2022-2023学年沪科版八年级数学下册第18章勾股定理 单元综合练习题 （含解析）
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年沪科版八年级数学下册第18章勾股定理 单元综合练习题 （含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 362.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-04-20 15:06:30 | ||
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文档简介
2022-2023学年沪科版八年级数学下册《第18章勾股定理》单元综合练习题（附答案）
一．选择题
1．等腰三角形的腰长为25，底边长为14，则它底边上的高为（ ）
A．24 B．7 C．6 D．5
2．下列各组数中，能构成直角三角形的为（ ）
A．1，1，2 B．15，21，25 C．7，24，25 D．6，12，13
3．在Rt△ABC中，两条直角边长分别为1、2，则斜边长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
4．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为2，三角形ABC的三个顶点均在格点上，则BC边的长为（ ）
A．6 B．2 C． D．3
5．如图，这是用面积为18的四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”．如果大正方形的边长为9，那么小正方形的边长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝21，则S2的值是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
7．如图，在水塔O的东北方向5m处有一抽水站A，在水塔的东南方12m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为（ ）
A．10m B．13m C．14m D．8m
8．一个圆桶底面直径为7cm，高24cm，则桶内所能容下的最长木棒为（ ）
A．20cm B．25cm C．26cm D．30cm
9．在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面（ ）尺．
A．4 B．3.6 C．4.5 D．4.55
10．如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC：BC＝4：3，这个直角三角形三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形．如果图①中的直角三角形的周长为12，那么10次操作后的图形中所有正方形的面积和为（ ）
A．225 B．250 C．275 D．300
二．填空题
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，若DC＝5，AB＝12，则△ABD的面积是 ．
12．如图，以Rt△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3且S1＝4，S2＝8，则S3＝ ；以Rt△ABC的三边向外作等边三角形，其面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3三者之间的关系为 ．
13．一个三角形的三边长分别为3，4，5，则这个三角形最长边上的高等于 ．
14．在△ABC中，下面条件：①∠A＝∠B＝∠C；②∠A＝2∠B＝3∠C；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④AB：BC：AC＝3：4：5，其中可以判定△ABC是直角三角形的有 （填序号）．
15．如图，已知∠ADC＝90°，AD＝8m，CD＝6m，BC＝24m，AB＝26m，则图中阴影部分的面积为 ．
16．勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，显然这个方程有无数解，满足该方程的正整数（a，b，c）通常叫做勾股数．如果三角形最长边c＝2n2+2n+1，其中一短边a＝2n+1，另一短边为b，如果a，b，c是勾股数，则b＝ （用含n的代数式表示，其中n为正整数）
17．已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，则四边形ABCD的面积为 ．
18．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成．若较短的直角边BC＝5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图示的“数学风车”，若△BCD的周长是30，则这个风车的外围周长是 ．
三．解答题
19．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，AD⊥BC，垂足为D．
（1）△ABC的面积是 ．
（2）求BC、AD的长．
20．如图，在△ABC中，BC＝15，D是线段AB上一点，BD＝9，连接CD，CD＝12．
（1）求证：CD⊥AB．
（2）若S△ABC＝84，求△ABC的周长．
21．如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AC于点E，DF是△ABD的中线，且CE＝2，DE＝4，AE＝8．
（1）求证：∠ADC＝90°；
（2）求DF的长．
22．如图，一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米．
（1）求这个梯子的顶端离地面的高度；
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
