2.4 单摆 同步练习（学生版+解析版）

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2.4 单摆 同步练习
一、单选题
1．关于单摆的运动，下列说法正确的是（　　）
①单摆的回复力是摆线的拉力与重力的合力
②单摆的回复力是重力沿摆球运动轨迹切向的分力
③单摆的周期与摆球质量无关，与振幅无关，与摆长和当地的重力加速度有关
④单摆的运动是简谐运动
⑤在山脚下走时准确的摆钟移到高山上走时将变快
A．③④ B．②③
C．③④⑤ D．①④⑤
2．在盛沙的漏斗下面放一木板，让漏斗左右摆动起来，同时其中细沙匀速流出，经历一段时间后，观察木板上沙子的堆积情况，则沙堆的剖面应是下图中的（　　）
A． B．
C． D．
3．有一摆长为L的单摆，其悬点正下方某处有一小钉，摆球经过平衡位置向左摆动时，摆线的上部被小钉挡住，使摆长发生变化。现使摆球做小幅度摆动，摆球从右边最高点M运动到左边最高点N的频闪照片如图所示（悬点与小钉未被摄入）。P为摆动中的最低点，已知每相邻两次闪光的时间间隔相等，由此可知，小钉与悬点间的距离为（　　）
A． B． C． D．无法确定
4．如图甲所示，一单摆悬挂在拉力传感器上。让单摆在竖直面内做小角度摆动，拉力传感器显示绳子拉力的大小随时间的变化图像如图乙所示，已知当地的重力加速度为，则根据图乙中的数据可知（　　）
A．此单摆的周期
B．此摆球的质量为
C．此单摆的摆长
D．在时刻摆球的回复力最小
5．如图所示,摆长为L的单摆,周期为T．如果在悬点O的正下方的B点固定一个光滑的钉子,OB的距离为OA长度的5/9，使摆球A通过最低点向左摆动,悬线被钉子挡住成为一个新的单摆,则下列说法中正确的是　(　　)
A．单摆在整个振动过程中的周期不变
B．单摆在整个振动过程中的周期将变大为原来的6/5倍
C．单摆在整个振动过程中的周期将变小为原来的5/6倍
D．单摆在整个振动过程中的周期无法确定
6．某单摆在竖直平面内做小摆角振动，周期为2 s。如果从摆球向右运动通过平衡位置时开始计时，在t=1.4 s至t=1.5 s的过程中，摆球的（　　）
A．速度向右在增大，加速度向右在减小
B．速度向左在增大，加速度向左在增大
C．速度向左在减小，加速度向右在增大
D．速度向右在减小，加速度向左在减小
7．如图所示，在两根等长的曲线下悬挂一个小球（可视为质点）组成了所谓的双线摆，若摆长为l，两线与天花板的左、右两侧夹角均为α，当小球垂直纸面做简谐运动时，其周期为（　　）
A．2π B．2π
C．2π D．2π
8． 如图，长为l的细绳下方悬挂一小球a．绳的另一端固定在天花板上O点处，在O点正下方l的处有一固定细铁钉．将小球向右拉开，使细绳与竖直方向成一小角度（约为2°）后由静止释放，并从释放时开始计时．当小球a摆至最低位置时，细绳会受到铁钉的阻挡．设小球相对于其平衡位置的水平位移为x，向右为正．下列图像中，能描述小球在开始一个周期内的x-t关系的是_____．
A． B．C． D．
9．如图所示，单摆甲放在空气中，周期为T甲；单摆乙放在以加速度a（g>a）向下加速的电梯中，周期为T乙；单摆丙带正电荷，放在匀强磁场B中，周期为T丙；单摆丁带正电荷，放在匀强电场E中，周期为T丁，单摆甲、乙、丙及丁的摆长l相同，则下列说法正确的是（　　）
A．T甲>T乙>T丁>T丙 B．T乙>T甲=T丙>T丁
C．T丙>T甲>T丁>T乙 D．T丁>T甲=T丙>T乙
二、多选题
10．有关单摆下列说法正确的是（ ）
A．一根橡皮筋一端系在悬点，另一端连接一个小球可以构成一个单摆
B．单摆的摆动一定是简谐运动
C．若单摆在同一平面内摆动，且偏角小于，可以认为单摆的运动是简谐运动
D．单摆做简谐运动时，摆长越大，其运动周期越大
11．以下情况中单摆周期发生变化的有（　　）
A．将单摆放入匀加速上升的电梯中摆动
B．使摆球带正电，并将摆球放在竖直向下的匀强电场中在竖直平面内摆动
C．使摆球带正电，在悬点放一个带正电的点电荷，使摆球在竖直平面内摆动
D．使摆球带正电，在最低点正下方放一个带负电的点电荷，使摆球在竖直平面内摆动
