分类讨论
复习目标:
1．掌握分类讨论必须遵循的原则
2．能够合理，正确地求解有关问题
命题分析:
分类讨论是一种重要的逻辑方法，也是一种常用的数学方法，这可以培养学生思维的条理性和概括性，以及认识问题的全面性和深刻性，提高学生分析问题，解决问题的能力.因此分类讨论是历年数学高考的重点与热点.而且也是高考的一个难点.这次的一模考试中，尤其是西城与海淀都设置了解答题来考察学生对分类讨论问题的掌握情况.
重点题型分析:
例1．解关于x的不等式:
解:原不等式可分解因式为:(x-a)(x-a2)<0
（下面按两个根的大小关系分类）
（1）当a>a2a2-a<0即 0
（2）当a0即a<0或a>1时，不等式的解为:x(a, a2)
（3）当a=a2a2-a=0 即 a=0或 a=1时，不等式为x2<0或(x-1)2<0
不等式的解为 x.
综上，当 0当a<0或a>1时，x(a,a2)
当a=0或a=1时，x.
评述:抓住分类的转折点，此题分解因式后，之所以不能马上写出解集，主要是不知两根谁大谁小，那么就按两个根之间的大小关系来分类.
例2．解关于x的不等式 ax2+2ax+1>0(aR)
解:此题应按a是否为0来分类.
（1）当a=0时，不等式为1>0, 解集为R.
（2）a0时分为a>0 与a<0两类
①时，方程ax2+2ax+1=0有两根
.
则原不等式的解为.
②时，
方程ax2+2ax+1=0没有实根，此时为开口向上的抛物线，则不等式的解为（-，+）.
③ 时，
方程ax2+2ax+1=0只有一根为x=-1，则原不等式的解为(-,-1)∪(-1,+).
④时，
方程ax2+2ax+1=0有两根，
此时，抛物线的开口向下的抛物线，故原不等式的解为:
.
⑤
综上:
当0≤a<1时，解集为（-，+）.
当a>1时，解集为.
当a=1时，解集为(-,-1)∪(-1,+).
当a<0时，解集为.
例3．解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax(a∈R)(西城2003’一模 理科）
解:原不等式可化为 ax2+(a-2)x-2≥0,
(1)a=0时，x≤-1，即x∈(-∞,-1].
(2)a0时，不等式即为(ax-2)(x+1)≥0.
① a>0时， 不等式化为，
当，即a>0时，不等式解为.
当，此时a不存在.
② a<0时，不等式化为，
当，即-2当，即a<-2时，不等式解为.
当，即a=-2时，不等式解为x=-1.
综上:
a=0时，x∈(-∞,-1).
a>0时，x∈.
-2a<-2时，x∈.
a=-2时，x∈{x|x=-1}.
评述:通过上面三个例题的分析与解答，可以概括出分类讨论问题的基本原则为:
10:能不分则不分；
20:若不分则无法确定任何一个结果；
30:若分的话，则按谁碍事就分谁.
例4．已知函数f(x)=cos2x+asinx-a2+2a+5.有最大值2，求实数a的取值.
解:f(x)=1-sin2x+asinx-a2+2a+5
令sinx=t, t∈[-1,1].
则(t∈[-1,1]).
(1)当即a>2时，t=1，
解方程得:（舍）.
(2)当时，即-2≤a≤2时，,,
解方程为:或a=4（舍）.
(3)当 即a<-2时， t=-1时，ymax=-a2+a+5=2
即 a2-a-3=0 ∴ , ∵ a<-2, ∴ 全都舍去.
综上，当时，能使函数f(x)的最大值为2.
例5．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和，证明:.
证明:（1）当q=1时，Sn=na1从而
（2）当q≠1时，， 从而
由（1）（2）得:.
∵ 函数为单调递减函数.∴ .
例6．设一双曲线的两条渐近线方程为2x-y+1=0, 2x+y-5=0，求此双曲线的离心率.
分析:由双曲线的渐近线方程，不能确定其焦点位置，所以应分两种情况求解.
解:（1）当双曲线的焦点在直线y=3时，双曲线的方程可改为，一条渐近线的斜率为， ∴ b=2.∴ .
（2）当双曲线的焦点在直线x=1时，仿（1）知双曲线的一条渐近线的斜率为，此时.
综上（1）（2）可知，双曲线的离心率等于.
评述:例5，例6，的分类讨论是由公式的限制条件与图形的不确定性所引起的，而例1-4是对于含有参数的问题而对参数的允许值进行的全面讨论.
