2023届考前小题专攻 专题六 解析几何 第二讲 圆锥曲线的方程与性质 课件（共42张PPT）

(共42张PPT)
第二讲　圆锥曲线的方程与性质
微专题1
微专题2
微专题3
微专题1
常考常用结论
1．椭圆的定义与方程：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)；
焦点在x轴上：＝1(a>b>0)，
焦点在y轴上：＝1(a>b>0)．
2．双曲线的定义与方程：||MF1|－|MF2||＝2a(2a<|F1F2|)；
焦点在x轴上：＝1(a>0，b>0)，
焦点在y轴上：＝1(a>0，b>0)．
3．抛物线定义与方程：|MF|＝d(d为M点到准线的距离)
y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p>0)．
保分题
1.[2022·山东济南三模]“0A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：C
解析：方程＝1表示的曲线为双曲线，则a(2a－1)＜0，解得0＜a＜，
故“02．[2022·全国乙卷]设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3，0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|＝(　　)
A．2 B．2
C．3 D．3
答案：B
解析：由已知条件，易知抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.又B(3，0)，则|AF|＝|BF|＝2.不妨设点A在第一象限，则A(x0，2)．根据抛物线的定义可知x0－(－1)＝2，所以x0＝1，所以A(1，2)，所以|AB|＝＝2.故选B.
3．[2022·湖南湘潭三模]椭圆E：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l与E交于A，B两点，若△ABF2的周长为12，则E的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
答案：A
解析：因为△ABF2的周长为12，根据椭圆的定义可得4a＝12，解得a＝3，
则c2＝a2－a－2＝4，所以c＝2，则椭圆E的离心率为e＝＝.
提分题
例1 (1)[2022·山东济南历城二中模拟]设F1，F2分别是双曲线＝1的左、右焦点，P是该双曲线上的一点，且3|PF1|＝5|PF2|，则△PF1F2的面积等于(　　)
A．14 B．7
C．15 D．5
答案：C
解析：设|PF1|＝5x，|PF2|＝3x，则由双曲线的定义可得：|PF1|－|PF2|＝5x－3x＝2x＝2a＝4，所以x＝2，故|PF1|＝10，|PF2|＝6，又|F1F2|＝14，故cos ∠F1PF2＝＝－，故sin ∠F1PF2＝，所以△PF1F2的面积为×10×6×＝15.
(2)[2022·河北石家庄二模]已知，点P是抛物线C：y2＝4x上的动点，过点P向y轴作垂线，垂足记为点N，点M(3，4)，则|PM|＋|PN|的最小值是(　　)
A．2－1 B．－1
C．＋1 D．2＋1
答案：A
解析：由抛物线C：y2＝4x知，焦点F(1，0)，准线方程为x＝－1，
过点P作抛物线准线的垂线，垂足为Q，如图，
由抛物线定义知|PN|＋|PM|＝|PQ|－1＋|PM|＝|PF|＋|PM|－1，
当F，P，M三点共线时，|PM|＋|PN|最小值为|MF|－1＝－1＝2－1.
技法领悟
1．关于圆锥曲线定义的应用：对于椭圆、双曲线如果涉及曲线上的点与焦点的距离，一般要利用定义进行转化．对应抛物线涉及曲线上的点到焦点的距离、到准线的距离时需要相互转化．
2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”：所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值．
巩固训练1
1.已知F1，F2为椭圆C：＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________．
解析：因为P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，
且|PQ|＝|F1F2|，所以四边形PF1QF2为矩形，
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝8，m2＋n2＝48，
所以64＝(m＋n)2＝m2＋2mn＋n2＝48＋2mn,
mn＝8，即四边形PF1QF2面积等于8.
