学科：数学
专题：多边形及其角度计算
重难点易错点解析
题一：
题面：已知一个正多边形的一个内角是120°，则这个多边形的边数是 ．
金题精讲
题一：
题面：在下面四种正多边形的瓷砖中，用同一种瓷砖能镶嵌成一个平面图案的是（ ）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
题二：
题面：有一程序，如果机器人在平地上按如图的步骤行走，那么机器人回到A点处共走的路程是（ ）
A．24米 B．48米 C．15米 D．30米
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
题三：
题面：如果一个多边形的内角和是其外角和的一半，那么这个多边形是（ ）
A.六边形 B.五边形 C.四边形 D.三角形
题四：
题面：
如图，四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AE平分∠BAD，若AE∥CF，∠BCF=60°，请你求出∠DCF的度数．并说明你的理由．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
思维拓展
题面：四边形的四个内角中 ( http: / / www.21cnjy.com )，最多有3 个锐角，在四边形的四个外角中，最多有 3 ________________个锐角．
课后练习详解
重难点易错点解析
题一：
答案：六．
详解：外角是180﹣120=60度，
360÷60=6，则这个多边形是六边形．
故答案为：六．
金题精讲
题一：
答案：B.
详解：①正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺；
②正四边形的每个内角是90°，4个能密铺；
③正五边形的每个内角是108°，不能整除360°，不能密铺；
④正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺．
故同一种瓷砖能镶嵌成一个平面图案的是：①，②，④．
故选B．
题二：
答案：D.
详解：利用多边形的外角和等于360°，可知机器人回到A点时，恰好沿着360°÷24°=15边形的边走了一圈，即可求得路程．2×(360°÷24°)=30米．故本题选D．
题三：
答案：D．
详解：任何多边形的外角和是360度，内角和等于外角和的一半则内角和是180度，可知此多边形为三角形．根据题意，得
(n﹣2) 180°=180°，解得：n=3．故选D．
题四：
答案：60°．
详解：∠DCF=60°，理由如下：
如图，∵∠B=90°
∴∠1+∠BCF=90°
∵∠BCF=60°
∴∠1=30°．
∵AE∥CF
∴∠2=∠1=30°
∵AE平分∠BAD
∴∠3=∠2=30°
又∵∠D=90°
∴∠3+∠4=90°
∴∠4=60°
∵AE∥CF
∴∠DCF=∠4=60°．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
思维拓展
答案： 3；3.
详解：根据四边形的内角和为360°可知 ( http: / / www.21cnjy.com )：一个四边形的四个内角中最多有3个钝角，最多有3个锐角．
在四边形的四个外角中，最多有3个锐角，最多有3个钝角．
故答案为：3，3．专题：多边形及其角度计算
重难点易错点解析
题一
题面：题面：已知，一个凸多边形的每一个内角 ( http: / / www.21cnjy.com )都是140°，那么这个多边形的边数是多少？内角和是多少？外角和是多少？每一个顶点出发有多少条对角线？共有多少条对角线？
n边形：
内角和=180°(n 2)
外角和=360°
每一个顶点出发的对角线=n 3
对角线总条数=
正多边形：
边长相等、内角相等
金题精讲
题一
题面：现有边长相同的正三角形、正方形和正六边形纸片若干张，下列拼法中不能镶嵌成一个平面图案的是（ ）
A．正方形和正六边形
B．正三角形和正方形
C．正三角形和正六边形
D．正三角形、正方形和正六边形
镶嵌问题
题二
题面：下图是为某机器人编制的一段程序，如果机器人在平地上按图所示的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为 m.
( http: / / www.21cnjy.com )
多边形外角和
题三
题面：
(1)一个多边形对角线的条数等于边数的5倍，则这个多边形的内角和是 .
(2)一个多边形的每一个内角都等于150°，那么这个多边形的对角线数目是 .
(3)过m边形的一个顶点有4条对角线，n边形没有对角线，p边形有p条对角线，则边数为(m+n p)的正多边形每一个内角的度数是 .
根据公式，列方程解决问题
题四
题面：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AE、CF分别平分∠BAD和∠BCD，那么AE和CF的位置关系是什么？并说明.
( http: / / www.21cnjy.com )
多边形内角和在几何题目中的综合应用
思维拓展
题一
题面：在凸十边形的所有内角中，锐角的个数最多是 .
内角问题转化为外角
讲义参考答案
重难点易错点解析
题一
答案：9 1260° 360° 6 27
金题精讲
题一
答案： A
题二
答案：12
题三
答案：(1)1980° (2)54 (3)108°
题四
答案：AE∥CF
思维拓展
答案：3专题：多边形及其角度计算
重难点易错点解析
题一：
题面：一个正多边形，它的每一个外角都等于45°，则该正多边形是（ ）
A．正六边形 B． 正七边形 C． 正八边形 D． 正九边形
金题精讲
题一：
题面：下列平面图形中不能镶嵌成一个平面图案的是（ ）
A．任意三角形 B．任意四边形 C．正五边形 D．正六边形
题二：
题面：科技馆为某机器人编制一段程序，如果 ( http: / / www.21cnjy.com )机器人在平地上按照图中的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为（ ）
A．6米 B．8米 C．12米 D．不能确定
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
题三：
题面：若凸边形的内角和为1260°，则从一个顶点出发引的对角线条数是_____________．
题四：
题面：如图1所示，四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，CF平分∠BCD.若AE∥CF，由公式判定AE是否平分∠BAD.说明理由.
( http: / / www.21cnjy.com )
图1
思维拓展
题面：在凸n（n≥3的正整数）边形的所有内角中，锐角的个数最多是（ ）
A．4 B．n C．n-3 D．3
课后练习详解
重难点易错点解析
题一：
答案：C.
详解：正多边形的外角和是360°，而它的每一个外角都等于45°，360°÷45°＝8．则该正多边形是正八边形，故选C．
金题精讲
题一：
答案：C.
详解：A、任意三角形的内角和是180°，放在同一顶点处6个即能密铺；
B、任意四边形的内角和是360°，放在同一顶点处4个即能密铺；
C、正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺；
D、正六边形每个内角是120°，能整除360°，故能密铺．
故选C．
题二：
答案： B.
详解：根据题意，机器人走过的图形是正多边形 ( http: / / www.21cnjy.com )，每一个外角都等于45°，
所以多边形的边数=360°÷45°=8，
该机器人所走的总路程为8×1=8米．
故选B．
题三：
答案：6.
详解：凸边形的内角和为(n－2)×180°，从边形的一个顶点出发，能引(n－3)条对角线， 边形共有条对角线．
题四：
答案：AE平分∠BAD.
详解：AE平分∠BAD，理由如下：
因为AE∥CF，所以∠DEA=∠DCF，∠CFB=∠EAB，
又∠DCF=∠BCF，∠BCF+∠BFC=90°，∠DEA+∠DAE=90°，
所以∠DAE=∠BFC=∠EAB.
所以AE平分∠BAD.
思维拓展
答案：D.
详解：：∵凸n（n≥3的正整数）边形的外角和为360°，
∴n个外角中最多有3个钝角，
而每个外角和它对应的内角互补，
∴凸n（n≥3的正整数）边形的所有内角中，锐角的个数最多有3个．
故选D．