例7．解关于x的不等式 .
解:原不等式
由(1) a=1时，x-2>0, 即 x∈(2,+∞).
由(2)a<1时，，下面分为三种情况.
① 即a<1时，解为.
②时，解为.
③ 即0由（3）a>1时，的符号不确定，也分为3种情况.
① a不存在.
② 当a>1时，原不等式的解为:.
综上:
a=1时，x∈(2,+∞).
a<1时，x∈
a=0时，x.
0a>1时，x∈.
评述:对于分类讨论的解题程序可大致分为以下几个步骤:
10:明确讨论的对象，确定对象的全体；
20:确定分类标准，正确分类，不重不漏；
30:逐步进行讨论，获得结段性结记；
40:归纳总结，综合结记.
课后练习:
1．解不等式
2．解不等式
3．已知关于x的不等式的解集为M.
（1）当a=4时，求集合M:
（2）若3M，求实数a的取值范围.
4．在x0y平面上给定曲线y2=2x, 设点A坐标为(a,0), aR，求曲线上点到点A距离的最小值d，并写成d=f(a)的函数表达式.
参考答案:
1.
2.
3. (1) M为
(2)
4. .本周授课内容：三角函数的定义与三角变换
重点：任意角的三角函数定义
难点：三角变换公式的应用
内容安排说明及分析：
本部分内容分为两大块，一块是三角的基础与预备知识，另一块是三角变换公式及其应用。把三角变换公式提到三角函数图象与性质之前来复习，其目的是突出“工具提前”的原则。即众多的三角变换公式是解决三角学中一系列典型问题的工具，也是进一步研究三角函数的图象和性质的重要工具。
由于本部分内容的基础性与工具性，这是高中数学的重要内容之一，因此，最近几年的高考试题中占有一定的比例，约占13%左右。有试题多为选择题，有时也有解答题，难度多为容易题与中等题。
知识要点及典型例题分析：
一、三角函数的定义
1．角的概念
（1）角的定义及正角，负角与零角
（2）象限角与轴上角的表达
（3）终边相同的角
（4）角度制
（5）弧度制
2．任意角的三角函数定义
任意角的6个三角函数定义的本质是给角这个几何量以代数表达。借助直角坐标系这个工具，把角放进直角坐标系中完成的。由任意角的三角函数定义直接可以得到：
（1）三角函数的定义域
（2）三角函数值在四个象限中的符号
（3）同角三角函数的关系
（4）单位圆中的三角函数线：要充分利用三角函数线在记忆三角函数性质与公式以及解决三角函数问题中的作用。
3．诱导公式
总共9组共36个公式，记忆口决为“奇变偶不变，符号看象限”，并弄清口决中的字词含义，并根据结构总结使用功能。
“奇变”是指所涉及的轴上角为的奇数倍时（包括4组：，）函数名称变为原来函数的余函数；其主要功能在于：当需要改变函数名称时，比如：由于“和差化积”公式都是同名函数的和差。使用时，对于不同名的函数先化为同名函数，又如：复数化三角形式，有时也需要改变函数名称，如：sin-icos=cos(+)+isin(+)。
“偶不变”是指所涉及的轴上角为的偶数倍时（包括5组：2k+, , 2-, -）, 函数名称不变，其主要功能在于：求任意角的三角函数值，化简及某些证明问题。
二、典型例题分析：
例1．（1）已知-<<<, 求+与-的范围。
（2）已知的终边在第二象限，确定-所在象限。
解：（1）∵-<<<, ∴-<+<，-<-<0.
（2）有两种思路：其一是先把的终边关于x轴对称放到-的终边（在第三象限），再将-的终边按逆时方向旋转放到-的终边即-的终边的反向延长线，此时-的终边也在第二象限。
思路2：是先把的终边（第二象限）按顺时针方向旋转，得到+(-)（第四象限），再将它关于x轴对称得到-(-)=-的终边，此时也在第一象限。
例2．若A={x|x=, kZ}, B={x|x=+, kZ}, 则A _____B。
解：由B中的x=+=可视为的奇数倍所构成的集合。
而A中的x=是的所有奇数倍，因此AB。
例3．设0<<2, 问5与角终边相同，求。
解：由已知 5=2k+, kZ, 有=，
∵ 0<<2, ∴k=1时，=；k=2时，=；k=3时，=.
