（统考版）2023高考数学二轮 第三篇 （研重点 保大分）专题一三角函数与解三角形第1讲 三角函数的图象与性质 课件（40张）

(共40张PPT)
第1讲　三角函数的图象与性质
考点一
考点二
考点三
考点四
考点一　三角函数的定义、诱导公式及基本关系
考点一　三角函数的定义、诱导公式及基本关系——牢记“口诀”，勿忘“关系”
1．三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝____，cos α＝____，tan α＝________．各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
2．同角关系：____________＝1，＝________．
3．诱导公式：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．
y
x
sin2α＋cos2α
tanα
例 1 (1)[2022·湖南长沙一中模拟]若角α的终边过点P(8m，－3)，且tan α＝，则m的值为(　　)
A．－ B．
C．－ D．
答案：A
解析：∵tan α＝＝，∴m＝－，故选A.
(2)[2022·安徽蚌埠三模]已知tan α＝2，则的值为(　　)
A．3 B．－3
C． D．－1
答案：A
解析：原式＝＝＝＝3.故选A.
归纳总结
利用公式进行化简求值的策略
(1)利用诱导公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤为：去负→脱周→化锐，特别注意函数名称和符号的确定．
(2)利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．
提醒　使用三角函数诱导公式易错的地方有两个：一个是函数名称，一个是函数值的符号．
对点训练
1.[2022·河南新乡二模]已知点A是α的终边与单位圆的交点，若A的横坐标为－，则cos 2α＝(　　)
A． B．－
C． D．－
答案：C
解析：由题意知，cos α＝－，所以cos 2α＝2cos2α－1＝.故选C.
2．[2021·新高考Ⅰ卷]若tan θ＝－2，则＝(　　)
A．－ B. －
C． D.
答案：C
解析：将式子进行齐次化处理得：
＝
＝sin θ＝＝＝＝.故选C.
考点二　
三角函数的图象与解析式
考点二　三角函数的图象与解析式
——平移看“ω，φ”，伸缩看“A，ω”，由图定式找对应，性质、图象结合牢
三角函数图象的变换
先平移后伸缩
先伸缩后平移
例 2 (1)[2022·山东烟台二中检测]若函数f(x)＝sin (ωx－φ)的部分图象如图所示，则ω和φ的值是(　　)
A．ω＝1，φ＝　　 B．ω＝1，φ＝－
C．ω＝，φ＝－ D．ω＝，φ＝
答案：C
解析：由图象可知＝，T＝4π＝，ω＝，所以f(x)＝sin ，f＝sin ＝1，－φ＝2kπ＋，φ＝－2kπ－(k∈Z)，由于|φ|≤，所以φ＝－.故选C.
(2)[2022·重庆模拟预测]已知曲线C：y＝sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，要得到曲线C的图象，可将曲线y＝cos x的图象(　　)
A．先向右平移个单位长度，再将各点的横坐标
缩短到原来的倍，纵坐标不变
B．先向右平移个单位长度，再将各点的横坐标
伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C．先向左平移个单位长度，再将各点的横坐标
缩短到原来的倍，纵坐标不变
D．先向左平移个单位长度，再将各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
答案：A
解析：因为y＝sin (ωx＋φ)函数过点，即sin φ＝，又|φ|<，所以φ＝，即y＝sin ，又函数过点，根据五点作图法可知ω＋＝π，解得ω＝2，所以y＝sin ＝sin ＝cos ，
由y＝cos x向右平移个单位长度得到y＝cos ，再将y＝cos 各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变得到y＝cos ，即y＝sin .故选A.
归纳总结
由三角函数的图象求解析式y＝A sin (ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)中参数的值．
(1)最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则M＝A＋B，m＝－A＋B，解得B＝，A＝.
(2)T定ω：由周期的求解公式T＝，可得ω＝.
