（统考版）2023高考数学二轮 第二篇 （练基础 快增分）第2讲 不等式、推理与证明 课件（49张）

(共49张PPT)
第2讲　不等式、推理与证明
考点一
考点二
考点三
考点四
考点一　不等式的解法——明条件，巧转化，数形结合
考点一　不等式的解法——明条件，巧转化，数形结合
导向性 考查数学运算的学科素养．
原则性 考查基础知识，与集合等知识相结合．
1.[2022·福建三模]若a>0，b>0，则“a＋b<2”的一个必要不充分条件是(　　)
A. <1 B．ab<1
C. a2＋b2<2 D．<
答案：B
解析：因为a>0，b>0，
对于A，当a＋b<2，取a＝b＝，明显可见，<1不成立，故必要性不成立，A错误；
对于B，当a＋b<2，02，则a＋b<2不成立，充分性不成立；则B正确；
对于C，当a＋b<2，取a＝，b＝，明显可见，a2＋b2＝>2，则a2＋b2<2不成立，故必要性不成立，则C错误；
对于D，当a＋b<2成立，则02．[2022·海南嘉积中学模拟]对任意的x∈(0，＋∞)，x2－2mx＋1>0恒成立，则m的取值范围为(　　)
A.[1，＋∞) B．(1，＋∞)
C.(－∞，1] D．(－∞，1)
答案：D
解析：当x∈(0，＋∞)时，由x2－2mx＋1>0得：2m3．不等式(a＋1)x2－(a＋1)x－1<0对一切实数x恒成立，则a的取值范围是(　　)
A.1C.－5答案：C
解析：当a＋1＝0，即a＝－1时，(a＋1)x2－(a＋1)x－1<0可化为－1<0，即不等式－1<0恒成立；
当a＋1≠0，即a≠－1时，因为(a＋1)x2－(a＋1)x－1<0对一切实数x恒成立，所以，
解得－54．不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－4，1)，则不等式b(x2＋1)－a(x＋3)＋c>0的解集为(　　)
A.
B.
C.
答案：B
解析：由题意知：－4，1是方程ax2＋bx＋c＝0的两个解，代入方程得到 b＝3a，c＝－4a，a<0，
不等式b(x2＋1)－a(x＋3)＋c>0可化为3a(x2＋1)－a(x＋3)－4a>0，
即3(x2＋1)－(x＋3)－4<0，解得x∈.
故选B.
5．[2022·陕西省名校高三检测]已知集合A＝{x|2x2＋x－6≤0}，B＝，则A＝(　　)
A.{x|－2≤x<1} B．{x|－2≤x≤1}
C.{x|－4≤x<2} D．
答案：A
解析：∵A＝{x|2x2＋x－6≤0}＝，B＝＝{x|－3练后领悟
1．明确解不等式的策略
(1)一元二次不等式：先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(＜0)(a>0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集．
(2)含指数、对数的不等式：利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解．
2．简单分式不等式的解法
(1)>0(<0) f(x)g(x)>0(<0)；
(2)≥0(≤0) f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
警示　解形如ax2＋bx＋c>0(a≠0)的一元二次不等式时，易忽视对系数a的讨论导致漏解或错解，要注意分a>0，a<0进行讨论．
考点二　基本不等式
——巧变形，会配凑
考点二　基本不等式——巧变形，会配凑
导向性 综合性强，考查转化思想．
原则性 核心考点，多在知识交汇处命题．注意构造法的应用．
1. [2022·济南市历城第二中学模拟]已知0A.5　　　B．6　　　C．7　　　D．8
答案：C
解析：＝＝－1，
因为2x＋1－2x＝1，又00，则－1＝[2x＋(1－2x)]－1＝3＋≥3＋2 ＝7，
当且仅当＝，即x＝时，取等号，即的最小值是7.故选C.
2．[2022·河南许昌模拟]已知a，b为正实数，且2a＋b＝1，则的最小值为(　　)
A.1 B．6 C．7 D．2
答案：B
解析：由已知条件得，＝＝＋4≥2 ＋4＝6，
当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号，∴ 的最小值为6.故选B.
3．[2022·河南许昌模拟]若直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则的最小值为(　　)
A. B． C．2 D．4
答案：D
解析：圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，圆心为(－1，2)，半径为2，若直线被截得的弦长为4，说明圆心在直线：2ax－by＋2＝0上，即－2a－2b＋2＝0，即a＋b＝1，∴＝(a＋b)＝2＋≥2＋2＝4，
当且仅当＝，即a＝b＝时，等号成立．故选D.
