（统考版）2023高考数学二轮 第三篇 （研重点 保大分）专题一三角函数与解三角形第2讲 三角恒等变换与解三角形 课件（47张）

(共47张PPT)
第2讲　三角恒等变换与解三角形
考点一
考点二
考点三
考点一　三角恒等变换
——公式要活用，变换要恒等
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin (α±β)＝________________；
(2)cos (α±β)＝________________；
(3)tan (α±β)＝________________．
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝__________；
(2)cos 2α＝__________＝__________＝__________；
(3)tan 2α＝__________．
sin αcos β±cos αsin β
cos αcos β sin αsin β
2sin αcos α
cos2α－sin2α
2cos2α－1
1－2sin2α
3．公式的变形与应用
(1)两角和与差的正切公式的变形
tan α＋tan β＝__________________；
tan α－tan β＝__________________．
(2)升幂公式
1＋cos α＝________；1－cos α＝________；
(3)降幂公式
sin2α＝________；cos2α＝________．
tan(α＋β)(1－tan αtan β)
tan (α－β)(1＋tan αtan β)
2cos2
2sin2
例 1(1)[2022·河北省唐县一中高三练习]已知－tan ＝2sin θ，则cos θ＝(　　)
A． B．
C． D．
答案：D
解析：因为－tan ＝2sin θ，所以＝2sin θ.所以cos2－sin2＝sin2θ，则cosθ＝sin2θ>0，即cosθ＝1－cos2θ，解得cosθ＝(负值舍去)．故选D.
(2)已知α∈(0，π)，sin α－cos α＝，则tan 2α＋＝(　　)
A． B．12
C．－12 D．－
答案：C
解析：因为α∈(0，π)，sin α－cos α＝，sin2α＋cos2α＝1，解得：sinα＝，cos α＝，所以tan α＝.
所以tan 2α＝＝＝－.所以tan2α＋＝－＝－12.故选C.
归纳总结
化简三角函数式的规律
规律 解读
一角 一看“角”，这是最重要的一环，通过角之间的差别与联系，把角进行合理地拆分，从而正确使用公式
二名 二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“弦切互化”
三结构 三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“遇根式化被开方式为完全平方式”等
提醒　(1)公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现“张冠李戴”的情况；
(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解．
对点训练
1.[2021·全国甲卷]若α∈，tan 2α＝，则tan α＝(　　)
A． B．
C． D．
答案：A
解析：方法一　因为tan2α＝＝，且tan 2α＝，所以＝，解得sin α＝.因为α∈，所以cos α＝，tan α＝＝.故选A.
方法二　因为tan 2α＝＝＝＝，且tan2α＝，所以＝，解得sin α＝.因为α∈，所以cos α＝，tan α＝＝.故选A.
2．[2022·黑龙江实验中学模拟预测]已知tan ＝2，则tan ＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
答案：C
解析：∵tan ＝2，∴tan ＝＝－，
∴tan＝tan ＝tan ＝－.故选C.
3．[2022·河北省石家庄一模]已知角α∈，tan ＝，则α＝________．
解析：∵tan ＝，∴＝，∴sin ＝cos ，
∴sin cos α＋sin cos ＝cos sin α－cos sin ，
∴sin cos ＋cos sin ＝cos sin α－sin cos α，
∴sin ＝sin .∵α∈，∴α－∈，∴＝α－，则α＝＝.
考点二　
利用正、余弦定理解三角形
考点二　利用正、余弦定理解三角形——选用定理，边角互化
1．正弦定理及其变形
在△ABC中，________＝________＝________＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．变形：a＝2R sin A，sin A＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等．
2．余弦定理及其变形
在△ABC中，a2＝________________；
变形：b2＋c2－a2＝2bc cos A，cos A＝____________．
3．三角形面积公式
S△ABC＝ab sin C＝__________＝__________．
b2＋c2－2bc cos A
bc sin A
ac sin B
角度 1 利用正、余弦定理进行计算
例 2已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a sin C＝c sin .
(1)求角A的大小；
(2)若点D在边BC上，且CD＝3BD＝3，∠BAD＝，求△ABC的面积．
解析：(1)由已知及正弦定理得：sin A sin C＝sin C sin ，又B＋C＝π－A，
∴＝，又sin C≠0，
∴sin A＝cos ，则2sin cos ＝cos ，而0<<，
∴cos ≠0，则sin ＝，故＝，得A＝.
(2)由∠BAC＝，∠BAD＝，则∠DAC＝.
