7.4.1二项分布课件(共24张PPT)

(共24张PPT)
7.4.1 二项分布
二项展开式的通项：
温故知新
思考：下列一次随机试验的可能结果有哪些？这些随机试验的共同点是什么？
(1)掷一枚硬币;
(2)检验一件产品;
(3)飞碟射击;
(4)医学检验.
正面朝上；反面朝上
合格；不合格
中靶；脱靶
阴性；阳性
只包含两个结果
探究新知
我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验. 显然，n重伯努利试验具有如下共同特征:
(1) 同一个伯努利试验重复做n次；
(2) 各次试验的结果相互独立.
我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验(Bernoulli trials).
“重复”意味着各次试验的概率相同
思考：下面3个随机试验是否为n重伯努利试验 如果是，那么其中的伯努利试验是什么 对于每个试验，定义“成功”的事件为A，那么A的概率是多大 重复试验的次数是多少
(1) 抛掷一枚质地均匀的硬币10次.
(2) 某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次.
(3) 一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取20件.
探究新知
随机试验 是否为n重伯努利试验 P(A) 重复试验的次数
(1)
(2)
(3)
是
是
是
0.5
0.8
0.05
10
3
20
探究新知
追问: (1)伯努利试验与n重伯努利试验有何不同？
(2)在伯努利试验中，我们关注什么？在n重伯努利试验中呢？
(1) 伯努利试验做一次试验, n重伯努利试验做n次试验.
(2)在伯努利试验中, 我们关注某个事件A是否发生; 在n重伯努利试验中, 我们关注事件A发生的次数X .
进一步，因为X是一个离散型随机变量，所以我们实际关心的是它的概率分布列。
·
探究：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8. 连续3次射击，中靶次数X的概率分布列是怎样的
用Ai表示“第i次射击中靶”(i＝1, 2, 3)，用下图的树状图表示试验的可能结果：
探究新知
探究新知
由分步乘法计数原理，3次独立重复试验共有23=8种可能结果，它们两两互斥，每个结果都是3个相互独立事件的积.
由概率的加法公式和乘法公式得
思考：可以利用组合数来简化表示吗？
探究新知
为了简化表示，每次射击用1表示中靶，用0表示脱靶，那么3次射击恰好2次中靶的所有可能结果可表示为011，110，101，这三个结果发生的概率都相等，均为0.82×0.2，并且与哪两次中靶无关.
同理可求中靶0次、1次、3次的概率.
因此，3次射击恰好2次中靶的概率为 .
即
于是，中靶次数X的分布列可表示为
连续射击4次，中靶次数X＝2的结果有
中靶次数X的分布列为
思考：如果连续射击4次，类比上面的分析，表示中靶次数X等于2的结果有哪些 写出中靶次数X的分布列.
探究新知
简写为
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p (0二项分布的定义：
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布， 记作X ~ B(n, p).
概念形成
追问1：对比二项分布和二项式定理，你能看出它们之间的联系吗？
探究新知
如果把p看成b ，1-p看成a ，则 就是二项式定理[(1-p)+p]n的展开式的第k＋1项，由此才称为二项分布.
由二项式定理，可得
二项分布的分布列如下表：
追问2：二项分布和两点分布有什么联系？
探究新知
二项分布的分布列如下表：
当n=1时，可以得到两点分布的分布列如下表：
两点分布是一种特殊的二项分布，即是n=1的二项分布；
二项分布可以看做两点分布的一般形式.
例1 将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求:
(1) 恰好出现5次正面朝上的概率；
(2) 正面朝上出现的频率在[0.4, 0.6]内的概率.
解：设A＝“正面朝上”，则P(A)＝0.5. 用X表示事件A发生的次数，则 X ~ B(10, 0.5).
(2) 正面朝上出现的频率在[0.4, 0.6]内等价于4≤X≤6，于是所求概率为
典例分析
(1) 恰好出现5次正面朝上的概率为
随机变量X服从二项分布的三个前提条件：
(1) 每次试验都是在同一条件下进行的；
(2) 每一次试验都彼此相互独立；
(3) 每次试验出现的结果只有两个，即某事件要么发生，要么不发生.
只有这三个条件均满足时才能说明随机变量X服从二项分布，其事件A在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率可用下面公式计算.
方法总结
例2 如图是一块高尔顿板的示意图. 在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃. 将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中. 格子从左到右分别编号为0, 1, 2, , 10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列.
