（统考版）2023高考数学二轮 第三篇 （研重点 保大分）专题五 解析几何 第2讲 圆锥曲线的定义、方程与性质 课件（39张）

(共39张PPT)
第2讲　圆锥曲线的定义、方程与性质
考点一
考点二
考点三
考点一　圆锥曲线的定义及标准方程——回归定义，巧解方程
考点一　圆锥曲线的定义及标准方程——回归定义，巧解方程
圆锥曲线的定义、标准方程
名称 椭圆 双曲线 抛物线
定义 |PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|) ||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|) |PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M
标准 方程 y2＝2px
(p>0)
图形
例 1 (1)[2022·全国甲卷]已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若＝－1，则C的方程为(　　)
A．＝1　　　　B．＝1
C．＝1 D．＋y2＝1
答案：B
解析：由椭圆C的离心率为，可得e＝＝＝.化简，得8a2＝9b2.易知A1(－a，0)，A2(a，0)，B(0，b)，所以＝(－a，－b)·(a，－b)＝－a2＋b2＝－1.联立得方程组解得所以C的方程为＝1.故选B.
(2)[2022·贵州毕节模拟预测]如图，唐金筐宝钿团花纹金杯出土于西安，这件金杯整体造型具有玲珑剔透之美，充分体现唐代金银器制作的高超技艺，是唐代金银细工的典范之作．该杯主体部分的轴截面可以近似看作双曲线C的一部分，若C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e＝2，且点M(2，)在C上，则双曲线C的标准方程为(　　)
A.x2－＝1 B．＝1
C．－y2＝1 D．＝1
答案：B
解析：依题意，设双曲线C的标准方程为＝1(a>0，b>0)，半焦距c，
则离心率e2＝＝＝1＋＝4，有b2＝3a2，
而点M(2，)在C上，即＝1，即＝1，解得a2＝3，b2＝9，
所以双曲线C的标准方程为＝1.故选B.
归纳总结
1．关于圆锥曲线定义的应用
对于椭圆、双曲线如果涉及曲线上的点与焦点的距离，一般要利用定义进行转化．对应抛物线涉及曲线上点到焦点的距离、到准线的距离时需要相互转化．
2．关于圆锥曲线方程的求法
定型 确定曲线类型
计算 利用待定系数法，根据条件求出系数a，b，c，p
对点训练
1.[2022·湖南周南中学期末]已知椭圆C：＝1的左右焦点分别为F1、F2，过左焦点F1作直线交椭圆C于A、B两点，则三角形ABF2的周长为(　　)
A．10　　　B．15　　　C．20　　　D．25
答案：C
解析：由题意，椭圆的长轴为2a＝2＝10，由椭圆定义知AF1＋F1B＝2a，AF2＋BF2＝2a，
＝AB＋AF2＋BF2＝AF1＋F1B＋AF2＋BF2＝4a＝20，故选C.
2．已知P是抛物线y2＝4x上的一个动点，Q是圆(x－3)2＋(y－1)2＝1上的一个动点，N(1，0)是一个定点，则|PQ|＋|PN|的最小值为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．＋1
答案：A
解析： 如图所示，由抛物线方程y2＝4x，可得抛物线的焦点F(1，0)，又N(1，0)，所以N与F重合．过圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的圆心M作抛物线准线的垂线MH，交圆于Q，交抛物线于P，则|PQ|＋|PN|的最小值等于|MH|－1＝3.
考点二　圆锥曲线的几何性质——找准a、b、c，数形要结合
考点二　圆锥曲线的几何性质——找准a、b、c，数形要结合
　圆锥曲线的重要性质
(1)椭圆、双曲线中，a，b，c之间的关系
①在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝________＝__________；
②在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝______＝__________．
(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标：
①双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝________，焦点坐标F1(－c，0)，F2(c，0)；
②双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝________，焦点坐标F1(0，－c)，F2(0，c)．
±x
±x
(3)抛物线的焦点坐标与准线方程：
①抛物线y2＝±2px(p>0)的焦点坐标为___________，准线方程为x＝________；
②抛物线x2＝±2py(p>0)的焦点坐标为___________，准线方程为y＝________．


例 2 (1)[2022·全国甲卷]椭圆C：＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
答案：A
解析：设P(x1，y1)，则点Q的坐标为(－x1，y1)．由题意，得点A(－a，0)．又直线AP，AQ的斜率之积为，所以·＝，即＝　①.又点P在椭圆C上，所以＝1　②.由①②，得＝，所以a2＝4b2，所以a2＝4(a2－c2)，所以椭圆C的离心率e＝＝.故选A.
