广东省茂名市电白区2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷（扫描版含答案）

2022-2023学年度第二学期期中考试
高二数学参考答案
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应位置上）
1.解析:由分类加法计数原理可知,共有4+3+2=9种不同的选法,故选B.
2.解析：,A错误；,B错误；,C错误,
,D正确.故选D
3.解析:因为Δy=f(1+Δx)-f(1)=2(1+Δx)2-4-(2×12-4)=4Δx+2(Δx)2,
所以==4+2Δx.故选:C
4.解析：因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，
故选B
5.解析:由随机变量分布列的性质求得p=.由E(X)=0×+1×+x=1.1,得x=2.
故D(X)=(0-1.1)2×+(1-1.1)2×+(2-1.1)2×=0.49. 故选:C
6.解析:展开式的通项为：；对于A，令，解得：，常数项为，A正确；对于B，由通项公式知：若要系数最大，所有可能的取值为，则，，，，展开式第项的系数最大，B错误；
对于C，展开式共有项，则第项的二项式系数最大，C正确；
对于D，令，则所有项的系数和为，D正确.故选B.
7.解析:由图象可知,的图象从左往右,是增减增,由此排除AD选项,
由图象可知,当时,增长越来越快,由此排除C选项.故选B
8.解：由题意可知，从 A到B最少需要6步完成，其中有2步是横向的，2步是纵向的，2步是竖向的，则蚂蚁选择的不同的最短路径共有种.故选A
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请把正确的选项填涂在答题卡相应位置上）
9.解析:对选项A，，故A错误.对选项B，，故B错误.对选项C，，故C正确.对选项D，，故D正确 故选CD
10.解析:因为f(x)=x3-x+1,所以f'(x)=3x2-1.令f'(x)>0,解得x<-或x>;令f'(x)<0,解得-0,f=>0,所以f(x)有两个极值点,有且仅有一个零点.故选项A正确,选项B错误.又f(x)+f(-x)=x3-x+1-x3+x+1=2,则f(x)关于点(0,1)对称,故选项C正确.
假设直线y=2x是曲线y=f(x)的切线,其切点为(a,b),则解得
或显然点(1,2)和(-1,-2)均不在曲线y=f(x)上,故选项D错误.故选AC
11．解:A项，二项式系数之和为C＋C＋…＋C＝22 023，故A正确；
(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023，
当x＝－1时，32 023＝a0－a1＋a2－a3＋…－a2 023，①
当x＝1时，(－1)2 023＝a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 023，②
B项，①＋②可得，32 023－1＝2(a0＋a2＋…＋a2 022) a0＋a2＋…＋a2 022＝，
故B正确；C项，①－②可得，32 023＋1＝－2(a1＋a3＋…＋a2 023) a1＋a3＋…＋a2 023＝－，故C错误；D项，(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023，
令x＝0，则a0＝1，令x＝，则0＝a0＋＋＋…＋，
＋＋…＋＝－1，故D正确．故选ABD
12.解析:对于A,f(x)=2-x,则g(x)=exf(x)=ex·2-x=,g(x)在f(x)的定义域R上单调递增,符合题意.对于B,f(x)=3-x,则g(x)=exf(x)=ex·3-x=,g(x)在f(x)的定义域R上单调递减,不符合题意.对于C,f(x)=x3,则g(x)=exf(x)=ex·x3,g'(x)=ex·x3+3ex·x2=ex(x3+3x2)=ex·x2(x+3).当x<-3时,g'(x)<0,当x>-3时,g'(x)>0.所以g(x)=exf(x)在f(x)的定义域R上先减后增,不符合题意.对于D,f(x)=x2+2,则g(x)=exf(x)=ex(x2+2),g'(x)=ex(x2+2)+2xex=ex(x2+2x+2),g'(x)>0在f(x)的定义域R上恒成立,符合题意.故选AD.
三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，其中16题第一个空2分，第二个空3分，共计20分．请把正确的结果填写在答题卡相应位置上）
13.解析: +====84.故填84
14.解析: D(3X+2)=9D(X)=9×1=9.故填9
15.解:设l是曲线y=ln(2x-1)的切线,且与直线2x-y+3=0平行.对于曲线y=ln(2x-1),y'=.令y'==2,解得x=1,则易知切线l与曲线y=ln(2x-1)的切点的坐标为(1,0).由点到直线的距离公式,得d==.故填.
