（统考版）2023高考数学二轮 第三篇 （研重点 保大分）专题六 函数与导数 第1讲 函数的图象与性质 课件（46张）

(共46张PPT)
第1讲　函数的图象与性质
考点一
考点二
考点三
考点四
考点一　函数的概念与表示
——理清对应，分类先行
考点一　函数的概念与表示——理清对应，分类先行
1．函数的三要素
定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素，是一个整体，研究函数问题务必遵循“定义域优先”的原则．
2．分段函数
若函数在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．
例 1(1)[2022·北京卷]函数f(x)＝的定义域是______________；
(－∞，0)
解析：由题意可得解得x≤1且x≠0，所以函数f(x)的定义域为(－∞，0)
(2)[2022·浙江卷]已知函数f(x)＝则f＝________；若当x∈[a，b]时，1≤f(x)≤3，则b－a的最大值是________．
解析：因为f＝－＋2＝，所以f＝f＝－1＝.易得f(x)在(－∞，0)上是增函数，在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，且f(－1)＝1，f(0)＝2<3，f(1)＝1，则令x＋－1＝3(x>1)，得x＝2＋.所以当a＝－1，b＝2＋时，b－a取得最大值，为3＋.
3＋
归纳总结
1．函数定义域的求法
求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．
2．分段函数问题的5种常见类型及解题策略
(1)求函数值：弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算．
(2)求函数最值：分别求出每个区间上的最值，然后比较大小．
(3)解不等式：根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提．
(4)求参数：“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程．
(5)奇偶性：利用奇函数(偶函数)的定义判断．
对点训练
1.[2022·河源市河源中学模拟]函数f(x)＝的定义域为_________________．
(－∞，2)
解析：由题意可知log2(2x2－9x＋14)－2>0，而以2为底的对数函数是单调递增的，因此2x2－9x＋14>4，求解可得x<2或x>.
2．[2022·河北正定中学高三模拟]已知函数f(x)＝，则f(－10)＝________．
32
解析：∵f(x)＝，
∴f(－10)＝2f(－7)＝4f(－4)＝8f(－1)＝16f(2)＝32.
考点二　函数的性质及应用
——“四性”交汇贯通
考点二　函数的性质及应用——“四性”交汇贯通
1．函数图象的对称性
(1)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；
(2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝－f(a－x)，即f(x)＝－f(2a－x)，则y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称．
2．函数的单调性
单调性是函数在其定义域上的局部性质．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．
3．函数的奇偶性
(1)若f(x)是偶函数，则f(x)＝________．
(2)若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)＝________．
(3)奇函数在关于原点对称的区间内有________的单调性，偶函数在关于原点对称的区间内有________的单调性．
f(|x|)
0
相同
相反
4．函数的周期性
(1)若y＝f(x)对x∈R，f(x＋a)＝f(x－a)或f(x＋2a)＝f(x)(a>0)恒成立，则y＝f(x)是周期为________的周期函数．
(2)若y＝f(x)是偶函数，其图象又关于直线x＝a对称，则f(x)是周期为________的周期函数．
(3)若y＝f(x)是奇函数，其图象又关于直线x＝a对称，则f(x)是周期为________的周期函数．
(4)与函数周期性有关的3条结论
①若f(x＋T)＝f(x)，则________是f(x)的一个周期；
②若f(x＋T)＝，则________是f(x)的一个周期；
③若f(x＋T)＝－，则________是f(x)的一个周期．
2a
2|a|
4|a|
|T|
2|T|
2|T|
例 2 (1)[2022·全国乙卷]已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f(x－4)＝7.若y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，g(2)＝4，则＝(　　)
A．－21 B．－22
C．－23 D．－24
答案：D
解析：若y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，则g(2－x)＝g(2＋x)．因为f(x)＋g(2－x)＝5，所以f(－x)＋g(2＋x)＝5，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．由g(2)＝4，f(0)＋g(2)＝5，得f(0)＝1.由g(x)－f(x－4)＝7，得g(2－x)＝f(－x－2)＋7，代入f(x)＋g(2－x)＝5，得f(x)＋f(－x－2)＝－2，所以f(x)的图象关于点(－1，－1)中心对称，所以f(1)＝f(－1)＝－1.由f(x)＋f(－x－2)＝－2，f(－x)＝f(x)，得f(x)＋f(x＋2)＝－2，所以f(x＋2)＋f(x＋4)＝－2，所以f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)为周期函数，且周期为4.由f(0)＋f(2)＝－2，得f(2)＝－3.又因为f(3)＝f(－1)＝f(1)＝－1，所以f(4)＝－2－f(2)＝1，所以＝6f(1)＋6f(2)＋5f(3)＋5f(4)＝6×(－1)＋6×(－3)＋5×(－1)＋5×1＝－24.故选D.