(2)[2022·全国乙卷]设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3，0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|＝(　　)
A．2 B．2 C．3 D．3
答案：B
解析：由已知条件，易知抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.又B(3，0)，则|AF|＝|BF|＝2.不妨设点A在第一象限，则A(x0，2)．根据抛物线的定义可知x0－(－1)＝2，所以x0＝1，所以A(1，2)，所以|AB|＝＝2.故选B.
(3)[2022·全国乙卷]双曲线C的两个焦点为F1，F2，以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作D的切线与C交于M，N两点，且＝，则C的离心率为(　　)
A． B． C． D．
答案：AC
解析：不妨假设双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)，F1(－c，0)，F2(c，0)．当两个交点M，N在双曲线两支上时，如图1所示，设过F1的直线与圆D切于点P，连接OP，由题意知|OP|＝a，又|OF1|＝c，所以|F1P|＝b.过点F2作F2Q⊥F1N，交F1N于点Q.由中位线的性质，可得|F2Q|＝2|OP|＝2a，|PQ|＝b.因为cos ∠F1NF2＝，所以sin ∠F1NF2＝，
故|NF2|＝a，|QN|＝a，所以|NF1|＝|F1Q|＋|QN|＝
2b＋a.由双曲线的定义可知|NF1|－|NF2|＝2a，所以
2b＋a－a＝2a，所以2b＝3a.两边平方得4b2＝9a2，
即4(c2－a2)＝9a2，整理得4c2＝13a2，所以＝，
故＝，即e＝.
当两个交点M，N都在双曲线的左支上时，如图2所示，同理可得|F2Q|＝2|OP|＝2a，|PQ|＝b.因为cos ∠F1NF2＝，所以sin ∠F1NF2＝，可得|NF2|＝，|NQ|＝，所以|NF1|＝|NQ|－|QF1|＝－2b，所以|NF2|＝|NF1|＋2a＝－2b，又|NF2|＝，所以－2b＝，即a＝2b，e＝＝.故选AC.
归纳总结
1．椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法
求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值．
2．双曲线的渐近线的求法及用法
(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的“1”改为零，分解因式可得；
(2)用法：①可得或的值；
②利用渐近线方程设所求双曲线的方程．
对点训练
1.[2021·全国甲卷]已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为(　　)
A． B． C． D．
答案：A
解析：设|PF2|＝m，|PF1|＝3m，则|F1F2|＝＝m，所以C的离心率e＝＝＝＝＝，故选A.
2．[2021·全国乙卷]设B是椭圆C：＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为(　　)
A． B． C． D．2
答案：A
解析：通解　设点P(x，y)，则根据点P在椭圆＋y2＝1上可得x2＝5－5y2.易知点B(0，1)，所以根据两点间的距离公式得|PB|2＝x2＋(y－1)2＝5－5y2＋(y－1)2＝－2y＋6＝－(2y＋)2.
当2y＋＝0，即y＝－(满足|y|≤1)时，|PB|2取得最大值，所以|PB|max＝.故选A.
优解　因为点P在椭圆＋y2＝1上，所以可设点P(cos θ，sin θ)．易知点B(0，1)，所以根据两点间的距离公式得|PB|2＝(cos θ)2＋(sin θ－1)2＝4cos2θ－2sinθ＋2＝－4sin2θ－2sinθ＋6＝－(2sin θ＋)2.易知当2sin θ＋＝0，即sin θ＝－时，|PB|2取得最大值，所以＝.故选A.
3．[2021·全国乙卷]设B是椭圆C：＝1(a＞b＞0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是(　　)
A．[，1) B．
C．(0，] D．
答案：C
解析：解法一　依题意，B(0，b)，设P(a cos θ，b sin θ)，θ∈[0，2π)，因为|PB|≤2b，所以对任意θ∈[0，2π)，(a cos θ)2＋(b sin θ－b)2≤4b2恒成立，即(a2－b2)sin2θ＋2b2sinθ＋3b2－a2≥0对任意θ∈[0，2π)恒成立．令sin θ＝t，t∈[－1，1]，f(t)＝(a2－b2)t2＋2b2t＋3b2－a2，则原问题转化为对任意t∈[－1，1]，恒有f(t)≥0成立．因为f(－1)＝0，所以只需－≤－1即可，所以2b2≥a2，则离心率e＝ ≤ ，所以选C.
