（统考版）2023高考数学二轮 第二篇 （练基础 快增分）第4讲 计数原理、二项式定理 课件（22张）
文档属性
| 名称 | （统考版）2023高考数学二轮 第二篇 （练基础 快增分）第4讲 计数原理、二项式定理 课件（22张） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-04-20 05:47:52 | ||
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文档简介
(共22张PPT)
第4讲 计数原理、二项式定理
考点一
考点二
考点一 计数原理与排列组合
考点一 计数原理与排列组合——分类加法、分步乘法，有序排列，无序组合
导向性 考查逻辑推理、数学运算素养，以生活应用为主．
原则性 排列与组合相结合，属冷考点．
1.[2022·福建莆田市莆田二中高三月考]2021年1月初，河北某区域的“新冠疫情”出现明显反弹，相关部门紧急从H省抽调包括甲、乙在内的七名医疗专家进驻该区域的三个疫情“高风险”地区进行协助防控，要求每个地区至少安排两名专家，则甲、乙两名专家安排在不同地区的概率为( )
A. B． C． D．
答案：A
解析：记事件A为“甲、乙两名专家安排在不同地区”，则基本事件的总数为＝630(种)．甲，乙两名专家安排在相同地区共有＝150(种)，所以P(A)＝1－＝，故选A.
2．四色定理(Four color theorem)又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一．它是于1852年由毕业于伦敦大学的格斯里(Francis Guthrie)提出来的，其内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色．”四色问题的证明进程缓慢，直到1976年，美国数学家运用电子计算机证明了四色定理．现某校数学兴趣小组给一个底面边长互不相等的直四棱柱容器的侧面和下底面染色，提出如下的“四色问题”：要求相邻两个面不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的染色方案有( )
A.18种 B．36种 C．48种 D．72种
答案：D
解析：涂色方案可分为两类，第一类只使用3种颜色的涂色方案，第二类使用4种颜色的涂色方案，只使用3种颜色的涂色方案有4×3×2种，使用4种颜色的涂色方案4×3×2×2种，所以不同的染色方案有4×3×2×(2＋1)＝72种．故选D.
3．[2022·长沙市湖南师大附中高三月考]如图，洛书(古称龟书)是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个数，则选取的3个数之和为奇数的方法数为( )
A.30 B．40 C．42 D．44
答案：B
解析：根据题意，4个阴数即4个偶数：2、4、6、8；5个阳数即1、3、5、7、9，
从中任选3个，使选出的三个数的和为奇数，共有两种可能：
①选出的3个数都是奇数，有
＝30种选法．
综上所述，一共有30＋10＝40种选法．故选B.
4．[2022·峨山彝族自治县第一中学模拟]在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23 145且小于43 521的数共有( )
A.56个 B．57个 C．58个 D．60个
答案：C
解析：第一类23 154，有1个，第二类234**形式，有2个，第三类235**形式，有2个，第四类24***形式，有＝6个，第五类25***形式，有＝6个，第六类3****形式，有＝24个，第七类41***形式，有＝6个，第八类42***形式，有＝6个，第九类43***形式，有－1＝5个，合计共58个．
练后领悟
解排列、组合的应用题，通常有以下途径
(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．
(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．
(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．
警示 注意排列、组合问题的3个易错点：(1)分类标准不明确，有重复或遗漏；(2)混淆排列问题与组合问题；(3)解决捆绑问题时，忘记“松绑”后的全排列．
考点二 二项式定理
考点二 二项式定理——抓住“通项”公式，区分两种系数
导向性 求展开式中的特定项或其系数，考查数学运算素养．
原则性 与代数式运算交汇，属冷考点．
1.[2022·银川市银川一中高三模拟](x＋)8的展开式中的常数项为( )
A.8 B．28 C．56 D．70
答案：B
解析：8的展开式的通项公式为Tr＋1＝x8－rr＝ ，
令8－r＝0，得r＝6，
所以8的展开式中的常数项为
故选B.
2．[2022·江西景德镇一中模拟]5的展开式中，x的系数为( )
A.8 B．9 C．10 D．20
答案：D
5＝5的展开式通项为Ar＋1＝r，
r的展开式通项为Bk＋1＝r－k·k＝，
所以5的展开式通项为
Tr＋1，k＋1＝，其中0≤k≤r≤5，k、r∈N，
令＝1，得r＝3k＋2≤5，得k≤1，
所以，展开式中x的系数为
故选D.