12．甲、乙两个单摆的振动图象如图所示．根据振动图象可以断定（ 　　）
A．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，甲、乙两单摆摆长之比是9：4
B．甲、乙两单摆振动的频率之比是3：2
C．甲、乙两单摆振动的周期之比是2：3
D．若甲、乙两单摆在不同一地点摆动，但摆长相同，则甲乙两单摆所在地点的重力加速度之比为9:4
13．惠更斯利用摆的等时性发明了带摆的计时器，叫摆钟。摆钟运行时克服摩擦所需的能量由重锤的势能提供，运行的速率由钟摆控制。旋转钟摆下端的螺母可以使摆上的圆盘沿摆杆上下移动，如图所示，以下说法正确的是( )
A．当摆钟不准确时需要调整圆盘的位置
B．摆钟快了应使圆盘沿摆杆上移
C．由冬季变为夏季时应使圆盘沿摆杆上移
D．把摆钟从福建移到北京应使 圆盘沿摆杆上移
14．如图所示，长度为l的轻绳上端固定在O点，下端系一小球（小球可以看成质点）。在O点正下方，距O点处的P点固定一颗小钉子。现将小球拉到点A处，轻绳被拉直，然后由静止释放小球。点B是小球运动的最低位置，点C（图中未标出）是小球能够到达的左方最高位置。已知点A与点B之间的高度差为h，h<A．点C与点B高度差小于h
B．点C与点B高度差等于h
C．小球摆动的周期等于
D．小球摆动的周期等于
15．甲、乙两位同学分别使用图甲中所示的装置，观察单摆做简谐运动时的振动图像。已知两人实验时所用的摆长相同，落在同一木板上的细砂形成的曲线分别如图乙中、所示。下列关于两图线的分析，正确的是（　　）
A．对应的细砂摆摆动的幅度较大，对应的细砂摆摆动的幅度较小
B．与对应的细砂摆周期相同
C．对应的木板运动速度比对应的木板运动速度大
D．假设两次实验细砂摆质量相等，则对应的细砂摆摆到最低点时，摆线的拉力比对应的拉力大
16．将一单摆向左拉至水平标志线上，从静止释放，当摆球运动到最低点时，摆线碰到障碍物，摆球继续向右摆动。用频闪照相机拍到如图所示的单摆从左到右单程过程的频闪照片，以下说法中正确的是（　　）
A．摆线碰到障碍物前后的摆长之比为9︰4
B．摆线碰到障碍物前后的摆长之比为3︰2
C．摆线经过最低点时，线速度不变，半径减小
D．摆线经过最低点时，角速度变大，半径不变
三、解答题
17．如图所示，光滑的半球壳半径为R，O点在球心O′的正下方，一小球甲（可视为质点）由距O点很近的A点由静止释放，R 。
（1）若小球甲释放的同时，另一小球乙（可视为质点）从球心O′处自由落下，求两球第一次到达O点的时间比；
（2）若小球甲释放的同时，另一小球丙（可视为质点）在O点正上方某处自由落下，为使两球在O点相碰，小球应由多高处自由落下？
18．如图所示为理想单摆，摆角足够小，可认为是简谐运动，其平衡位置记为O点。
(1)若已知摆球的质量为m，摆长为L，在摆角很小时，摆球对于O点的位移x的大小与角对应的弧长近似相等，即近似满足。请推导得出摆球在任意位置处的回复力与位移的比例常数k的表达式。
(2)若仅知道单摆的振幅A及摆球所受回复力与位移的比例常数k，求摆球在振动位移为时的动能（用A和k表示）。
19．将一测力传感器连接到计算机上就可以测量快速变化的力，如图（a）所示点O为单摆的悬点，将传感器接在摆线与点O之间，现将小球（可视为质点）拉到点A，此时细线处于张紧状态，释放摆球，则摆球在竖直平面内的ABC之间来回摆动，其中点B为运动最低位置，，小于5°且是未知量。如图（b）所示是由计算得到细线对摆球的拉力大小F随时间变化的图像，且图中时刻为摆球从点A开始运动的时刻，据力学规律和题中信息（g取），求：
（1）单摆的周期和摆长；
（2）摆球的质量及摆动过程中的最大速度。
2.4 单 摆
一、单选题
1．关于单摆的运动，下列说法正确的是（　　）
①单摆的回复力是摆线的拉力与重力的合力
②单摆的回复力是重力沿摆球运动轨迹切向的分力
③单摆的周期与摆球质量无关，与振幅无关，与摆长和当地的重力加速度有关
④单摆的运动是简谐运动
⑤在山脚下走时准确的摆钟移到高山上走时将变快
A．③④ B．②③
C．③④⑤ D．①④⑤
【答案】B
