垂直平分线与角平分线课后练习
如图，AB是∠DAC的平分线，且AD=AC．
求证：BD=BC．
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给出以下两个定理：
①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；
②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
应用上述定理进行如下推理，如图，直线l是线段MN的垂直平分线．
∵点A在直线l上，
∴AM=AN（ ）
∵BM=BN，∴点B在直线l上（ ）
∵CM≠CN，∴点C不在直线l上．
这是因为如果点C在直线l上，那么CM=CN（ ）
这与条件CM≠CN矛盾．以上推理中各括号内应注明的理由依次是（ ）
A．②①① B．②①② C．①②② D．①②①
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如图所示，D是∠AOB平分线上的一点，DE⊥OA，DF⊥OB，垂足分别是E，F．下列结论不一定成立的是（ ）
A．DE=DF B．OE=OF C．∠ODE=∠ODF D．OD=DE+DF
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如图，P是∠AOB平分线上一点，CD⊥OP于P，并分别交OA、OB于C，D，则点P到∠AOB两边距离之和（ ）
A．小于CD B．大于CD C．等于CD D．不能确定
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如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC的垂直平分线MN与AB交于D点，∠BCD=10°，则∠A的度数是 40°．
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如图，AB=AC=10，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D．
求：（1）∠ABD的度数；
（2）若△BCD的周长是m，求BC的长．
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已知：如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，CD平分∠ACB交边AB于点D，DE⊥BC垂足为E，BD = 2AD．求证：BE=CE．
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如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，交CD于K，交BC于E，F是BE上一点，且BF=CE．
求证：FK∥AB．
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如图，AD是△ABC的角平分线，AD的中 ( http: / / www.21cnjy.com )垂线分别交AB、BC的延长线于点F、E
求证：（1）∠EAD=∠EDA；（2）DF∥AC；（3）∠EAC=∠B．
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如图，△ABC的边BC的中垂线DF交△BAC的外角平分线AD于D，F为垂足，DE⊥AB于E，且AB＞AC，求证：BE AC=AE．
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如图，已知△ABC中，∠BAC：∠ABC：∠ACB=4：2：1，AD是∠BAC的平分线．
求证：AD=AC AB．
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如图，△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于D，且CD=15，AC=30，则AB的长为50 ．
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一个风筝如图所示，两翼AB=AC，横骨BF⊥AC，CE⊥AB，问其中骨AD能平分∠BAC吗？为什么？
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已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，AB=AD+2BE，则下列结论：
①；
②∠DAB+∠DCB=180°；
③CD=CB；
④S△ACE S△BCE=S△ADC．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
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垂直平分线与角平分线
课后练习参考答案
见详解．
详解：∵AB是∠DAC的平分线，∴∠DAB=∠CAB，
在△ABD和△ABC中， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，
∴△ABD≌△ABC（SAS）．∴BD=BC
D．
详解：根据题意，第一个空，由垂直平分线得到线段相等，应用了性质，填①；
第二个空，由线段相等得点在直线上，应用了判定，填②；
第三个空，应用了垂直平分线的性质，填①．
所以填①②①，故选D．
D．
详解：∵D是∠AOB平分线上的一点，DE⊥OA，DF⊥OB，∴DE=DF，故A选项成立，
在Rt△ODE和Rt△ODF中，，∴Rt△ODE≌Rt△ODF（HL），
∴OE=OF，∠ODE=∠ODF，故B、C选项成立，
OD=DE+DF无法证明，不一定成立．故选D．
A．
详解：如图，过点P作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
则PE、PF分别为点P到∠AOB两边的距离，
∵PE＜PC，PF＜PD，∴PE+PF＜PC+PD，∴PE+PF＜CD，
即点P到∠AOB两边距离之和小于CD．故选A．
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40°．
详解：∵MN是AC的垂直平分线，∴AD=CD，∴∠ACD=∠A，
∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∴∠A+∠ACB=90°，
∵∠BCD=10°，∴∠A+∠ACD+∠BCD=90°，即2∠A+10°=90°，
解得：∠A=40°．故答案为：40°．
（1）40°；（2）m 10．
详解：（1）∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，∴AD=BD，
∵∠A=40°，∴∠ABD=∠A=40°；
（2）∵AB的垂直平分线交AC于D，∴AD=BD，∵△BCD的周长为m，
∴BD+DC+BC=m，即AD+DC+BC=m，AC+BC=m，
∵AC=10，BC=m，∴BC=m 10．
见详解
详解：∵∠A=90°，DE⊥BC，CD平分∠ACB，∴AD=DE，
∵BD = 2AD，∴BD =2DE．在Rt△BDE中，∵BD =2DE，∴∠B=30°．
在Rt△ABC中，∵∠A=90°，∠B=30°，∴∠ACB=60°．∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=30°．∴∠BCD=∠B，∴BD=CD．∵DE⊥BC，∴BE=CE．
