（统考版）2023高考数学二轮 第三篇 （研重点 保大分）专题六 函数与导数 第3讲 导数的简单应用 课件（29张）

(共29张PPT)
第3讲　导数的简单应用
考点一
考点二
考点三
考点一　导数的几何意义
——明切点，建方程
考点一　导数的几何意义——明切点，建方程
1．导数公式
(1)(sin x)′＝________；
(2)(cos x)′＝________；
(3)(ax)′＝________(a>0，且a≠1)；
(4)(logax)′＝________(a>0，且a≠1)．
2．导数的几何意义
函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为_________________．
cos x
－sin x
ax ln a
y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)
例 1 (1)[2022·四川泸州二模]已知曲线y＝在点处的切线方程为y＝x＋b，则a的值是(　　)
A． B．－2
C．－ D．2
答案：D
解析：曲线y＝f(x)＝，求导得到f′(x)＝ ，
曲线在点(π，－)处的切线的斜率为f′(π)＝＝ a＝2 故选D.
(2)[2022·新高考Ⅱ卷]曲线y＝ln |x|过坐标原点的两条切线的方程为
_______，________．
解析：当x>0时，y＝ln x，y′＝.假设此时直线与曲线y＝ln x相切于点(x1，ln x1)(x1>0)，则此时切线方程为y－ln x1＝(x－x1)．若该切线经过原点，则ln x1－1＝0，解得x1＝e，此时切线方程为y＝.当x<0时，y＝ln (－x)，y′＝.假设此时直线与曲线y＝ln (－x)相切于点(x2，ln (－x2))(x2<0)，则此时切线方程为y－ln (－x2)＝(x－x2).若该切线经过原点，则ln (－x2)－1＝0，解得x2＝－e，此时切线方程为y＝－.
y＝
y＝－
归纳总结
求曲线y＝f(x)的切线方程的三种类型及方法
(1)已知切点P(x0，y0)，求y＝f(x)过点P的切线方程：求出切线的斜率f′(x0)，由点斜式写出方程．
(2)已知切线的斜率为k，求y＝f(x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程．
(3)已知切线上一点(非切点)，求y＝f(x)的切线方程：
设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，然后由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程．
对点训练
1.[2022·山西临汾一模]已知函数f(x)＝2e2ln x＋x2，则曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为(　　)
A．4ex－y＋e2＝0 B．4ex－y－e2＝0
C．4ex＋y＋e2＝0 D．4ex＋y－e2＝0
答案：B
解析：因为f(x)＝2e2ln x＋x2，所以f′(x)＝＋2x，
所以f(e)＝2e2ln e＋e2＝3e2，f′(e)＝4e，
所以曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为y－3e2＝4e(x－e)，即4ex－y－e2＝0.故选B.
2．[2022·湖南永州二模]若函数y＝ax2与y＝ln x存在两条公切线，则实数a的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
答案：D
解析：设切线与曲线y＝ln x相切于点(t，ln t)，对函数y＝ln x求导得y′＝，
所以，曲线y＝ln x在点(t，ln t)处的切线方程为y－ln t＝(x－t)，即y＝x＋ln t－1，
联立可得ax2－x＋1－ln t＝0，
由题意可得a≠0且Δ＝－4a(1－ln t)＝0，可得＝t2－t2ln t，
令g(t)＝t2－t2ln t，其中t>0，则g′(t)＝2t－(2t ln t＋t)＝t(1－2ln t)．
当00，此时函数g(t)单调递增，
当t>时，g′(t)<0，此时函数g(t)单调递减，所以，g(t)max＝g()＝.
且当00，当t>e时，g(t)<0，如图所示：
由题意可知，直线y＝与曲线y＝g(t)有两个交点，则0<<，解得a>.故选D.
考点二　
利用导数研究函数的单调性
考点二　利用导数研究函数的单调性——单调性的“克星”(导数)
导数与函数单调性的关系
(1)f′(x)>0是f(x)为增函数的__________条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.
(2)f′(x)≥0是f(x)为增函数的__________条件，当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，f(x)为常数函数，不具有单调性．
充分不必要
必要不充分
例 2 (1)若函数f(x)＝x3＋x2＋2x－m ln x在(0，3]上单调递减，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，24)　　　B．(－∞，24]
C．(24，＋∞) D．[24，＋∞)
答案：D
解析：依题意得，f′(x)＝x2＋x＋2－≤0在(0，3]上恒成立且f′(x)＝0不恒成立，
所以m≥x3＋x2＋2x在(0，3]上恒成立，等价于x3＋x2＋2x)max，x∈(0，3].
设g(x)＝x3＋x2＋2x，x∈(0，3]，则g′(x)＝x2＋2x＋2，
易知g′(x)＝(x＋1)2＋1在(0，3]上单调递增，所以g′(x)>2>0，
所以g(x)在(0，3]上单调递增，所以g(x)在(0，3]上的最大值为g(3)＝×33＋32＋2×3＝24，所以m≥24.故选D.