3．[2022·河北饶阳中学高三](x＋＋1)·()6的展开式中x2的系数为( )
A.72 B．60 C．48 D．36
答案：C
6的展开式的通项公式为：
Tr＋1＝)6－r·r＝·x3－r(r＝0，1，2，3，4，5，6)．
令3－r＝1，得r＝2；令3－r＝，得r＝ Z，舍去；令3－r＝2，得r＝1.
故(x＋＋1)·6的展开式中x2的系数为＝60－12＝48.故选C.
4．[2022·张家口市宣化第一中学高三月考]令(x＋1)2 020＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a2 020x2 019＋a2 021x2 020(x∈R)，则a2＋2a3＋…＋2 019a2 020＋2 020a2 021＝( )
A.2 019·22 019 B．2 019·22 020
C.2 020·22 019 D．2 020·22 020
答案：C
解析：由题可知，ar＋1＝，对(x＋1)2 020＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a2 020x2 019＋a2 021x2 020(x∈R)等式，两边分别求导可得：2 020(1＋x)2 019＝a2＋2a3x＋3a4x2＋…＋2 020a2 021x2 019，
所以2 020(1＋x)2 019＝，
令x＝1，有：2 020×22 019＝a2＋2a3＋…＋2 019a2 020＋2 020a2 021，故选C.
5．如图所示的是古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着的一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为荣的发现．设圆柱的体积与球的体积之比为m，圆柱的表面积与球的表面积之比为n，则6的展开式中的常数项是( )
A.15 B．－15 C． D．－
答案：A
解析：设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，所以圆柱的体积V1＝πR2×2R＝2πR3，球的体积V2＝，所以m＝＝＝.又圆柱的表面积为S1＝2πR×2R＋2πR2＝6πR2，球的表面积为S2＝4πR2，所以n＝＝＝＝1，6＝6，展开式的通项Tr＋1＝x12－3r(－1)r，令12－3r＝0，解得r＝4，其常数项为24＝15.故选A.
练后领悟
1．利用二项式定理求解相关问题的两种常用思路
(1)二项式定理中最关键的是通项公式，求展开式中特定的项或者特定项的系数均是利用通项公式和方程思想解决的．
(2)二项展开式的系数之和通常是通过对二项式及其展开式中的变量赋值得出的，注意根据展开式的形式给变量赋值．
2．应用通项公式时的注意点
(1)它表示二项展开式的任意项，只要n与r确定，该项就随之确定．
(2)Tr＋1是展开式中的第r＋1项，则不是第r项．
(3)公式中，a，b的指数和为n，且a，b不能随便颠倒位置．
(4)对二项式(a－b)n展开式的通项公式要特别注意符号问题．
第4讲 计数原理、二项式定理
考点一
考点二
考点一 计数原理与排列组合
考点一 计数原理与排列组合——分类加法、分步乘法，有序排列，无序组合
导向性 考查逻辑推理、数学运算素养，以生活应用为主．
原则性 排列与组合相结合，属冷考点．
1.[2022·福建莆田市莆田二中高三月考]2021年1月初，河北某区域的“新冠疫情”出现明显反弹，相关部门紧急从H省抽调包括甲、乙在内的七名医疗专家进驻该区域的三个疫情“高风险”地区进行协助防控，要求每个地区至少安排两名专家，则甲、乙两名专家安排在不同地区的概率为( )
A. B． C． D．
答案：A
解析：记事件A为“甲、乙两名专家安排在不同地区”，则基本事件的总数为＝630(种)．甲，乙两名专家安排在相同地区共有＝150(种)，所以P(A)＝1－＝，故选A.
2．四色定理(Four color theorem)又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一．它是于1852年由毕业于伦敦大学的格斯里(Francis Guthrie)提出来的，其内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色．”四色问题的证明进程缓慢，直到1976年，美国数学家运用电子计算机证明了四色定理．现某校数学兴趣小组给一个底面边长互不相等的直四棱柱容器的侧面和下底面染色，提出如下的“四色问题”：要求相邻两个面不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的染色方案有( )
A.18种 B．36种 C．48种 D．72种
答案：D
解析：涂色方案可分为两类，第一类只使用3种颜色的涂色方案，第二类使用4种颜色的涂色方案，只使用3种颜色的涂色方案有4×3×2种，使用4种颜色的涂色方案4×3×2×2种，所以不同的染色方案有4×3×2×(2＋1)＝72种．故选D.
3．[2022·长沙市湖南师大附中高三月考]如图，洛书(古称龟书)是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个数，则选取的3个数之和为奇数的方法数为( )
A.30 B．40 C．42 D．44
答案：B
解析：根据题意，4个阴数即4个偶数：2、4、6、8；5个阳数即1、3、5、7、9，
从中任选3个，使选出的三个数的和为奇数，共有两种可能：
①选出的3个数都是奇数，有
＝30种选法．
综上所述，一共有30＋10＝40种选法．故选B.