4．[2022·福建宁德模拟]已知点E是△ABC的中线BD上的一点(不包括端点)．若＝x＋y，则的最小值为(　　)
A.4 B．6 C．8 D．9
答案：C
解析：由题意得：点E是△ABC的中线BD上的一点(不包括端点)，则由共线向量定理可知：
设＝λ(0＜λ＜1)，∵＝＝＋λ＝＋λ()＝(1－λ)，∴x＝1－λ，y＝(x＞0，y＞0)，
∴＝＝()[(1－λ)＋λ]＝4＋≥4＋2 ＝8，
当且仅当＝，即λ＝时取等号，故的最小值为8.
5．[2022·甘肃张掖高三期末]在等差数列{an}中an>0，且a1＋a2＋…＋a2 019＝4 038，则的最大值等于(　　)
A.4 B．6 C．8 D．9
答案：A
解析：因为在等差数列{an}中a1＋a2＋…＋a2 019＝4 038，所以＝4 038，即a1＋a2 019＝4，
又an>0，所以a1·a2 019≤2＝4，
当且仅当a1＝a2 019＝2时，等号成立，所以，a1·a2 019的最大值为4.故选A.
6．[2022·甘肃兰州市第二中学模拟]若x>1，则4x＋的最小值为(　　)
A.6 B．8 C．10 D．12
答案：B
解析：因为x>1，所以x－1>0，>0，
因此4x＋＝4x－4＋＋4＝4(x－1)＋＋4≥2 ＋4＝8，
当且仅当4x－4＝，即x＝时，等号成立．故选B.
练后领悟
基本不等式求最值的3种解题技巧
(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．
(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值．
(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y＝m＋＋Bg(x)(A>0，B>0)，g(x)恒为正或恒为负的形式，然后运用基本不等式来求最值．
警示　
运用基本不等式时，一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指“正数”；“二定”指应用基本不等式求最值时，和或积为定值；“三相等”是指满足等号成立的条件．若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致，否则最值取不到．
考点三　线性规划
——以线为界画区域，用点坐标求最值
考点三　线性规划——以线为界画区域，用点坐标求最值
导向性 考查数形结合思想．
原则性 考查单一，但属高频考点．
1.[2022·四川遂宁市高三三模]若则z＝x＋y的最小值是________．
3
解析：作出可行域如图所示：
作出直线y＝－x＋t，经过A(0，3)，B(2，1)时，z＝x＋y取得最小值3.
2．设变量x，y满足线性约束条件 则目标函数z＝的最大值为(　　)
A.－ B．－
C.1 D．
答案：C
解析：由题意可得，线性约束条件表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示，其中A(2，1)，B(－1，4)，C(－2，－7)．目标函数z＝表示可行域内一点(x，y)与点P(－5，0)连线的斜率，因此结合图形可知，直线PB的斜率最大且斜率为＝1，故选C.
3．已知实数x，y满足 则(x＋1)2＋y2的最大值为(　　)
A.41 B．61
C.72 D．74
答案：B
解析：如图，作出不等式组对应的可行域，设z＝(x＋1)2＋y2，则z的几何意义是区域内的点到定点D(－1，0)距离的平方，依次计算出三条边界直线的3个交点坐标分别为A(1，0)，B(4，6)，C(0，2)，由图象知点B到D(－1，0)的距离最大，此时zmax＝52＋62＝61，故选B.
4．若实数x，y满足约束条件，则z＝的取值范围是(　　)
A.[0，2] B．[1，2]
C. D．
答案：D
解析：作出约束条件，所表示的平面区域，为如图所示的△ABC区域(包含边界)．z＝表示阴影区域内的点与点P(0，－1)连线的斜率．结合图形可知，点C(1，1)与点P的连线的斜率最大，且kPC＝2，点A(2，0)与点P的连线的斜率最小，且kPA＝，因此，z＝的取值范围是，故选D.
5．已知x，y满足约束条件则目标函数z＝3x＋2y的取值范围为________．

解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，可知当目标函数z＝3x＋2y经过点A时取得最小值，经过点B时取得最大值，联立解得点A坐标，代入目标函数得zmin＝3×＋2×＝；联立解得点B坐标(2，4)，同理得zmax＝14，所以z∈.