【解析】①②．单摆的回复力是重力沿摆球运动轨迹切向的分力，选项①错误，②正确；
③．根据可知，单摆的周期与摆球质量无关，与振幅无关，与摆长和当地的重力加速度有关，则③正确；
④．单摆在同一平面内摆动，只有当偏角小于5°时，可以认为单摆的运动是简谐运动，则④错误；
⑤．根据，在山脚下走时准确的摆钟移到高山上时，由于重力加速度g变小，则周期变大，则摆钟走时将变慢，⑤错误。故选B。
2．在盛沙的漏斗下面放一木板，让漏斗左右摆动起来，同时其中细沙匀速流出，经历一段时间后，观察木板上沙子的堆积情况，则沙堆的剖面应是下图中的（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】不考虑空气阻力，漏斗在从最左端向最右端运动和从最右端向最左端运动时，到达最底端运动速度最快，细沙漏到地面上的最少，两端漏斗运动的最慢，细沙漏到地面上的最多，故选项B正确，选项A、C、D错误；
故选选项B．
3．有一摆长为L的单摆，其悬点正下方某处有一小钉，摆球经过平衡位置向左摆动时，摆线的上部被小钉挡住，使摆长发生变化。现使摆球做小幅度摆动，摆球从右边最高点M运动到左边最高点N的频闪照片如图所示（悬点与小钉未被摄入）。P为摆动中的最低点，已知每相邻两次闪光的时间间隔相等，由此可知，小钉与悬点间的距离为（　　）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【解析】设每相邻两次闪光的时间间隔为t，则摆长为L时单摆摆动的周期为
摆长为'时单摆摆动的周期为
所以
T1∶T2=2∶1
又因为
故可得
所以小钉与悬点间的距离为
故选C。
4．如图甲所示，一单摆悬挂在拉力传感器上。让单摆在竖直面内做小角度摆动，拉力传感器显示绳子拉力的大小随时间的变化图像如图乙所示，已知当地的重力加速度为，则根据图乙中的数据可知（　　）
A．此单摆的周期
B．此摆球的质量为
C．此单摆的摆长
D．在时刻摆球的回复力最小
【答案】C
【解析】A．摆球运动到最低点时，由重力和绳子拉力的合力提供向心力，所以摆球运动到最低点时，绳子拉力最大，则此单摆的周期为
故A错误；
B．摆球运动到最低点时，由重力和绳子拉力的合力提供向心力，则有
此摆球的质量为
故B错误；
C．根据单摆周期公式
可得此单摆的摆长
故C正确；
D．单摆的回复力是重力沿摆球运动轨迹切向的分力提供，摆球运动到最低点时，摆球的回复力最小，所以在时刻摆球的回复力最小，在时刻摆球的回复力最大，故D错误。故选C。
5．如图所示,摆长为L的单摆,周期为T．如果在悬点O的正下方的B点固定一个光滑的钉子,OB的距离为OA长度的5/9，使摆球A通过最低点向左摆动,悬线被钉子挡住成为一个新的单摆,则下列说法中正确的是　(　　)
A．单摆在整个振动过程中的周期不变
B．单摆在整个振动过程中的周期将变大为原来的6/5倍
C．单摆在整个振动过程中的周期将变小为原来的5/6倍
D．单摆在整个振动过程中的周期无法确定
【答案】C
【解析】根据单摆周期公式：，未加钉子时，周期：，悬线长变为被挡后，周期变为，所以加了钉子的周期为：，所以周期变为原来的，ABD错误C正确
6．某单摆在竖直平面内做小摆角振动，周期为2 s。如果从摆球向右运动通过平衡位置时开始计时，在t=1.4 s至t=1.5 s的过程中，摆球的（　　）
A．速度向右在增大，加速度向右在减小
B．速度向左在增大，加速度向左在增大
C．速度向左在减小，加速度向右在增大
D．速度向右在减小，加速度向左在减小
【答案】C
【解析】单摆的周期为2 s，摆球向右通过平衡位置时开始计时，当t=1.4 s时，摆球已通过平衡位置，正在向左方最大位移处做减速运动，由于位移在变大，根据
可知，加速度也在变大，方向向右，C正确。故选C。
7．如图所示，在两根等长的曲线下悬挂一个小球（可视为质点）组成了所谓的双线摆，若摆长为l，两线与天花板的左、右两侧夹角均为α，当小球垂直纸面做简谐运动时，其周期为（　　）
A．2π B．2π
C．2π D．2π
【答案】D
【解析】根据公式：
T＝2π
本题中：
l′＝lsin α
所以有：
T＝2π.
