（统考版）2023高考数学二轮 第三篇 （研重点 保大分）专题六 函数与导数 第2讲 基本初等函数、函数与方程课件（34张）

(共34张PPT)
第2讲　基本初等函数、函数与方程
考点一
考点二
考点三
考点一　基本初等函数的图象与性质——对比学习，类比应用
考点一　基本初等函数的图象与性质——对比学习，类比应用
1．指数与对数式的七个运算公式
(1)am·an＝________；
(2)(am)n＝________；
(3)loga(MN)＝___________；
(4)loga＝___________；
(5)logaMn＝________；
(6)＝________；
(7)logaN＝________．
注：a>0且a≠1，b>0且b≠1，M>0，N>0.
am＋n
amn
logaM＋logaN
logaM－logaN
nlogaM
N
2．指数函数与对数函数的图象和性质
指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象和性质，分01两种情况，当a>1时，两函数在定义域内都为________，当0增函数
减函数
例 1 (1)[2022·安徽淮南二模]1947年，生物学家Max Kleiber发表了一篇题为《body size and metabolicrate》的论文，在论文中提出了一个克莱伯定律：对于哺乳动物，其基础代谢率与体重的次幂成正比，即F＝，其中F为基础代谢率，M为体重．若某哺乳动物经过一段时间生长，其体重为原来的10倍，则基础代谢率为原来的(参考数据：≈1.778 3)(　　)
A．5.4倍 B．5.5倍
C．5.6倍 D．5.7倍
答案：C
解析：设该哺乳动物原体重为M1、基础代谢率为F1，则F1＝，
经过一段时间生长，其体重为10M1，基础代谢率为F2，则F2＝，
则F2＝＝＝F1，则＝≈1.778 33≈5.6，故选C.
(2)[2022·天津一中一模]设a＝ln ，b＝0.50.8，c＝0.8－0.5，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．cC．a答案：C
解析：∵ln 0.80＝1，∴c>a，c>b；
∵ln ＝ln ＝ln 0.51＝，∴b>a；
∴a(3)已知f(x)为R上的奇函数，f(2)＝2，若 x1，x2∈(0，＋∞)且x1>x2，都有>0，则不等式(x－1)f(x－1)<4的解集为(　　)
A．(－∞，－1)
B．(－∞，3)
C．(－1，3)
D．(－1，＋∞)
答案：C
解析：由>0，得>0，
设g(x)＝xf(x)，
则g(x)在(0，＋∞)上单调递增，∵f(x)为奇函数，
∴g(x)为偶函数，
而g(x－1)＝(x－1)f(x－1)<4＝2f(2)＝g(2)，则<2，解得－1归纳总结
基本初等函数的图象与性质的应用技巧
(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a的值不确定时，要注意分a>1和01时，两函数在定义域内都为增函数；当0(2)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断；
(3)对于幂函数y＝xα的性质要注意α>0和α<0两种情况的不同．
对点训练
1.[2022·黑龙江哈九中三模]牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：θ－θ0＝(θ1－θ0)e－kt，(其中t为时间(单位：min)，θ0为环境温度，θ1为物体初始温度，θ为冷却后温度)，假设在室内温度为20 ℃的情况下，一杯开水由100 ℃降低到60 ℃需要10 min.则k的值约为(结果精确到0.001，参考数据：e2≈7.389，ln 2≈0.693)(　　)
A．0.035 B．0.069
C．0.369 D．0.740
答案：B
解析：由题意可知θ0＝20 ℃，θ1＝100 ℃，θ＝60 ℃，t＝10 min，
则有60－20＝(100－20)e－10k，
所以e－10k＝，所以k＝≈0.069.故选B.
2．[2020·天津卷]设a＝30.7，b＝，c＝log0.70.8，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．aC．b答案：D
解析：由题知c＝log0.70.830.7＝a>1，所以c3．[2022·江西师大附中模拟预测]已知函数f(x)＝则不等式f(x)解析：当x≤1时，不等式f(x)当1当x>2时，不等式f(x)2；
综上，解集为.
考点二　函数的零点——“零点”“实根”相互转化
考点二　函数的零点——“零点”“实根”相互转化
1．函数的零点及其方程根的关系
对于函数f(x)，使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．
2．零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
角度 1 确定函数零点的个数或其存在范围
例 2 (1)函数f(x)＝log3x＋x－2的零点所在的区间为(　　)
A．(0，1)　　　　B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
答案：B
解析：(1)方法一(定理法)　函数f(x)＝log3x＋x－2的定义域为(0，＋∞)，并且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，图象是一条连续的曲线．
由题意知f(1)＝－1<0，f(2)＝log32>0，f(3)＝2>0，
根据零点存在性定理可知，函数f(x)＝log3x＋x－2有唯一零点，且零点在区间(1，2)内．故选B.
