2.1.1直线的倾斜角与斜率（共31张ppt）
文档属性
| 名称 | 2.1.1直线的倾斜角与斜率（共31张ppt） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 10.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-04-20 09:09:22 | ||
图片预览
文档简介
(共31张PPT)
《直线的倾斜角与斜率》
《直线的倾斜角与斜率》
年 级：高二年级
学 科：数学（人教版）
主讲人：田方舒
学 校：湖南省株洲市渌口区第三中学
高二年级 | 数学
导语
学生自学章引言的内容
问题1：在平面直角坐标系中，表示点用什么表示？直线用什么表示？
下面，我们从研究直线的倾斜角和斜率开 始探究解析几何的世界.
点——坐标
直线——方程
问题2：如何用坐标表示直线呢？
高二年级 | 数学
数学问题引入（一）
问题1：在平面几何中，确定直线的条件是什么？对于平面直角坐标系内的一条直线，它的位置由哪些条件确定？
问题2：在平面直角坐标系内给一个点，过这个点有无数条直线。
再给一个什么条件就可以唯一确定一条直线呢？
请学生手动操作体验
高二年级 | 数学
数学概念
一般地，我们以水平线x轴为基准，这也符合我们日常表示物体倾斜程度的习惯。因此我们约定图1中的角表示直线的倾斜程度，把它就叫倾斜角。
高二年级 | 数学
数学概念
当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角。
高二年级 | 数学
数学概念
直线l 倾斜角为锐角，直线l’的倾斜角为钝角。当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
高二年级 | 数学
数学问题
追问：依倾斜角的定义，倾斜角的范围是什么？
高二年级 | 数学
数学概念
倾斜角的几何意义：
(1)从运动变化的观点来看，当直线l与x轴相交时，直线l的倾斜角是由x轴绕直线l与x轴的交点按逆时针方向旋转到与直线l重合时所得到的最小正角．
(2)倾斜角从“形”的方面直观地体现了直线对x轴正向的倾斜程度．
直线的倾斜角α的取值范围：0°≤α<180°。
高二年级 | 数学
数学概念问题剖析
练习：判断下列直线的倾斜角是否正确？
高二年级 | 数学
数学情景引入（二）
交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平
方向的倾斜程度，如图，一辆汽车沿某条道路从A点
前进到B点，在水平方向前进的距离为AD，竖直方
向上升的高度为DB(如果是下降，则DB的值为负实数)，
则坡度k＝ 若k>0，则表示上坡，若k<0，
则表示下坡，为了实际应用与安全，在道路铺设时常
要规划坡度的大小.那么“坡度”是如何来刻画道路
的倾斜程度的呢？
高二年级 | 数学
数学问题探究
问题1：将此图形抽象到坐标系中，（利用几何画板给出图形），演示出一条直线l与x轴的交点A相对固定，直线上另一点B在直线上运动，观察坡度情况？如果B点固定A点在x轴上运动，观察坡度的变化情况？
高二年级 | 数学
数学概念
把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即
k＝tan α.
高二年级 | 数学
数学问题引入（三）
由于两点可以确定一条直线，那么我们直线上任取两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，可知直线l由P1，P2唯一确定。所以，可以推断，直线l的倾斜角一定与P1，P2两点的坐标有内在联系的。
高二年级 | 数学
数学问题探究
问题1：在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α.(教材52页问题探究)
(1)已知直线l 经过O(0,0)，P( ，1)，α与O，P的坐标有什么关系？
高二年级 | 数学
数学问题探究
问题1：在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α.(教材52页问题探究)
(2)类似地，如果直线l经过P1(－1,1)，P2( ，0)，α与P1，P2的坐标有什么关系？
高二年级 | 数学
数学问题探究
问题1：在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α.(教材52页问题探究)
(3)一般地，如果直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，那么α与P1，P2的坐标有什么关系？
高二年级 | 数学
数学公式
如果直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，可得斜率公式：
高二年级 | 数学
知识拓展
直线P1P2上的向量 以及与它平行的非零
向量都是直线的方向向量。直线P1P2的方向向
量 的坐标为（x2-x1,y2-y1）直线P1P2与x轴
不垂直时，x1≠x2.此时向量 也是直
线P1P2的方向向量，且它的坐标为
，
其中k是直线P1P2的斜率.