8
2．[2022·湖南岳阳一模]已知抛物线y＝x2的焦点为F，P为抛物线上一动点，点Q(1，1)，当△PQF的周长最小时，点P的坐标为________．
(1，)
解析：如图，设l：y＝－1是抛物线的准线，过P作PH⊥l于H，作QN⊥l于N，
则|PF|＝|PH|，F(0，1)，|FQ|＝1，
|PF|＋|PQ|＝|PQ|＋|PH|，易知当Q，P，H三点共线时，|PQ|＋|PH|最小，且最小值为1＋1＝2，
所以△PQF的周长最小值为3，此时xP＝1，yP＝，
即P(1，)．
微专题2
常考常用结论
1．椭圆中，长轴是最长的弦，过焦点的所有弦长中，垂直长轴的弦长最短，最短为.距焦点最短的点是相应的对称轴同侧顶点．过双曲线的焦点作对称轴的垂线，与双曲线交于A，B两点，|AB|＝.过抛物线的焦点作对称轴的垂线，与抛物线交于A，B两点，|AB|＝2p.
2．双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.
双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.
3．椭圆、双曲线中，a，b，c之间的关系
(1)在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝＝；
(2)在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝＝.
4．抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F(，0)，准线方程x＝－；
抛物线x2＝2py(p>0)的焦点F(0，)，准线方程y＝－.
保分题
1.[2022·湖北武汉二模]若椭圆＋y2＝1(a>0)的离心率为，则a的值为(　　)
A． B．
C．或 D．或
答案：C
解析：当a2>1，即a>1时，则＝()2，解得a＝；
当a2<1，即0综上：a的值为或.
2．[2022·河北沧州二模]已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的离心率e是它的一条渐近线斜率的2倍，则e＝(　　)
A． B．
C． D．2
答案：A
解析：由题意得，解得＝，即e＝.
3．[2022·山东潍坊一模]抛物线C：x2＝4ay的焦点坐标为(0，2)，则C的准线方程为________．
y＝－2
解析：因为抛物线C：x2＝4ay的焦点坐标为(0，2)，
所以C的准线方程为y＝－2.
提分题
例2 (1)[2022·全国甲卷]椭圆C：＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
答案：A
解析：设P(x1，y1)，则点Q的坐标为(－x1，y1)．由题意，得点A(－a，0)．又直线AP，AQ的斜率之积为，所以·＝，即＝①.又点P在椭圆C上，所以＝1②.由①②，得＝，所以a2＝4b2，所以a2＝4(a2－c2)，所以椭圆C的离心率e＝＝.故选A.
(2)[2022·河北唐山一模](多选)已知直线l：x＝ty＋4与抛物线C：y2＝4x交于，y2)两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率分别记为k1，k2，则(　　)
A．y1·y2为定值 B．k1·k2为定值
C．y1＋y2为定值 D．k1＋k2＋t为定值
答案：ABD
解析：由得：y2－4ty－16＝0，则；
对于A，y1y2＝－16为定值，A正确；
对于B，k1·k2＝＝＝＝－1，B正确；
对于C，y1＋y2＝4t，不为定值，C错误；
对于D，k1＋k2＋t＝＋t＝＋t＝＋t＝＋t＝＋t＝－t＋t＝0，则k1＋k2＋t为定值，D正确．
技法领悟
1．理清圆锥曲线中a，b，c，e，p的关系是关键．
2．求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值．
巩固训练2
1.[2022·河北保定一模]已知双曲线＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，在右支上存在点P，Q，使得POQF为正方形(O为坐标原点)，设该双曲线离心率为e，则e2＝(　　)
A． B．3＋
C． D．9＋
答案：B
解析：由题意，当POQF为正方形时，点P的坐标为，
代入＝1(a>0，b>0)可得＝1，整理得b2c2－a2c2＝4a2b2，
即(c2－a2)c2－a2c2＝4a2(c2－a2)，整理得c4－6a2c2＋4a4＝0，
即e4－6e2＋4＝0，解得e2＝3＋.
2．已知椭圆C：＝1(m>0)的两个焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一点，且△PF1F2面积的最大值为，则椭圆C的短轴长为________．
2
解析：由椭圆的方程可知，椭圆的焦点F1，F2在y轴上，且|F1F2|＝2＝2，
由题意可知，当点P为椭圆C左右顶点时，△PF1F2的面积最大，且|F1F2|＝，解得m＝2，
所以椭圆C的短轴长为2＝2.