23．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝8厘米，BC＝6厘米，点D为AB 的中点．如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动．当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t．
（1）当点P运动t秒时CP的长度为 （用含t的代数式表示）；
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
（3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
24．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC＝6，BC＝8．
（1）求BE的长；
（2）求△ADB的面积．
25．（1）如图1，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．求该长方体中能放入木棒的最大长度；
（2）如图2，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．现有一只蚂蚁从点A处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程．
（3）若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？
参考答案
一．选择题
1．解：根据题意画出如图所示，
根据题意得，AB＝AC＝25，BC＝14，AD⊥BC．
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝BC＝7，
在Rt△ADB中，根据勾股定理得，AD2+BD2＝AB2，
∴AD＝＝＝24，
即：底边上的高为24，
故选：A．
2．解：A．∵12+12≠22，
∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵152+212≠252，
∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵72+242＝252，
∴能构成直角三角形，故本选项符合题意；
D．∵62+122≠132，
∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
3．解：由图可得，
a2+b2＝c2＝25，故①正确；
∵小正方形面积为1，
∴小正方形的边长为1，
∴a﹣b＝1，故②正确；
∵大正方形面积为25，小正方形面积为1，
∴ab＝（25﹣1）÷4，
解得ab＝12，故③正确；
∵a2+b2＝25，ab＝12，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝49，
∴a+b＝7，故④正确；
故选：D．
4．解：由勾股定理得，BC＝＝6．
故选：A．
5．解：∵正方形EFGH的面积＝正方形ABCD的面积﹣4S△ABE＝92﹣4×18＝9，
∴正方形EFGH的边长＝3，
故小正方形的边长为3，
故选：C．
6．解：设全等的直角三角形的两条直角边为a、b且a＞b，
由题意可知：
S1＝（a+b）2，S2＝a2+b2，S3＝（a﹣b）2，
因为S1+S2+S3＝21，即
（a+b）2+a2+b2+（a﹣b）2＝21
3（a2+b2）＝21，
所以3S2＝21，
S2的值是7．
故选：C．
7．解：已知东北方向和东南方向刚好是一直角，
∴∠AOB＝90°，
又∵OA＝5m，OB＝12m，
∴AB＝13（m）．
故选：B．
8．解：如图，AC为圆桶底面直径，CB是桶高，
∴AC＝7cm，CB＝24cm，
∴线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，
∴AB＝25（cm）．
故桶内所能容下的最长木棒的长度为25cm．
故选：B．
9．解：如图，由题意得：∠ACB＝90°，BC＝3尺，AC+AB＝10尺，
设折断处离地面x尺，则AB＝（10﹣x）尺，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2，
解得：x＝4.55，
即折断处离地面4.55尺．
故选：D．
10．解：设AC＝4x，则BC＝3x，
由勾股定理得：AB＝＝5x，
∵△ABC的周长为12，
∴3x+4x+5x＝12，
解得：x＝1，
∴AC＝4，BC＝3，AB＝5，
第1次操作后的图形中所有正方形的面积和为：32+42+32+42+52＝25+50，
第2次操作后的图形中所有正方形的面积和为：32+42+32+42+32+42+52＝25×2+50，
第3次操作后的图形中所有正方形的面积和为：32+42+32+42+32+42+32+42+52＝25×3+50，
……
第10次操作后的图形中所有正方形的面积和为：25×10+50＝300，
故选：D．
二．填空题
11．解：作DE⊥AB于E，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DE＝CD＝5，
∴△ABD的面积是×AB×DE＝×12×5＝30，
故答案为：30．
12．解：∵S1＝4，
∴AC2＝4，
∵S2＝12，
∴BC2＝8，
∴在Rt△ABC中，BC2+AC2＝AB2＝4+8＝12，
∴S3＝AB2＝12．
设AC＝a，BC＝b，AB＝c，
∵△ABC是直角三角形，
∴a2+b2＝c2，
∴a2+b2＝c2，
又∵S1＝×sin60°a a＝a2，S2＝b2，S3＝c2，
∴S1+S2＝S3，
故答案为：12；S1+S2＝S3．
13．解：设最长边上的高为h，
∵32+42＝9+16＝25，52＝25，
∴32+42＝52，
即三角形是直角三角形，
∵三角形的面积S＝＝，
解得：h＝，
即这个三角形最长边上的高是，
故答案为：．
14．解：①∵∠A＝∠B＝∠C，
