7.3.2离散型随机变量的方差(共16张PPT)
文档属性
| 名称 | 7.3.2离散型随机变量的方差(共16张PPT) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 6.9MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-04-20 07:50:43 | ||
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文档简介
(共16张PPT)
7.3.2 离散型随机变量的方差
1. 离散型随机变量的均值：
一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示，
X x1 x2 xn
P p1 p2 pn
则称
为随机变量X的均值或数学期望， 数学期望简称期望.
2. 均值的性质：
3. 随机变量X服从两点分布，则有
复习引入
问题2 从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛. 根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表所示.
如何评价这两名同学的射击水平
X 6 7 8 9 10
P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07
Y 6 7 8 9 10
P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03
通过计算可得，
由于两个均值相等，所以用均值不能区分这两名同学的射击水平.
评价射击水平，除了要了解击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度.
问题探究
为了能直观分析甲乙两名击中环数的离散程度，下面我们分别作出X和Y的概率分布图.
0
6
7
10
9
8
P
0.1
0.2
0.3
0.4
X
0
6
7
10
9
8
P
0.1
0.2
0.3
0.4
Y
比较两个图形，可以发现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的射击成绩更稳定.
思考：怎样定量刻画离散型随机变量取值的离散程度
问题探究
我们知道，样本方差可以度量一组样本数据的离散程度，它是通过计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”来实现的，所以我们能否用可能取值与均值的“偏差平方的平均值”来度量随机变量的离散程度.
X x1 x2 xn
P p1 p2 pn
探究新知
设离散型随机变量X的分布列如下表所示.
随机变量X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方为
(x1－E(X))2， (x2－E(X))2 ， ，(xn－E(X))2.
所以偏差平方的平均值为
我们把随机变量X的这个平均值称为随机变量X的方差，用D(X)表示.
(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2 p2＋ ＋(xn－E(X))2pn .
一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示.
X x1 x2 xn
P p1 p2 pn
则称
离散型随机变量的方差：
为随机变量X的方差， 有时也记为Var(X)，并称 为随机变量X的标准差，记为σ(X).
概念形成
随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度. 方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.
问题2 从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛. 根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表所示.
如何评价这两名同学的射击水平
X 6 7 8 9 10
P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07
Y 6 7 8 9 10
P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03
问题探究
解：
∴随机变量Y的取值相对更集中，即乙同学的射击成绩相对更稳定.
在方差的计算中，为了使运算简化，还可以用下面的结论.
证明：
探究新知
方差的性质：
探究：离散型随机变量X加上一个常数方差会有怎样的变化 离散型随机变量X乘以一个常数, 方差又有怎样的变化 它们和期望的性质有什么不同
探究新知
一般地，可以证明下面的结论成立：
例1 抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X的方差.
解：随机变量X的分布列为
典例分析
=
=
方差的性质：
探究：离散型随机变量X加上一个常数方差会有怎样的变化 离散型随机变量X乘以一个常数, 方差又有怎样的变化 它们和期望的性质有什么不同
探究新知
一般地，可以证明下面的结论成立：
解：
1. 已知随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P 0.2 0.3 0.4 0.1
求D(X)和σ(2X＋7).
小试牛刀
例2 投资A，B两种股票，每股收益的分布列分别如下表所示.
股票A收益的分布列
股票B收益的分布列
收益X /元 －1 0 2
概率 0.1 0.3 0.6
收益Y /元 0 1 2
概率 0.3 0.4 0.3
投资哪种股票的期望收益大 (2) 投资哪种股票的风险较高
典例分析
解：
∵E(X)>E(Y)
∴ 投资股票A的期望收益较大
∵D(X)>D(Y)
∴ 投资股票A的风险较高
随机变量的方差是一个重要的数字特征，它刻画了随机变量的取值与其均值的偏离程度，或者说反映随机变量取值的离散程度.
在不同的实际问题背景中，方差可以有不同的解释. 例如，如果随机变量是某项技能的测试成绩，那么方差的大小反映了技能的稳定性；如果随机变量是加工某种产品的误差，那么方差的大小反映了加工的精度；如果随机变量是风险投资的收益，那么方差的大小反映了投资风险的高低；等等.
1.甲、乙两个班级同学分别目测数学教科书的长度，其误差X和Y(单位: cm)的分布列如下:
甲班的目测误差分布列
X －2 －1 0 1 2
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
先直观判断X和Y的分布哪一个离散程度大，再分别计算X和Y的方差，验证你的判断.
乙班的目测误差分布列
Y －2 －1 0 1 2
P 0.05 0.15 0.6 0.15 0.05
解：直观的观察可判断X的离散程度较大，下面用方差验证.
∵D(X)>D(Y)
∴ X的分布离散程度较大
巩固练习
1. 离散型随机变量的方差：
一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示，
2. 方差的性质：
则称
为随机变量X的方差，并称 为随机变量X的标准差，记为σ(X).
