？
，，
可以发现这些数不能再化简，这些数有两个特点：
（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
一个二次根式满足什么条件就可以说它是最简二次根式了？
探究新知
提醒：最简二次根式必须满足：
（1）被开方数不含分母，也就是被开方数必须是整数（或整式）；
（2）被开方数中每个因数（或因式）的幂的指数都小于2，即每个因数
（或因式）的指数都是1．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
最简二次根式
探究新知
解：（1）
（2）
　　例题6　将下列各式化为最简二次根式：　
（1） （2） （3） 　
．
（3）
．
典型例题
解:
总结：分母形如 的式子，分子、分母同乘以 可使
分母不含根号.
例题7 化简:
(1) ;
(2) ;
(3) .
（2）
（3）
（1）
典型例题
解：
针对练习
化成最简二次根式的一般方法:
(1)将被开方数中能开得尽方的因数或者因式进行开方,
如 ;
(2)若被开方数中含有带分数,应先将带分数化成假分数,再去分母,并将能开得尽方的因数或者因式进行开方,如
;
(3)若被开方数中含有小数,应先将小数化成分数后再进行化简,如 .
探究新知
二次根式乘除的混合运算
04
二次根式的乘除混合运算
1．进行二次根式的乘除混合运算时，有括号的先算括号内的，没有括号的按
照从左到右的顺序进行．
2．两个二次根式相乘除，根号前的系数对应相乘除，根号内的被开方数对应
相乘除．
探究新知
例题8 计算： ．
分析：先把被开方数中的带分数化为假分数，再根据运算法则，按照运算顺
序进行计算．
解：
＝
．
探究新知
二次根式的乘除混合运算中的四点注意：
（1）带分数要化成假分数；
（2）要注意确定最后结果的符号；
（3）最后结果一般要化为最简二次根式或整式；
（4）在二次根式的乘除混合运算中，有理数的运算法则同样适用．
探究新知
二次根式乘除法的应用
05
例题9. 一个长方形的长和宽分别是 和2 .求这个长方形的面积.
解：长方形的面积
答：这个长方形的面积为4
典型例题
例题10.高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”．据报道：一个30g的鸡蛋从18楼抛下来就可以砸破行人的头骨，从25楼抛下可以使人当场死亡．据研究从高空抛物时间t和高度h近似的满足公式 .从100米高空抛物到落地所需时间t2是从50米高空抛物到落地所需时间t1的多少倍？
解:由题意得
探究新知
1.化简 的结果是（　　）
A．9 B．3 C． D．
B
2.下列根式中，最简二次根式是（　　）
A. B. C. D.
C
课堂练习
3． 计算：
（1）；（2）；（3）×()．
解：（1）．
（2）9．
（3） ×()．
课堂练习
4． 计算：
（1）；（2）；（3）．
解：（1）．
（2） ．
（3）．
课堂练习
5．计算：
（1）；（2）；（3） ．
解：（1）
（2）．
（3） ．
课堂练习
6．计算：
（1） ；（2）．
解： （1）
（2）．
课堂练习
7.计算：
（1）（2）；（3）．
分析：可直接利用 计算，也可先将分子化简再计算．
解：（1）方法1： ．
方法2：．
（3）
．
解：（2）．
1.二次根式的乘、除法法则；
2.二次根式乘除法法则的逆用（积与商的算术平方根的性质）；
3.最简二次根式；
4.二次根式乘除的混合运算；
5.二次根式乘除的应用。
课堂小结
感谢观看