方法一　在△ABD中，＝，　①
在△ADC中，＝，　②
∵∠ADB＋∠ADC＝π，
∴sin ∠BDA＝sin ∠ADC，　③
由①②③得：＝，又CD＝3BD＝3，得BD＝1，
∴＝，不妨设c＝2m，b＝3m，
在△ABC中，由余弦定理可得，42＝(2m)2＋(3m)2－2×2m×3m cos ，得m2＝，
所以S△ABC＝b×c sin ∠BAC＝×2m×3m×＝.
方法二　＝＝＝.
∵△BAD的边BD与△ADC的边DC上的高相等，
∴＝＝，由此得：＝，即＝，不妨设c＝2m，b＝3m，
在△ABC中，由余弦定理可得，42＝(2m)2＋(3m)2－2×2m×3m cos ，得m2＝，
所以S△ABC＝b×c sin ∠BAC＝×2m×3m×＝.
归纳总结
1．正、余弦定理的适用条件
(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理．
(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理．
2．三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式．
(2)与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．
角度2 与三角形有关的最值问题
例 3 [2022·陕西西安中学模拟预测]△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b2＋c2－a2＝bc，b cos C＋c cos B＝2，则△ABC的面积的最大值为(　　)
A．1 B．
C．2 D．2
答案：B
解析：在△ABC中，由余弦定理，b2＋c2－a2＝bc可化为cos A＝＝＝.
因为A∈(0，π)，所以A＝.
由余弦定理，b cos C＋c cos B＝2可化为：b＋c＝2，解得：a＝2(a＝0舍去)．
因为b2＋c2－a2＝bc，所以a2＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，即bc≤4(当且仅当b＝c＝2时取等号)．
所以△ABC的面积S＝bc sin A≤×4×＝.故选B.
归纳总结
与三角形有关的最值或取值范围问题一般有两类：第一类是求角的最值或取值范围，这时一般应用三角函数值的范围解决；第二类是求边或周长、面积的最值或取值范围，这时一般利用基本不等式或函数的单调性解决．
角度 3 三角形的实际应用
例 4 [2021·全国甲卷] 2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B, C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′约为(≈1.732)(　　)
A．346 B．373
C．446 D．473
答案：B
解析：如图所示，根据题意过C作CE∥C′B′，交BB′于E，过B作BD∥A′B′，交AA′于D，则BE＝100，C′B′＝CE＝.在△A′C′B′中，∠C′A′B′＝75°，则BD＝A′B′＝.又因为在B点处测得A点的仰角为45°，所以AD＝BD＝，所以高度差AA′－CC′＝AD＋BE＝＋100＝＋100＝＋100＝＋100＝100(＋1)＋100≈373.
归纳总结
解三角形应用题的4个要点
提醒　(1)在解决有关高度问题时，理解仰角、俯角、方向(位)角是关键．
(2)在解应用题时，还要根据题意正确画出示意图．
对点训练
1．[2021·宁夏青铜峡市宁朔中学]在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若a＝8，B＝60°，C＝75°，则b＝(　　)
A．4　　B．4　　C．4　　D．32
答案：C
解析：因为B＝60°，C＝75°，所以A＝180°－60°－75°＝45°，因为＝，所以b＝＝＝4.故选C.
2．[2022·河南汝州市第一高级中学模拟]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝2，cos 2C＝cos 2A＋4sin2B，则△ABC面积的最大值是(　　)
A． B．1 C． D．2
答案：A
解析：由cos 2C＝cos 2A＋4sin2B得：1－2sin2C＝1－2sin2A＋4sin2B，
即sin2A＝sin2C＋2sin2B，由正弦定理得：a2＝c2＋2b2＝4；
由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bc cosA＝4，∴c2＋2b2＝b2＋c2－2bc cos A，即cos A＝，∵A∈(0，π)，∴sin A＝ ，
∴S△ABC＝bc sin A＝＝，
∵c2＋2b2＝4，∴c2＝4－2b2，
∴S△ABC＝＝，
则当b2＝时，max＝－＋4×＝，∴(S△ABC)max＝＝.故选A.
3．[2022·黑龙江哈尔滨三中一模]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知c sin－b sin C＝0.
(1)求内角B的大小；
(2)已知△ABC的面积为，a＝2c，＝，求线段BM的长．
解析： (1)因为c sin －b sin C＝0，
所以c sin B＋c cos B－b sin C＝0，
所以由正弦定理边化角得：sin C sin B＋sin C cos B－sin B sin C＝0，
因为C∈(0，π)，sin C≠0，
所以cos B－sin B＝0，即tan B＝，
因为B∈(0，π)，所以B＝.
(2)因为△ABC的面积为，B＝，
所以S＝ac sin B＝ac＝，
所以ac＝2, 因为a＝2c，所以c＝1，a＝2，
所以b＝＝ ＝，
所以a2＝b2＋c2，即△ABC为直角三角形，
因为＝，所以AM＝，
所以BM＝＝ ＝.