4．[2022·峨山彝族自治县第一中学模拟]在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23 145且小于43 521的数共有( )
A.56个 B．57个 C．58个 D．60个
答案：C
解析：第一类23 154，有1个，第二类234**形式，有2个，第三类235**形式，有2个，第四类24***形式，有＝6个，第五类25***形式，有＝6个，第六类3****形式，有＝24个，第七类41***形式，有＝6个，第八类42***形式，有＝6个，第九类43***形式，有－1＝5个，合计共58个．
练后领悟
解排列、组合的应用题，通常有以下途径
(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．
(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．
(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．
警示 注意排列、组合问题的3个易错点：(1)分类标准不明确，有重复或遗漏；(2)混淆排列问题与组合问题；(3)解决捆绑问题时，忘记“松绑”后的全排列．
考点二 二项式定理
考点二 二项式定理——抓住“通项”公式，区分两种系数
导向性 求展开式中的特定项或其系数，考查数学运算素养．
原则性 与代数式运算交汇，属冷考点．
1.[2022·银川市银川一中高三模拟](x＋)8的展开式中的常数项为( )
A.8 B．28 C．56 D．70
答案：B
解析：8的展开式的通项公式为Tr＋1＝x8－rr＝ ，
令8－r＝0，得r＝6，
所以8的展开式中的常数项为
故选B.
2．[2022·江西景德镇一中模拟]5的展开式中，x的系数为( )
A.8 B．9 C．10 D．20
答案：D
5＝5的展开式通项为Ar＋1＝r，
r的展开式通项为Bk＋1＝r－k·k＝，
所以5的展开式通项为
Tr＋1，k＋1＝，其中0≤k≤r≤5，k、r∈N，
令＝1，得r＝3k＋2≤5，得k≤1，
所以，展开式中x的系数为
故选D.
3．[2022·河北饶阳中学高三](x＋＋1)·()6的展开式中x2的系数为( )
A.72 B．60 C．48 D．36
答案：C
6的展开式的通项公式为：
Tr＋1＝)6－r·r＝·x3－r(r＝0，1，2，3，4，5，6)．
令3－r＝1，得r＝2；令3－r＝，得r＝ Z，舍去；令3－r＝2，得r＝1.
故(x＋＋1)·6的展开式中x2的系数为＝60－12＝48.故选C.
4．[2022·张家口市宣化第一中学高三月考]令(x＋1)2 020＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a2 020x2 019＋a2 021x2 020(x∈R)，则a2＋2a3＋…＋2 019a2 020＋2 020a2 021＝( )
A.2 019·22 019 B．2 019·22 020
C.2 020·22 019 D．2 020·22 020
答案：C
解析：由题可知，ar＋1＝，对(x＋1)2 020＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a2 020x2 019＋a2 021x2 020(x∈R)等式，两边分别求导可得：2 020(1＋x)2 019＝a2＋2a3x＋3a4x2＋…＋2 020a2 021x2 019，
所以2 020(1＋x)2 019＝，
令x＝1，有：2 020×22 019＝a2＋2a3＋…＋2 019a2 020＋2 020a2 021，故选C.
5．如图所示的是古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着的一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为荣的发现．设圆柱的体积与球的体积之比为m，圆柱的表面积与球的表面积之比为n，则6的展开式中的常数项是( )
A.15 B．－15 C． D．－
答案：A
解析：设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，所以圆柱的体积V1＝πR2×2R＝2πR3，球的体积V2＝，所以m＝＝＝.又圆柱的表面积为S1＝2πR×2R＋2πR2＝6πR2，球的表面积为S2＝4πR2，所以n＝＝＝＝1，6＝6，展开式的通项Tr＋1＝x12－3r(－1)r，令12－3r＝0，解得r＝4，其常数项为24＝15.故选A.
练后领悟
1．利用二项式定理求解相关问题的两种常用思路
(1)二项式定理中最关键的是通项公式，求展开式中特定的项或者特定项的系数均是利用通项公式和方程思想解决的．
(2)二项展开式的系数之和通常是通过对二项式及其展开式中的变量赋值得出的，注意根据展开式的形式给变量赋值．
2．应用通项公式时的注意点
(1)它表示二项展开式的任意项，只要n与r确定，该项就随之确定．
(2)Tr＋1是展开式中的第r＋1项，则不是第r项．
(3)公式中，a，b的指数和为n，且a，b不能随便颠倒位置．
(4)对二项式(a－b)n展开式的通项公式要特别注意符号问题．
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