（统考版）2023高考数学二轮 第三篇 （研重点 保大分）专题七 选考系列 第1讲 坐标系与参数方程 课件（28张）

(共28张PPT)
第1讲　坐标系与参数方程
考点一
考点二
考点三
考点一　极坐标方程的应用
考点一　极坐标方程的应用——“极”“直”要统一，“ρ”“θ”用意义
1．极坐标与直角坐标的互化
设M为平面上的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面的关系式成立：
顺便指出，上式对ρ<0也成立．(一般认为ρ≥0)
这就是极坐标与直角坐标的互化公式．
2．圆的极坐标方程
(1)圆心在极点，半径为R的圆的极坐标方程为ρ＝R.
(2)圆心在极轴上的点(a，0)处，且过极点O的圆的极坐标方程为ρ＝2a cos θ.
(3)圆心在点处且过极点O的圆的极坐标方程为ρ＝2a sin θ.
例 1 [2022·河南安阳模拟预测]在直角坐标系xOy中，⊙C1的圆心为C1(1，1)，半径为.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C2的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
(1)求C1的极坐标方程，判断C1，C2的位置关系；
(2)求经过曲线C1，C2交点的直线的斜率．
解析：(1)由题意，⊙C1的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，即x2＋y2－2x－2y＝0，故C1的极坐标方程为ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ，即ρ＝2cos θ＋2sin θ，又⊙C2的极坐标方程为ρ2＝2ρcos θ，即x2＋y2＝2x，(x－)2＋y2＝2.因为C1C2＝ ＝ ， C1，C2半径相等，半径和为2，且C1C2＝ <＝2<2，故C1，C2相交．
故C1的极坐标方程ρ＝2cos θ＋2sin θ，C1，C2相交．
(2)由(1)C1：ρ＝2cos θ＋2sin θ，C2：ρ＝2cos θ均经过极点且相交，联立有2cos θ＋2sin θ＝2cos θ，显然cos θ≠0，故2＋2tan θ＝2，即tan θ＝－1，即经过曲线C1，C2交点的直线的斜率为－1.
归纳总结
1．求曲线的极坐标方程的一般思路
求曲线的极坐标方程问题通常可利用互化公式转化为直角坐标系中的问题求解，然后再次利用互化公式即可转化为极坐标方程，熟练掌握互化公式是解决问题的关键．
2．解决极坐标问题的一般思路
一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标．
对点训练
[2021·全国乙卷]在直角坐标系xOy中，⊙C的圆心为C(2，1)，半径为1.
(1)写出⊙C的一个参数方程；
(2)过点F(4，1)作⊙C的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．
解析：(1)由题意知⊙C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1，
则⊙C的参数方程为(α为参数)．
(2)由题意可知，切线的斜率存在，设切线方程为y－1＝k(x－4)，
即kx－y＋1－4k＝0，
所以＝1，解得k＝±，
则这两条切线方程分别为y＝x－＋1，y＝－x＋＋1，
故这两条切线的极坐标方程分别为ρsin θ＝ρcos θ－＋1，ρsin θ＝－ρcos θ＋＋1.
即ρcos θ－ρsin θ－4＋＝0，ρcos θ＋ρsin θ－4－＝0.
考点二　参数方程的应用
考点二　参数方程的应用——引“参”用其意义，消“参”化为坐标
1．直线的参数方程
经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为(t是参数)．
设P是直线上的任意一点，则|t|表示有向线段的长度．
2．圆的参数方程
圆心在点M0(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数)．
3．椭圆的参数方程
椭圆＝1(a>b>0)的参数方程为(θ为参数)．
例 2 [2022·全国甲卷]在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)，曲线C2的参数方程为(s为参数)．
(1)写出C1的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为2cos θ－sin θ＝0，求C3与C1交点的直角坐标，及C3与C2交点的直角坐标．
解析：(1)C1的参数方程为
消去参数t，得C1的普通方程为y2＝6x－2(y≥0)．
(2)曲线C3的极坐标方程为2cos θ－sin θ＝0，
两边同乘ρ，得2ρcos θ－ρsin θ＝0，
则C3的直角坐标方程为y＝2x.