微专题3
保分题
1.[2022·山东淄博三模]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线被圆x2＋y2＝4所截得的弦长为2，则p＝(　　)
A．1 B．
C．2 D．4
答案：C
解析：由题，圆与抛物线都关于x轴对称，故所截得的弦AB与x轴垂直，圆心为原点，圆半径为2，则有＝22，yA＝，xA<0，解得xA＝－1，故－＝－1，得p＝2.
2．已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＝1有公共焦点．则C的方程为(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
答案：B
解析：因为双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则＝①.
又因为椭圆＝1与双曲线有公共焦点，
双曲线的焦距2c＝6，即c＝3，则a2＋b2＝c2＝9②.
由①②解得a＝2，b＝，则双曲线C的方程为＝1.
3．[2022·全国甲卷]若双曲线y2－＝1(m>0)的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝________．
解析：由题意，得双曲线的一条渐近线方程为y＝，即x－my＝0.圆的方程可化为x2＋(y－2)2＝1，故圆心坐标为(0，2)，半径r＝1.由渐近线与圆相切，结合点到直线的距离公式，得＝1，解得m＝±.又因为m＞0，所以m＝.
提分题
例3 (1)[2022·福建泉州模拟]已知椭圆C1：＝1(a>b>0)与圆C2：x2＋y2＝，若在椭圆C1上存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是(　　)
A．(0，) B．(0，)
C．[，1) D．[，1)
答案：D
解析：由题意，如图，
若在椭圆C1上存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则只需∠APB≤90°，即α＝∠APO≤45°，
sin α＝≤sin 45°＝，
即8b2≤5a2，因为a2＝b2＋c2，
解得：3a2≤8c2.
∴e2≥，即e≥，而0∴≤e<1，即e∈[，1)．
(2)[2022·湖北武汉模拟]已知F1，F2是双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线C的左支、右支分别交于A、B两点＝·＝·，则双曲线C的离心率为(　　)
A． B．2
C． D．3
答案：C
解析：＝·，则＝0，
即边BF2的中线与边BF2垂直，则||＝，
同理可知△ABF2为正三角形，|BF1|－|BF2|＝|BF1|－|BA|＝|AF1|＝2a，
∴|AF2|＝4a，取AB中点D，|F1D|＝4a，|F2D|＝2a，|F1F2|＝2c，
∵F2D⊥F1D，则(2c)2＝(4a)2＋(2a)2，整理得＝7，
∴e＝.
技法领悟
1．解决圆锥曲线之间、圆锥曲线与圆之间的综合问题时，关键是抓住两种曲线之间的联系，再结合其自身的几何性质解题．
2．圆锥曲线常与向量知识交汇考查，一般是利用圆锥曲线的几何性质转化条件，再利用其他的知识解题，或者是其他的知识点转化条件，再利用圆锥曲线的几何性质解题．
巩固训练3
1.[2022·山东威海三模]已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以原点O为顶点，F2为焦点的抛物线与双曲线C在第一象限的交点为P.若∠PF1F2＝45°，则C的离心率为(　　)
A． B．＋1
C． D．＋1
答案：B
解析：由题知F1(－c，0)，F2(c，0)，
则抛物线方程为：y2＝4cx，直线PF1方程为：y＝x＋c，
由 x2－2cx＋c2＝0 x＝c，∴P(c，2c)，∴PF2⊥x轴，∴|PF2|＝2c，|PF1|＝2c，
∴双曲线离心率e＝＝＝＝＝＝＋1.
2．[2022·全国甲卷]已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若＝－1，则C的方程为(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＋y2＝1
答案：B
解析：由椭圆C的离心率为，可得e＝＝＝.化简，得8a2＝9b2.易知A1(－a，0)，A2(a，0)，B(0，b)，所以＝(－a，－b)·(a，－b)＝－a2＋b2＝－1.联立得方程组解得所以C的方程为＝1.故选B.