山西省吕梁市2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（含解析）

吕梁市2022-2023学年高二下学期期中考试
数学
全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名 准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.
4，本卷主要考查内容：选择性必修第一册~选择性必修第三册第七章.
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.某大学食堂备有4种荤菜 8种素菜 2种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配成不同套餐的种数为（ ）
A.14 B.64 C.72 D.80
2.已知随机变量服从两点分布，，则其成功概率为（ ）
A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6
3.的展开式中，的系数为12，则实数的值为（ ）
A.-1 B.0 C.1 D.2
4.一个盒子里装有相同大小的白球 黑球共20个，其中黑球6个，现从盒中随机的抽取5个球，则概率为的事件是（ ）
A.没有白球 B.至多有2个黑球
C.至少有2个白球 D.至少有2个黑球
5.对任意实数，有，则的值为（ ）
A.-20 B.-16 C.22 D.30
6.小王 小李等9名同学相约去游玩，在某景点排成一排拍照留念，则小王不在两端，且小李不在正中间位置的概率是（ ）
A. B. C. D.
7.已知随机变量，且，又，则实数的值为（ ）
A.-1或4 B.-1 C.4或1 D.5
8.已知数列满足，且，数列的前项和为，若的最大值仅为，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知随机变量满足，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10.高二年级安排甲 乙 丙三位同学到六个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（ ）
A.如果社区必须有同学选择，则不同的安排方法有88种
B.如果同学乙必须选择社区，则不同的安排方法有36种
C.如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有150种
D.如果甲 丙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有36种
11.已知，则的值可能为（ ）
A.2 B.4 C.7 D.9
12.某商场举办一项抽奖活动，规则如下：每人将一枚质地均匀的骰子连续投掷3次，记第次正面朝上的点数为，若“”，则算作中奖，现甲 乙 丙 丁四人参加抽奖活动，记中奖人数为，下列说法正确的是（ ）
A.若甲第1次投掷正面朝上的点数为3，则甲中奖的可能情况有4种
B.若甲第3次投掷正面朝上的点数为5，则甲中奖的可能情况有6种
C.甲中奖的概率为
D.
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.展开式中的常数项为__________.
14.设随机变量，则__________.
15.由这七个数字组成没有重复数字的七位数，且偶数数字从小到大排列（由高数位到低数位），这样的七位数有__________个.
16.已知两个不透明的盒中各有形状 大小都相同的红球 白球若干个，盒中有个红球与个白球，盒中有个红球与个白球，若从两盒中各取1个球，表示所取的2个球中红球的个数，则的最大值为__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明 证明过程及演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知有9本不同的书.
（1）分成三堆，每堆3本，有多少种不同的分堆方法？
（2）分成三堆，一堆2本，一堆3本，一堆4本，有多少种不同的分堆方法？（用数字作答）
18.（本小题满分12分）
已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为，各项的系数之和为，
（1）求的值：
（2）求其展开式中所有的有理项.
19.（本小题满分12分）
为迎接2023年美国数学竞赛（AMC），选手们正在刻苦磨练，积极备战，假设模拟考试成绩从低到高分为三个等级，某选手一次模拟考试所得成绩等级的分布列如下：
1 2 3
0.3 0.5 0.2
现进行两次模拟考试，且两次互不影响，该选手两次模拟考试中成绩的最高等级记为.
（1）求此选手两次成绩的等级不相同的概率；
（2）求的分布列和数学期望.
20.（本小题满分12分）
设甲袋中有4个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球（每个球除颜色以外均相同）.
（1）从甲袋中取4个球，求这4个球中恰好有3个红球的概率；
（2）先从乙袋中取2个球放人甲袋，再从甲袋中取2个球，求从甲袋中取出的是2个红球的概率.
21.（本小题满分12分）
已知椭圆的右顶点为，右焦点为，上顶点为，过两点的直线平分圆的面积，且（为坐标原点）.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆相交于两点，且点，当的面积最大时，求直线的方程.
22.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个零点，且.证明：.