联立得方程组解得或
将曲线C2的参数方程中的参数s消去，得y2＝－6x－2(y≤0)．
联立得方程组解得或
所以C3与C1交点的直角坐标为和，C3与C2交点的直角坐标为和(－1，－2)．
归纳总结
1．参数方程化为普通方程消去参数的方法
(1)代入消参法：将参数解出来代入另一个方程消去参数，直线的参数方程通常用代入消参法；
(2)三角恒等式法：利用sin2α＋cos2α＝1消去参数，圆的参数方程和椭圆的参数方程都是运用三角恒等式法；(3)常见消参数的关系式：①t·＝1；②－＝4；③＋＝1.
2．直线的参数方程中参数几何意义的应用
经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为 (t为参数)．若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：
(1)t0＝；
(2)|PM|＝|t0|＝；
(3)|AB|＝|t2－t1|；
(4)|PA|·|PB|＝|t1·t2|.
对点训练
[2022·全国乙卷]在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρsin ＋m＝0.
(1)写出l的直角坐标方程；
(2)若l与C有公共点，求m的取值范围．
解析：(1)由ρsin (θ＋)＋m＝0，
得ρsin θ＋ρcos θ＋m＝0.
∵ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，
∴l的直角坐标方程为x＋y＋m＝0.
(2)方法一　把x＝cos 2t，y＝2sin t代入x＋y＋m＝0，得m＝－cos 2t－sin t＝－＋3sin2t－sint＝－.
∵sin t∈[－1，1]，
∴当sin t＝时，m取得最小值－；
当sin t＝－1时，m取得最大值.
∴m的取值范围是[－].
方法二　x＝cos 2t＝(1－2sin2t)＝＝y2.
∵y＝2sint，sin t∈[－1，1]，∴y∈[－2，2].
联立得方程组
消去x并整理，得3y2－2y－4m－6＝0，
即4m＝3y2－2y－6＝3(y－)2－(－2≤y≤2)．
∴－≤4m≤10，∴－≤m≤.
∴m的取值范围是[－].
考点三　参数方程、极坐标方程的综合应用
考点三　参数方程、极坐标方程的综合应用——二者统一，坐标为本
解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．
例 3 [2022·四川成都模拟预测]在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数，α为常数且α≠)，在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ－4＝0.
(1)求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；
(2)点P(1，1)，直线l与曲线C交于A，B两点，若＝2，求直线l的斜率．
解析：(1) y＝tan α·(x－1)＋1，
ρ2－2ρsin θ－4＝0 x2＋y2－2y－4＝0.
(2)将代入x2＋y2－2y－4＝0得t2＋2t cos α－4＝0，，因为点P 在圆内，故A，B 在点P两侧，由题意知，t1＝－2t2，因此＝－，即＝－，
故＝－，解得cos α＝±，进而k＝tan α＝±1，因此斜率为±1.
归纳总结
解决极坐标方程与参数方程综合问题的方法
(1)对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先化成直角坐标系下的普通方程，这样思路能更加清晰．
(2)对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简洁．
(3)利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件及隐含条件．
对点训练
[2022·内蒙古海拉尔第二中学检测]在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(其中α为直线的倾斜角，t为参数)，在以O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ－4cosθ＝0.
(1)当直线l的斜率k＝2时，求曲线C上的点A与直线l上的点B间的最小距离；
(2)如果直线l与曲线C有两个不同交点，求直线l的斜率k的取值范围．
解析：(1)ρsin 2θ－4cos θ＝0两边同乘以ρ得：ρ2sin2θ－4ρcosθ＝0，
所以曲线C的平面直角坐标方程为y2＝4x，设曲线上的一点坐标为A(s2，±2s)，
当直线l的斜率k＝2时，直线方程为y－1＝2(x＋1)，即2x－y＋3＝0，
则A点到直线l的距离为d＝＝，
当s＝±时，d取得最小值，最小值为，
故曲线C上的点A与直线l上的点B间的最小值为；
(2)直线l的普通方程为y－1＝k(x＋1)(k≠0)，
与曲线C：y2＝4x联立得：y2－y＋＋4＝0，
由Δ>0得：>或<，解得k∈.