(2)[2022·山师大附中高三模拟]已知定义域为R的函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝0，且f(1－x)＝f(1＋x)，则下列结论一定正确的是(　　)
A．f(x＋2)＝f(x)
B．函数y＝f(x)的图象关于点(2，0)对称
C．函数y＝f(x＋1)是奇函数
D．f(2－x)＝f(x－1)
答案：B
解析：对于A选项，因为f(－x)＋f(x)＝0，且f(1－x)＝f(1＋x)，
则f(1－(1＋x))＝f(1＋(1＋x))，即f(x＋2)＝－f(x)，A错；
对于B选项，因为f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
因为f(－x)＋f(x)＝0，则f(－(2＋x))＋f(2＋x)＝0，
即f(2＋x)＝－f(－2－x)＝－f(2－x)，即f(2＋x)＋f(2－x)＝0，
故函数y＝f(x)的图象关于点(2，0)对称，B对；
对于C选项，因为f(1－x)＝f(1＋x)，故函数y＝f(x＋1)是偶函数，C错；
对于D选项，因为f(1－x)＝f(1＋x)，则f(1＋1－x)＝f(1－(1－x))，即f(2－x)＝f(x)≠f(x－1)，D错．故选B.
(3)[2022·全国乙卷]若f＝ln ＋b是奇函数，则a＝________，b＝________．
－
ln 2
解析：本题先采用特殊值法求出f(x)，再检验正确性．因为f(x)为奇函数，所以即
由①可得－b＝ln |a＋1|　③.将③代入②可得，＝|a＋1|2.当(a－1)(a＋)＝(a＋1)2时，解得a＝－.把a＝－代入①，可得b＝ln 2，此时f (x)＝ln ＋ln 2＝ln ，所以f(－x)＋f (x)＝ln ＋ln ＝ln 1＝0，所以f (x)为奇函数，且f(0)，f(2)，f(－2)均有意义．当(a－1)(a＋)＝－(a＋1)2时，整理可得a2＋a＋＝0，此时Δ＝－4×<0，所以a无解．综上可得，a＝－，b＝ln 2.
归纳总结
高考常考函数四个性质的应用
(1)奇偶性，具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上，其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可以转化到部分(一般取一半)区间上，注意偶函数常用结论f(x)＝f(|x|)；
(2)单调性，可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性；
(3)周期性，利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题转化到已知区间上求解；
(4)对称性，常围绕图象的对称中心设置试题背景，利用图象对称中心的性质简化所求问题．
对点训练
1.[2021·全国乙卷]设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　　)
A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1
C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1
答案：B
解析：方法一　因为f(x)＝，所以f(x－1)＝＝，f(x＋1)＝＝.
对于A，F(x)＝f(x－1)－1＝－1＝，定义域关于原点对称，但不满足F(x)＝－F(－x)；
对于B，G(x)＝f(x－1)＋1＝＋1＝，定义域关于原点对称，且满足G(x)＝－G(－x)；
对于C，f(x＋1)－1＝－1＝＝－，定义域不关于原点对称；
对于D，f(x＋1)＋1＝＋1＝＝，定义域不关于原点对称．故选B.
方法二　f(x)＝＝＝－1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y＝f(x)的图象向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的图象对应的函数为y＝f(x－1)＋1，故选B.
2．[2021·全国甲卷]设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝6，则f＝(　　)
A．－　　　B．－　　　C．　　　D．
答案：D
解析：由于f(x＋1)为奇函数，所以函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，即有f(x)＋f(2－x)＝0，所以f(1)＋f(2－1)＝0，得f(1)＝0，即a＋b＝0　①.由于f(x＋2)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，即有f(x)－f(4－x)＝0，所以f(0)＋f(3)＝－f(2)＋f(1)＝－4a－b＋a＋b＝－3a＝6　②.根据①②可得a＝－2，b＝2，所以当x∈[1，2]时，f(x)＝－2x2＋2.根据函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，且关于点(1，0)对称，可得函数f(x)的周期为4，所以f＝f＝－f＝2×－2＝.
考点三　函数的图象及应用
——识图用图，数形结合
考点三　函数的图象及应用——识图用图，数形结合
　作函数图象有两种基本方法
一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．
例 3 (1)[2022·全国乙卷]如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3，3]的大致图象，则该函数是(　　)
A．y＝　　　　B．y＝
C．y＝ D．y＝
答案：A
解析：对于B选项，当x＝1时，y＝0，与图象不符，故B不符合题意．对于C选项，当x＝3时，y＝＝cos 3.因为cos 3>－1，所以cos 3>－，与图象不符，故C不符合题意．对于D选项，当x＝3时，y＝>0，与图象不符，故D不符合题意．综上，用排除法选A.
