7.5 正态分布 教案
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第七章 随机变量及其分布
7.5 正态分布
教学设计
一、教学目标
1. 通过误差模型，了解正态曲线、正态分布的概念；
2. 通过借助具体实例的频率分布直方图，了解正态分布的特征及曲线表示的含义；
3. 了解正态分布的均值、方差及其含义，会用正态分布解决实际问题.
二、教学重难点
1、教学重点
正态分布的意义和特点.
2、教学难点
借助正态分布密度曲线的对称性，利用数形结合求解正态分布的问题.
三、教学过程
（一）新课导入
复习：离散型随机变量的概念.
可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.
问题1：如果设一个电水壶的使用寿命为X，它不是离散型的，那么X是什么变量？
有些问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量.
（二）探索新知
探究一 正态分布
问题2： 自动流水线包装的食盐，每袋标准质量为400g.由于各种不可控制的因素，任意抽取一袋食盐，它的质量与标准质量之间或多或少会存在一定的误差（实际质量减去标准质量）.用X表示这种误差，则X是一个连续型随机变量.检测人员在一次产品检验中，随机抽取了100袋食盐，获得误差X（单位：g）的观测值如下：
（1）如何描述这100个样本误差数据的分布？
（2）如何构建适当的概率模型刻画误差X的分布？
根据已学的统计知识，可用频率分布直方图描述这组误差数据的分布，如下图所示.频率分布直方图中每个小矩形的面积表示误差落在相应区间内的频率，所有小矩形的面积之和为1.
观察图形可知：误差观测值有正有负，并大致对称地分布在X=0的两侧，而且小误差比大误差出现得更频繁.
随着样本数据量越来越大，让分组越来越多，组距越来越小，由频率的稳定性可知，频率分布直方图的轮廓就越来越稳定，接近一条光滑的钟形曲线，如图所示.
根据频率与概率的关系，可用下图中的钟形曲线（曲线与水平轴之间的面积为1）来描述袋装食盐质量误差的概率分布.例如，任意抽取一袋食盐，误差落在内的概率，可用图中黄色阴影部分的面积表示.
由函数知识可知，上图的钟形曲线是一个函数，这种刻画随机误差分布的解析式为.其中，为参数.
显然，对任意的，，它的图象在x轴的上方.可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1.我们称为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线，如图所示.若随机变量X的概率分布密度函数为，则称随机变量X服从正态分布，记为.特别地，当时，称随机变量X服从标准正态分布.
若，则如图所示，X取值不超过x的概率为图中区域A的面积，而为区域B的面积.
思考：观察正态曲线及相应的密度函数，你能发现正态曲线的哪些特点？
正态曲线的特点：
（1）曲线是单峰的，它关于直线对称；
（2）曲线在处达到峰值；
（3）当无限增大时，曲线无限接近x轴.
思考：一个正态分布由参数和完全确定，这两个参数对正态曲线的形状有何影响？它们反映正态分布的哪些特征？
函数的图象可由的图象平移得到.因此，在参数取固定值时，正态曲线的位置由确定，且随着的变化而沿x轴平移，如下图所示.
当取定值时，因为曲线的峰值与成反比，而且对任意的，曲线与x轴围成的面积总为1.因此，当较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如下图所示.
观察上面两图可以发现，参数反映了正态分布的集中位置，反映了随机变量的分布相对于均值的离散程度.实际上，我们有若，则.
例 李明上学有时坐公交车，有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30 min，样本方差为36；骑自行车平均用时34 min，样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布.
（1）估计X，Y的分布中的参数；
（2）根据（1）中的估计结果，利用信息技术工具画出X和Y的分布密度曲线；
（3）如果某天有38 min可用，李明应选择哪种交通工具？如果某天只有34 min可用，又应该选择哪种交通工具？请说明理由.
解：（1）随机变量X的样本均值为30，样本标准差为6；随机变量Y的样本均值为34，样本标准差为2.用样本均值估计参数，用样本标准差估计参数，可以得到，.
（2）X和Y的分布密度曲线如图所示.
（3）应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具.
由上图可知，.
所以，如果有38 min可用，那么骑自行车不迟到的概率大，应选择骑自行车；如果只有34 min可用，那么坐公交车不迟到的概率大，应选择坐公交车.