ABC.由上计算得T为2π，ABC错误；
D. 由上计算得T为2π，D正确
8． 如图，长为l的细绳下方悬挂一小球a．绳的另一端固定在天花板上O点处，在O点正下方l的处有一固定细铁钉．将小球向右拉开，使细绳与竖直方向成一小角度（约为2°）后由静止释放，并从释放时开始计时．当小球a摆至最低位置时，细绳会受到铁钉的阻挡．设小球相对于其平衡位置的水平位移为x，向右为正．下列图像中，能描述小球在开始一个周期内的x-t关系的是_____．
A． B．C． D．
【答案】A
【解析】由T=2π得：T1=2π，T2=2π=π=T1 ，故BD错误；
，
由能量守恒定律可知，小球先后摆起得最大高度相同，故l-lcosθ1=
根据数学规律可得： 故，即第一次振幅是第二次振幅得2倍，故A正确，C错误．
9．如图所示，单摆甲放在空气中，周期为T甲；单摆乙放在以加速度a（g>a）向下加速的电梯中，周期为T乙；单摆丙带正电荷，放在匀强磁场B中，周期为T丙；单摆丁带正电荷，放在匀强电场E中，周期为T丁，单摆甲、乙、丙及丁的摆长l相同，则下列说法正确的是（　　）
A．T甲>T乙>T丁>T丙 B．T乙>T甲=T丙>T丁
C．T丙>T甲>T丁>T乙 D．T丁>T甲=T丙>T乙
【答案】B
【解析】根据单摆公式，对甲摆有
T甲=2π
对乙摆有
T乙=2π
对丙摆，由于摆动过程中洛伦兹力总是垂直于速度方向，故不可能产生沿圆弧切向的分力效果而参与提供回复力，所以周期不变，即
T丙=2π
对丁摆，由于摆球受竖直向下的重力的同时，还受竖直向下的电场力，电场力在圆弧切向产生分力，与重力沿切向的分力一起提供回复力，相当于重力增大了。等效重力
F=mg＋qE
故等效重力加速度
故周期
T丁=2π
所以
T乙>T甲=T丙>T丁
ACD错误，B正确。故选B。
二、多选题
10．有关单摆下列说法正确的是（ ）
A．一根橡皮筋一端系在悬点，另一端连接一个小球可以构成一个单摆
B．单摆的摆动一定是简谐运动
C．若单摆在同一平面内摆动，且偏角小于，可以认为单摆的运动是简谐运动
D．单摆做简谐运动时，摆长越大，其运动周期越大
【答案】CD
【解析】A．一根不可伸长的细绳一端系在悬点，另一端连接一个质量较大体积较小的小球可以构成一个单摆，A错误；
BC．若单摆在同一平面内摆动，且偏角小于5°，可以认为单摆的运动是简谐运动，B错误，C正确；
D．根据可知，单摆做简谐运动时，摆长越大，其运动周期越大，D正确。
故选CD。
11．以下情况中单摆周期发生变化的有（　　）
A．将单摆放入匀加速上升的电梯中摆动
B．使摆球带正电，并将摆球放在竖直向下的匀强电场中在竖直平面内摆动
C．使摆球带正电，在悬点放一个带正电的点电荷，使摆球在竖直平面内摆动
D．使摆球带正电，在最低点正下方放一个带负电的点电荷，使摆球在竖直平面内摆动
【答案】AB
【解析】A．由
可知，将单摆放入匀加速上升的电梯中，单摆处于超重状态，等效重力加速度变大，周期将减小，故A正确；
B．使摆球带正电，将摆球放在竖直向下的匀强电场中在竖直平面内摆动，摆球受到竖直向下的电场力和重力作用，等效重力加速度变大，周期将减小，故B正确；
CD．在悬点放一个带正电的点电荷，或在最低点正下方放一个带负电的点电荷，使摆球在竖直平面内摆动，正点电荷或负点电荷在一个周期内对摆球做的功均为0，周期将不变，故C、D错误。
故选AB。