(3)特殊点定φ：代入特殊点求φ，一般代最高点或最低点，代入中心点时应注意是上升趋势还是下降趋势．
提醒　在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．
对点训练
1.[2021·全国甲卷]已知函数f(x)＝2cos (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f＝________．
－
解析：方法一(五点作图法)　由题图可知T＝＝(T为f(x)的最小正周期)，即T＝π，所以＝π，即ω＝2，故f(x)＝2cos (2x＋φ).点可看作“五点作图法”中的第二个点，故2×＋φ＝，得φ＝－，即f(x)＝2cos ，所以f＝2cos ＝－.
方法二(代点法)　由题意知，T＝＝(T为f(x)的最小正周期)，所以T＝π，＝π，即ω＝2.又因为点在函数f(x)的图象上，所以2cos ＝0，所以2×＋φ＝＋kπ(k∈Z)，令k＝0，则φ＝－，所以f(x)＝2cos ，所以f＝2cos ＝－2cos ＝－.
方法三(平移法)　由题意知，T＝＝(T为f(x)的最小正周期)，所以T＝π，＝π，即ω＝2.函数y＝2cos 2x的图象与x轴的一个交点是，对应函数f(x)＝2cos (2x＋φ)的图象与x轴的一个交点是，所以f(x)＝2cos (2x＋φ)的图象是由y＝2cos 2x的图象向右平移＝个单位长度得到的，所以f(x)＝2cos (2x＋φ)＝2cos 2＝2cos ，所以f＝2cos ＝－2cos ＝－.
2．[2022·四川南充二模]函数f(x)＝A sin (2x＋θ)的部分图象如图所示，f(0)＝，则(　　)
A.f(x)关于点对称
B．f(x)关于直线x＝对称
C．f(x)在上单调递减
D．f(x)在上单调递增
答案：C
解析：由图可知A＝2，且f(0)＝，所以f(0)＝2sin θ＝，即sin θ＝，因为|θ|≤，所以θ＝，即f(x)＝2sin ，因为f＝2sin ＝2sin ＝2，所以函数f(x)关于直线x＝对称，故A错误；
f＝2sin ＝2sin π＝0，所以函数f(x)关于对称，故B错误；
对于C：由对于D：由考点三　三角函数的性质及应用
考点三　三角函数的性质及应用——类比对应，寻找“源”头，整体代换
1．三角函数的单调区间
y＝sin x的单调递增区间是________________(k∈Z)，单调递减区间是________________(k∈Z)；
y＝cos x的单调递增区间是________________(k∈Z)，单调递减区间是________________(k∈Z)；
y＝tan x的单调递增区间是________________(k∈Z)．
[2kπ-，2kπ+]
[2kπ+，2kπ+]
[2kπ－π，2kπ]
[2kπ，2kπ＋π]
(kπ-)
2．三角函数的奇偶性与对称性
(1)y＝A sin (ωx＋φ)，当φ＝________(k∈Z)时为奇函数；当φ＝________(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得；
(2)y＝A cos (ωx＋φ)，当φ＝________(k∈Z)时为奇函数；当φ＝________(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得；
(3)y＝A tan (ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数．
kπ
kπ＋
kπ＋
kπ
角度1 单调性为主
例 3 [2022·北京卷]已知函数f(x)＝cos2x－sin2x，则(　　)
A．f(x)在上单调递减
B．f(x)在上单调递增
C．f(x)在上单调递减
D．f(x)在上单调递增
答案：C
解析：f(x)＝cos2x－sin2x＝cos2x.令2kπ≤2x≤π＋2kπ，k∈Z，解得kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，故f(x)的减区间为[kπ，＋kπ]，k∈Z.令k＝0，则[0，]为f(x)的一个减区间．因为(0，)∈[0，]，所以f(x)在(0，)上单调递减．故选C.
归纳总结
判断三角函数单调性的方法技巧
(1)代换法：求形如y＝A sin(ωx＋φ)(或y＝A cos (ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A≠0，ω>0)的单调区间时，令ωx＋φ＝z，则y＝A sin z(或y＝A cos z)，然后由复合函数的单调性求得．
(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间．
(3)导数法：利用导数与单调性之间的关系．

角度 2 周期性、奇偶性、对称性为主
例 4 [2022·新疆昌吉测试]已知函数f(x)＝sin x－cos x，则下列关于函数y＝f的描述错误的是(　　)
A．奇函数
B．最小正周期为π
C．其图象关于点(－π，0)对称
D．其图象关于直线x＝对称
答案：B
解析：因为f(x)＝sin x－cos x＝2sin ，所以f＝2sin x，最小正周期为2π，故B错误；f＝2sin x显然为奇函数，其图象关于点(－π，0)对称且关于直线x＝对称，所以其它选项均正确．故选B.