∴∠B＝2∠A，∠C＝3∠A，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A+2∠A+3∠A＝180°，
∴∠A＝30°，
∴∠C＝90°，即△ABC是直角三角形；
②∵∠A＝2∠B＝3∠C，
∴∠B＝∠A，∠C＝A，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A+∠A+A＝180°，
∴∠A＝（）°＞90°，
∴△ABC不是直角三角形；
③∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴最大角∠C＝×180°＝75°＜90°，
∴△ABC不是直角三角形；
④∵AB：BC：AC＝3：4：5，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形；
故答案为：①④．
15．解：在Rt△ADC中，
∵CD＝6m，AD＝8m，∠ADC＝90°，BC＝24m，AB＝26m，
∴AC2＝AD2+CD2＝82+62＝100，
∴AC＝10m，（取正值）．
在△ABC中，∵AC2+BC2＝102+242＝676，AB2＝262＝676．
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ACB为直角三角形，∠ACB＝90°．
∴S阴影＝AC×BC﹣AD×CD＝×10×24﹣×8×6＝96（m2）．
故答案是：96m2
16．解：c＝2n2+2n+1，a＝2n+1
∴b＝2n2+2n，
故答案为：2n2+2n
17．解：连接AC，
∵AB⊥BC，
∴∠B＝90°，
∵AB＝1，BC＝2，
∴AC＝＝＝，
∵CD＝2，AD＝3，
∴AC2+CD2＝（）2+22＝5+4＝9，AD2＝32＝9，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，
∴四边形ABCD的面积S＝S△ABC+S△ACD
＝+
＝+×2
＝1+，
故答案为：1+．
18．解：设“数学风车”中的四个全等的直角三角形的斜边长为x，AC＝y，
则AD＝AC＝y，CD＝2y，∠ACB＝90°，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：x2＝（2y）2+52，
∵△BCD的周长是30，
∴x+2y+5＝30，
∴，
解得：，
∴“数学风车”的周长是：（13+6）×4＝76，
故答案为：76．
三．解答题
19．解：（1）△ABC的面积是： AB AC＝＝150．
故答案是：150；
（2）∵∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，
∴BC＝＝25，
∵S△ABC＝150＝BC AD，
∴300＝25AD，
∴AD＝12．
20．（1）证明：在△BDC中，BC＝15，BD＝9，CD＝12，
∵BD2+CD2＝92+122＝152＝BC2，
∴△BDC是直角三角形，且∠BDC＝90°，
∴CD⊥AB；
（2）解：∵CD⊥AB，
∴△ADC是直角三角形，
∵S△ABC＝84，CD＝12，
∴AB＝14，
∴AD＝AB﹣BD＝14﹣9＝5，
在Rt△ADC中，AD2+CD2＝AC2，即52+122＝AC2，
解得AC＝13，
∴△ABC的周长是13+14+15＝42．
21．证明：（1）∵DE⊥AC于点E，
∴∠AED＝∠CED＝90°，
在Rt△ADE中，∠AED＝90°，
∴AD2＝AE2+DE2＝82+42＝80，
同理：CD2＝20，
∴AD2+CD2＝100，
∵AC＝AE+CE＝8+2＝10，
∴AC2＝100，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴△ADC是直角三角形，
∴∠ADC＝90°；
（2）∵AD是△ABC的中线，∠ADC＝90°，
∴AD垂直平分BC，
∴AB＝AC＝10，
在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，
∵点F是边AB的中点，
∴DF＝．
22．解：（1）由题意得，△AOB是直角三角形，∠O＝90°，AB＝25m，BO＝7m，
∴AB2＝AO2+BO2，
∴OB＝＝＝24（m），
答：这个梯子的顶端离地面24m；
（2）由题意可得，△A′OB′是直角三角形，且∠O＝90°，A'B'＝AB＝25m，BB'＝4m，
∴A'B'＝A'O2+B'O2，
∴A′O＝＝＝15（m），
∴AA'＝A'O﹣OA＝15﹣7＝8（米），
答：梯子底部在水平方向滑动了8米．
23．解：（1）BP＝2t，则PC＝BC﹣BP＝6﹣2t；
故答案为（6﹣2t）cm．
（2）当t＝1时，BP＝CQ＝2×1＝2厘米，
∵AB＝8厘米，点D为AB的中点，
∴BD＝4厘米．
又∵PC＝BC﹣BP，BC＝6厘米，
∴PC＝6﹣2＝4厘米，
∴PC＝BD，
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BPD和△CQP中，
，
∴△BPD≌△CQP（SAS）；
③∵vP≠vQ，
∴BP≠CQ，
又∵△BPD≌△CPQ，∠B＝∠C，
∴BP＝PC＝3cm，CQ＝BD＝4cm，
∴点P，点Q运动的时间t＝＝秒，
∴VQ＝＝＝厘米/秒．
24．解：（1）∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，
∴CD＝DE，AB＝＝10，
∴AD＝AD，
由勾股定理得：AE＝AC＝6，
∴BE＝1B﹣AE＝4；
（2）AB＝＝10，设CD＝DE＝x，则BD＝8﹣x，
由勾股定理得：x2+42＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，
∴DE＝3，
∴S△ABD＝AB DE＝×10×3＝15．
25．解：（1）由题意得：该长方体中能放入木棒的最大长度是：
（cm）．
（2）分三种情况可得：AG＝cm＞AG＝cm＞AG＝cm，
所以最短路程为cm；
