太原市名校2022-2023学年高二下学期期中考试
数学试题
考试时间：120分钟 满分：150 分
一.单选题（每小题5分，满分40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是题目要求的）
1.随机变量X的分布列如下：
X －1 0 1
P a b c
其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝ ( )
A. B. C. D.
2.在等差数列中，，则的值为 （ ）
A. 45 B. 75 C. 180 D. 300
3.已知无穷等差数列中，前项和是，且，，那么 （ ）
A. 数列中，最大 B. 数列中，或最大
C. 当时， D. 一定有
4.互不相等的三个正数成等差数列，又是的等比中项，是 的等比中项，那么三个数 （ ）
A. 成等差数列，非等比数列 B. 成等比数列，非等差数列
C. 既是等差数列，又是等比数列 D. 既不成等差数列，又不成等比数列
5.已知ξ～B（n，p），且Eξ=7，Dξ=6，则p等于 （ ）
A. B. C. D.
6.同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次，设2枚硬币均正面向上的次数为，则的数学期望是 （ ）
A. B. C. D.
7.从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为 （ ）
A.100 B.110 C.120 D.180
8.安排，，，，，，共6名义工照顾甲，乙，丙三位老人，每两位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工不安排照顾老人甲，义工不安排照顾老人乙，则安排方法共有 （ ）
A.30种 B.40种 C.42种 D.48种
二、多选题（每小题满分 5 分，全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有错选或不选的得 0 分
9．数列是递减的等差数列，的前项和是，且，以下结正确的是（ ）
A. B.当等于7或8时，取最大值；
C.存在正整数，使； D.存在正整数，使.
10.已知数列是等比数列，以下结论正确的是 （ ）
A. 是等比数列
B. 若， ，则
C. 若，则数列是递增数列
D. 若数列的前n项和，则
11.下列等式成立的是 ( )
A. B.
C. D.
12.已知离散型随机变量X的服从二项分布，其中，，若X是奇数的概率为a，X为偶数的概率为b，则下列说法正确的有 （ ）
A. B.
C. 时，a随着n的增大而增大 D. 时，a随着n的增大而减小
三、填空题（每小题5分，满分20分）
13.在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为，则常数项等于 ．
14.从1，2，3，4，7，9六个数中，任取两个数作对数的底数和真数，则所有不同的对数的值的个数为________．
15.一等差数列，前12项之和为354，前12项中偶数项之和与奇数项之和的比为32：27，则该数列的公差为 ．
16.数列的通项，其前项和为，则= ．
四、解答题（17 题 10 分，其余每题 12 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（10分） （1）．将10本不同的专著分成3本，3本，3本和1本，分别交给4位学者阅读，问有多少种不同的分法
（2）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的四位数
18.（12分） 为数列的前项和，已知，
（Ⅰ）求的通项公式：
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
19.（12分）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
（1）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；
（2）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率．
20. (12分)某校准备从报名的7位教师(其中男教师4人，女教师3人)中选3人去边区支教．
（1）设所选3人中女教师的人数为X，写出X的分布列，求X的数学期望及方差；
（2）若选派的三人依次到甲、乙、丙三个地方支教，求甲地是男教师的情况下，乙地为女教师的概率．
21．（12分）已知是各项均为正数的等差数列，公差为，对任意的是
和的等比中项.
(Ⅰ)设，求证：是等差数列；
(Ⅱ)设，求证：
22.（12分）某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05
(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；
(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．太原市名校2022-2023学年高二下学期期中考试
数学试题
考试时间：120分钟
一.单选题（每小题5分,满分40分,每小题给出的四个选项中,只有一项是题目要求的）
1．D 2.C 3.C 4．A 5.A 6．A 7.B 8．C
二.多选题（每小题5分,满分20分）
9．ABCD 10．ACD 11．AC 12．ABC
三.填空题 13．112 14．17 15．5 16.470
四.解答题
17.（10分） （1）．将10本不同的专著分成3本，3本，3本和1本，分别交给4位学者阅读，问有多少种不同的分法 67200
（2）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的四位数 1260
18．【解析】（Ⅰ）当时，，因为，所以=3，
当时，，即，因为，所以=2，
所以数列{}是首项为3，公差为2的等差数列，
所以=；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=，
所以数列{}前n项和为
=
=.
19. 【答案】（1）分布列见解析，；（2）．
【分析】本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13分．
【解析】（1）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为，故，从而．
所以，随机变量的分布列为
0 1 2 3
随机变量的数学期望．D（X）=
（2）设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为，
则，且．
由题意知事件与互斥，
且事件与，事件与均相互独立，
从而由（1）知
20．解 (1)X的所有可能取值为0，1，2，3，
且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
(6分)
故E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.(8分)
(2)设事件A为“甲地是男教师”，事件B为“乙地是女教师”，
则P(A)＝＝，P(AB)＝＝，
所以P(B|A)＝＝.(12分)
21．【解析】⑴
为定值．
∴为等差数列
⑵（*）
由已知
将代入（*）式得
∴，得证
22．解 (1)设A表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P(A)＝0.20＋0.20＋0.10＋0.05＝0.55.(3分)
(2)设B表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P(B)＝0.10＋0.05＝0.15.(5分)
又P(AB)＝P(B)，故P(B|A)＝＝＝＝，
因此所求概率为.(8分)
(3)记续保人本年度的保费为X，则X的分布列为
X 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
P 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05
(12分)
E(X)＝0.85a×0.30＋a×0.15＋1.25a×0.20＋1.5a×0.20＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.23a.
因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.(15分)
