江西省百校联盟2023届高三下学期4月信息卷（四）——数学（理）试题（含解析）

江西省百校联盟2023届高三下学期4月信息卷（四）——数学（理）试题
一、单选题
1．集合且，，，且，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知平面向量，，若，则实数的值为（ ）
A．10 B．8 C．5 D．3
3．在一些比赛中，对评委打分的处理方法一般是去掉一个最高分，去掉一个最低分，然后计算余下评分的均值作为参赛者的得分．在一次有9位评委参加的赛事中，评委对一名参赛者所打的9个分数，去掉一个最高分，去掉一个最低分后，一定不变的数字特征为（ ）
A．平均值 B．中位数 C．众数 D．方差
4．设，下列四个命题中真命题的是（ ）
A．“若，则” 的否命题 B．“若，则” 的逆否命题
C．若，则且 D．“若，则”的逆命题
5．已知命题：，使得；命题：，，则下列命题为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
6．昆虫信息素是昆虫用来表示聚集、觅食、交配、警戒等信息的化学物质，是昆虫之间起化学通讯作用的化合物，是昆虫交流的化学分子语言，包括利它素、利己素、协同素、集合信息素、追踪信息素、告警信息素、疏散信息素、性信息素等．人工合成的昆虫信息素在生产中有较多的应用，尤其在农业生产中的病虫害的预报和防治中较多使用．研究发现，某昆虫释放信息素t秒后，在距释放处x米的地方测得的信息素浓度y满足，其中k，a为非零常数．已知释放信息素1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为m；若释放信息素4秒后，距释放处b米的位置，信息素浓度为，则b＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．曲线和所围成的平面图形绕x轴旋转一周后，所形成的旋转体的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知为椭圆的右焦点，点为C内一点，若在C上存在一点P，使得，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．在中，三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，．当B取最小值时，的面积为（ ）
A． B．1 C． D．
10．已知函数，则在上的零点个数是（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
11．设双曲线与幂函数的图象相交于，且过双曲线的左焦点的直线与函数的图象相切于，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
12．已知，，且，则的最小值为（ ）
A．10 B．9 C． D．
二、填空题
13．已知函数（且），曲线在处的切线与直线垂直，则___．
14．的展开式中，的系数为___________．
15．某人在C点测得某直塔在南偏西，塔顶A的仰角为，此人沿南偏东方向前进到D，测得塔顶A的仰角为，D，C与塔底O在同一水平面上，则塔高为______________．
16．已知函数为奇函数，且对定义域内的任意x都有．当时，．给出以下4个结论：
①函数的图象关于点成中心对称；
②函数是以2为周期的周期函数；
③当时，；
④函数在上单调递减．
其中所有正确结论的序号为______．
三、解答题
17．已知数列满足，.
(1)证明：是等比数列；
(2)设，证明.
18．如图，已知菱形中，，点为边的中点，沿将折起，得到且二面角的大小为，点在棱上，平面.
(1)求的值；
(2)求二面角的余弦值.
19．公元1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫向另一位著名的数学家帕斯卡提请了一个问题，帕斯卡和费马讨论了这个问题，后来惠更斯也加入了讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答该问题如下：设两名赌徒约定谁先赢局，谁便赢得全部赌注元.每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局赌博相互独立.在甲赢了局，乙赢了局时，赌博意外终止赌注该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢局则赌博意外终止的情况，甲、乙便按照赌博再继续进行下去各自赢得全部赌注的概率之比分配赌注.
（1）甲、乙赌博意外终止，若，则甲应分得多少赌注？
（2）记事件为“赌博继续进行下去乙赢得全部赌注”，试求当时赌博继续进行下去甲赢得全部赌注的概率，并判断当时，事件是否为小概率事件，并说明理由.规定：若随机事件发生的概率小于0.05，则称该随机事件为小概率事件.
20．设椭圆的方程为，点为坐标原点，点、的坐标分别为、，点在线段上，满足，直线的斜率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若动直线与椭圆交于、两点，且恒有，是否存在一个以原点为圆心的定圆，使得动直线始终与定圆相切？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由.
21．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若，证明：对于任意，恒成立.（参考数据：）
22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
(1)写出直线的直角坐标方程；
(2)若直线与曲线有公共点，求实数的取值范围.
23．已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】根据已知条件利用Venn图进行求解即可．
【详解】作出Venn图如图所示，
则，．
故选：C．
2．A
【分析】由，得，将坐标代入化简计算可得答案
【详解】因为，，
所以.
因为，
所以，解得.
故选：A.
3．B
【分析】根据中位数，平均数，众数和方差得定义进行判断，并举出反例.
【详解】一共9个数据，从小到大排列后分别为，则为中位数，
去掉最高分和最低分后，一共有7个数据，选取第4个数据，即仍然为中位数，故中位数一定不变，
其余数据可能改变，不妨设9个分数为，
平均数为，众数为3和5，
方差为，
去掉最高分10和最低分3后，平均数为，众数为5，
方差为，
平均值，众数和方差均发生变化.
