8.6空间直线、平面的垂直 同步训练（含解析）

8.6空间直线、平面的垂直 同步训练
一、单选题
1．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，，，，，M为PB的中点，若PC上存在一点N使得平面平面AMN，则（ ）
A． B． C． D．1
2．以下结论正确的是（ ）
A．已知一个圆锥的母线长为2，其侧面积为2π，则该圆锥的高为1
B．在水平平面上用斜二测画法作出边长为2的正方形的直观图的面积为2
C．若平面//平面 ，直线，直线，则//
D．若平面平面，直线，，则
3．下列条件中，能使直线平面的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知正四面体中，为的中点，则与所成角的余弦值为
A． B． C． D．
5．如图，线段AB，BD在平面内，，，且，则C，D两点间的距离为（ ）
A．19 B．17 C．15 D．13
6．在正方体中，有如下命题：
①两条异面直线和所成的角为；
②直线与平面所成的角为；
③若是棱中点，则直线与是相交直线；
④若点在线段上运动，则始终有.
真命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
7．在正方体中，P，Q分别为棱BC和棱的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．平面AQP
B．平面AQP截正方体所得截面为等腰梯形
C．平面AQP
D．异面直线QP与AC所成的角为60°
8．在中，，且，，若将沿AC边上的中线BD折起，使得平面平面BCD．点E在由此得到的四面体ABCD的棱AC上运动，则下列结论正确的为（ ）
A． B．四面体ABCD的体积为
C．存在点E使得的面积为 D．四面体ABCD的外接球表面积为
三、填空题
9．在正三棱柱中，，，分别为，，的中点，，为的中点，则下列说法正确的是______．
①，为异面直线；②平面；③若，则；④若，则直线与平面所成的角为45°．
10．设E，F分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱DC上两点，且，，给出下列四个命题：
①三棱锥的体积为定值；
②异面直线与所成的角为；
③平面；
其中正确的命题为_________
11．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.已知在鳖臑中，满足平面，且有，则此时它外接球的体积为_______.
12．如图，在棱长均为2的正三棱柱中，点是侧棱的中点，点、分别是侧面、底面内的动点，且平面，平面，则点的轨迹的长度为__．
四、解答题
13．在四棱锥中，，平面，为的中点，，．
（1）求四棱锥的体积；
（2）若为的中点，求证：平面平面．
14．如图所示，AB是圆柱的母线，BD是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上一点，且AB＝BC＝2，∠CBD＝45°，求直线BD与平面ACD所成角的大小．
15．如图，直三棱柱的所有棱长都是2，D、E分别是AC、的中点．
(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积．
16．如图，四面体中，，E为AC的中点．
(1)证明：平面平面ACD；
(2)设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】取的中点，连接，证得，过点作，交于点，证得平面平面，由此求出的值.
【详解】取的中点，连接，由，所以，
过点作，交于点，则，如图所示，
由平面，平面，所以，
且 ，平面，平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面，
由，为的中点，且，所以，
又由，所以，所以.
故选：B.
2．D
【分析】根据圆锥的侧面积公式求半径即可判断A，由原图形与直观图面积之间的关系判断B，根据面面平行的定义判断C，由面面垂直的性质定理判断D.
【详解】对A，可得，所以，故A错误；
对于B，因为原图形的面积，所以斜二测画法的直观图面积，故B错误；
对C，平面//平面 ，直线，直线，则可能异面也可能平行，故C错误；
对于D，由面面垂直的性质定理可知，平面平面，直线，，则正确，故D正确.
故选：D
3．D
【分析】根据线面的位置关系及线面垂直的定义逐项分析即得.
【详解】对于选项A：如果直线不相交，则不一定垂直于平面，故A错误；
对于选项B：，则可能与平面平行，也可能在平面内，也可能与平面相交，故B不正确；
对于选项C：，则一定不垂直于平面，故C不正确；
对于选项D：由，则平面内的任意直线，又，
所以，故，故D正确.
故选：D.
4．C
【分析】设正四面体A﹣BCD的棱长为2，取BD的中点N，连结MN，CN则MN∥AD，∠CMN或其补角是CM与AD所成的角，由此能求出直线CM与AD所成角的余弦值．
【详解】如图，设正四面体A﹣BCD的棱长为2，取BD的中点N，
连结MN，CN，∵M是AB的中点，∴MN∥AD，
∴∠CMN或其补角是CM与AD所成的角，
设MN的中点为E，则CE⊥MN，在△CME中，ME，CM＝CN，
∴直线CM与AD所成角的余弦值为cos∠CME.