12．甲、乙两个单摆的振动图象如图所示．根据振动图象可以断定（ 　　）
A．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，甲、乙两单摆摆长之比是9：4
B．甲、乙两单摆振动的频率之比是3：2
C．甲、乙两单摆振动的周期之比是2：3
D．若甲、乙两单摆在不同一地点摆动，但摆长相同，则甲乙两单摆所在地点的重力加速度之比为9:4
【答案】BCD
【解析】ABC．根据图像可知，单摆振动的周期关系
所以周期之比为
频率为周期的反比，所以频率之比
若甲乙在同一地点，则重力加速度相同，根据周期公式
所以摆长之比为4：9，A错误BC正确；
D．若在不同地点，摆长相同，根据
得重力加速度之比为9：4，D正确。故选BCD。
13．惠更斯利用摆的等时性发明了带摆的计时器，叫摆钟。摆钟运行时克服摩擦所需的能量由重锤的势能提供，运行的速率由钟摆控制。旋转钟摆下端的螺母可以使摆上的圆盘沿摆杆上下移动，如图所示，以下说法正确的是( )
A．当摆钟不准确时需要调整圆盘的位置
B．摆钟快了应使圆盘沿摆杆上移
C．由冬季变为夏季时应使圆盘沿摆杆上移
D．把摆钟从福建移到北京应使 圆盘沿摆杆上移
【答案】AC
【解析】A．根据周期公式，当摆钟不准确时，则需要调整摆长，A正确；
B．摆钟快了，周期小，则需将摆长增加，增大周期，B错误；
C．由冬季变为夏季时摆杆受热伸长，则需上移调节，C正确；
D．摆钟从福建移到北京，加速度增大，则需将摆长增加，D错误。
故选AC。
14．如图所示，长度为l的轻绳上端固定在O点，下端系一小球（小球可以看成质点）。在O点正下方，距O点处的P点固定一颗小钉子。现将小球拉到点A处，轻绳被拉直，然后由静止释放小球。点B是小球运动的最低位置，点C（图中未标出）是小球能够到达的左方最高位置。已知点A与点B之间的高度差为h，h<A．点C与点B高度差小于h
B．点C与点B高度差等于h
C．小球摆动的周期等于
D．小球摆动的周期等于
【答案】BC
【解析】AB．小球摆动过程中，只有重力做功，机械能守恒，两侧最高点动能均为零，故重力势能也相等，故最大高度相同，故A错误，B正确；
CD．小球B→A→B的时间为
小球B→C→B的时间为
故小球摆动的周期为
故C正确，D错误。故选BC。
15．甲、乙两位同学分别使用图甲中所示的装置，观察单摆做简谐运动时的振动图像。已知两人实验时所用的摆长相同，落在同一木板上的细砂形成的曲线分别如图乙中、所示。下列关于两图线的分析，正确的是（　　）
A．对应的细砂摆摆动的幅度较大，对应的细砂摆摆动的幅度较小
B．与对应的细砂摆周期相同
C．对应的木板运动速度比对应的木板运动速度大
D．假设两次实验细砂摆质量相等，则对应的细砂摆摆到最低点时，摆线的拉力比对应的拉力大
【答案】BC
【解析】A．由题图乙可知，对应的细砂摆摆动的幅度与对应的细砂摆摆动的幅度相同，故A错误；
B．由单摆周期公式
及两摆摆长相同可知，周期相同，故B正确；
C．由题图乙可知，若对应的木板的运动时间为，则对应的木板的运动时间为，可知对应的木板运动速度比对应的木板运动速度大，故C正确；
D．由动能定理有
在最低点有
解得
由于两摆的振动幅度相同，则相同，故拉力相同，故D错误。
故选BC。
16．将一单摆向左拉至水平标志线上，从静止释放，当摆球运动到最低点时，摆线碰到障碍物，摆球继续向右摆动。用频闪照相机拍到如图所示的单摆从左到右单程过程的频闪照片，以下说法中正确的是（　　）