见详解．
详解：证明：过点K作MK∥BC，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE，
又∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠BAE+∠DKA=∠CAE+∠CEA=90°，∴∠DKA=∠CEA，
又∵∠DKA=∠CKE，∴∠CEA=∠CKE，∴CE=CK，又CE=BF，∴CK=BF，而MK∥BC，
∴∠B=∠AMK，∴∠BCD+∠B=∠DCA+∠BCD=90°，∴∠AMK=∠DCA，
在△AMK和△ACK中，∴∠AMK=∠ACK，AK=AK，∠MAK=∠CAK，
∴△AMK≌△ACK，∴CK=MK，∴MK=BF，MK∥BF，
四边形BFKM是平行四边形，∴FK∥AB．
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见详解
详解：（1）∵EF是AD的中垂线，∴DE=AE．∴∠EAD=∠EDA．
（2）∵EF为中垂线，∴FD=FA．∴∠FDA=∠FAD．∵AD平分∠BAC，∴∠FAD=∠DAC，
所以∠FDA=∠DAC．∴DF∥AC．
（3）∵∠EAD=∠EDA，∠EAD=∠DAC+∠CAE，∠EDA=∠B+∠BAD，
∴∠DAC+∠CAE=∠B+∠BAD，∵∠FAD=∠DAC，∴∠EAC=∠B．
见详解
详解：作DG⊥AC，连接BD、CD，∵AD是外角∠BAG的平分线，DE⊥AB，
∴∠DAE=∠DAG，则在△ADE与△ADG中， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，
∴△ADE≌△ADG（AAS），∴AE=AG，∵DF是BC的中垂线，∴BD=CD，
∴在Rt△BED和Rt△CGD中，，∴Rt△BED≌Rt△CGD（HL），
∴BE=CG=AC+AG，AG=AE，∴BE AC=AE．
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见详解
详解：在AC上截取AE=AB，连DE，如图， 设∠C=x，
∵∠BAC：∠ABC：∠ACB=4：2：1，∴∠BAC=4x，∠B=2x，
∵AD是∠BAC的平分线，∴∠3=∠4=2x，∵在△ABD和△AED中， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，
∴△ABD≌△AED（SAS），∴∠B=∠1=2x，∴∠1=∠4，∴DA=DE，
∵∠1=∠2+∠C，∠C=x，∴∠2=2x x=x，即∠2=∠C，∴ED=EC，∴DA=EC，
∴AC=AE+EC=AB+AD，即AD=AC AB．
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50．
详解：如图，作DE⊥AB，∴∠BED=90°，
∴∠BED=∠C=90°，∵∠EBD=∠ABC，∴△ABC∽△DBE，∴，设BD=x，BE=y，则，30y=152+15x，x=2y 15，在Rt△DBE中，BD2=DE2+BE2，
即（2y 15）2=y2+152，y（y 20）=0，∴y=20，AB=AE+BE=30+20=50．故答案为：50．
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能平分∠BAC．
详解：中骨AD能平分∠BAC．理由如下：∵ ( http: / / www.21cnjy.com )BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠AFB=∠AEC=90°，又∵AB=AC，∠BAF=∠CAE，∴△BAF≌△CAE，∴AF=AE．
在Rt△AED和Rt△AFD中，AD=AD，AE=AF，∴Rt△AED≌Rt△AFD，∴∠EAD=∠FAD，答：中骨AD能平分∠BAC．
D．
详解：①在AE取点F，使EF=BE．
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∵AB=AD+2BE=AF+EF+BE，EF=BE，∴AB=AD+2BE=AF+2BE，∴AD=AF，
∴AB+AD=AF+EF+BE+AD=2AF+2EF=2（AF+EF）=2AE，
∴，故①正确；
②在AB上取点F，使BE=EF，连接CF．在△ACD与△ACF中，
∵AD=AF，∠DAC=∠FAC，AC=AC，∴△ACD≌△ACF，∴∠ADC=∠AFC．
∵CE垂直平分BF，∴CF=CB，∴∠CFB=∠B．又∵∠AFC+∠CFB=180°，
∴∠ADC+∠B=180°，∴∠DAB+∠DCB=360 （∠ADC+∠B）=180°，故②正确；
③由②知，△ACD≌△ACF，∴CD=CF，又∵CF=CB，∴CD=CB，故③正确；
④易证△CEF≌△CEB，∴ S△ACE S△BCE=S△ACE S△FCE=S△ACF，又∵△ACD≌△ACF，
∴S△ACF=S△ADC，∴S△ACE S△BCE=S△ADC，故④正确．故选D．垂直平分线与角平分线
我们一起回顾
垂直平分线
角平分线
重难点易错点解析
垂直平分线
题一：AC=AD，BC=BD，则有（ ）
A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB
角平分线
题二：如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（ ）
A．PA=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB D．AB垂直平分OP
金题精讲
题一：如图，AB=AC，AC的垂直平分线MN交AB于D，交AC于E．
（1）若∠A=40°，求∠BCD的度数；
（2）若AE=5，△BCD的周长17，求△ABC的周长．
题二：在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，∠ABC，∠ACB的平分线交于P点，PE⊥BC于E点，求PE的长．
题三：如图，AD为△ABC的角平分线，AD的中垂线交AB于点E、交BC的延长线于点F，AC于EF交于点O．
（1）求证：∠3=∠B；（2）连接OD，求证：∠B+∠ODB=180°．
题四：如图，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的角平分线．求证：AC+CD=AB．
思维拓展
题一：小傲做了一个如图所示的“风筝”骨架，其中AB=AD，CB=CD．
（1）小德同学观察了这个“风筝”骨架后，他认为AC⊥BD，垂足为点E，并且BE=ED，你同意小德的判断吗？为什么？
（2）设AC=a，BD=b，请用含a，b的式子表示四边形ABCD的面积．
学习提醒
重点：
垂直平分线
性质——垂直平分线上一点到线段两端距离相等
判定——到线段两端距离相等的点在其垂直平分线上
角平分线
性质——角平分线上一点到角两边距离相等
判定——到角两边距离相等的点在角平分线上
垂直平分线与角平分线
讲义参考答案
重难点易错点解析
题一：A
点拨：垂直平分线
性质——垂直平分线上一点到线段两端距离相等
判定——到线段两端距离相等的点在其垂直平分线上
题二：D
点拨：角平分线
性质——角平分线上一点到角两边距离相等
判定——到角两边距离相等的点在角平分线上
金题精讲
题一：（1）30°（2）27 题二：1
题三：证明略 题四：证明略
思维拓展
题一：(1) 同意；(2)