（3）∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，
此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，
∴A′D＝5cm，BD＝12﹣3+AE＝12cm，
∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
A′B＝＝13（Cm）．
一．选择题
1．等腰三角形的腰长为25，底边长为14，则它底边上的高为（ ）
A．24 B．7 C．6 D．5
2．下列各组数中，能构成直角三角形的为（ ）
A．1，1，2 B．15，21，25 C．7，24，25 D．6，12，13
3．在Rt△ABC中，两条直角边长分别为1、2，则斜边长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
4．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为2，三角形ABC的三个顶点均在格点上，则BC边的长为（ ）
A．6 B．2 C． D．3
5．如图，这是用面积为18的四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”．如果大正方形的边长为9，那么小正方形的边长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝21，则S2的值是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
7．如图，在水塔O的东北方向5m处有一抽水站A，在水塔的东南方12m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为（ ）
A．10m B．13m C．14m D．8m
8．一个圆桶底面直径为7cm，高24cm，则桶内所能容下的最长木棒为（ ）
A．20cm B．25cm C．26cm D．30cm
9．在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面（ ）尺．
A．4 B．3.6 C．4.5 D．4.55
10．如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC：BC＝4：3，这个直角三角形三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形．如果图①中的直角三角形的周长为12，那么10次操作后的图形中所有正方形的面积和为（ ）
A．225 B．250 C．275 D．300
二．填空题
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，若DC＝5，AB＝12，则△ABD的面积是 ．
12．如图，以Rt△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3且S1＝4，S2＝8，则S3＝ ；以Rt△ABC的三边向外作等边三角形，其面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3三者之间的关系为 ．
13．一个三角形的三边长分别为3，4，5，则这个三角形最长边上的高等于 ．
14．在△ABC中，下面条件：①∠A＝∠B＝∠C；②∠A＝2∠B＝3∠C；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④AB：BC：AC＝3：4：5，其中可以判定△ABC是直角三角形的有 （填序号）．
15．如图，已知∠ADC＝90°，AD＝8m，CD＝6m，BC＝24m，AB＝26m，则图中阴影部分的面积为 ．
16．勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，显然这个方程有无数解，满足该方程的正整数（a，b，c）通常叫做勾股数．如果三角形最长边c＝2n2+2n+1，其中一短边a＝2n+1，另一短边为b，如果a，b，c是勾股数，则b＝ （用含n的代数式表示，其中n为正整数）
17．已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，则四边形ABCD的面积为 ．
18．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成．若较短的直角边BC＝5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图示的“数学风车”，若△BCD的周长是30，则这个风车的外围周长是 ．
三．解答题
19．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，AD⊥BC，垂足为D．
（1）△ABC的面积是 ．
（2）求BC、AD的长．
20．如图，在△ABC中，BC＝15，D是线段AB上一点，BD＝9，连接CD，CD＝12．
（1）求证：CD⊥AB．
（2）若S△ABC＝84，求△ABC的周长．
21．如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AC于点E，DF是△ABD的中线，且CE＝2，DE＝4，AE＝8．
（1）求证：∠ADC＝90°；
（2）求DF的长．
22．如图，一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米．
（1）求这个梯子的顶端离地面的高度；
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
23．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝8厘米，BC＝6厘米，点D为AB 的中点．如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动．当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t．