练后领悟
解决线性规划问题应把握三点
(1)首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．
(2)画可行域时应注意区域是否包含边界．
(3)对目标函数z＝Ax＋By中B的符号，一定要注意B的正负与z的最值的对应，要结合图形分析．
警示　解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y的系数的正负；注意最优整数解．
考点四　推理与证明
——以“理”助“推”，以“法”帮“推”
考点四　推理与证明——以“理”助“推”，以“法”帮“推”
导向性 考查逻辑推理的学科素养．
原则性 与数式、图形、解析几何、数列、数学文化交汇，属冷考点．
1.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则(　　)
A.乙可以知道其他两人的成绩
B.丁可以知道四人的成绩
C.乙、丁可以知道对方的成绩
D.乙、丁可以知道自己的成绩
答案：D
解析：甲、乙、丙、丁四位同学中有2位优秀，2位良好，因为甲看乙、丙的成绩后仍不知道自己的成绩，可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，故选D.
2．给出下列不等式：
1＋>1
1＋＋…＋>
1＋＋…＋>2
…
则按此规律可猜想第n个不等式为____________________________．
1＋＋…＋>(n∈N*)
解析：观察各式左边为的和的形式，项数分别为3，7，15，…，∴可猜想第n个式子中左边应有2n＋1－1项，不等式右边分别写成，…，∴猜想第n个式子中右边应为，按此规律可猜想此类不等式的一般形式为1＋＋…＋> (n∈N*)．
3．[2022·江苏苏州三模]为了更好地管理班级，班主任决定选若干名学生担任班主任助理，于是征求语、数、英三科任课教师的意见．语文老师：如果不选小李，那么不选小宋；数学老师：如果不选小宋，那么选小李；英语老师：小宋和小李两人中至少选一个并且至多选一个．若班主任同时采纳了三人的建议，则作出的选择是(　　)
A.选小宋，不选小李
B.选小李，不选小宋
C.两人都选
D.两人都不选
答案：B
解析：由英语老师的话易知，两人中选且只选一人，C、D错误，
由语文老师的话易知，如果不选小李，那么不选小宋，A错误，
由数学老师的话易知，如果不选小宋，那么选小李，B正确，故选B.
4．[2022·安徽马鞍山二模]相传在17世纪末期，莱布尼兹在太极八卦图的启示下，发明了二进制的记数方法．他发现，如果把太极八卦图中“连续的长划”(阳爻： )看作是1，把“间断的短划”(阴爻：
)看作是0，那么，用八卦就可以表示出从0到7这八个整数．后来，他又作了进一步的研究，最终发明了二进制的记数方法．下表给出了部分八卦符号与二进制数的对应关系：
卦名 坤 震 坎 兑 艮 离 巽 亁
八卦符号
二进制数 000 001 010 011 100 101 110 111
请根据上表判断，兑卦对应的八卦符号为(　　)
答案：C
解析：由题意兑卦对应的二进制数为011，
因为“连续的长划”(阳爻： )看作是1，把“间断的短划”(阴爻： )看作是0，
所以兑卦对应的八卦符号为 ．
故选C.
5．[2022·宁夏银川一中检测]如图，在3×3的方格中，移动规则如下：每行均可左右移动，每列均可上下移动，每次仅能对某一行或某一列进行移动，其他行或列不变化．
2 2 1
2 1 3
3 3 1
例如：
若想移动成每行的数字相同，则最少需要移动________次．
3
解析：易知最易达到的效果是第一行2，第二行1，第三行3，则需上下移动第三行，左右移动第二行．
故变换过程为
第三列上移1
2 2 1
2 1 3
3 3 1
2 2 3
2 1 1
3 3 1
第二行左移1
第三列上移1
故答案为3.
2 2 3
1 1 2
3 3 1
2 2 2
1 1 1
3 3 3
练后领悟
1．破解归纳推理题的思维3步骤
(1)发现共性：通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)．
(2)归纳推理：把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想)．
(3)检验结论：对所得的一般性命题进行检验，一般地，“求同存异”“逐步细化”“先粗后精”是求解由特殊结论推广到一般结论型创新题的基本技巧．
2．破解类比推理题的3个关键
(1)会定类，即找出两类对象之间可以确切表述的相似特征．
(2)会推测，即用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的猜想．
(3)会检验，即检验猜想的正确性．要将类比推理运用于简单推理之中，在不断的推理中提高自己的观察、归纳、类比能力．
警示　反证法证明命题进行假设时，应将结论进行否定，特别注意“至少”“至多”的否定要全面．