例4．若=ctg-csc，求取值范围。
解：先看一看右边=ctg-csc=-=，这样就决定了左边的变形方向。
==，
∵=， ∴ 无解，
∴ 不存在这样的使所给等式成立。
例5．已知sin(-)-cos(+)=, <<.
求：（1）sin-cos的值 （2）sin3(+)+cos3(+)的值
解：（1）由已知，得sin+cos=,平方得：1+2sincos=,
∴ 2sincos=-,
∵ <<,
∴ sin-cos===.
（2）sin3(+)+cos3(+)=cos3-sin3
=(cos-sin)(cos2+sincos+sin2)
=-(1-)
=-.
例6．已知sin(-)=2cos(-2),求下列三角函数的值：
（1） （2）1+cos2-sin2.
解：由已知：-sin=2cos，有 tg=-2, 则
（1）原式===-。
（2）1+cos2-sin2
==
==.
评述：对于形如为关于sin与cos的一次分式齐次式，处理的方法，就是将分子与分母同除以cos，即可化为只含tg的式子。而对于1+cos2-sin2属于关于sin与cos的二次齐次式。即sin2+2cos2-5sincos. 此时若能将分母的“1”用sin2+cos2表示的话，这样就构成了关于sin与cos的二次分式齐次式，分子分母同除以cos2即可化为只含有tg的分式形式。
例7．求函数y=+log sinx(2sinx-1)的定义域。
解：使函数有意义的不等式为：
将上面的每个不等式的范围在数轴上表示出来，然后，取公共部分，由于x[-5,5]，故下面的不等式的范围只取落入[-5，5]之内的值，即
∴因此函数的定义域为：
[-5,-)∪(-,-)∪()∪()。
例8．求证：=.
证法一（左边化弦后再证等价命题）
左边==
要证 =
只需证：(1+sin+cos)cos=(1-sin+cos)(1+sin)
左边=cos+sincos+cos2
右边=1-sin2+cos+cossin=cos2+cos+sincos
∵左边=右边，∴原等式成立。
或证等价命题：-=0
证法二（利用化“1”的技巧）
左边=
==sec+tg==右边。
证法三（利用同角关系及比例的性质）
由公式 sec2-tg2=1
(sec-tg)(sec+tg)=1
=.
由等比定理有：=sec+tg=.
证法四（利用三角函数定义）
证sec=, tg=, sin=, cos=.
然后代入所证等式的两边，再证是等价命题。
其证明过程同学自己尝试一下。
评述：证明三角恒等式的实质，就是逐步消除等号两边结构差异的过程，而“消除差异”的理论依据除了必要三角公式以外，还需要有下列等式的性质：
(1)若A=B，B=C则A=C（传递性）
(2)A=BA-B=0
(3)A=B=1 (B0)
(4)= AD=BC (BD0)
(5)比例：一些性质，如等比定理：
若==……=，则===……=。
1．如果是第二象限角，则所在的象限是（ ）
A、第一象限 B、第一或第三象限 C、第二象限 D、第二或第四象限
2．在下列表示中正确的是（ ）
A、终边在y轴上的角的集合是{|=2k+, kZ}
B、终边在y=x的直线上的角的集合是{|=k+, kZ}
C、与(-)的终边相同的角的集合是{|=k-, kZ}
D、终边在y=-x的直线上的角的集合是{|=2k-, kZ}
3．若<<, 则等于（ ）
A、sin(-) B、-sin C、cos(-) D、-csc
4．函数y=2sin()在[，2]上的最小值是（ ）
A、2 B、1 C、-1 D、-2
5．已知函数y=cos(sinx)，下列结论中正确的是（ ）
A、它的定义域是[-1，1] B、它是奇函数；
C、它的值域是[0, 1] D、它是周期为的函数
6．设0A、sin(sinx)C、sin(tgx)7．若sin=，cos=-，则[0, 2]，终边在（ ）
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
8．如果一弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是（ ）
A、sin B、 C、 D、2sin
9．化简三角函数式tg(+) (kZ), 结果是（ ）
A、tg B、ctg C、ctg D、-tg
10．设(0, )，，的大小是（ ）
A、A>B B、A≥B C、A答案: B B D C D A D C B C
正、余弦函数的有界性在解题中的作用
正、余弦函存在着有界性，即，，在一些数学问题中灵活地加以运用，沟通三角函数与数值间的关系，能大大简化解题过程。