解法二　依题意，B(0，b)，设椭圆上一点P(x0，y0)，则＝1，可得＝，则|PB|2＝＋(y0－b)2＝－2by0＋b2＝－2by0＋a2＋b2≤4b2.因为当y0＝－b时，|PB|2＝4b2，所以－≤－b，得2c2≤a2，所以离心率e＝≤ ，故选C.
考点三　直线与圆锥曲线的关系及应用
——联立方程，设而不求
考点三　直线与圆锥曲线的关系及应用——联立方程，设而不求
1．弦长公式
设直线斜率为k，直线与圆锥曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|
＝_____________＝______________________或|AB|＝______________
＝________________________．
2．过抛物线焦点的弦长
过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦AB，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2
＝________，y1y2＝________，弦长|AB|＝________．
|x1－x2|
|y1－y2|
－p2
x1＋x2＋p
例 3 (1)[2022·浙江卷]已知双曲线＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点A(x1，y1)，交双曲线的渐近线于点B(x2，y2)，且x1<0答案：
解析：由题意，得F(－c，0)，点B在双曲线的渐近线y＝x上，所以B(x2，x2)．由直线FB的斜率为，得＝，解得x2＝，所以B()．因为|FB|＝3|FA|，所以＝3，所以(＋c，)＝3(x1＋c，y1)，解得x1＝－，y1＝，即A(－)．将点A的坐标代入双曲线的方程，得＝1，即＝1，解得e＝(负值已舍去)．
(2)[2022·新高考Ⅱ卷]已知直线l与椭圆＝1在第一象限交于A，B两点，l与x轴、y轴分别交于M，N两点，且|MA|＝|NB|，|MN|＝2，则l的方程为______________．
x＋y－2＝0
解析：方法一　取线段AB的中点E，连接OE(O为坐标原点)．因为|MA|＝|NB|，所以|ME|＝|NE|.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由题意可得＝＝＝－，即kOE·kAB＝－.设直线AB的方程为y＝kx＋m，k<0，m>0.令x＝0，则y＝m.令y＝0，则x＝－.所以点E的坐标为(－)，所以k×＝－k2＝－，解得k＝－，所以m2＋2m2＝12，解得m＝2，所以直线AB的方程为y＝－x＋2，即x＋y－2＝0.
方法二　设线段AB的中点为E.由|MA|＝|NB|，得E为线段MN的中点．设直线AB的方程为y＝kx＋m，k<0，m>0，则M(－，0)，N(0，m)，E(－)．将y＝kx＋m代入＝1中并整理，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0.由Δ＝6k2－m2＋3>0，得m2<6k2＋3.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝＝2·(－)，解得k＝－.又因为|MN|＝ ＝2，所以m＝2，符合题意，所以直线AB的方程为x＋y－2＝0.
归纳总结
直线与圆锥曲线关系的求解技巧
(1)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ>0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．
(2)椭圆＝1(a>b>0)截直线所得的弦的中点是P(x0，y0)(y0≠0)，则直线的斜率为－.
(3)双曲线＝1(a>0，b>0)上以P(x0，y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率为k＝.
对点训练
1.[2022·河南洛阳]已知点F是双曲线x2－＝1的右焦点，点P是双曲线上在第一象限内的一点，且PF与x轴垂直，点Q是双曲线渐近线上的动点，则的最小值为(　　)
A．2 B．2
C．1－ D．1＋
答案：B
解析：由双曲线方程可得，点F坐标为(3，0)，将x＝3代入双曲线方程，得y＝±8，
由于点P在第一象限，所以点P坐标为(3，8)，
双曲线的渐近线方程为2x±y＝0，点P到双曲线的渐近线的距离为.
Q是双曲线渐近线上的动点，所以的最小值为＝2.故选B.
2．[2022·贵州贵阳一中]过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线C交于点A，B，若＝2，若直线l的斜率为k，则k＝(　　)
A．2 B．－2
C．2或－2 D．或－
答案：C
解析：当A在x轴上方时，过A，B分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为A1，B1，过B作BD⊥AA1于D，
设＝r，则＝3r，＝r，所以＝＝2r，
所以k＝tan ∠BAD＝＝＝2，同理可得当A在x轴下方时，k的值为－2，故选C.