高二年级 | 数学
知识拓展
若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为（x,y）,则
高二年级 | 数学
例题解析
例1： 如图，已知A(3，2),B(-4，1),C(0，-1)，求直线AB,BC,CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角？
高二年级 | 数学
例题解析
解析：
解析：由kAB>0,kCA>0可知，
直线AB与CA的 倾斜角为锐角，kBC<0,直线BC倾斜角为钝角。
高二年级 | 数学
数学问题引入（四）
问题1：是否每条直线都有斜率？倾斜角不同，斜率是否相同？
问题2：由例1进一步分析，当直线的倾斜角由0°由逐渐增大到180°，由其斜率如何变化？为什么？
高二年级 | 数学
数学问题解决策略
结合正切函数y=tan x在
的图象
高二年级 | 数学
数学问题解决策略
高二年级 | 数学
数学结论
设直线的倾斜角为α，斜率为k.
α的大小 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180°
k的范围 k＝0 k>0 不存在 k<0
k的增减性 随α的增大而增大 随α的增大而增大
高二年级 | 数学
数学结论
设直线的倾斜角为α，斜率为k.
结论拓展：
(1)当倾斜角为90°时，即x1＝x2时，直线的斜率不存在，.
(2)斜率公式中k的值与P1，P2两点在该直线上的位置无关．
(3)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的次序可以同时调换．
(4)若直线与x轴平行或重合，则k＝0.
高二年级 | 数学
例题演练
已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的
直线l与线段AB有公共点.
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
要使l与线段AB有公共点，
则直线l的斜率k的取值范围是
(－∞，－1]∪[1，＋∞).
高二年级 | 数学
例题演练
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围.
解 由题意可知直线l的倾斜角介于直线
PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°
PA的倾斜角是135°
所以α的取值范围是45°≤α≤135°.
高二年级 | 数学
课堂小结
1．知识清单：
(1)直线的倾斜角及其范围．
(2)直线斜率的定义和斜率公式．
2．方法归纳：数形结合思想．
3．常见误区：忽视倾斜角范围，图形理解不清．
谢谢观看
高二年级 | 数学
《直线的倾斜角与斜率》
《直线的倾斜角与斜率》
年 级：高二年级
学 科：数学（人教版）
主讲人：田方舒
学 校：湖南省株洲市渌口区第三中学
高二年级 | 数学
导语
学生自学章引言的内容
问题1：在平面直角坐标系中，表示点用什么表示？直线用什么表示？
下面，我们从研究直线的倾斜角和斜率开 始探究解析几何的世界.
点——坐标
直线——方程
问题2：如何用坐标表示直线呢？
高二年级 | 数学
数学问题引入（一）
问题1：在平面几何中，确定直线的条件是什么？对于平面直角坐标系内的一条直线，它的位置由哪些条件确定？
问题2：在平面直角坐标系内给一个点，过这个点有无数条直线。
再给一个什么条件就可以唯一确定一条直线呢？
请学生手动操作体验
高二年级 | 数学
数学概念
一般地，我们以水平线x轴为基准，这也符合我们日常表示物体倾斜程度的习惯。因此我们约定图1中的角表示直线的倾斜程度，把它就叫倾斜角。
高二年级 | 数学
数学概念
当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角。
高二年级 | 数学
数学概念
直线l 倾斜角为锐角，直线l’的倾斜角为钝角。当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
高二年级 | 数学
数学问题
追问：依倾斜角的定义，倾斜角的范围是什么？
高二年级 | 数学
数学概念
倾斜角的几何意义：
(1)从运动变化的观点来看，当直线l与x轴相交时，直线l的倾斜角是由x轴绕直线l与x轴的交点按逆时针方向旋转到与直线l重合时所得到的最小正角．
(2)倾斜角从“形”的方面直观地体现了直线对x轴正向的倾斜程度．
直线的倾斜角α的取值范围：0°≤α<180°。
高二年级 | 数学
数学概念问题剖析
练习：判断下列直线的倾斜角是否正确？
高二年级 | 数学
数学情景引入（二）
交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平
方向的倾斜程度，如图，一辆汽车沿某条道路从A点
前进到B点，在水平方向前进的距离为AD，竖直方
向上升的高度为DB(如果是下降，则DB的值为负实数)，
则坡度k＝ 若k>0，则表示上坡，若k<0，
则表示下坡，为了实际应用与安全，在道路铺设时常
要规划坡度的大小.那么“坡度”是如何来刻画道路
的倾斜程度的呢？
高二年级 | 数学
数学问题探究
问题1：将此图形抽象到坐标系中，（利用几何画板给出图形），演示出一条直线l与x轴的交点A相对固定，直线上另一点B在直线上运动，观察坡度情况？如果B点固定A点在x轴上运动，观察坡度的变化情况？
高二年级 | 数学
数学概念
把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即
k＝tan α.