例1．若实数满足，求的值。
解：原方程可化为，
因为，所以，
所以，所以
所以。
例2．在中，，试判定三角形的形状。
解：因为，，又，
所以，
而，，
于是，
所以，。故为等腰直角三角形。
例3．已知四边形中的角、满足
求证：
证明：由已知条件有
所以
由于。从而
所以，但，
所以，。
所以，故。
例4．已知函数，，求证：对于任意，有。
证明：因为，所以。
令，，则，
所以
从而
又，故
例5．证明：。
证明：设，则只须证明。
因为
因为，所以，
从而。故。
例6．复数，，的幅角分别为、、，，，，且，问为何值时，分别取得最大值和最小值，并求出最大值和最小值。
解；因为，，，
因为，
所以。
因而，。
两式平方相加得
由题设知，，
所以……（＊）
因为，所以，
解之得。
由（＊）知，当时，。
又由（＊）及知，当、时，。
例7．设为无理数，求证：函数不可能是周期函数。
证明：假设是周期函数，则存在常数，使对于任意的，
都成立。
令得，
因为，，所以
从而，
所以。
此时，为整数，则为有理数，但为无理数，这是不可能的，故命题成立。
1．（2002年全国）在(0,2)内，使sinx>cosx成立的x取值范围为（ ）。
A、 B、
C、 D、
解：在内，sinx>cosx，在内sinx>cosx；在内，sinx>cosx；综上，∴ 应选C。
2．（2001年全国） 的值为（ ）。
A、 B、 C、 D、
解：
∴ 应选B。
3．（1998年全国）已知点P(sin-cos,tg)在第一象限，则在[0，2]内的取值范围是（ ）。
A、 B、
C、 D、
解：由题设，有
在[0，2）的范围内，在同一坐标系中作出y=sinx和y=cosx的图像，可在时，sin>cos。
∴
应选B。
4．（1998年全国）sin600的值是（ ）。
A、 B、 C、 D、
解：sin600=sin(360+240)=sin240
=sin(180+60)=-sin60
=
∴应选D。
北 京 四 中
科 目：数 学 年 级：高 三 责 编：辛文升
撰 稿：徐晓阳 编 审：石小燕 录 入：刘红梅
高三数学第二学期开学测试（03.2）
一、选择题：（每小题5分，共60分）
1．函数f(x)=的定义域为A，函数g(x)=的定义域为B，若A∩B=，则实数a的取值范围是（ ）。
A、{a|-12．三个数60.7, 0.76, log0.76的大小顺序是（ ）。
A、0.76C、log0.76<60.7<0.76 D、log0.76<0.76<60.7
3．函数f(x)=(1+tanx·tan)sinx是（ ）。
A、周期为2的奇函数 B、周期为2的偶函数
C、周期为的奇函数 D、周期为的偶函数
4．下列命题中正确的是（ ）。
A、互相垂直的两条直线在同一个平面内的射影也互相垂直；
B、若平面M上的任意一直线l平行于平面N，则M//N；
C、分别经过不垂直的两条直线的两个平面也不垂直；
D、侧面与底面成等角的三棱锥的顶点在底面上的射影不一定是底面三角形的内心；
5．下列命题中正确的是（ ）。
A、任意两复数均不能比较大小
B、复数z是实数的充要条件是z=
C、复数z是纯虚数的充要条件是z+=0
D、i+1的共轭复数是i-1
6．若先把函数f(x)=sin(2x+)的图象上各点向右平移个单位，再把各点的横坐标缩小到原来的一半，同时纵坐标扩大到原来的2倍，则最后所得的图象对应的函数解析式是（ ）。
A、f(x)=2sin(4x-) B、f(x)=2sin(4x-)
C、f(x)=2sin(x-) D、f(x)=2sin(x-)
7．设a、b、k、p分别表示同一直线的横截距、纵截距、斜率和原点到直线的距离，则有（ ）。
A、a2k2=p2(1+k2) B、k= C、=p D、a=-kb
8．公差不为零的等差数列中，若第k、n、p项的倒数成等比数列，则其公比是（ ）。
A、 B、 C、 D、
9．（理）极坐标系中，方程与所表示的曲线的位置关系是（ ）。
A、相离 B、相切 C、相交 D、重合
（文）由方程|x-1|+|y-1|=1确定的曲线所围成的图形的面积（ ）。
A、1 B、2 C、 D、4
10．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D、E分别为AB、AC的中点，平面DEC1B1将三棱柱分成体积V1、V2的两部分，则V1∶V2=（ ）。
A、1∶3 B、3∶5 C、7∶9 D、5∶7
