（统考版）2023高考数学二轮 第三篇 （研重点 保大分）专题七 选考系列 第2讲 不等式选讲 课件（26张）

(共26张PPT)
第2讲　不等式选讲
考点一
考点二
考点三
考点一　不等式的证明
考点一　不等式的证明——看“目标”，找“条件”，想“联系”，用“转化”
算术—几何平均不等式
定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立．
定理2：如果a，b为正数，则≥ ，当且仅当a＝b时，等号成立．
定理3：如果a，b，c为正数，则≥ ，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1，a2，…，an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．
例 1 [2022·全国乙卷]已知a，b，c都是正数，且＝1，证明：
(1)abc≤；
(2).
证明：(1)因为a，b，c都是正数，
所以＝3，当且仅当a＝b＝c＝ 时取等号．
因为＝1，所以，即abc≤.
(2)方法一　因为a，b，c都是正数，
所以b＋c≥2，a＋c≥2，a＋b≥2，当且仅当a＝b＝c＝ 时同时取等号．
所以2)≤2)＝＝1，所以.
方法二　要证成立，只需证成立即可．
因为a，b，c都是正数，
所以b＋c≥2，a＋c≥2，a＋b≥2 ，当且仅当a＝b＝c＝ 时同时取等号．
所以＝，得证．
归纳总结
证明不等式的常用方法
不等式证明的常用方法有比较法、分析法、综合法、放缩法、反证法等．
(1)如果已知条件与待证结论直接联系不明显，则考虑用分析法．
(2)利用放缩法证明不等式，就是舍掉式中的一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，还可把和式中各项或某项换为较大或较小的数或式子，从而达到证明不等式的目的．
(3)如果待证的是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的问题，则考虑用反证法．用反证法证明不等式的关键是作出假设，推出矛盾．
对点训练
[2022·全国甲卷]已知a，b，c均为正数，且a2＋b2＋4c2＝3，证明：
(1)a＋b＋2c≤3；
(2)若b＝2c，则≥3.

证明：(1)因为a2＋b2＋4c2＝3，所以由柯西不等式可知，(a2＋b2＋4c2)(1＋1＋1)≥(a＋b＋2c)2，即(a＋b＋2c)2≤9，且a，b，c均为正数，
所以a＋b＋2c≤3，当且仅当a＝b＝2c＝1时等号成立．
所以a＋b＋2c≤3.
(2)方法一　3＝3＝3.
由b＝2c，a＋b＋2c≤3得
3＝3≥(a＋b＋2c)≥(···)2＝9，当且仅当a＝2c时等号成立，所以≥3.
方法二　因为b＝2c，由(1)知a＋b＋2c≤3，
所以×3≥(a＋4c)＝1＋＋4≥5＋2 ＝9，当且仅当a＝2c时等号成立．所以≥3.
考点二　
含绝对值不等式的解法
考点二　含绝对值不等式的解法——掀起“绝对值”的盖头
1．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c型不等式的解法
(1)c>0，则|ax＋b|≤c的解集为－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c的解集为ax＋b≥c或ax＋b≤－c，然后根据a、b的值解出即可．
(2)c<0，则|ax＋b|≤c的解集为 ，|ax＋b|≥c的解集为R.
2．|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法
(1)令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根；
(2)把这些根由小到大排序，它们把数轴分为若干个区间；
(3)在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨论所得的不等式在这个区间上的解集；
(4)这些解集的并集就是原不等式的解集．
例 2 [2022·河南开封市东信学校]已知函数f(x)＝|x－1|＋|x＋2|.
(1)求不等式f(x)≤5的解集；
(2)设x∈R时，f(x)的最小值为M.若正实数a，b，满足a＋b＝M，求的最小值．
解析：(1)f(x)＝|x－1|＋|x＋2|≤5，
当x≤－2时，不等式化为－x＋1－x－2≤5，解得x≥－3，此时－3≤x≤－2；
当－2当x≥1时，不等式化为x－1＋x＋2＝2x＋1≤5，解得x≤2，此时1≤x≤2.
