8.1基本立体图形 同步训练（含解析）

8.1基本立体图形 同步训练
一、单选题
1．棱台的两底面面积为、，中截面（过各棱中点的面积）面积为，那么
A． B．
C． D．
2．过棱锥的高的两个三等分点，分别作与底面平行的两个平行截面，则自上向下的两个截面与底面的面积之比是（ ）．
A． B． C． D．
3．已知正四棱锥的底面边长为2，高为2，若存在点到该正四棱锥的四个侧面和底面的距离都等于，则（ ）
A． B． C． D．
4．将边长为2的正方形沿对角线折起，则三棱锥的外接球表面积为
A． B． C． D．
5．棱长为的正方体的所有顶点均在球的球面上，、、分别为、、的中点，则平面截球所得圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，已知球是棱长为1的正方体的内切球，则平面截球的截面面积为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．下列说法正确的是（ ）
A．用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面
B．圆台的任意两条母线延长后一定交于一点
C．有一个面为多边形，其余各面都是三角形的几何体叫做棱锥
D．若棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥不可能是正六棱锥
8．勒洛Franz Reuleaux（1829～1905），德国机械工程专家，机构运动学的创始人.他所著的《理论运动学》对机械元件的运动过程进行了系统的分析，成为机械工程方面的名著.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体.如图所示，设正四面体的棱长为2，则下列说法正确的是（ ）
A．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为
B．勒洛四面体被平面截得的截面面积是
C．勒洛四面体表面上交线的长度为
D．勒洛四面体表面上任意两点间的距离可能大于2
三、填空题
9．一个棱长为的正四面体的顶点都在同一球面上，则这个球的半径为 ___________．
10．设地球的半径为，在北纬圈上有甲乙两地，经度相差，则甲乙两地的球面距离为_____
11．若四面体的三组对棱分别相等，即，，，则________.（写出所有正确结论的编号）
①四面体每个面的面积相等
②四面体每组对棱相互垂直
③连接四面体每组对棱中点的线段相互垂直平分
④从四面体每个顶点出发的三条棱的长都可以作为一个三角形的三边长
12．球被平面所截得的截面圆的面积为，且球心到的距离为，则球的体积为______.
四、解答题
13．已知球的半径为5.
（1）求球的表面积；
（2）若球有两个半径分别为3和4的平行截面，求这两个截面之间的距离.
14．如图所示，AB为圆弧BC所在圆的直径，∠BAC=45°，将这个平面图形绕直线AB旋转一周，得到一个组合体，试说明这个组合体的结构特征.

15．在半径为13cm的球面上有A，B，C三点，且，，，求经过A，B，C三点的截面与球心O之间的距离．
16．如图所示,将装有水的长方体水槽(图1)固定底面一边BC后,倾斜一个小角度(图2 图3),则倾斜后水槽中的水面是什么形状
(1)在图2中,水面与长方体的哪些棱相交,水面是什么形状
(2)在图3中,水面与长方体的哪些棱相交,水面是什么形状
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【详解】试题分析：不妨设棱台为三棱台，上底面的面积为，下底面的面积为，
设棱台的高为，上部三棱锥的高为，根据相似比的性质可得：
，解得.
故选：A．
考点：棱台的结构特征．
2．C
【分析】考虑三棱锥的情况，根据相似得到相似比为，面积比为，再考虑棱锥的情况得到答案.
【详解】如图所示：当棱锥为三棱锥时，易知，相似比为，
则，
易知，，
同理，，故，
相似比为，故面积比为，
当棱锥为棱锥，时，可以看成是多个三棱锥的组合体，面积比不改变.
综上所述：两个截面与底面的面积之比是.
故选：C.
【点睛】本题考查了棱锥的截面问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
3．A
【分析】作出四棱锥，根据题意，解方程即可求解.
【详解】由题意可得，
且，
解得.
故选：A
4．C
【分析】根据题意，画出图形，结合图形得出三棱锥的外接球直径，从而求出外接球的表面积，得到答案.