A．摆线碰到障碍物前后的摆长之比为9︰4
B．摆线碰到障碍物前后的摆长之比为3︰2
C．摆线经过最低点时，线速度不变，半径减小
D．摆线经过最低点时，角速度变大，半径不变
【答案】AC
【解析】AB．频闪照片拍摄的时间间隔一定，由图可知，摆线与障碍物碰撞前后的周期之比为3：2，根据单摆的周期公式得，摆长之比为9：4，故A正确，B错误；
CD．摆线碰到障碍物的瞬间，摆球的速度不能发生突变，即线速度不变。根据v=rω可知，摆球转动的半径减小，线速度不变，所以角速度增大，故C正确，D错误。
故选AC。
三、解答题
17．如图所示，光滑的半球壳半径为R，O点在球心O′的正下方，一小球甲（可视为质点）由距O点很近的A点由静止释放，R 。
（1）若小球甲释放的同时，另一小球乙（可视为质点）从球心O′处自由落下，求两球第一次到达O点的时间比；
（2）若小球甲释放的同时，另一小球丙（可视为质点）在O点正上方某处自由落下，为使两球在O点相碰，小球应由多高处自由落下？
【答案】（1）π∶4；（2） (n=1,2,3)
【解析】 (1)甲球沿圆弧做简谐运动，它第一次到达O点的时间为
乙球做自由落体运动，到达O点的时间为t2，满足
R=gt22
解得
t2=
两球第一次到达O点的时间比为
t1∶t2=π∶4
(2)小球甲从A点由静止释放运动到O点的时间为
t=(2n-1)
其中n满足n=1,2,3，由O点正上方自由落下的小球丙到达O点的时间也为t时两球才能在O点相碰，所以
h=gt2= (n=1,2,3)
18．如图所示为理想单摆，摆角足够小，可认为是简谐运动，其平衡位置记为O点。
(1)若已知摆球的质量为m，摆长为L，在摆角很小时，摆球对于O点的位移x的大小与角对应的弧长近似相等，即近似满足。请推导得出摆球在任意位置处的回复力与位移的比例常数k的表达式。
(2)若仅知道单摆的振幅A及摆球所受回复力与位移的比例常数k，求摆球在振动位移为时的动能（用A和k表示）。
【答案】(1)；(2)
【解析】 (1)摆球在位移为x处的受力示意图如答图所示。在摆角很小时，有
在摆球位移为x时，回复力
负号表示F的方向与位移x的方向相反；
即比例常数
(2)摆球在位移x处的势能
摆球在最大振幅处的动能为零，依据能量守恒定律有
则
19．将一测力传感器连接到计算机上就可以测量快速变化的力，如图（a）所示点O为单摆的悬点，将传感器接在摆线与点O之间，现将小球（可视为质点）拉到点A，此时细线处于张紧状态，释放摆球，则摆球在竖直平面内的ABC之间来回摆动，其中点B为运动最低位置，，小于5°且是未知量。如图（b）所示是由计算得到细线对摆球的拉力大小F随时间变化的图像，且图中时刻为摆球从点A开始运动的时刻，据力学规律和题中信息（g取），求：
（1）单摆的周期和摆长；
（2）摆球的质量及摆动过程中的最大速度。
【答案】（1）；0.4m；（2）0.05kg；
【解析】（1）由图（b）可知，该单摆的周期为
根据单摆周期公式
代入数据可求得
（2）单摆在A、C点速度为零，由图（b）可知，此时摆线的拉力最小，则有
B点速度最大，摆线拉力最大，则有
其中
，
从A点到B点，由动能定理有
联立以上式子，代入相关数据求得
，
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