（1）当点P运动t秒时CP的长度为 （用含t的代数式表示）；
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
（3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
24．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC＝6，BC＝8．
（1）求BE的长；
（2）求△ADB的面积．
25．（1）如图1，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．求该长方体中能放入木棒的最大长度；
（2）如图2，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．现有一只蚂蚁从点A处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程．
（3）若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？
参考答案
一．选择题
1．解：根据题意画出如图所示，
根据题意得，AB＝AC＝25，BC＝14，AD⊥BC．
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝BC＝7，
在Rt△ADB中，根据勾股定理得，AD2+BD2＝AB2，
∴AD＝＝＝24，
即：底边上的高为24，
故选：A．
2．解：A．∵12+12≠22，
∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵152+212≠252，
∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵72+242＝252，
∴能构成直角三角形，故本选项符合题意；
D．∵62+122≠132，
∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
3．解：由图可得，
a2+b2＝c2＝25，故①正确；
∵小正方形面积为1，
∴小正方形的边长为1，
∴a﹣b＝1，故②正确；
∵大正方形面积为25，小正方形面积为1，
∴ab＝（25﹣1）÷4，
解得ab＝12，故③正确；
∵a2+b2＝25，ab＝12，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝49，
∴a+b＝7，故④正确；
故选：D．
4．解：由勾股定理得，BC＝＝6．
故选：A．
5．解：∵正方形EFGH的面积＝正方形ABCD的面积﹣4S△ABE＝92﹣4×18＝9，
∴正方形EFGH的边长＝3，
故小正方形的边长为3，
故选：C．
6．解：设全等的直角三角形的两条直角边为a、b且a＞b，
由题意可知：
S1＝（a+b）2，S2＝a2+b2，S3＝（a﹣b）2，
因为S1+S2+S3＝21，即
（a+b）2+a2+b2+（a﹣b）2＝21
3（a2+b2）＝21，
所以3S2＝21，
S2的值是7．
故选：C．
7．解：已知东北方向和东南方向刚好是一直角，
∴∠AOB＝90°，
又∵OA＝5m，OB＝12m，
∴AB＝13（m）．
故选：B．
8．解：如图，AC为圆桶底面直径，CB是桶高，
∴AC＝7cm，CB＝24cm，
∴线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，
∴AB＝25（cm）．
故桶内所能容下的最长木棒的长度为25cm．
故选：B．
9．解：如图，由题意得：∠ACB＝90°，BC＝3尺，AC+AB＝10尺，
设折断处离地面x尺，则AB＝（10﹣x）尺，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2，
解得：x＝4.55，
即折断处离地面4.55尺．
故选：D．
10．解：设AC＝4x，则BC＝3x，
由勾股定理得：AB＝＝5x，
∵△ABC的周长为12，
∴3x+4x+5x＝12，
解得：x＝1，
∴AC＝4，BC＝3，AB＝5，
第1次操作后的图形中所有正方形的面积和为：32+42+32+42+52＝25+50，
第2次操作后的图形中所有正方形的面积和为：32+42+32+42+32+42+52＝25×2+50，
第3次操作后的图形中所有正方形的面积和为：32+42+32+42+32+42+32+42+52＝25×3+50，
……
第10次操作后的图形中所有正方形的面积和为：25×10+50＝300，
故选：D．
二．填空题
11．解：作DE⊥AB于E，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DE＝CD＝5，
∴△ABD的面积是×AB×DE＝×12×5＝30，
故答案为：30．
12．解：∵S1＝4，
∴AC2＝4，
∵S2＝12，
∴BC2＝8，
∴在Rt△ABC中，BC2+AC2＝AB2＝4+8＝12，
∴S3＝AB2＝12．
设AC＝a，BC＝b，AB＝c，
∵△ABC是直角三角形，
∴a2+b2＝c2，
∴a2+b2＝c2，
又∵S1＝×sin60°a a＝a2，S2＝b2，S3＝c2，
∴S1+S2＝S3，
故答案为：12；S1+S2＝S3．
13．解：设最长边上的高为h，
∵32+42＝9+16＝25，52＝25，
∴32+42＝52，
即三角形是直角三角形，
∵三角形的面积S＝＝，
解得：h＝，
即这个三角形最长边上的高是，
故答案为：．
14．解：①∵∠A＝∠B＝∠C，
∴∠B＝2∠A，∠C＝3∠A，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A+2∠A+3∠A＝180°，
∴∠A＝30°，
∴∠C＝90°，即△ABC是直角三角形；
②∵∠A＝2∠B＝3∠C，
∴∠B＝∠A，∠C＝A，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A+∠A+A＝180°，