【详解】由题意，将边长为2的正方形沿对角线折起，得到三棱锥，
如图所示，
则,
三棱锥的外接球直径为，即半径为，
外接球的表面积为，故选C.
【点睛】本题主要考查了平面图形的折叠问题，以及外接球的表面积的计算，着重考查了空间想象能力，以及推理与计算能力，属于基础题.
5．A
【解析】计算出正方体的外接球的半径，并计算出球心到截面的距离，利用勾股定理可求得结果.
【详解】如图，正方体的外接球球心为对角线的中点，
球的半径为，
连接、，四边形为正方形，则，
在正方体中，平面，平面，，
，平面，平面，，
、分别为、的中点，则，，同理，
，平面，
三棱锥的体积为，
设点到平面的距离为，易知是边长为的等边三角形，
，
，解得，
所以，球心到平面的距离为，
因此，平面截球所得圆的半径为，
故选：A.
【点睛】在计算出平面截球所得截面圆的半径时，一般计算出球心到截面的距离，利用球的半径、球心到截面的距离、截面圆的半径三者满足勾股定理求解.
6．C
【分析】画出平面截球的截面的平面图，由正方体棱长和锐角三角函数，可求出内切圆的半径，进而可求得截面面积.
【详解】平面截球的截面为的内切圆，
正方体棱长为1，.
内切圆半径.
截面面积为：.
故选：C.
7．ABD
【分析】根据几何体的定义及结构特征即可判断各个选项.
【详解】选项A：用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面，故A正确；
选项B：由圆台的概念知圆台的任意两条母线延长后一定交于一点，故B正确；
选项C：根据棱锥的定义，其余各面的三角形必须有一个公共的顶点，故C错误；
选项D：若六棱锥的底面边长都相等，则底面为正六边形，由过底面中心和顶点的截面知，若以正六边形为底面，侧棱长一定大于底面边长，故D正确．
故选：ABD.
8．ABD
【分析】A选项：求出正四面体的外接球半径，进而得到勒洛四面体的内切球半径，得到答案；B选项，作出截面图形，求出截面面积；C选项，根据对称性得到交线所在圆的圆心和半径，求出长度；D选项，作出正四面体对棱中点连线，在C选项的基础上求出长度.
【详解】A选项，先求解出正四面体的外接球，如图所示：
取的中点，连接，过点作于点，则为等边的中心，
外接球球心为，连接，则为外接球半径，设，
由正四面体的棱长为2，则，，
，
，，
由勾股定理得：，即，
解得：，
此时我们再次完整的抽取部分勒洛四面体，如图所示：
图中取正四面体中心为，连接交平面于点，交于点，其中与共面，其中即为正四面体外接球半径，
设勒洛四面体内切球半径为，则，故A正确；
B选项，勒洛四面体截面面积的最大值为经过正四面体某三个顶点的截面，如图所示：
面积为，B正确；
C选项，由对称性可知：勒洛四面体表面上交线所在圆的圆心为的中点，
故，又，
由余弦定理得：，
故，且半径为，故交线的长度等于，C错误；
D选项，将正四面体对棱所在的弧中点连接，此时连线长度最大，如图所示：
连接，交于中点，交于中点，连接，则，
则由C选项的分析知：，
所以，
故勒洛四面体表面上两点间的距离可能大于2，D正确.
故选：ABD
【点睛】勒洛四面体考试中经常考查，下面是一些它的性质：
①勒洛四面体上两点间的最大距离比四面体的棱长大，是对棱弧中点连线，最大长度为，
②表面6个弧长之和不是6个圆心角为60°的扇形弧长之和，其圆心角为，半径为.
9．
【分析】将正四面体扩充为正方体，则正四面体的外接球即为正方体的外接球，球半径即为体对角线的一半，即得解
【详解】由题意，正四面体扩充为正方体，如图所示
若正四面体的棱长为，则正方体的棱长为1，
所以正方体的对角线长为，
则正四面体的外接球半径为：
故答案为：．
10．
【分析】根据纬度可求得纬圈半径，结合经度差得到两地之间距离，由此得到球心角，根据球面距离计算公式求得结果.