故选：B．
4．D
【分析】对于AB，举例判断，对于C，直接解方程，对于D，由不等式的性质判断
【详解】对于A，命题“若，则”的否命题为““若，则”，若，则，所以A错误，
对于B，命题“若，则” 的逆否命题为“若，则” ，若，则，所以B错误，
对于C，若，则或，所以C错误，
对于D，“若，则”的逆命题为“若，则”，因为，所以，所以，所以D正确，
故选：D
5．B
【分析】先判断出命题，的真假，再依次判断即可.
【详解】对于命题，因为，故命题为假命题，
对于命题，令，则，所以在单调递增，所以，即，，故命题为真命题，
则为假命题，故A错误；为真命题，故B正确；
因为为假命题，所以为假命题，为假命题，故CD错误.
故选：B.
6．B
【分析】根据已知的浓度解析式，代入变量，结合对数的运算，化简求值.
【详解】由题意，，
所以），
即．又，所以．
因为，所以．
故选：B．
7．A
【解析】欲求曲线和所围成的平面图形绕x轴旋转一周后，所形成的旋转体的体积，可利用定积分计算，即求出被积函数在上的积分即可.
【详解】设旋转体的体积为，
则.
故选：A
8．D
【分析】利用椭圆的定义，结合点A在椭圆内的条件，列出不等式组求解作答.
【详解】依题意，，设C的左焦点为，则，
因为，且，则，即，
于是，解得，而，点为椭圆C内一点，
即有，，整理得，又，解得，
所以a的取值范围是.
故选：D
9．C
【分析】由正弦边角关系、三角形内角性质、正切和角公式可得，即A，C为锐角，利用基本不等式得B最小时最小值，即知为等腰三角形，应用三角形面积公式求面积即可.
【详解】由正弦定理得，即，
∴，即．
∵，∴，故A，C为锐角．
又，仅当时等号成立，
所以三角形内角B最小时，取最小值，此时，
所以为等腰三角形，，，
∴.
故选：C
10．B
【分析】先证明函数为周期函数，再利用导数研究函数在一个周期内的零点个数，由此可得结论.
【详解】因为，
所以函数是周期为的周期函数，
又，
当时，令，
可得或或
当时，，当且仅当时，
函数在上单调递增，
因为，，所以函数在存在一个零点；
当时，，当且仅当时，，
所以函数在上单调递减，
因为，，
所以函数在存在一个零点；
当时，，所以函数在上单调递增，
因为，，
所以函数在不存在零点；
所以当时，函数有两个零点，且零点位于区间内，
所以在上共有个零点.
故选：B.
【点睛】对于具有周期性的函数的性质的研究一般先确定函数的周期，再研究函数在一个周期性质，由此解决问题.
11．B
【分析】设直线方程为，联立，利用判别式可得，进而可求，再结合双曲线的定义可求，即得.
【详解】可设直线方程为，联立，得，
由题意得,
∴，，
∴，即，
由双曲线定义得，
.
故选：B.
12．C
【分析】由已知，可设，，利用换底公式表示出，带入中，得到m，n的等量关系，然后利用“1”的代换借助基本不等式即可求解最值.
【详解】由已知，令，，
所以，，代入得：，
因为，，
所以
.
当且仅当时，即时等号成立.
的最小值为.
故选：C.
13．
【分析】求出，分析可得，即可求得的值.
【详解】因为（且），则，
因为直线的斜率为，
又因为曲线在处的切线与直线垂直，
所以，，解得.
故答案为：.
14．145
【分析】根据题意得到，再求得展开式的通项，分别求，，，再利用多项式乘法即可得到的系数．
【详解】由，
其中展开式的通项，
令，得；
令，得；
令，得，
所以的展开式中，的系数为．
故答案为：145．
15．
【分析】作出图形，设出塔高，表达出，，在中，使用余弦定理求出，得到答案.
【详解】由题意作出图形，如下图所示，设塔高为，在中，，
则，在中，，则，
在中，，
由余弦定理得，
即，
整理得，解得或（舍去）．
故答案为：10m.
16．①②③
【分析】由题意，作出函数的图象，再根据图形变换，即可判断各结论的真假．
【详解】由题知为奇函数，其图象关于原点中心对称，又对定义域内的任意x都有，所以其图象还关于点对称，
据此可判断函数为周期函数，2是函数的周期．
又当时，，画出函数图象可知①②正确，④错误．
当时，，所以，又因为函数是以2为周期的奇函数，所以，所以，所以③也正确．
故答案为：①②③．
17．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由已知可得出，结合等比数列的定义可证得结论成立；
（2）计算得出，利用裂项相消法可证得结论成立.
(1)
证明：因为，，则，，，
以此类推可知，对任意的，，
由已知得，即，
所以，，且，
是首项为，公比为的等比数列.