课堂小结
7.3.2 离散型随机变量的方差
1. 离散型随机变量的均值：
一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示，
X x1 x2 xn
P p1 p2 pn
则称
为随机变量X的均值或数学期望， 数学期望简称期望.
2. 均值的性质：
3. 随机变量X服从两点分布，则有
复习引入
问题2 从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛. 根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表所示.
如何评价这两名同学的射击水平
X 6 7 8 9 10
P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07
Y 6 7 8 9 10
P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03
通过计算可得，
由于两个均值相等，所以用均值不能区分这两名同学的射击水平.
评价射击水平，除了要了解击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度.
问题探究
为了能直观分析甲乙两名击中环数的离散程度，下面我们分别作出X和Y的概率分布图.
0
6
7
10
9
8
P
0.1
0.2
0.3
0.4
X
0
6
7
10
9
8
P
0.1
0.2
0.3
0.4
Y
比较两个图形，可以发现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的射击成绩更稳定.
思考：怎样定量刻画离散型随机变量取值的离散程度
问题探究
我们知道，样本方差可以度量一组样本数据的离散程度，它是通过计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”来实现的，所以我们能否用可能取值与均值的“偏差平方的平均值”来度量随机变量的离散程度.
X x1 x2 xn
P p1 p2 pn
探究新知
设离散型随机变量X的分布列如下表所示.
随机变量X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方为
(x1－E(X))2， (x2－E(X))2 ， ，(xn－E(X))2.
所以偏差平方的平均值为
我们把随机变量X的这个平均值称为随机变量X的方差，用D(X)表示.
(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2 p2＋ ＋(xn－E(X))2pn .
一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示.
X x1 x2 xn
P p1 p2 pn
则称
离散型随机变量的方差：
为随机变量X的方差， 有时也记为Var(X)，并称 为随机变量X的标准差，记为σ(X).
概念形成
随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度. 方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.
问题2 从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛. 根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表所示.
如何评价这两名同学的射击水平
X 6 7 8 9 10
P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07
Y 6 7 8 9 10
P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03
问题探究
解：
∴随机变量Y的取值相对更集中，即乙同学的射击成绩相对更稳定.
在方差的计算中，为了使运算简化，还可以用下面的结论.
证明：
探究新知
方差的性质：
探究：离散型随机变量X加上一个常数方差会有怎样的变化 离散型随机变量X乘以一个常数, 方差又有怎样的变化 它们和期望的性质有什么不同
探究新知
一般地，可以证明下面的结论成立：
例1 抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X的方差.
解：随机变量X的分布列为
典例分析
=
=
方差的性质：
探究：离散型随机变量X加上一个常数方差会有怎样的变化 离散型随机变量X乘以一个常数, 方差又有怎样的变化 它们和期望的性质有什么不同
探究新知
一般地，可以证明下面的结论成立：
解：
1. 已知随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P 0.2 0.3 0.4 0.1
求D(X)和σ(2X＋7).
小试牛刀
例2 投资A，B两种股票，每股收益的分布列分别如下表所示.
股票A收益的分布列
股票B收益的分布列
收益X /元 －1 0 2
概率 0.1 0.3 0.6
收益Y /元 0 1 2
概率 0.3 0.4 0.3
投资哪种股票的期望收益大 (2) 投资哪种股票的风险较高
典例分析
解：
∵E(X)>E(Y)
∴ 投资股票A的期望收益较大
∵D(X)>D(Y)
∴ 投资股票A的风险较高
随机变量的方差是一个重要的数字特征，它刻画了随机变量的取值与其均值的偏离程度，或者说反映随机变量取值的离散程度.
在不同的实际问题背景中，方差可以有不同的解释. 例如，如果随机变量是某项技能的测试成绩，那么方差的大小反映了技能的稳定性；如果随机变量是加工某种产品的误差，那么方差的大小反映了加工的精度；如果随机变量是风险投资的收益，那么方差的大小反映了投资风险的高低；等等.
1.甲、乙两个班级同学分别目测数学教科书的长度，其误差X和Y(单位: cm)的分布列如下:
甲班的目测误差分布列
X －2 －1 0 1 2
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
先直观判断X和Y的分布哪一个离散程度大，再分别计算X和Y的方差，验证你的判断.
乙班的目测误差分布列
Y －2 －1 0 1 2
P 0.05 0.15 0.6 0.15 0.05
解：直观的观察可判断X的离散程度较大，下面用方差验证.
∵D(X)>D(Y)
∴ X的分布离散程度较大
巩固练习
1. 离散型随机变量的方差：
一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示，
2. 方差的性质：
则称
为随机变量X的方差，并称 为随机变量X的标准差，记为σ(X).
课堂小结