故选C．
【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．
5．D
【分析】根据线面垂直的性质定理结合勾股定理求解.
【详解】
连接，因为，所以,
又因为，,所以，
所以,
故选:D.
6．B
【分析】直接求解异面直线所成角判断①；求解线面角判断②；由异面直线概念判断③；由直线与平面垂直的性质判断④．
【详解】解：对于①，
连接，，由，，可得四边形为平行四边形，
则，为两条异面直线和所成的角，
△为等边三角形，可得，故①错误；
平面平面，且平面平面，
连接，则，可得平面，则为直线与平面所成的角为，
故②正确；
平面，平面，且，平面，
由异面直线的定义，可得直线与是异面直线，故③错误；
由分析②时可知，平面，当点在线段上运动时，平面，
则，故④正确．
正确命题的个数是2个．
故选：B．
7．ABD
【分析】由线面平行的判定定理可判断A；作出截面，由等腰梯形的定义可判断B；由反证法可判断C；由两异面直线所成的角可判断D.
【详解】对于选项A：依题意得，平面，平面，所以平面. 故A正确；
对于选项B：平面截正方体所得截面为四边形，因为，且，又，所以四边形为等腰梯形. 故B正确；
对于选项C：若平面，则，由平面得，且，所以平面，显然矛盾. 故C错误；
对于选项D：因为，所以是异面直线与所成的角，由为等边三角形可知，异面直线与所成的角，即为异面直线QP与AC所成的角，故D正确.
故选：ABD.
8．BCD
【分析】取的中点，连接，利用垂直关系的转化得到判定选项A错误；过作的垂线，利用直角三角形求出高和底面面积，再利用体积公式求出体积判定选项B正确；求出的面积的最大值和最小值，进而判定选项C正确；确定四面体外接球的球心，再通过直角三角形求出半径，再求其体积判定选项D正确.
【详解】对于A：取的中点，连接，
因为，所以，
又平面平面BCD，
所以平面，则，
若，则，
所以平面，则，
显然不可能，故选项A错误；
对于B：考查三棱锥的体积，易知的面积为，
在平面中，过作的垂线，交的延长线于点，
易知，
因为平面平面，所以到平面，
即三棱锥的高为，
所以三棱锥的体积为，
即四面体的体积为，故选项B正确；
对于C：显然当平面时，的面积取得最小值，
易知，且，所以，
又四面体的体积为，所以，
即，且的面积为，
所以存在点使得的面积为，故选项C正确；
对于D：设与的外心依次为，，
过作平面的垂线，过作平面的垂线，
则四面体的外接球球心为直线与的交点，
则四边形为矩形，且，，
所以四面体的外接球半径为，
则外接球表面积为，故选项D正确.
故选：BCD.
9．②③
【分析】①判断A，B，E，F四点共面即可；②取DA的中点N，连接FN，MN，利用平行四边形的性质及线面平行的判定证明即可；③取AB的中点Q，连接CQ，FQ，由平行四边形、等边三角形及勾股定理求；④由线面角定义，应用几何法找到直线与平面所成角的平面角，进而求其大小.
【详解】对于①：如图，连接EF，由题意得，所以A，B，E，F四点共面，所以AF，BE不是异面直线，①错误；
对于②：取DA的中点N，连接FN，MN，得，，所以，，则四边形EFNM是平行四边形，所以，因为面AFD，所以面ADF，②正确；
对于③：取AB的中点Q，连接CQ，FQ，由平行且相等知：四边形EFQB为平行四边形，则有，又，即，
设，则，，，
∴，解得，③正确；
对于④：由，，可知△BCE为正三角形，，连接，
易知平面，故即直线与平面所成的角，
，，所以④错误.
故答案为：②③
10．①②
【分析】①结合图形求出三棱锥的体积为定值；
②求得异面直线与所成的角为；
③判断与平面不垂直；
【详解】三棱锥的体积为为定值，①正确；
，是异面直线与所成的角，为，②正确；
与不垂直，由此知与平面不垂直，③错误；
综上，正确的命题序号是①②．
故答案为：①②．
11．.