(2)
证明：由（1）知，，，
，
.
18．(1)
(2)
【分析】（1）首先通过面面平行的性质证明，则，再利用三角形相似即可得到答案；
（2）利用二面角定义得到，建立合适的空间直角坐标系，写出相关点坐标，求出平面和平面的法向量，利用空间向量法求出二面角余弦值即可.
【详解】（1）连接，设，连接，
取中点点，分别连接,,
则，平面，平面，则平面，
又因为平面，且，平面，
所以平面平面，
又因为平面与平面平面相交，则交线，故，
因为为中点，且底面为菱形，故，
又在菱形中，，所以，
所以.
（2）因为，，所以三角形为等边三角形，
所以，而根据折叠过程可知，
且平面平面，平面，，
因此是二面角的平面角，则，
如图，以点为原点，所在直线为轴，轴，建立空间直角坐标系.依据题意，
从而
设平面的法向量，
由得到，
由得到.
令
设平面的法向量，
由得到，
由得到.
令.
因此，
所以，所求二面角的余弦值是.
19．（1）216元；（2），是，理由见解析.
【分析】(1)设赌博再进行X局甲赢得全部赌注，甲必赢最后一局，最多再进行4局，甲、乙必有人赢得全部赌注，由此利用概率计算公式即可得解；
(2)设赌博再进行Y局乙赢得全部赌注，同(1)的方法求出乙赢得全部赌注的概率，由对立事件可得，再利用导数求出的最小值作答.
【详解】（1）设赌博再继续进行局甲赢得全部赌注，则最后一局必然甲赢，由题意知，最多再进行4局，甲、乙必然有人赢得全部赌注，
当时，甲以赢，所以，
当时，甲以赢，所以，
当时，甲以赢，所以，
于是得甲赢得全部赌注的概率为，
所以，甲应分得的赌注为元.
（2）设赌博继续进行Y局乙赢得全部赌注，则最后一局必然乙赢，
当时，乙以赢，，
当时，乙以赢，，
从而得乙赢得全部赌注的概率为，
于是甲赢得全部赌注的概率，
对求导得，
因，即，从而有在上单调递增，
于是得，乙赢的概率最大值为，
所以事件是小概率事件.
20．(1)
(2)存在，且圆的方程为
【分析】（1）设点的坐标，根据已知条件求出点的坐标，根据可求得的值，进而可得出椭圆的方程；
（2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，当直线斜率不存在时，设直线的方程为，求出的值，可得出求出原点到直线的距离；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由可求得原点到直线的距离.综合可得出定圆的方程.
【详解】（1）解：设点的坐标，点在线段上，满足，
，，故，，
因为，，解得：，∴椭圆的方程.
（2）解：当直线斜率不存在时，设直线的方程为，
所以，，此时原点到直线的距离为；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
设点、，原点到直线的距离为，所以，
整理得，
由可得，
，
由韦达定理可得，，
，
，
所以，，
所以，所以.
综上所述，定圆的方程是
所以当时，存在定圆始终与直线相切，且定圆的方程是.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
21．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求定义域，求导后，分与两种情况分类讨论，得到函数单调性；
（2）放缩后即证对一切恒成立，构造，求导后得到其单调性和极值，最值情况，结合，得到，所以，证明出结论.
【详解】（1）由题意可得定义域为R，.
当时，，则在R上单调递增；
当时，由，得，由，得，
则在上单调递减，在上单调递增.
综上：当时，在R上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）证明:因为，且，所以，故，
则要证对于任意恒成立，
即证对于任意恒成立，
即证对于任意恒成立，
即证对一切恒成立.
设，则.
当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减.
故在处取得极大值，也是最大值，
故.
因为，所以，即，所以，
则.故对一切恒成立，
即对一切恒成立.
【点睛】含参不等式的证明，若根据参数范围进行适当放缩，消去参数，这样可以简化不等式结构，便于构造函数进行研究，放缩消参是处理含参不等式的常规技巧，值得学习体会，常用放缩方法有切线放缩，也可结合题干中参数取值范围进行放缩.
22．(1)
(2)
【分析】（1）由极坐标与直角坐标的转化公式即可求出直线的直角坐标方程；
（2）将曲线的参数方程代入，则，直线与曲线有公共点，转化为与的图象有交点，求出的值域即可得出答案.
【详解】（1）由，
得.
由得.
（2）因为曲线的参数方程为（为参数），
将其代入直线，得，
所以，所以，即.
23．(1)；
(2).
【分析】（1）根据题意分类讨论去绝对值解不等式；
（2）根据绝对值三角不等式求的最小值，再结合恒成立问题解不等式即得.
【详解】（1）由于，
当时，，解得，此时；
当时，，解得，此时；
当时，，解得，此时．
综上：的解集为；
（2），
当且仅当时等号成立，
，即，
解得，
的取值范围是．
答案第1页，共2页
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