方法二(图象法)　将函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝log3x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围，作出两函数图象如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1，2)．故选B.
(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是(　　)
A．5　　　B．4　　　C．3　　　D．2
答案：B
解析：∵偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，∴函数的周期为2.当x∈[0，1]时，f(x)＝x，故当x∈[－1，0]时，f(x)＝－x.函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数等于函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象的交点个数．在同一个坐标系中画出函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象，如图所示．显然函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象有4个交点，故选B.
归纳总结
1．判断函数在某个区间上是否存在零点的方法
(1)解方程：当函数对应的方程易求解时，可通过解方程判断方程是否有根落在给定区间上；
(2)利用零点存在性定理进行判断；
(3)画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
2．判断函数零点个数的方法
(1)直接求零点：令f(x)＝0，则方程解的个数即为零点的个数．
(2)利用零点存在性定理：利用该定理还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．
(3)数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图形时，常会通过分解转化为两个能画出图象的函数交点问题．
角度 2 根据函数的零点求参数的取值或范围
例 3 函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，3)内，则实数a的取值范围是(　　)
A．(7，＋∞)
B．(－∞，－1)
C．(－∞，－1)
D．(－1，7)
答案：D
解析：∵y＝2x和y＝－在(0，＋∞)上是增函数，
∴f(x)＝2x－－a在(0，＋∞)上是增函数，
∵y＝f(x)的一个零点在区间(1，3)内，
∴只需f(1)·f(3)<0即可，即(－1－a)·(7－a)<0，解得－1归纳总结
利用函数零点的情况求参数的范围的3种方法
对点训练
1.[2022·安徽安庆一中高三期末]函数f(x)＝x＋log2x的零点所在的区间为(　　)
A． B． C． D．
答案：B
解析：f(x)＝x＋log2x为(0，＋∞)上的递增函数，
f＝＋log2＝－log23<－log22＝－<0，
f＝＋log2＝－<0，
f＝＋log2＝－log23＝(5－3log23)＝(log232－log227)>0，
f＝＋log2＝－＋log23＝＝(－log232＋log281)>0，
则函数f(x)＝x＋log2x的零点所在的区间为，故选B.
2．[2022·黑龙江哈师大附中三模]已知有且只有一个实数x满足x3－ax－1＝0，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2) B．(－∞，－)
C．(－∞，2] D．(－∞，)
答案：D
解析：x＝0显然不是x3－ax－1＝0的根，所以x≠0，
因此只有一个实数x满足x3－ax－1＝0等价于方程a＝x2－只有一个实数根．
令f(x)＝x2－，∴f′(x)＝2x＋，令f′(x0)＝2x0＋＝0 x0＝，故可知：
当x∈ 时，f′(x)<0 ，此时f(x)单调递减，
当x∈ 时，f′(x)>0 ，此时f(x)单调递增，当x∈(0，＋∞) 时，f′(x)>0 ，此时f(x)单调递增，且当x＝－100时，f(x)＝10 000＋，
x＝100时，f(x)＝10 000－，当x＝－时，f(x)＝＋100，
当x＝时，f(x)＝－100，故f(x)图象如图：
故a考点三　函数模型的应用
——提取信息，合理建模
考点三　函数模型的应用——提取信息，合理建模
应用函数模型解决实际问题的一般程序
.
例 4 [2022·四川省泸县第二中学模拟]2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金150万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10万元．若要实现2024年初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长率应为(参考值：≈1.22，≈1.2)(　　)
A．10% B．20% C．22% D．32%
答案：B
解析：由题意，设年平均增长率为x，则150(1＋x)3＋10＝270，
所以x＝ －1≈1.2－1＝0.2，故年平均增长率为20%.故选B.
归纳总结
解决函数实际应用题的两个关键点
(1)认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学地抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题．
(2)要合理选取参变量，设定变量之后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数模型，最终求解数学模型使实际问题获解．
对点训练
[2021·全国甲卷]青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)(　　)
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6

答案：C
解析：4.9＝5＋lg V lg V＝－0.1 V＝＝≈≈0.8，所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.