【详解】由题意得：甲乙两地的纬圈半径为
两地经度差为 甲乙两地之间的距离为
球心角为 甲乙两地之间的球面距离为
故答案为
【点睛】本题考查球面距离的求解问题，关键是能够根据纬度和经度差确定两地之间的直线距离，从而求得球心角的大小.
11．
【分析】由对棱相等知四面体为长方体的面对角线组成的三棱锥，借助长方体的性质判断各结论是否正确即可．
【详解】由题意可知四面体ABCD为长方体的面对角线组成的三棱锥，如图所示；
由四面体的对棱相等可知四面体的各个面全等，
它们的面积相等，则正确；
当四面体棱长都相等时，四面体的每组对棱互相垂直，
则错误；
由长方体的性质可知四面体的对棱中点连线
必经过长方体的中心，
由对称性知连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分，则正确；
由，，，
可得过四面体任意一点的三条棱的长为的三边长，则正确．
故答案为．
【点睛】本题考查了棱锥的结构特征与命题真假的判断问题，解题的关键是把三棱锥放入长方体中，属于难题．
12．
【分析】先求出截面圆的半径，利用勾股定理可求得球的半径，再利用球的体积公式可得结果.
【详解】设截面圆的半径为，球的半径为，
则，∴，
∴，
∴，球的体积为，故答案为.
【点睛】本题主要考查球的性质以及球的体积公式，属于中档题.球的截面问题，做题过程中主要注意以下两点：①多面体每个面都分别在一个圆面上，圆心是多边形外接圆圆心；②注意运用性质.
13．（1）；（2）1或7.
【分析】（1）利用球的表面积公式计算即可；
（2）先求球心到两个截面的距离，再计算即可.
【详解】解：（1）因为球的半径为，所以球的表面积为.
（2）设两个半径分别为和的平行截面的圆心分别为和，
所以，
所以，
所以，
或，
所以两个截面之间的距离为1或7.
【点睛】本题考查了球的表面积和截面问题，属于基础题.
14．见解析.
【分析】根据旋转体的概念，即可得出组合体的结构特征，得到答案.
【详解】由题意，当直角绕直线旋转一周，得到一个圆锥，
当半圆绕直线旋转一周，得到一个半球，
所以将这个平面图形绕直线AB旋转一周，
得到这个组合体是由一个圆锥和一个半球拼接而成的.
【点睛】本题主要考查了旋转体的定义及其应用，其中解答中熟记旋转体的概念，合理判定是解得的关键，着重考查了空间想象能力，属于基础题.
15．
【分析】根据题意得出为直角三角形，故斜边上的中点即为外接圆的圆心，根据勾股定理即可得到经过A，B，C三点的截面与球心O之间的距离.
【详解】如图
，
为直角三角形，的外接圆的半径，为CA的中点．
在中，
故经过A，B，C三点的截面与球心O的距离为12cm．
【点睛】本题考查了球的截面问题，注意球的半径、球心到截面的距离(球心与小圆圆心的连线与截面垂直)、截面小圆的半径构成了一个直角三角形，关键在于根据△ABC是直角三角形从而利用直角三角形的性质确定小圆的圆心.
16．(1)见解析;(2)见解析.
【分析】设水面为，根据图形即可得解.
【详解】解： 设水面为，由于固定，所以在倾斜的过程中，始终有，
且，故四边形为平行四边形，又因为恒和垂直，所以水面始终为矩形.
（1）如图所示
，，，
水面与长方体的棱 , 相交，水面的形状是矩形；
（2）如图所示
，，，
水面与长方体的棱 , 相交，水面的形状是矩形.
【点睛】本题考查空间几何体，属于基础题.
答案第1页，共2页
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