11．若经过点P(4,2)的直线总有两条与圆(x-3m)2+(y-4m)2=5(m+4)相切，则m的取值范围是（ ）。
A、 B、 C、 D、
12．,x1>x2>0,,,m、n、p的大小关系是（ ）。
A、m>n>p B、n>m>p C、n>p>m D、p>n>m
二、填空题：（每小题4分，共16分）
13．若，且a>0，则a=______。
14．正方形ABCD与CDEF组成一个二面角，对角线AC与面CDEF成30角，则二面角A-CD-E的大小是_____。
15．若椭圆与圆2相交，则椭圆的离心率的取值范围是_____。
16．从5双不同的鞋子中任取4只，4只中至少有两只配成一双的取法种数是_____。
三、解答题：
17．（本小题12分）
已知：函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，且在(0, +)上是增函数。
（1）判断y=f(x)在(-,0)上单调性，并加以证明；
（2）若，求：不等式的解。
18．（本小题12分）
在ΔABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，且，求的值。
19．（本小题12分）
已知：正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高是底面边长的2倍，M是侧棱DD1的中点，
（1）求证：B1M⊥平面ACM；
（2）求：直线BD1与平面ACB1所成的角；
（3）求：平面ACB1与平面A1C1B所成的角的大小（文科生只求三角函数值）。
20．（本小题12分）
某种射线在通过平板玻璃时，每经过1mm的厚度其强度衰减为原来的a%。实验发现将10块1mm厚的平板玻璃叠加，该射线通过这10块玻璃后的射线强度与通过一块11mm厚的平板玻璃后的射线强度相同，这种现象说明每两块玻璃之间的缝隙也有衰减，为不高于通过一块20mm厚的平板玻璃后的射线强度，至少需要多少块1mm厚的平板玻璃叠加？（注：假设每两块平板玻璃之间的缝隙相同，可设每通过一个缝隙后射线强度衰减为原来的x%）。
21．（本小题12分）
已知：数列{an}和{bn}满足条件：，,
（1）求：数列{an}的通项公式；（2）求：。
22．（本小题14分）
双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，A、B为它右支上不同于顶点的两点，M、N分别为ΔAF1F2、ΔBF1F2的内切圆圆心。
（1）设圆M和F1F2相切于点P，求证：|PF1|-|PF2|=2a;
（2）求证：直线MN和y轴平行；
（3）如果点F2在线段AB上，直线AB的倾斜角的正弦值为，且，求此双曲线的方程。
[本周学习内容]：测试讲评、提要求
[重点]：1、引导同学正确看待测试（淡化对分数、名次的计较），侧重于发现学习中存在的问题，正确定位自己确立现阶段学习目标，措施，通过对概念符号、方法的真正理解和方法体系的归纳总结实现学习上的稳步提高；2、应试策略的训练（中场，后二十分钟的心态调整），应试心理调适，树整体、阶段性观念，克服焦虑情绪。
[测试讲评]
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D D A B B B A A B D B B
1．依题设可解得 即如图示，可知，解得：。
点评：此题很容易，但易错，开、闭区间交为空，端点的取舍，有同学错选为A:(-1,3).
3．由又由定义域：xR且且，故选A。
点评：解决三角问题的策略：函数、方程，此题函数，故正确方向：先再切弦；关注定义域。
7．依题设，y=kx+b, 过(a, 0)则 ∴ ak+b=0，故可排除D，又由，
可得：p2(k2+1)=b2=a2k2……
点评：此题较为灵活，难点是开始不能确定如何下手，其实认真读懂题稍用批判意识即可得选项：a=b=0呢？
8．法一：特例检测法。举自然数列{n}其中1、2、4满足题设要求，（还有2，4，8等……）可算出A。
法二：依题设 ,
∵ d≠0, 故可得 ①
②
①代入②式即可求解。
10．选D，法一，补法。
如左图，∵ D、E均为中点，延长B1D，C1E，A1A，三线必交于一点A2,可证明A2A=AA1。
设三棱柱ABC-A1B1C1体积为V，则由，计算可得，
故；或直接分析V2是V3的7倍，2V是V2+V3的3倍，口算解得。
法二：割法。
提示：分割台体ADE-A1B1C1为三份，算出每份间的关系，再算出与V间的关系。
12．选B。
从函数的凸性，知f(x)下凸，中值的函数值小于函数值的中值，故n>m.