吕梁市2022-2023学年高二下学期期中考试
数学参考答案 提示及评分细则
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.B 因为备有4种素菜，8种荤菜，2种汤，所以素菜有4种选法，荤菜有8种选法，汤菜有2种选法，
所以要配成一荧一素一汤的套餐，可以配制出不同的套餐有种，故选B.
2.D 随机变量服从两点分布，设成功的概率为，
.故选D.
3.C 根据题意得.解得.故选C.
4.B 表示任取5个球中，有1个黑球和有2个黑球和没有黑球的概率，即至多有2个黑球的概率.故选B.
5.B 因为，所以，故选B.
6.A 第一种情况：小王在正中间，排法数为；
第二种情况：小王不在正中间，先排小王有种排法，再排小李有种排法，剩下的同学有种排法.
记“小王不在两端，且小李不在正中间位置”为事件，则.故选.
7.A ，得，当时，，解得或4，故选.
8.B 由得，则，所以是以为前项，2为公比的等比数列，，令数列是等差数列，，对称轴，由的最大值仅为可得解得.故选B.
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.AD .故选AD.
10.BD 安排甲 乙 丙三位同学到六个社区进行暑期社会实践活动，
选项A：如果社区必须有同学选择，则不同的安排方法有（种）.判断错误；
选项B：如果同学乙必须选择社区，则不同的安排方法有（种）.判断正确；选项C：如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有（种）.判断错误；
选项D：如果甲 丙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有（种）.判断正确.故选.
11.BC ，得或7.故选BC.
12.BCD 由题意知，当时，中奖情况有种，故错误；
当时，中奖情况有种，故B正确；
中奖情况如下：当时，共有1种；当时，共有种；当时，共有种；记“”的事件为，则中奖的可能情况共有种，所有可能情况有种，，故C正确；
四人参加抽奖，每人中奖的概率均为，中奖人数，所以，故D正确.故选BCD.
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. ，令，得，所以常数项为7.
14. 随机变量服从.
15.90①0排在第6位时，共有（个）数；
②0排在第5位时，共有（个）数；
③0排在第4位时，共有（个）数，
故这样的七位数共有（个）.
16. 的可能取值为，
，
，
，
所以的分布列为
0 1 2
，
，当且仅当时，等号成立，所以当取到最大值时，的值为4.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明 证明过程及演算步骤.
17.解：（1）6本书平均分成3堆，所以不同的分堆方法的种数为；
（2）从9本书中，先取2本作为一堆，再从剩下的7本中取3本作为一堆，最后4本作为一堆，所以不同的分堆方法的种数为.
18.解：（1）因为，
所以，当为奇数时，此方程无解，
当为偶数时，，解得；
（2）由通项公式，
当为整数时，是有理项，则，
所以有理项为.
19.解：（1）此选手连续两次成绩的等级相同的概率为，
此选手两次成绩的等级不相同的概率为；
（2）由题意可知，的所有可能取值为，
；
；
.
的分布列为
1 2 3
0.09 0.55 0.36
则数学期望.
20.解：（1）依题意从8个球中取4个球有种取法，
其中4个球中恰好有3个红球，即恰好有3个红球 1个白球，有种取法，
所以4个球中恰好有3个红球的概率；
（2）记为从乙袋中取出1个红球 1个白球，为从乙袋中取出2个红球，为从甲袋中取出2个红球，
则
所以，
所以.
21.解：（1）由题意可知，所以直线的方程为，
因为过两点的直线平分圆的面积，
所以直线的方程过圆心，即，
又，
两式联立可得，所以椭圆的方程为；
（2）由直线的方程为，则点到直线的距离为，
联立方程组整理可得，
由判别式，解得，
设，则，
可得
，
所以（当且仅当时，等号成立），
所以所求直线的方程为或.
22.解：（1）的定义域为，
当时，在上恒大于0，所以在上单调递增，
当时，，
当时，，当时，.
所以函数在上单调递减，在上单调递增；
（2）由题可得，两式相减可得，
要证，即证，
即证，即证，
令，则，即证，
令，则，
所以在上单调递增，所以，所以，故原命题成立.