(2)已知函数f(x)是定义在[2，＋∞)的单调递增函数，若f(2a2－5a＋4)A．
B．[2，6)
C．
D．(0，6)
答案：C
解析：因为函数f(x)是定义在[2，＋∞)的单调递增函数，且f(2a2－5a＋4)所以 ，
解得0(3)设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0，1]时，f(x)＝x(x－1)．若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－，则m的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
答案：B
解析：当－1则f(x)＝f(x＋1)＝(x＋1)x；
当1f(x)＝
由此作出函数f(x)的图象，如图所示．由图可知当2归纳总结
识图、用图的方法技巧
(1)识图：①从函数的定义域判断函数图象的左右位置，从函数的值域判断函数图象的上下位置，②从函数的单调性判断函数图象的变化趋势，③从函数的奇偶性判断函数图象的对称性，④从函数的周期性判断函数图象的变化规律，⑤分析函数解析式，取特殊值排除不符合要求的图象．
(2)用图：在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究．
对点训练
1.[2022·全国甲卷]函数y＝(3x－3－x)cos x在区间的图象大致为(　　)
答案：A
解析：设函数f(x)＝(3x－3－x)cos x，则对任意x∈[－]，都有f(－x)＝(3－x－3x)cos (－x)＝－(3x－3－x)cos x＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，因此排除B，D选项，又f(1)＝(3－3－1)cos 1＝cos 1＞0，所以排除C选项．故选A.
2．[2022·海南中学高考模拟]若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是(　　)
A．[－1，1]
B．[－3，－1]
C．[－1，0]
D．[－1，0]
答案：D
解析：因为定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，
所以f(x)在(0，＋∞)上也是单调递减，且f(－2)＝0，f(0)＝0，
所以当x∈(－∞，－2)时，f(x)>0，当x∈(－2，0)时，f(x)<0，
所以由xf(x－1)≥0可得：
或或x＝0，
解得：－1≤x≤0或1≤x≤3，
所以满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1，0]故选D.
3．函数f(x)＝是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．－≤a<0 B．a≤－
C．－1≤a≤－ D．a≤－1
答案：D
解析：因为f(x)＝是R上的单调递减函数，所以其图象如图所示，
则
解得a≤－1，故选D.
考点四　新定义下的函数
考点四　新定义下的函数　
[交汇创新]——紧扣定义，学会翻译，知识转化，顺利获解
新定义函数问题主要包括两类：(1)概念型：即基于函数概念背景的新定义问题，此类问题常以函数的三要素(定义域、对应法则、值域)作为重点，考查考生对函数概念的深入理解；(2)性质型：即基于函数性质背景的新定义问题，主要涉及函数的单调性、奇偶性、周期性、有界性、对称性等性质及有关性质的延伸，旨在考查考生灵活应用函数性质的能力．
例 4 在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f(x)的图象恰好经过n(n∈N*)个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数．给出下列函数：
①f(x)＝sin 2x；②g(x)＝x3；③h(x)＝；④φ(x)＝ln x.
其中是一阶整点函数的是(　　)
A．①②③④ B．①③④
C．①④ D．④
答案：C
解析：对于函数f(x)＝sin 2x，它的图象只经过一个整点(0，0)，所以它是一阶整点函数，排除D；对于函数g(x)＝x3，它的图象(图略)经过整点(0，0)，(1，1)，…，所以它不是一阶整点函数，排除A；对于函数h(x)＝，它的图象(图略)经过整点(0，1)，(－1，3)，…，所以它不是一阶整点函数，排除B.
归纳总结
本题意在考查学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养．破解新定义函数题的关键是：紧扣新定义的函数的含义，学会语言的翻译、新旧知识的转化，便可使问题顺利获解．如本例，若能把新定义的一阶整点函数转化为函数f(x)的图象恰好经过1个整点，问题便迎刃而解．
对点训练
设函数f(x)的定义域为D，如果对任意的x∈D，存在y∈D，使得f(x)＝－f(y)成立，则称函数f(x)为“☆函数”. 给出下列四个函数：①y＝x＋3；②y＝x2－4x＋5；③y＝x3－5；④y＝|2x－x2|.则其中是“☆函数”的有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案：B
解析：由题意，得“☆函数”f(x)的值域关于原点对称，因为y＝x＋3与y＝x3－5的值域都为R，所以这两个函数均为“☆函数”，而y＝x2－4x＋5的值域为[1，＋∞)，y＝|2x－x2|的值域为[0，＋∞)，故不是“☆函数”，故选B.