宜春市两校2022-2023学年高二下学期期中联考数学试卷
一、单选题（每小题5分，共40分。每小题只有一个选项正确，请把正确的选项填入答题卡）
1．若复数z满足（为虚数单位），则复数在复平面内所对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．设等差数列的前项和分别为，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．若过点且斜率为的直线与曲线有且只有一个交点，则实数的值不可能是( )
A． B． C． D．2
4．已知正方体的棱长是4，、分别是棱和的中点，点在正方形包括边界内，当平面时，长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．6
5．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足且为偶函数，为奇函数，若，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
7．的内角的对边分别为，，，，，，点D，E分别是边BC，BA的中点，且，交于点O，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．球冠是指球面被平面所截得的一部分曲面，截得的圆叫做球冠的底，垂直
于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高．小明撑伞站在太阳下，撑开的伞面
可以近似看作一个球冠．已知该球冠的底半径为，高为．假设地面
是平面，太阳光线是平行光束，下列说法不正确的是（ ）
A．若伞柄垂直于地面，太阳光线与地面所成角为，则伞在地面的影子是圆
B．若伞柄垂直于地面，太阳光线与地面所成角为，则伞在地面的影子是椭圆
C．若伞柄与太阳光线平行，太阳光线与地面所成角，则伞在地面的影子为椭
圆，且该椭圆离心率为
D．若太阳光线与地面所成角为，则小明调整伞柄位置，伞在地面的影子可以形成椭圆，且椭圆长轴长的最大值
为
二、多选题（第小题全选对得5分，部分选对得2分，选错得0分 ，共20分）
9．已知数列，是等比数列，那么下列一定是等比数列的是（ ）
A． B． C． D．
10．下列说法中正确的是（ ）
A．模相等的两个向量是相等向量
B．若，，分别表示，的面积，则
C．两个非零向量，，若，则与共线且反向
D．若，则存在唯一实数使得
11．已知，点P是直线上动点，过点P作的两条切线，，，为切点，则（ ）
A．关于直线l的对称圆方程
B．若Q是上动点，则线段PQ的最大值为
C．线段AB的最小值是
D．若，则点P的轨迹长度为
12．如图，已知，，，，，将沿着直线折至，使得点在平面上的射影点落在直线上，则当满足下列什么条件时，有值（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题（第小题5分，共20分）
13．数学中有许多形状优美 寓意美好的曲线，曲线就
是其中之一（如图）.给出下列四个结论：
①曲线有且仅有四条对称轴；
②曲线上任意两点之间的距离的最大值为6；
③曲线恰好经过8个整点（即横坐标 纵坐标均为整数的点）；
④曲线所围成的区域的面积大于16.
其中所有正确结论的序号是 .
14．某数学兴趣小组的学生开展数学活动，将图①所示的三块直角三角板进行拼接 旋转等变化，进而研究体积与角的问题，其中，，直角三角板与始终全等（假设直角三角板与的另两边的大小可变化）.现将直角三角板与放在平面内拼接，直角三角板的直角边也放在平面内，并使与重合，将直角三角板绕着旋转，使点在平面内的射影始终与点重合于点，如图②，则当四棱锥的体积最大时，直角三角板的内角的余弦值为 .
15．已知函数的定义域为，当时，有，则不等式的解集为 .
16．已知三棱锥的外接球的半径为，为等腰直角三角形，若顶点到底面的距离为4，且三棱锥的体积为，则满足上述条件的顶点的轨迹长度是 ．
四、解答题（第四题10分，其余各小题12分，共70分）
17．设数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）记 ，求数列的前项和为.
18．在①，②.③这三个条件中任选一个，填在以下的横线中，并完成解答.
在中，角所对的边分别是且____.
（1）求角的大小；
（2）若，点满足，求线段长的最小值.
19．已知过原点的动直线与圆：相交于不同的两点.
（1）求线段的中点的轨迹的方程；
（2）若直线：上存在点P，使得以点Р为圆心，2为半径的圆与有公共点，求的取值范围.
20．如图，三棱锥中，平面，，，，．
（1）求三棱锥的体积；
（2）在线段上是否存在一点M，使得 若存在，求的值，若不存在，请说明理由．
21．已知函数 ，．
（1）若在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
22．已知半径为 的圆C的圆心在 轴的正半轴上，且直线与圆相切．
（1）求圆的标准方程．
（2）已知，为圆上任意一点，试问在 轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若点，试求 的最小值.宜春市两校2022-2023学年高二下学期期中联考数学答案解析部分
1-4 DABC 5-8 ACCB 9. BD 10.BC 11.ACD 12.ACD
13.①③④ 14． 15． 16．
17．（1）解：当时，；
当时，，
；
经检验：满足；综上所述：.
（2）解：由（1）得：，
.
18．（1）解：选择①：由得，，
因为三角形中，所以，故.
选择②：由可知，故.
选择③：由得，显然，
所以，即，故.
（2）解：因为，故. 又因为，则，
于是
由得，当且仅当，即时取到等号.
故线段长的最小值为.
19．（1）解：由题可知的斜率存在，设直线，
设，圆：即，
则圆心，
因为为弦的中点，所以，
即，所以，
即，
由得为两圆的交点，
所以轨迹的方程为.
（2）解：由（1）知为圆上不含的劣弧，
因为直线：上存在点P，使得以点Р为圆心，2为半径的圆与有公共点，
当时，存在圆满足题意；
当时，只需点到直线的距离，解得；
当时，只需点到直线的距离，解得；
综上，.
20．（1）解：因为AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，
所以．
由平面ABC知：PA是三棱锥P-ABC的高，又PA＝1，
所以三棱锥A-PBC的体积
（2）解：在线段PC上存在一点M，使得，此时．
如图，在平面PAC内，过M作交AC于N，连接BN，BM．
由平面ABC，平面ABC，故，所以．
由知：，则，
在中，
，
所以，即．
由于且面MBN，故平面MBN．
又平面MBN，所以．
21.（1）解：，因为在上单调递增，
所以，恒成立，即恒成立，
因为在上单调递减，所以，则．
故实数a的取值范围为；
（2）解：恒成立，即恒成立，
令，，则，所以在上单调递增，
因为时，，所以在上的值域为．
因为，所以，恒成立，
设，，则，令得，列表得
t 1
＋ 0 －
极大值
所以，则．
22．（1）解：由题意设圆心坐标为，则圆C的方程为．
因为直线与圆C相切，
所以点到直线的距离，
因为，所以，故圆C的标准方程为．
（2）解：假设存在定点B，设，，则，
则．
当，即（舍去）时，为定值，
且定值为，故存在定点B，且B的坐标为．
(3)由（2）知 = ，故= ，从而 = ，当且仅当三点共线时， 的值最小，且
