8.1.2 样本相关系数 学案（含答案）

第八章 成对数据的统计分析
8.1 成对数据的统计相关性
8.1.2 样本相关系数
学案
一、学习目标
1.结合实例，了解样本相关系数的定义.
2.会通过相关系数比较变量的相关性.
2、 基础梳理
1.样本相关系数：对于变量x和变量y，设经过随机抽样获得的成对样本数据为，，…，，其中和的均值分别为和，则有，称r为变量x和变量y的样本相关系数.
2.样本相关系数与正、负相关的关系：样本相关系数r的正负性和绝对值的大小可以反映成对样本数据的变化特征：当时，称成对样本数据正相关；当时，称成对样本数据负相关.
3.样本相关系数与线性相关程度的关系：样本相关系数r的取值范围为. 当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.
三、巩固练习
1.对于样本相关系数r，下列说法中正确的是( )
A.r越大，线性相关程度越强
B.越小，线性相关程度越强
C.越大，线性相关程度越弱
D.，且越接近1，线性相关程度越强，越接近0，线性相关程度越弱
2.如图1,2分别表示样本容量均为7的A、B两组成对数据的散点图，已知A组成对数据的样本相关系数为，B组成对数据的样本相关系数为，则与的大小关系为( )
A. B. C. D.无法判断
3.变量X与Y相对应的一组数据为（10,1），（11.3，2），（11.8,3），（12.5,4），（13,5）；变量U与V相对应的组数据为（10,5），（11.3,4），（11.8,3），（12.5,2），（13,1）. 为变量Y与X之间的样本相关系数，为变量U与V之间的样本相关系数，则( )
A. B. C. D.
4.某同学将收集到的六组数据制成如图所示的散点图，并通过计算得到其经验回归直线的方程为，其样本相关系数为，决定系数为.经过残差分析确定点F为“离群点”（对应残差过大的点），把它去掉后，再利用剩下的五组数据计算得到其经验回归直线的方程为，其样本相关系数为，决定系数为.以下结论中不正确的是( )
A. B. C. D.
5.对于回归分析,下列说法错误的是( )
A.在回归分析中,变量间的关系若是非确定性关系,则因变量不能由自变量唯一确定
B.线性相关系数可以是正的也可以是负的
C.在回归分析中,如果,说明与之间完全线性相关
D.样本相关系数可以是任意实数
6.（多选）下列说法中正确的有( )
A.在对分类变量X和Y进行独立性检验时，随机变量的值越大，则“X与Y有关”可信程度越小
B.在经验回归方程中，当解释变量x每增加一个单位时，响应变量y增加0.1个单位
C.两个变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1
D.在回归分析模型中，若决定系数越大，则残差平方和越小，模型的拟合效果越好
7. （多选）下面各图中，散点图与相关系数r符合的有( )
A. B.
C. D.
8. （多选）下列说法中正确的是( )
A.对于独立性检验,的值越大,说明两事件的相关程度越大
B.以模型去拟合一组数据时,为了求出回归方程,设,将其变换后得到线性方程,则的值分别是和0.3
C.在具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程中,,则
D.通过回归直线及回归系数,可以精确反映变量的取值和变化趋势
答案以及解析
1.答案：D
解析：对于选项A，越大，线性相关程度越强，A错误；
对于选项B,越小，线性相关程度越弱，B错误；
对于选项C,越大，线性相关程度越强，C错误；
对于选项D,，且越接近1，线性相关程度越强，越接近0，线性相关程度越弱，D正确.
故选D.
2.答案：C
解析：由题图1可知，散点几乎在一条直线上，且成正相关，，由题图2可知，散点分散在一条直线附近，也成正相关, .A组成对数据的线性相关程度比B组强些，，故选C.
3.答案：B
解析：由变量X与Y相对应的一组数据为（10,1），（11.3,2），（11.8,3），（12.5,4）,（13,5），可得变量Y与X之间成正相关，因此；
由变量U与V相对应的一组数据为（10，5），（11.3,4），（11.8,3），（12.5,2），（13,1），可得变量U与V之间成负相关，因此.故.
4.答案：B
解析：由题图可知两变量正线性相关，故，且，故，故A中结论正确，B中结论不正确.经计算可得，在去除点F前，，去除点F后，.又经验回归直线必经过点（3.5,2.5），所以，故C中结论正确.经验回归直线必经过点（3,2），所以，所以，故D中结论正确.故选B.
5.答案：D
解析：对于A,在回归分析中,变量间的关系非函数关系,所以因变量不能由自变量唯一确定,A中说法正确；对于B,,正相关,,负相关,B中说法正确；对于C,在回归分析中,如果,说明与之间完全线性相关,C中说法正确；对于D,相关系数的范围是,D中说法错误.故选D.
6.答案：CD
解析：由题意得，根据的值越大，分类变量的有关联的可信度就越大，所以A是错误的；根据经验回归方程中回归系数的含义，可知在经验回归方程中，当解释变量x每增加一个单位时，响应变量y平均增加0.1个单位，B是错误的；根据相关系数的计算公式可知，相关系数的绝对值越接近1，两个变量的相关性就越强，所以C是正确的；根据回归分析的基本思想可知决定系数越大，则残差平方和越小，模型的拟合效果越好，D是正确的.故选CD.
7.答案：ACD
解析：对于A，散点图上所有点都在一条斜率小于0的直线上，所以相关系数，A正确；对于B，散点图上所有点都在一条斜率大于0的直线上，所以相关系数，B错误；对于C，散点图上所有点从左到右是向下的带状分布，所以相关系数，C正确；对于D，散点图中，x,y之间的相关关系非常不明显，所以相关系数，D正确.故选ACD.
8.答案：ABC
解析：对于A,根据独立性检验的性质知,的值越大,说明两个事件的相关程度越大,故A正确；
对于B,由,两边取自然对数,可得,
,则,因为,所以则故B正确；
对于C,由于回归直线过点,故C正确；
对于D,通过回归直线及回归系数,可预测变量的取值和变化趋势,故D错误.故选ABC.
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