【分析】根据题意，将图形还原成长方体，进而求该长方体外接球的体积即可.
【详解】因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD，AB⊥BD，又BD⊥CD，即AB，BD，CD三条直线两两垂直，如图，
将鳖臑还原为长方体，则问题转化为求该长方体外接球的体积.
设外接球的半径为R，则.
所以外接球的体积.
故答案为：.
12．
【分析】由正三棱柱的性质，结合线面平行、线面垂直分析知：在连接侧棱，中点的线段上，在过与平面垂直的平面与面相交的线段上，过作交于，连接，若交面于，连接，应用已知线段长度、相关角的大小，结合勾股定理求到的距离、，即可确定的轨迹为线段过的重心且与平行的线段，进而求其长度.
【详解】是侧面内的动点，且平面，
∴点的轨迹是过点与平面平行的平面与侧面的交线，即：连接侧棱，中点的线段，
是底面内的动点，面，
∴的轨迹是过与平面垂直的平面与面相交的线段，
过作交于，连接，若交面于，连接，易知共面，且面，即∠EDQ为M-BC-A的平面角，如上图，
∴，而，而到的距离，可知：，故，
∵，即，而，
∴，即所在线段过的重心且与平行，
由正三棱柱中棱长均为2，
故线段的长为：，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：应用线面平行、线面垂直的性质，判断、运动轨迹的特征，结合几何体的性质，在三角形中应用线段长、角度大小及勾股定理，确定点轨迹的位置.
13．（1）；（2）见解析
【分析】（1）在中可求得的边长，在中可求得的边长.此两直角三角形的面积的和即为底面面积,根据棱锥的体积公式可得四棱锥的体积.（2）根据线面垂直的判定定理可证得平面.由三角形中位线可证得,所以平面.根据面面垂直的判定定理即可证明.
【详解】（1）在中，，，∴
在中，，，
,
（2）∵ 平面， ∴ . 又，
∴ 平面，∵ ,分别为,的中点，∴
∴ 平面，平面，∴平面平面.
14．.
【分析】取AC的中点E，连接BE，DE，根据线面垂直的判定定理，证得CD⊥平面ABC，得到CD⊥BE，进而证得BE⊥平面ACD，得到∠BDE即为BD与平面ACD所成的角，在直角中，即可求解.
【详解】如图所示，取AC的中点E，连接BE，DE，
由题意知：AB⊥平面BCD，故AB⊥CD，
又由BD是底面圆的直径，所以∠BCD＝90°，即CD⊥BC，
因为AB∩BC＝B，AB，BC平面ABC，所以CD⊥平面ABC，
又因为BE 平面ABC，所以CD⊥BE，
因为AB＝BC＝2，AB⊥BC，所以BE⊥AC且 ，
又因为ACCD＝C，AC，CD 平面ACD，所以BE⊥平面ACD，
所以∠BDE即为BD与平面ACD所成的角，
又由，所以，
因为，所以，即BD与平面ACD所成的角为.
15．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）由平面ABC及面面垂直的判定可得平面平面ABC且，再应用线面垂直的性质、判定即可证结论；
（2）由已知有点到平面的距离等于点A到平面的距离，利用等积法得到所求的体积.
【详解】（1）∵，D是AC的中点，
∴，
∵直三棱柱中面ABC，面，
∴面面ABC，面面ABC，面ABC，
∴面，面，则．
在正方形中，D、E分别是AC、的中点，有△△，
∴，则，又，面，
∴面．
（2）连接交于O，
∵O为的中点，
∴点到平面的距离等于点A到平面的距离．
∴．
16．(1)证明详见解析
(2)
【分析】（1）通过证明平面来证得平面平面.
（2）首先判断出三角形的面积最小时点的位置，然后求得到平面的距离，从而求得三棱锥的体积.
【详解】（1）由于，是的中点，所以.
由于，所以，
所以，故，
由于，平面，
所以平面，
由于平面，所以平面平面.
（2）[方法一]：判别几何关系
依题意，，三角形是等边三角形，
所以，
由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以.
，所以，
由于，平面，所以平面.
由于，所以，
由于，所以，
所以，所以，
由于，所以当最短时，三角形的面积最小
过作，垂足为，
在中，，解得，
所以，
所以
过作，垂足为，则，所以平面，且，
所以，
所以.
[方法二]：等体积转换
，，
是边长为2的等边三角形，
连接
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