假设，可以证明：对给定的是一个只与有关的定值.
特别地，，
，
.
上述结果可用下图表示.
由此看到，尽管正态变量的取值范围是，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027，通常认为这种情况几乎不可能发生.
在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量X只取中的值，这在统计学中称为原则.
（三）课堂练习
1.某地区一模考试数学成绩X服从正态分布，且.从该地区参加一模考试的学生中随机抽取10名学生，数学成绩在的人数记作随机变量，则的方差为( )
A.2 B.2.1 C.2.4 D.3
答案：C
解析：由正态分布知，每个人数学成绩在的概率为，所以10个学生数学成绩在的人数服从二项分布，所以方差为，故选C.
2.在一次共有10 000名考生的某市高二的联考中，这些学生的数学成绩服从正态分布，且.若按成绩分层随机抽样的方式抽取100份试卷进行分析，应从120分以上的试卷中抽取( )
A.20份 B.15份 C.10份 D.5份
答案：C
解析：由题意，数学成绩服从正态分布，且根据正态分布密度曲线的对称性，可得所以0.8)=0.1.所以按成绩分层随机抽样抽取100份试卷时，应从120分以上的试卷中抽取份，故选C.
3.若随机变量X服从正态分布，且，则( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：设，则，根据对称性可得，则，所以，即，故，故选B.
4.某中学在高三上学期期末考试中，理科学生的数学成绩.若已知，则从该校理科生中任选一名学生，他的数学成绩大于120分的概率为( )
A.0.86 B.0.64 C.0.36 D.0.14
答案：D
解析：因为学生成绩X服从正态分布，所以.
因为，所以，所以，故选D.
（三）小结作业
小结：
本节课我们主要学习了哪些内容？
1. 正态曲线、正态分布的概念及正态分布的特征及曲线表示的含义；
2. 正态分布的均值、方差及其含义，会用正态分布解决实际问题.
四、板书设计
7.5 正态分布
1. 正态曲线、正态分布的概念及正态分布的特征及曲线表示的含义；
2. 正态分布的均值、方差及其含义，会用正态分布解决实际问题.
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7.5 正态分布
教学设计
一、教学目标
1. 通过误差模型，了解正态曲线、正态分布的概念；
2. 通过借助具体实例的频率分布直方图，了解正态分布的特征及曲线表示的含义；
3. 了解正态分布的均值、方差及其含义，会用正态分布解决实际问题.
二、教学重难点
1、教学重点
正态分布的意义和特点.
2、教学难点
借助正态分布密度曲线的对称性，利用数形结合求解正态分布的问题.
三、教学过程
（一）新课导入
复习：离散型随机变量的概念.
可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.
问题1：如果设一个电水壶的使用寿命为X，它不是离散型的，那么X是什么变量？
有些问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量.
（二）探索新知
探究一 正态分布
问题2： 自动流水线包装的食盐，每袋标准质量为400g.由于各种不可控制的因素，任意抽取一袋食盐，它的质量与标准质量之间或多或少会存在一定的误差（实际质量减去标准质量）.用X表示这种误差，则X是一个连续型随机变量.检测人员在一次产品检验中，随机抽取了100袋食盐，获得误差X（单位：g）的观测值如下：
（1）如何描述这100个样本误差数据的分布？
（2）如何构建适当的概率模型刻画误差X的分布？
根据已学的统计知识，可用频率分布直方图描述这组误差数据的分布，如下图所示.频率分布直方图中每个小矩形的面积表示误差落在相应区间内的频率，所有小矩形的面积之和为1.
观察图形可知：误差观测值有正有负，并大致对称地分布在X=0的两侧，而且小误差比大误差出现得更频繁.
随着样本数据量越来越大，让分组越来越多，组距越来越小，由频率的稳定性可知，频率分布直方图的轮廓就越来越稳定，接近一条光滑的钟形曲线，如图所示.
根据频率与概率的关系，可用下图中的钟形曲线（曲线与水平轴之间的面积为1）来描述袋装食盐质量误差的概率分布.例如，任意抽取一袋食盐，误差落在内的概率，可用图中黄色阴影部分的面积表示.
