（统考版）2023高考数学二轮 第三篇 （研重点 保大分）专题三 立体几何 第1讲 空间几何体的三视图、表面积与体积 课件（32张）

(共32张PPT)
第1讲　空间几何体的三视图、表面积与体积
考点一
考点二
考点三
考点一　
空间几何体的三视图
考点一　空间几何体的三视图——识图、想图、构图，“原形毕露”
一个物体的三视图的排列规则
俯视图放在正视图的下面，长度与正视图的长度一样；侧视图放在正视图的右面，高度与正视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”．
例 1 [2022·贵州省贵阳五校联合考试]一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、俯视图如图所示，则其侧视图为(　　)
答案：C
解析：由正视图、俯视图可得几何体的直观图如图所示，
∴侧视图如下图所示，
故选C.
归纳总结
由三视图还原到直观图的思路
[注意]　三视图中的虚线表示几何体中看不到的线．
对点训练
[2021·全国甲卷]在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G.该正方体截去三棱锥A-EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是(　　)
答案：D
解析：根据题目条件以及正视图可以得到该几何体的直观图，如图，结合选项可知该几何体的侧视图为D.
考点二　
空间几何体的表面积与体积
考点二　空间几何体的表面积与体积——找特征、求标量、代公式，割补相济
1．柱体、锥体、台体的侧面积公式
(1)S直棱柱侧＝________(c为底面周长，h为高)；
(2)S正棱锥侧＝______(c为底面周长，h′为斜高)；
(3)S正棱台侧＝________(c′，c分别为上、下底面的周长，h′为斜高)．
ch
ch′
(c＋c′)h′
2．柱体、锥体、台体的体积公式
(1)V柱体＝________(S为底面面积，h为高)，
(2)V锥体＝________(S为底面面积，h为高)；
(3)V台体＝_____________ (S，S′分别为上、下底面面积，h为高)．
3．球的表面积和体积公式
(1)S球表＝________(R为球的半径)；
(2)V球＝________(R为球的半径)．
Sh
Sh
(S＋＋S′)h
4πR2
πR3
角度 1 求空间几何体的表面积
例 2 [2021·北京卷]某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为(　　)
A．　 　 B．4 　　
C．3＋ 　　D．2
答案：A
解析：根据三视图可得如图所示的几何体正三棱锥O ABC，
其侧面为等腰直角三角形，底面为等边三角形，
由三视图可得该正三棱锥的侧棱长为1，
故其表面积为3××1×1＋2＝，
故选A.
归纳总结
求多面体的表面积 只需将它们沿着棱“剪开”并展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积
求旋转体的表面积 可以从旋转体的形成过程及其结构特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清楚它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系
求不规则几何体的表面积 通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积
角度2 求空间几何体的体积
例 3 [2022·全国甲卷]如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为(　　)
A．8 B．12 C．16 D．20
答案：B
解析：如图，将三视图还原成直观图．该直观图是一个侧放的直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，底面ABCD是直角梯形，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝2，AB＝4，AA1＝2.所以底面面积S＝＝6，设该直四棱柱的高为h，则该几何体的体积V＝Sh＝6×2＝12.故选B.
归纳总结
求空间几何体体积的常用方法
公式法 直接根据常见柱、锥、台等规则几何体的体积公式计算
等积法 根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等
割补法 把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体
对点训练
1.[2022·浙江湖州模拟预测]如图，某多面体的体积是，其三视图如图所示，则正视图中的高a＝(　　)
A．1 B． C． D．
答案：B
解析：由三视图还原出原几何体为三棱锥，如图所示，
结合三视图得该三棱锥体积为：V＝×2×2×a＝，所以a＝.故选B.
2．[2022·浙江三模]某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是(　　)
A． B．2 C．3 D．
答案：C
解析：从三视图可以得到直观图为直六棱柱，如图所示，
在俯视图中，可以求出底面积为S＝2××1×1＋＝3，从正视图和侧视图可知直六棱柱的高为1，所以该几何体的体积是V＝3×1＝3.故选C.
考点三　
多面体与球的切、接问题
考点三　多面体与球的切、接问题——找“切”点，抓“接”点，与半径相“联”
几何体与球组合体的结论
(1)正方体的棱长为a，球的半径为R.
①正方体的外接球，则2R＝a；
②正方体的内切球，则2R＝a；
③球与正方体的各棱相切，则2R＝a.
(2)在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
例 4 (1)[2022·新高考Ⅱ卷]已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　)
A．100π B．128π
C．144π D．192π
答案：A
解析：设三棱台上底面A1B1C1、下底面ABC的外接圆半径分别为r1，r2，外接圆圆心分别为O1，O2，三棱台的外接球半径为R，球心为O.令|OO1|＝t，则|OO2|＝|t－1|.由题意及正弦定理，得2r1＝＝6，2r2＝＝8，所以r1＝3，r2＝4，所以R2＝＋t2＝＋(t－1)2，即R2＝9＋t2＝16＋(t－1)2，解得所以三棱台外接球的表面积为4πR2＝100π.故选A.
(2)[2022·四川省内江市第六中学模拟]已知正四棱锥的侧棱长为，底面边长为2，则该四棱锥的内切球的体积为(　　)
A． B．
C． D．4
答案：B
解析：如图，设O为正四棱锥的底面中心，E为BC的中点，连接PO，OE，PE，
则PO为四棱锥的高，PE为侧面三角形PBC的高，
因为BC＝2，PB＝，故PE＝＝2 ，则PO＝＝ ，
设该四棱锥的内切球的半径为r，
则·S正方形ABCD·PO＝(S正方形ABCD＋4S△PBC)r ，
即×4×＝(4＋4××2×2)×r ，解得r＝ ，
故内切球的体积为V＝π×3＝ ，故选B.
归纳总结
空间几何体与球接、切问题的求解方法
(1)确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与几何体的位置和数量关系．
(2)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
(3)补成正方体、长方体、正四面体、正棱柱、圆柱等规则的几何体．
提醒　内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．这也是解决此类问题的易错点．
对点训练
1.[2022·青海海东市第一中学检测]已知在三棱锥P ABC中，PA＝4，BC＝2，PB＝PC＝3，PA⊥平面PBC，则三棱锥P ABC的外接球的表面积是________．
43π
解析：在等腰△PBC中，易知cos ∠PBC＝，所以sin ∠PBC＝，△PBC的外接圆的半径为r＝＝，所以三棱锥P ABC的外接球的半径为R＝＝ ＝.
所以其表面积为4πR2＝4π2＝43π.
2．[2021·全国甲卷]已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O ABC的体积为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
答案：A
解析：如图所示，因为AC⊥BC，且AC＝BC＝1，所以AB为截面圆O1的直径，且AB＝.连接OO1，则OO1⊥平面ABC，OO1＝＝＝，所以三棱锥O ABC的体积V＝×OO1＝×1×1×＝.故选A.