高二年级 | 数学
数学问题引入（三）
由于两点可以确定一条直线，那么我们直线上任取两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，可知直线l由P1，P2唯一确定。所以，可以推断，直线l的倾斜角一定与P1，P2两点的坐标有内在联系的。
高二年级 | 数学
数学问题探究
问题1：在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α.(教材52页问题探究)
(1)已知直线l 经过O(0,0)，P( ，1)，α与O，P的坐标有什么关系？
高二年级 | 数学
数学问题探究
问题1：在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α.(教材52页问题探究)
(2)类似地，如果直线l经过P1(－1,1)，P2( ，0)，α与P1，P2的坐标有什么关系？
高二年级 | 数学
数学问题探究
问题1：在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α.(教材52页问题探究)
(3)一般地，如果直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，那么α与P1，P2的坐标有什么关系？
高二年级 | 数学
数学公式
如果直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，可得斜率公式：
高二年级 | 数学
知识拓展
直线P1P2上的向量 以及与它平行的非零
向量都是直线的方向向量。直线P1P2的方向向
量 的坐标为（x2-x1,y2-y1）直线P1P2与x轴
不垂直时，x1≠x2.此时向量 也是直
线P1P2的方向向量，且它的坐标为
，
其中k是直线P1P2的斜率.
高二年级 | 数学
知识拓展
若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为（x,y）,则
高二年级 | 数学
例题解析
例1： 如图，已知A(3，2),B(-4，1),C(0，-1)，求直线AB,BC,CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角？
高二年级 | 数学
例题解析
解析：
解析：由kAB>0,kCA>0可知，
直线AB与CA的 倾斜角为锐角，kBC<0,直线BC倾斜角为钝角。
高二年级 | 数学
数学问题引入（四）
问题1：是否每条直线都有斜率？倾斜角不同，斜率是否相同？
问题2：由例1进一步分析，当直线的倾斜角由0°由逐渐增大到180°，由其斜率如何变化？为什么？
高二年级 | 数学
数学问题解决策略
结合正切函数y=tan x在
的图象
高二年级 | 数学
数学问题解决策略
高二年级 | 数学
数学结论
设直线的倾斜角为α，斜率为k.
α的大小 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180°
k的范围 k＝0 k>0 不存在 k<0
k的增减性 随α的增大而增大 随α的增大而增大
高二年级 | 数学
数学结论
设直线的倾斜角为α，斜率为k.
结论拓展：
(1)当倾斜角为90°时，即x1＝x2时，直线的斜率不存在，.
(2)斜率公式中k的值与P1，P2两点在该直线上的位置无关．
(3)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的次序可以同时调换．
(4)若直线与x轴平行或重合，则k＝0.
高二年级 | 数学
例题演练
已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的
直线l与线段AB有公共点.
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
要使l与线段AB有公共点，
则直线l的斜率k的取值范围是
(－∞，－1]∪[1，＋∞).
高二年级 | 数学
例题演练
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围.
解 由题意可知直线l的倾斜角介于直线
PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°
PA的倾斜角是135°
所以α的取值范围是45°≤α≤135°.
高二年级 | 数学
课堂小结
1．知识清单：
(1)直线的倾斜角及其范围．
(2)直线斜率的定义和斜率公式．
2．方法归纳：数形结合思想．
3．常见误区：忽视倾斜角范围，图形理解不清．
谢谢观看
高二年级 | 数学