由函数知识可知，上图的钟形曲线是一个函数，这种刻画随机误差分布的解析式为.其中，为参数.
显然，对任意的，，它的图象在x轴的上方.可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1.我们称为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线，如图所示.若随机变量X的概率分布密度函数为，则称随机变量X服从正态分布，记为.特别地，当时，称随机变量X服从标准正态分布.
若，则如图所示，X取值不超过x的概率为图中区域A的面积，而为区域B的面积.
思考：观察正态曲线及相应的密度函数，你能发现正态曲线的哪些特点？
正态曲线的特点：
（1）曲线是单峰的，它关于直线对称；
（2）曲线在处达到峰值；
（3）当无限增大时，曲线无限接近x轴.
思考：一个正态分布由参数和完全确定，这两个参数对正态曲线的形状有何影响？它们反映正态分布的哪些特征？
函数的图象可由的图象平移得到.因此，在参数取固定值时，正态曲线的位置由确定，且随着的变化而沿x轴平移，如下图所示.
当取定值时，因为曲线的峰值与成反比，而且对任意的，曲线与x轴围成的面积总为1.因此，当较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如下图所示.
观察上面两图可以发现，参数反映了正态分布的集中位置，反映了随机变量的分布相对于均值的离散程度.实际上，我们有若，则.
例 李明上学有时坐公交车，有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30 min，样本方差为36；骑自行车平均用时34 min，样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布.
（1）估计X，Y的分布中的参数；
（2）根据（1）中的估计结果，利用信息技术工具画出X和Y的分布密度曲线；
（3）如果某天有38 min可用，李明应选择哪种交通工具？如果某天只有34 min可用，又应该选择哪种交通工具？请说明理由.
解：（1）随机变量X的样本均值为30，样本标准差为6；随机变量Y的样本均值为34，样本标准差为2.用样本均值估计参数，用样本标准差估计参数，可以得到，.
（2）X和Y的分布密度曲线如图所示.
（3）应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具.
由上图可知，.
所以，如果有38 min可用，那么骑自行车不迟到的概率大，应选择骑自行车；如果只有34 min可用，那么坐公交车不迟到的概率大，应选择坐公交车.
假设，可以证明：对给定的是一个只与有关的定值.
特别地，，
，
.
上述结果可用下图表示.
由此看到，尽管正态变量的取值范围是，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027，通常认为这种情况几乎不可能发生.
在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量X只取中的值，这在统计学中称为原则.
（三）课堂练习
1.某地区一模考试数学成绩X服从正态分布，且.从该地区参加一模考试的学生中随机抽取10名学生，数学成绩在的人数记作随机变量，则的方差为( )
A.2 B.2.1 C.2.4 D.3
答案：C
解析：由正态分布知，每个人数学成绩在的概率为，所以10个学生数学成绩在的人数服从二项分布，所以方差为，故选C.
2.在一次共有10 000名考生的某市高二的联考中，这些学生的数学成绩服从正态分布，且.若按成绩分层随机抽样的方式抽取100份试卷进行分析，应从120分以上的试卷中抽取( )
A.20份 B.15份 C.10份 D.5份
答案：C
解析：由题意，数学成绩服从正态分布，且根据正态分布密度曲线的对称性，可得所以0.8)=0.1.所以按成绩分层随机抽样抽取100份试卷时，应从120分以上的试卷中抽取份，故选C.
3.若随机变量X服从正态分布，且，则( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：设，则，根据对称性可得，则，所以，即，故，故选B.
4.某中学在高三上学期期末考试中，理科学生的数学成绩.若已知，则从该校理科生中任选一名学生，他的数学成绩大于120分的概率为( )
A.0.86 B.0.64 C.0.36 D.0.14
答案：D
解析：因为学生成绩X服从正态分布，所以.
因为，所以，所以，故选D.
（三）小结作业
小结：
本节课我们主要学习了哪些内容？
1. 正态曲线、正态分布的概念及正态分布的特征及曲线表示的含义；
2. 正态分布的均值、方差及其含义，会用正态分布解决实际问题.
四、板书设计
7.5 正态分布
1. 正态曲线、正态分布的概念及正态分布的特征及曲线表示的含义；
2. 正态分布的均值、方差及其含义，会用正态分布解决实际问题.
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