归纳总结
1．判断对称中心与对称轴的方法
利用函数y＝A sin (ωx＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验f(x0)的值进行判断．
2．求三角函数周期的常用结论
(1)y＝A sin (ωx＋φ)和y＝A cos (ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan (ωx＋φ)的最小正周期为；
(2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期；正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期．
对点训练
1.[2021·新高考Ⅰ卷]下列区间中，函数f(x)＝7sin 的单调递增区间是(　　)
A． B．
C． D．
答案：A
解析：因为函数y＝sin x的单调递增区间为，
对于函数f＝7sin ，由2kπ－解得2kπ－取k＝0，可得函数f的一个单调递增区间为，
则 ，A选项满足条件，B不满足条件；
取k＝1，可得函数f的一个单调递增区间为 且 ，CD选项均不满足条件．
故选A.
2．[2022·陕西商洛一模]已知直线x＝是函数f(x)＝sin (0<ω<8)的图象的一条对称轴，则f(x)的最小正周期为(　　)
A． B．
C．π D．2π
答案：C
解析：因为sin ＝±1，所以＝＋kπ，k∈Z，解得ω＝6k＋2，k∈Z，又0<ω<8，所以ω＝2，从而f(x)的最小正周期为T＝＝π.故选C.
3．[2022·内蒙古包头一模]函数f(x)＝2sin ＋2cos 的最小正周期和最大值分别是(　　)
A．4π和2 B．4π和2
C．8π和2 D．8π和2
答案：C
解析：因为f(x)＝2sin ＋2cos ＝2sin ，所以函数f(x)的最小正周期为＝8π；又sin ∈[－1，1]，所以2sin ∈[－2，2]，所以函数f(x)的最大值为2.故选C.
考点四　三角函数与其他知识的交汇问题
考点四　三角函数与其他知识的交汇问题　[交汇创新]——画图象，用性质
三角函数的图象与性质是高考考查的重点，近年来，三角函数与其他知识交汇命题成为高考的热点，由原来三角函数与平面向量的交汇渗透到三角函数与函数的零点、数列、不等式、复数、方程等知识的交汇．
例 5 (1)设集合M＝{y|y＝|cos2x－sin2x|，x∈R}，N＝，则M为(　　)
A．(0，1) B．(0，1]
C．[0，1) D．[0，1]
答案：C
解析：y＝|cos2x－sin2x|＝|cos2x|∈[0，1]，所以M＝[0，1].因为<，所以|x＋i|<，即x2＋1<2.又因为x∈R，所以－1(2)已知函数f(x)＝sin x．若存在x1，x2，…，xm满足0≤x18
解析：因为f(x)＝sin x，所以＝2，因此要使得满足条件|f(x1)－f(x2)|＋|f(x2)－f(x3)|＋…＋|f(xm－1)－f(xm)|＝12的m最小，须取x1＝0，x2＝，x3＝，x4＝，x5＝，x6＝，x7＝，x8＝6π，即m＝8.
归纳总结
解决三角函数与其他知识的交汇问题，要充分利用三角函数的图象与性质．本例(1)是三角函数与复数的交汇，本例(2)是绝对值不等式与三角函数的最值问题，利用放缩法解决．
对点训练
设an＝sin ，Sn＝a1＋a2＋…＋an，在S1，S2，…，S100中，正数的个数是(　　)
A．25 B．50
C．75 D．100
答案：D
解析：当1≤n≤24时，an>0，当26≤n≤49时，an<0，但其绝对值要小于1≤n≤24时相应的值；当51≤n≤74时，an>0；当76≤n≤99时，an<0，但其绝对值要小于51≤n≤74时相应的值．故当1≤n≤100时，均有Sn>0.