考点三　
与解三角形有关的交汇问题
考点三　与解三角形有关的交汇问题　[交汇创新]——转问题，选定理，得结论
解三角形问题一直是近几年高考的重点，主要考查以斜三角形为背景求三角形的基本量、面积或判断三角形的形状，解三角形与平面向量、不等式、三角函数性质、三角恒等变换交汇命题成为高考的热点．
例 5 如图，在△ABC中，三个内角B，A，C成等差数列，且AC＝10，BC＝15.
(1)求△ABC的面积；
(2)已知平面直角坐标系xOy中，点D(10，0)，若函数f(x)＝M sin (ωx＋φ)(M>0，ω>0，|φ|<)的图象经过A，C，D三点，且A，D为f(x)的图象与x轴相邻的两个交点，求f(x)的解析式．
解析：(1)在△ABC中，由角B，A，C成等差数列，得B＋C＝2A，
又因为A＋B＋C＝π，所以A＝.
设角A，B，C的对边分别为a，b，c，
由余弦定理可知a2＝b2＋c2－2bc cos ，
所以c2－10c－125＝0，解得c＝AB＝5＋5.
因为CO＝10×sin ＝5，
所以S△ABC＝×(5＋5)×5＝(3)．
(2)因为AO＝10×cos ＝5，
所以函数f(x)的最小正周期T＝2×(10＋5)＝30，
故ω＝.
因为f(－5)＝M sin ＝0，
所以sin ＝0，所以－＋φ＝kπ，k∈Z.
因为|φ|<，所以φ＝.
因为f(0)＝M sin ＝5，所以M＝10，
所以f(x)＝10sin .
归纳总结
解三角形与三角函数交汇问题一般步骤
对点训练
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a cos B＋b cos A＝c sin C，数列{an}满足an＝(n2＋2n)sin [(2n－1)C]，则数列{an}的前100项和S100＝________．

－5 150
解析：由a cos B＋b cos A＝c sin C得sin A cos B＋sin B cos A＝sin2C，
∴sin(A＋B)＝sin2C，∴sinC＝sin2C，
又∵0＜C＜π，sinC≠0，∴sin C＝1，∴C＝，
∴an＝(n2＋2n)sin ，
即an＝[(n＋1)2－1]sin ，从而S100＝(22－1)－(32－1)＋(42－1)－(52－1)＋…＋(1002－1)－(1012－1)＝22－32＋42－52＋…＋1002－1012＝－(2＋3＋4＋5＋…＋100＋101)＝－5 150.
[高考5个大题] 解题研诀窍(一) 三角函数问题重在“变”——变角、变式
[思维流程——找突破口]
[技法指导——迁移搭桥],
1.常用的变角技巧
(1)已知角与特殊角的变换；
(2)已知角与目标角的变换；
(3)角与其倍角的变换；
(4)两角与其和差角的变换以及三角形内角和定理的变换运用．如：α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α＝(β＋α)－(β－α)，α＋β＝2·＝.
2．常用的变式技巧
主要从函数名、次数、系数方面入手，常见有：
(1)讨论三角函数的性质时，常常将它化为一次的单角的三角函数来讨论；
(2)涉及sin x±cos x、sin x·cos x的问题，常做换元处理，如令t＝sin x±cos x∈[－]，将原问题转化为关于t的函数来处理；
(3)在解决三角形的问题时，常利用正、余弦定理化边为角或化角为边等．
[典例]　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b sin A＝a cos .
(1)求角B的大小；
(2)设a＝2，c＝3，求b和sin (2A－B)的值．
[快审题]
求什么 想什么 求角B的大小，想到角B的三角函数值．
求三角函数值，想到由已知三角函数值求值．
给什么 用什么 已知边角关系式，用正弦定理统一角．
已知边的大小，用余弦定理求边．
差什么 找什么 求sin (2A－B)的值，缺少2A的三角函数值，
应找A的三角函数值．
[稳解题]
(1)在△ABC中，由正弦定理＝，
可得b sin A＝a sin B．
又因为b sin A＝a cos ，
所以a sin B＝a cos ，
即sin B＝cos B＋sin B，
所以tan B＝　．
因为B∈(0，π)，所以B＝.
(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，
得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝7，故b＝.
由b sin A＝a cos ，可得sin A＝.
因为a所以sin 2A＝2sin A cos A＝，
cos 2A＝2cos2A－1＝．
所以sin(2A－B)＝sin 2A cos B－cos 2A sin B
＝＝.
题后悟道
1．利用正、余弦定理求解问题的策略
2．三角恒等变换的思路为“一角二名三结构”
升幂(降幂)公式口诀：“幂降一次，角翻倍；幂升一次，角减半”．