∴∠A＝（）°＞90°，
∴△ABC不是直角三角形；
③∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴最大角∠C＝×180°＝75°＜90°，
∴△ABC不是直角三角形；
④∵AB：BC：AC＝3：4：5，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形；
故答案为：①④．
15．解：在Rt△ADC中，
∵CD＝6m，AD＝8m，∠ADC＝90°，BC＝24m，AB＝26m，
∴AC2＝AD2+CD2＝82+62＝100，
∴AC＝10m，（取正值）．
在△ABC中，∵AC2+BC2＝102+242＝676，AB2＝262＝676．
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ACB为直角三角形，∠ACB＝90°．
∴S阴影＝AC×BC﹣AD×CD＝×10×24﹣×8×6＝96（m2）．
故答案是：96m2
16．解：c＝2n2+2n+1，a＝2n+1
∴b＝2n2+2n，
故答案为：2n2+2n
17．解：连接AC，
∵AB⊥BC，
∴∠B＝90°，
∵AB＝1，BC＝2，
∴AC＝＝＝，
∵CD＝2，AD＝3，
∴AC2+CD2＝（）2+22＝5+4＝9，AD2＝32＝9，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，
∴四边形ABCD的面积S＝S△ABC+S△ACD
＝+
＝+×2
＝1+，
故答案为：1+．
18．解：设“数学风车”中的四个全等的直角三角形的斜边长为x，AC＝y，
则AD＝AC＝y，CD＝2y，∠ACB＝90°，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：x2＝（2y）2+52，
∵△BCD的周长是30，
∴x+2y+5＝30，
∴，
解得：，
∴“数学风车”的周长是：（13+6）×4＝76，
故答案为：76．
三．解答题
19．解：（1）△ABC的面积是： AB AC＝＝150．
故答案是：150；
（2）∵∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，
∴BC＝＝25，
∵S△ABC＝150＝BC AD，
∴300＝25AD，
∴AD＝12．
20．（1）证明：在△BDC中，BC＝15，BD＝9，CD＝12，
∵BD2+CD2＝92+122＝152＝BC2，
∴△BDC是直角三角形，且∠BDC＝90°，
∴CD⊥AB；
（2）解：∵CD⊥AB，
∴△ADC是直角三角形，
∵S△ABC＝84，CD＝12，
∴AB＝14，
∴AD＝AB﹣BD＝14﹣9＝5，
在Rt△ADC中，AD2+CD2＝AC2，即52+122＝AC2，
解得AC＝13，
∴△ABC的周长是13+14+15＝42．
21．证明：（1）∵DE⊥AC于点E，
∴∠AED＝∠CED＝90°，
在Rt△ADE中，∠AED＝90°，
∴AD2＝AE2+DE2＝82+42＝80，
同理：CD2＝20，
∴AD2+CD2＝100，
∵AC＝AE+CE＝8+2＝10，
∴AC2＝100，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴△ADC是直角三角形，
∴∠ADC＝90°；
（2）∵AD是△ABC的中线，∠ADC＝90°，
∴AD垂直平分BC，
∴AB＝AC＝10，
在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，
∵点F是边AB的中点，
∴DF＝．
22．解：（1）由题意得，△AOB是直角三角形，∠O＝90°，AB＝25m，BO＝7m，
∴AB2＝AO2+BO2，
∴OB＝＝＝24（m），
答：这个梯子的顶端离地面24m；
（2）由题意可得，△A′OB′是直角三角形，且∠O＝90°，A'B'＝AB＝25m，BB'＝4m，
∴A'B'＝A'O2+B'O2，
∴A′O＝＝＝15（m），
∴AA'＝A'O﹣OA＝15﹣7＝8（米），
答：梯子底部在水平方向滑动了8米．
23．解：（1）BP＝2t，则PC＝BC﹣BP＝6﹣2t；
故答案为（6﹣2t）cm．
（2）当t＝1时，BP＝CQ＝2×1＝2厘米，
∵AB＝8厘米，点D为AB的中点，
∴BD＝4厘米．
又∵PC＝BC﹣BP，BC＝6厘米，
∴PC＝6﹣2＝4厘米，
∴PC＝BD，
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BPD和△CQP中，
，
∴△BPD≌△CQP（SAS）；
③∵vP≠vQ，
∴BP≠CQ，
又∵△BPD≌△CPQ，∠B＝∠C，
∴BP＝PC＝3cm，CQ＝BD＝4cm，
∴点P，点Q运动的时间t＝＝秒，
∴VQ＝＝＝厘米/秒．
24．解：（1）∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，
∴CD＝DE，AB＝＝10，
∴AD＝AD，
由勾股定理得：AE＝AC＝6，
∴BE＝1B﹣AE＝4；
（2）AB＝＝10，设CD＝DE＝x，则BD＝8﹣x，
由勾股定理得：x2+42＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，
∴DE＝3，
∴S△ABD＝AB DE＝×10×3＝15．
25．解：（1）由题意得：该长方体中能放入木棒的最大长度是：
（cm）．
（2）分三种情况可得：AG＝cm＞AG＝cm＞AG＝cm，
所以最短路程为cm；
（3）∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，
此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，
∴A′D＝5cm，BD＝12﹣3+AE＝12cm，
∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
A′B＝＝13（Cm）．