典例分析
解：设A=“向右下落”，则=“向左下落”，且P(A)=P()=0.5.
因为小球最后落入格子的号码X等于事件A发生的次数，而小球在下落的过程中共碰撞小木钉10次，所以X～B(10, 0.5).
X的概率分布图如右图所示：
于是，X的分布列为
例3 甲、乙两选手进行象棋比赛, 如果每局比赛甲获胜的概率为0.6, 乙获胜的概率为0.4, 那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利
解1：若采用3局2胜制，甲最终获胜有两种可能的比分2:0或2:1，前者是前两局甲连胜，后者是前两局甲、乙各胜一局且第3局甲胜. 因为每局比赛的结果是独立的，所以甲最终获胜的概率为
类似地，采用5局3胜制，甲最终获胜有3种比分3:0, 3:1或3:2. 因为每局比赛的结果是独立的，所以甲最终获胜的概率为
因为p2>p1，所以5局3胜制对甲有利. 实际上，比赛局数越多，对实力较强者越有利.
典例分析
解2：若采用3局2胜制，不妨设赛满3局，用X表示3局比赛中甲胜的局数，则X~B(3, 0.6)，所以甲最终获胜的概率为
同理，若采用5局3胜制，则X~B(5, 0.6)，所以甲最终获胜的概率为
例3 甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利
典例分析
思考: 为什么假定赛满3局或5局，不影响甲最终获胜的概率
采用3局2胜制赛满3局时, 若前2局获胜, 那第3局的胜负并不影响甲获胜; 同样, 采用5局3胜制赛满5局, 若前3局获胜, 那后2局的胜负并不影响甲获胜, 若前4局胜3局, 那第5局的胜负也不影响甲获胜.
一般地，确定一个二项分布模型的步骤如下:
(1) 明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p；
(2) 确定重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性；
(3) 设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数，则X~B(n, p).
方法总结
探究: 假设随机变量X服从二项分布B(n, p), 那么X的均值和方差各是什么
我们知道，抛掷一枚质地均匀的硬币，“正面朝上”的概率为0.5，如果掷100次硬币，期望有100×0.5＝50次正面朝上.
(1)当n＝1时, X分布列为 P(X＝0)＝1－p, P(X＝1)＝p, 则有
E(X)＝ 0×(1－p)+ 1×p＝p
D(X)＝ 02×(1－p)+ 12×p－p2 ＝ p(1－p)
(2)当n＝2时, X分布列为 P(X＝0)＝(1－p)2, P(X＝1)＝2p(1－p), P(X＝2)＝p2
E(X)＝0×(1－p)2＋1×2p(1－p)＋2×p2 ＝2p
D(X)＝ 02×(1－p)2＋12×2p(1－p)＋22×p2－(2p)2＝2p(1－p)
由此可猜想, 若X~B(n, p), 则有
探究新知
根据均值的含义，对于服从二项分布的随机变量X, 我们猜想
E(X)＝np.
若X~B(n, p)，则有
二项分布的均值与方差：
下面对均值进行证明.
证明：
探究新知
1.一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中有放回地取5次，则取到红球次数的数学期望是 ，方差为________.
巩固练习
2. 将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，X表示“正面朝上”出现的次数.
(1) 求X的分布列；
(2) E(X)＝_______，D(X)＝_________.
解：
3. 鸡接种一种疫苗后, 有80%不会感染某种病毒. 如果5只鸡接种了疫苗, 求:
(1) 没有鸡感染病毒的概率；
(2) 恰好有1只鸡感染病毒的概率.
巩固练习
解：
4. 判断下列表述正确与否，并说明理由:
(1) 12道四选一的单选题，随机猜结果，猜对答案的题目数X~B(12, 0.25)；
(2) 100 件产品中包含10件次品，不放回地随机抽取6件，其中的次品数Y~B(6, 0.1).
每道题猜对答案与否是独立的，且每道题猜对答案的概率为0.25，故猜对答案的题目数X服从二项分布，即X~B(4, 0.25).
(1) 正确. 理由如下：
每次抽到次品的概率为0.1，但由于是不放回抽样，所以每次是否抽到次品不独立，不满足二项分布的条件.
(2) 错误. 理由如下：
巩固练习
1. 二项分布：
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p (0如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布， 记作X ~B(n，p).
若X~B(n, p)，则有
2. 二项分布的均值与方差：
课堂小结