综上所述，不等式的解集为[－3，2].
(2)f(x)＝|x－1|＋|x＋2|≥|x－1－x－2|＝3.所以M＝3，即a＋b＝3.
所以(a＋1)＋(b＋2)＝6，
所以＝[(a＋1)＋(b＋2)]＝×(2＋2)＝，
当且仅当a＋1＝b＋2，即a＝2，b＝1时取等号．
即的最小值为.
归纳总结
绝对值不等式的常用解法
(1)基本性质法：对a∈R＋，|x|a x<－a或x>a；
(2)平方法：两边平方去掉绝对值符号；
(3)零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解；
(4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解；
(5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．
对点训练
[2021·全国甲卷]已知函数f(x)＝|x－2|，g(x)＝|2x＋3|－|2x－1|.
(1)画出y＝f(x)和y＝g(x)的图象；
(2)若f(x＋a)≥g(x)，求a的取值范围．
解析：(1)由已知得g(x)＝
所以y＝f(x)与y＝g(x)的图象为
(2)y＝f(x＋a)的图象是由函数y＝f(x)的图象向左平移a(a>0)个单位长度或向右平移|a|(a<0)个单位长度得到的，根据图象可知向右平移不符合题意，向左平移到y＝f(x＋a)的图象的右支过y＝g(x)的图象上的点时为临界状态，如图所示，
此时y＝f(x＋a)的图象的右支对应的函数解析式为y＝x＋a－2(x≥2－a)，则4＝＋a－2，解得a＝.
因为f(x＋a)≥g(x)，所以a≥，
故a的取值范围为.
考点三　与绝对值不等式有关的恒成立问题
考点三　与绝对值不等式有关的恒成立问题——弄清绝对值的几何意义
定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．
定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．
例 3 [2022·青海海东市第一中学模拟]已知函数f(x)＝.
(1)求不等式f(x)≤2x的解；
(2)若f(x)≥k对任意x∈R恒成立，求k的取值范围．
解析：(1)当x>2时，f(x)≤2x等价于x＋1＋x－2≤2x，
该不等式恒成立，所以x>2；
当x<－1时，f(x)≤2x等价于－x－1－x＋2≤2x，
解得x≥，此时不等式无解；
当－1≤x≤2时，f(x)≤2x等价于x＋1－x＋2≤2x，解得x≥，所以≤x≤2.
综上所述，不等式的解为.
(2)由f(x)≥k，得≥k，
当x＝时，3≥0恒成立，所以k∈R；
当x≠时，
k≤＝＝恒成立，
因为＝2，
当且仅当(1＋)(1－)≥0时取等号，所以k≤2.综上所述，k的取值范围是(－∞，2].
归纳总结
解决不等式恒成立、能成立、恰成立问题的策略
不等式恒成立问题 不等式f(x)>A在区间D上恒成立，等价于在区间D上f(x)min>A.
不等式f(x)不等式能成立问题 在区间D上存在实数x使不等式f(x)>A成立，等价于在区间D上f(x)max>A.
在区间D上存在实数x使不等式f(x)不等式恰成立问题 不等式f(x)>A在区间D上恰成立，等价于不等式f(x)>A的解集为D.
不等式f(x)对点训练
[2021·全国乙卷]已知函数f(x)＝|x－a|＋|x＋3|.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥6的解集；
(2)若f(x)>－a，求a的取值范围．
解析：(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|＋|x＋3|，
故f(x)≥6即|x－1|＋|x＋3|≥6，
当x≤－3时，1－x－x－3≥6，解得x≤－4，又x≤－3，所以x≤－4；
当－3当x>1时，x－1＋x＋3≥6，解得x≥2，又x>1，所以x≥2.
综上，原不等式的解集为{x|x≤－4或x≥2}．
(2)f(x)＝|x－a|＋|x＋3|≥|(x－a)－(x＋3)|＝|3＋a|，当x的值在a与－3之间(包括两个端点)时取等号，
若f(x)>－a，则只需|3＋a|>－a，
即3＋a>－a或3＋a－.
故a的取值范围为.