(2)[2022·辽宁省实验中学高三模拟]已知f(x)是定义在R上的奇函数，f′(x)是f(x)的导函数，当x>0时，f′(x)ln (2x)＋>0，且f≠0，则不等式(x－2)f(x)<0的解集是(　　)
A．(－∞，0)
C．(2，＋∞) D．(－∞，0)
答案：B
解析：令g(x)＝f(x)ln (2x)，则g′(x)＝f′(x)ln (2x)＋>0，
所以函数g(x)在(0，＋∞)上递增，
又因为g＝0，所以当x∈时，g(x)<0，
当x∈时，g(x)>0，
又因为当x∈时，ln (2x)<0，当x∈时，ln (2x)>0，
所以当x∈时，f(x)>0，当x∈时，f(x)>0，
又因为f≠0，所以当x>0时，f(x)>0，
因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，当x<0时，f(x)<0，
由不等式(x－2)f(x)<0，得或，解得0所以不等式(x－2)f(x)<0的解集是(0，2)．故选B.
归纳总结
由函数的单调性求参数的取值范围
(1)可导函数f(x)在区间D上单调递增(或递减)求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)对x∈D恒成立问题，再参变分离，转化为求最值问题，要注意“＝”是否取到．
(2)可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成不等式问题．
(3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围．
(4)若已知f(x)在区间D上不单调，则f(x)在D上有极值点，且极值点不是D的端点．
对点训练
1.已知函数f(x)＝－ln x＋x2＋5，则其单调递增区间为(　　)
A．(0，1] B．[0，1]
C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)
答案：D
解析：由题意知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，因为f(x)＝－ln x＋x2＋5，所以f′(x)＝－＋x＝(x2－1)．由 x>1，故选D.
2．[2022·武汉部分重点中学联考]若函数f(x)＝＋b ln (x＋1)在(－1，2]内存在单调递减区间，则实数b的取值范围是________．
(－∞，6)
解析：由函数f(x)＝－x2＋b ln (x＋1)在(－1，2]内存在单调递减区间知，
f′(x)＝－x＋<0在(－1，2]内有解，即b记g(x)＝x2＋x，x∈(－1，2]，则b由g(x)＝x2＋x＝(x＋)2－，x∈(－1，2]，可知当x＝2时，g(x)max＝g(2)＝6，
所以b<6，即实数b的取值范围是(－∞，6)．
考点三　利用导数研究函数极值、最值
考点三　利用导数研究函数极值、最值——导数拿下“峰”与“谷”
　
导数与函数的极值、最值的关系
(1)y＝f(x)满足f′(x0)＝0.若在x0附近左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则f(x0)为函数f(x)的________值；若在x0附近左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则f(x0)为函数f(x)的________值．
(2)设函数y＝f(x) 在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在[a，b]上必有_______值和______值且在极值点或端点处取得．
极大
极小
最大
最小
例 3 (1)[2022·全国乙卷(文)]函数f(x)＝cos x＋sin x＋1在区间的最小值、最大值分别为(　　)
A．－ B．－
C．－＋2 D．－＋2
答案：D
解析：因为f(x)＝cos x＋(x＋1)sin x＋1，所以f′(x)＝－sin x＋sin x＋(x＋1)cos x＝(x＋1)·cos x．因为x∈[0，2π]，所以x＋1>0.当f′(x)>0时，解得x∈[0，，2π]；当f′(x)<0时，解得x∈()．所以f(x)在[0，)上单调递增，在[]上单调递减，在(，2π]上单调递增．又f(0)＝2，f()＝＋2，f()＝－，f(2π)＝2，所以f(x)的最大值为＋2，最小值为－.故选D.
(2)[2022·河南省实验中学一模]设m≠0 ，若x＝m为函数f(x)＝m(x－m)2(x－n)的极小值点，则(　　)
A．m>n B．mC．<1 D．>1
答案：C
解析：f′(x)＝m[2(x－m)(x－n)＋(x－m)2]＝3m(x－m)· ，
若m＜0 ，f′(x) 是开口向下的抛物线，x＝m是极小值点，
必有m＜，n＞m ，即＜1 ，
若m＞0 ，f′(x) 是开口向上的抛物线，x＝m是极小值点，
必有m＞，n＜m，即＜1.故选C.
归纳总结
利用导数研究函数极值问题的注意点
(1)已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
(2)导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以求解后必须检验．
对点训练
1.[2022·河南新乡二模]已知a>0，函数f(x)＝a2x－x3的极小值为－，则a＝(　　)
A． B．1
C． D．
答案：C
解析：f′(x)＝－x2＋a2＝－(x－a)(x＋a)，则f(x)在(－∞，－a)和(a，＋∞)上单调递减，在(－a，a)上单调递增，所以f(x)极小值＝f(－a)＝－a3＋a3＝－a3＝－，则a3＝2，则a＝.故选C.
2．已知函数f(x)＝(x2－mx－m)ex＋2m(m∈R)在x＝0处取得极小值，则m＝________，f(x)的极大值是________．
0
4e－2
解析：由题意知，f′(x)＝[x2＋(2－m)x－2m]ex，f′(0)＝－2m＝0，解得m＝0，∴f(x)＝x2ex，f′(x)＝(x2＋2x)ex.令f′(x)>0，解得x<－2或x>0，令f′(x)<0，解得－2