16.解：若存在，使具有性质P，假设存在，，使，，成等差数列，
所以，即
化简得：
整理得：，即，所以为完全平方数，
又，不是完全平方数，也不是完全平方数，是完全平方数．所以n的最大值为故答案为
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.解:(1)因为y'=2x+1,
所以直线l1的斜率k1=2×1+1=3,…………1分
所以直线l1的方程为y=3x-3.……………………2分
设直线l2过曲线y=x2+x-2上的点B(b,b2+b-2),则l2的方程为
y=(2b+1)x-b2-2.…………3分
因为l1⊥l2,所以2b+1=-,解得b=-.…………4分
所以直线l2的方程为y=-x-.…………5分
(2)联立直线l1,l2的方程,得解得………6分
所以直线l1和l2的交点坐标为.…………7分
由(1)得l1,l2与x轴交点的坐标分别为(1,0),,………9分
所以所求三角形的面积S=××=. …………10分
18.解:(1)由题意知,X的可能取值有1,2,3,4, ………………1分
P(X=1)=, ………………2分
P(X=2)=×=, ………………3分
P(X=3)=××=, ………………4分
P(X=4)=××=, ………………5分
故X的分布列为
X 1 2 3 4
P
…………6分
(2)由(1)知,取球次数X的均值为
E(X)=1×+2×+3×+4×………………8分
=2, ………………9分
X的方差D(X)=(1-2)2×+(2-2)2×+(3-2)2×+(4-2)2×…………11分
=1. ………………12分
19．解:（1）如果4人中男生女生各选2人，有………………2分
种选法；………………3分
（2）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，则在剩下的7人中任选2人，
有………………5分
种选法；………………6分
（3）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，包含两种情况，
第一种甲和乙都在内的选法有种，………………7分
第二种情况，甲乙选1人，有种选法，………………8分
则如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，共有种选法；
………………9分
（4）如果4人中必须既有男生又有女生，先从所有9人中选4人，去掉只有男生和
只有女生的情况，故有………………11分
种选法. ………………12分
20.解:设事件A表示取到的产品为正品,B1,B2,B3分别表示产品由甲、乙、丙厂生
产.………………1分
（1）由已知,得P(B1)=0.2,P(B2)=0.3,P(B3)=0.5, ………………2分
P(A|B1)=0.95,P(A|B2)=0.9,P(A|B3)=0.8, ………………2分
故P(A)=P(Bi)P(A|Bi)=0.2×0.95+0.3×0.9+0.5×0.8=0.86, ………………4分
所以取出一件产品是正品的概率为0.86, ………………5分
（2）当取出的一件产品已知为正品时，它可能来自于甲、乙、丙三间工厂中的任意
一间，来自各工厂的概率依次为
P(B1|A)= = = , ………………7分
P(B2|A)= = = , ………………9分
P(B3|A)= = = ,且 ＞＞ ………………11分
故它是由丙厂生产的可能性大. ………………12分
21.解析：(1) ∵
∴ f′(x)＝3ax2＋2bx－3. ………………1分
由题意得，即, ………………2分
解之得经检验成立，………………4分
所以f(x)＝x3－3x. ………………5分
(2) 令f′(x)＝0，即3x2－3＝0.得x＝±1. ………………6分
在区间[-2，2]内，当x变化时f′(x)及f(x)随的变化而变化如下表所示
x －2 (－2，－1) －1 (－1,1) 1 (1,2) 2
f′(x) ＋ － ＋
f(x) －2 增 极大值 减 极小值 增 2
………………7分
因为f(－1)＝2，f(1)＝－2，………………8分
f(2)＝2，f(－2)＝－2，………………9分
所以当x∈[－2,2]时，f(x)max＝2，f(x)min＝－2. ………………10分
对于区间[－2,2]上任意两个自变量的值x1，x2，
都有|f(x1)－f(x2)|≤|f(x)max－f(x)min|＝4，………………11分
所以c≥4.所以c的最小值为4. ………………12分
22.解：（1）当时，，则
当时，，当时，，………………1分
故的减区间为，.………………2分
增区间为………………3分
（2）当x>0时，要证，等价于证<0,
设，则，
又，设，
，
若，则，
因为为连续不间断函数，
故存在，使得，总有，
故在为增函数，故，故在为增函数，故
，与题设矛盾.………………4分
若，则，
下证：对任意，总有成立，
证明：设，故，
故在上为减函数，故即
成立………………5分
由上述不等式有，
故总成立，即在上为减函数，所以
…………6分
当时，有， ………………7分
所以在上为减函数，所以.………………8分
综上，.………………9分
（3）取，则，总有成立，令，
则，
故即对任意的恒成立.………………10分
所以对任意的，有，
整理得到：，………………11分
故
，
故不等式成立.………………12分