8.4空间点、直线、平面之间的位置关系 同步训练（含解析）

8.4空间点、直线、平面之间的位置关系 同步训练
一、单选题
1．在棱长为1的正方体中，是线段上一个动点，则下列结论正确的有（ ）
A．不存在点使得异面直线与所成角为90°
B．存在点使得异面直线与所成角为45°
C．存在点使得二面角的平面角为45°
D．当时，平面截正方体所得的截面面积为
2．如图，在矩形中，，，为的中点，将沿直线翻折，使点到达点，连接，为棱的中点，则异面直线与所成角的正弦值为
A． B． C． D．
3．已知正方体中，点，分别是线段，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．在边长为1的正方体中，，，分别是棱，，的中点，是底面内一动点，若直线与平面没有公共点，则三角形面积的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
5．下列命题：
（1）若空间四点共面，则其中必有三点共线；
（2）若空间有三点共线，则此四点必共面；
（3）若空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面；
（4）若空间四点不共面，则其中任意三点不共线.
其中正确的命题有（ ）个.
A．0 B．1 C．2 D．3
6．已知是空间中两个不同的平面，是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是
A．若，，且，则
B．若，，且，则
C．若，，且，则
D．若，，且，则
二、多选题
7．已如直线平面，直线平面，则下列命题正确的是（ ）
A． B．
C． D．与不相交
8．（多选）已知a，b，c是不同的直线，那么下列说法中不正确的有（ ）
A．若，则
B．若a与b相交，b与c相交，则a与c相交
C．若，则a与b一定是异面直线
D．若a，b与c成等角，则
三、填空题
9．下列命题不正确的是________.
①如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行；
②如果两条直线和第三条直线所成的角相等，那么这两条直线平行；
③两条异面直线所成的角为锐角或直角；
④直线与异面，与也异面，则直线与必异面.
10．下列对平面的描述语句：
①平静的太平洋面就是一个平面；
②8个平面重叠起来比6个平面重叠起来厚；
③四边形确定一个平面；
④平面可以看成空间中点的集合，它当然是一个无限集．
其中正确的是________．
11．如图所示，在正方体中，点是棱的中点，动点在体对角线上（点与点，不重合），则平面可能经过该正方体的顶点是___________.（写出满足条件的除点以外的所有顶点）
12．正方体中，M、N分别是棱BC，CC1的中点，则直线MN与D1C的位置关系是______.
四、解答题
13．（1）如图①，已知梯形中，，，平面，画出平面与平面的交线.
（2）如图②，点E是的中点，画出平面与平面的交线.
14．如图，在长方体中，E，F分别是和的中点．证明：E，F，D，B四点共面．
15．已知四点A B C D在平面上，求证：四边形ABCD的四条边所在的直线都在平面上.
16．如图，在长方体中，，，，点E、F分别在、上，，过点E、F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.
(1)在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；
(2)求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】由正方体的性质可将异面直线与所成的角可转化为直线与所成角，而当为的中点时，可得，可判断A； 与或重合时，直线与所成的角最小可判断B；当与重合时，通过计算可判断C；过作，交于，交于点，由题意可得四边形即为平面截正方体所得的截面，且四边形是等腰梯形，然后利用已知数据计算即可判断D.
【详解】异面直线与所成的角可转化为直线与所成角，
当为的中点时，，此时与所成的角为90°，所以A错误；
当与或重合时，直线与所成的角最小，为60°，所以B错误；
当与重合时，二面角的平面角最小，，所以，所以C错误；
对于D，过作，交于，交于点，因为，所以 分别是 的中点，又，所以，四边形即为平面截正方体所得的截面，因为，且，所以四边形是等腰梯形，作交于点，所以，，所以梯形的面积为，所以D正确.
故选：D.
2．D
【分析】取的中点，连接，则，异面直线与所成角为（或其补角）．在中求得它的正弦即得．
【详解】取的中点，连接，如图．
，四边形为平行四边形，∴，
显然，，
所以异面直线与所成角为（或其补角）．又，，由余弦定理可得．由正弦定理可得，
解得．
故选：D．
【点睛】本题通过折叠矩形得到棱锥，进而求异面直线所成的角，考查了学生的逻辑推理、直观想象与数学运算等数学核心素养．
3．A
【分析】先取中点，则，再利用余弦定理求余弦值,即得结果.
【详解】取中点，连FM，由正方体性质得，因此为异面直线与所成角，设正方体棱长为1，
则
故选：A
【点睛】本题考查线线角，考查基本分析求解能力，属基础题.
4．D
【分析】根据直线与平面没有公共点可知平面.将截面补全后,可确定点的位置,进而求得三角形面积的最小值.
【详解】由题意,,分别是棱,,的中点,补全截面为,如下图所示:
因为直线与平面没有公共点
所以平面,即平面,平面平面
此时位于底面对角线上,且当与底面中心重合时,取得最小值
此时三角形的面积最小
故选:D
【点睛】本题考查了直线与平面平行、平面与平面平行的性质与应用,过定点截面的作法,属于难题.
5．C
【分析】对四个命题利用空间四个点的位置关系分别分析解答．
【详解】解：对于①，空间四点共面，如平面四边形，其中任何三点不共线；故①错误；
对于②，空间四点中有三点共线，根据不共线的三点确定一个平面，得到此四点必共面；故②正确；
对于③，空间四点中任何三点不共线，则此四点可能共面，如平面四边形；故③错误；
对于④，空间四点不共面，如果任意三点有共线的，那么此四个点就共面，与已知矛盾．故④正确，
所以正确的命题有2个.
故选：C.
6．C
【分析】由空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位置关系逐一核对四个选项得答案．
【详解】由m∥α，n∥β，且α∥β，得m∥n或m与n异面，故A错误；
由m∥α，n∥β，且α⊥β，得m∥n或m与n相交或m与n异面，故B错误；
由m⊥α，α∥β，得m⊥β，又n∥β，则m⊥n，故C正确；
由m⊥α，n∥β且α⊥β，得m∥n或m与n相交或m与n异面，故D错误．
故选：C．
【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位置关系的判定与应用，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题．
7．ACD
【分析】根据空间中的线面关系对各选项逐一判断即可求解
【详解】解：对A选项：因为直线平面，，所以直线平面，又直线平面，所以，故选项A正确；
对选项B：因为直线平面，，直线平面，所以与平行或与相交或与异面，故选项B错误；
对选项C：因为直线平面，，所以直线平面，又直线平面，所以，故选项C正确；
对选项D：因为直线平面，，所以直线平面或直线平面，即直线与不相交，故选项D正确；
故选：ACD.
8．BCD
【分析】利用空间直线和平面的位置关系得到选项A正确，选项BCD中两直线可能异面、平行或相交，所以选项BCD错误.
【详解】解：A. 若，则，所以该选项正确；
B. 若a与b相交，b与c相交，则a与c相交、平行或异面，所以该选项错误；
C. 若，则a与b可能异面、平行或相交，所以该选项错误；
D. 若a，b与c成等角，则a与b可能平行、相交或异面，所以该选项错误.
故选：BCD
9．①②④
【分析】根据空间直线的位置关系逐项分析即得.
【详解】对于①，如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线可以相交，也可以异面，还可以平行，故①错误；
对于②，如果两条直线和第三条直线所成的角相等，那么这两条直线可以相交，也可以异面，还可以平行，故②错误；
对于③，两条异面直线所成的角为锐角或直角，故③正确；
对于④，直线与异面，与也异面，则直线与可能平行，可能相交，可能异面，故④错误.
故答案为：①②④.
10．④
【分析】根据平面的基本性质，逐一分析4个命题的真假，综合可得答案．
【详解】
序号 正误 原因分析
① × 太平洋面只是给我们以平面的形象，而平面是抽象的，且无限延展的
② × 平面是无大小、无厚薄之分的
③ × 如三棱锥的四个顶点相连的四边形不能确定一个平面
④ √ 平面是空间中点的集合，是无限集
故答案为：④．
11．，
【分析】取中点E，取中点F, 在平面两侧，在平面两侧，分析即得解.
【详解】
见上面左图，取中点E，因为ME,所以A,M,E,四点共面，在平面两侧，所以和平面交于点N,此时平面AMN过点A, ;
见上面右图，取中点F,因为,所以四点共面，在平面两侧，所以和平面交于点N,此时平面AMN过点A, ;
综上，平面可能经过该正方体的顶点是.
故答案为：.
12．异面
【分析】由异面直线的定义即可判断.
【详解】正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是棱BC，CC1的中点，
∵平面，平面DCC1D1，，
∴直线MN与D1C的位置关系是异面．
故答案为：异面．
13．（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【分析】(1) 在梯形中，分别延长，交于点，连接，则即为所求；
（2）延长交于，延长交于，连接，即为所求.
【详解】解：（1）在梯形中，分别延长，交于点，连接，则即为所求如图①.
（2）延长交于，延长交于，连接，即为所求如图②.
14．证明见解析
【分析】连接EF，BD，，证明即可
【详解】如图，
连接EF，BD，．
∵EF是的中位线，
∴．
∵与平行且相等，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴E，F，D，B四点共面．
15．见解析
【分析】由已知条件，利用公理一分别证明直线分别在平面内，即可得证.
【详解】证明：因为点A B在平面上，
所以直线上有两点在平面上，
所以直线在平面内，
同理直线在平面内，
所以四边形ABCD的四条边所在的直线都在平面内.
16．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）根据基本题意结合勾股定理作出这个正方形；
（2）根据勾股定理以及棱柱的体积公式计算即可.
(1)
交线围成的正方形EFGH如图
(2)
作，垂足为M，则，，.
∵四边形EFGH为正方形，∴，
∴，，.
∵长方体被平面分成两个高为5的直棱柱，
∴平面把该长方体分成的两部分体积的比值为.
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