又由及f(x)单调性知，m>p。
二、填空题：
13 2 14 45或135
15 16 130
15．由图示可知，
三边同除以a可得，解不等式组
可得。
点评：此题选方法很重要，若选用直接解方程组，则十分费力。解析几何问题一定要多立足于图形，认真挖掘性质，再辅以代数表达式求解。
三、解答题：
17．解：（1）f(x)在(-,0)上单调增，任取x1, x2(-,0)，令x1则 -x1>-x2>0 依题设 f(x)在(0,+)上增，
∴ f(-x1)>f(-x2), 又∵ f(x)为奇函数，
∴ -f(x1)>-f(x2), ∴ f(x1)（2）由f(x) 奇, 可知, 又由题设可知，若，
则 或 ，
解得： 或x≥2。
点评：1.证单调性须严格按照定义 。
2. 解复合不等式，须注意层次，（2）问题先由f(u)的单调性，解f(u)≤0的解，再解对数不等式。
18．解：由，
可得：， 解得：，
∵ΔABC， ∴∠A=30， 又由可得，
，
∴ ， ∵ B+C=150，
∴ ，
∴ 。
点评：解三角问题的策略。此题→“方程”，求→关于的方程←现有等式
→已知条件②边→角→和差化积
已知条件①只有一个未知数A→方程解出。
19．解：（1）略
提示：紧依线面垂直的判定，创造条件；可考虑证B1MMA，B1MMC；或B1MAC，B1MAM；等……。
（2）连结BD，B1D1，设BD与AC相交于O，连结B1O，
∵ B1B//D1D， ∴B1O与BD1相交，设交点为E，
∵ 正四棱柱，∴AC⊥BD，B1B⊥AC， ∴AC⊥平面B1BDD1，
∴ 平面B1AC⊥平面B1BDD1，
∴ BD1在平面ACB1上的射影为B1O，
∴∠OEB或其补角即为直线BD1与平面ACB1所成的角，
∵ B1D1//BD，， ∴，
设AB=1，则AA1=2，则， ∴，
∴ 直线BD1与平面ACB1所成角为。
（3）设A1B与AB1相交于G，B1C与BC1相交于H，连结GH，设GH中点为F，连结B1F，BF。
∵ 正四棱柱， ∴ B1G=B1H， BG=BH， ∴ B1F⊥GH，BF⊥GH，
∴∠B1FB为二面角B1－GH-B的平面角，
可求得， ∴,
∴ 平面ACB1与平面A1C1B所成角为。
20．解：由题设：
解得：,
设至少需要n块1mm的玻璃相叠加，则，
由 解得：n≥18.1.
答：至少需要19块相叠加。
点评：此题不是十分成熟，其中“强度衰减为原来的a%”，这句话易造成歧意。
21．解：（1）
∴ ① (n≥2)
∴ 可得： ②
由②-①可得：，
∴ ，
∴
……
以上各式相乘可得：，
又由，∴。
（2）由....③
可得：(n≥2)....④
由③-④可得 bn=3(n+1)(n≥2)...⑤
又 满足⑤ ∴ bn=3(n+1),n∈N,
∴
22.解：（1）设圆M分别与AF1，AF2相切于点Q，R，
则|F1P|=|F1Q1|； |F2P|=|F2R|； |AQ|=|AR|
∴|F1P|-|F2P|=|F1Q|-|F2R|=(|F1Q|+|AQ|)-(|F2R|+|AR|)=|AF1|-|AF2|=2a.
（2）证：设双曲线的半焦距为C(C>a).
则|F1P|+|F2P|=2C，由（1），∴|F1P|=C+a,|F2P|=C-a,∴|F1P|>|F2P|,
∴点P在OF2上，∴ 点P为双曲线右顶点，坐标为(a,0),
∵ MP⊥x轴，∴ M点横坐标为a, 同理可证得N点横坐标为a，∴直线MN//y轴。
（3）设AB倾斜角为，则。
如图，连结MF2，NF2，则依题设，MF2，NF2分别平分∠AF2F1，BF2F1，
∴，，
又∵ |F2P|=C-a, ∴|NP|=(C-a), ,
∴ ，
∴ ， ∴ C-a=2,
又 C2-a2=20, ∴ a=4, ∴双曲线方程为：。
北 京 四 中
科 目：数 学 年 级：高 三 责 编：辛文升
撰 稿：肖 瑜 编 审：石小燕 录 入：刘红梅
数学归纳法
重点难点分析：
1．了解数学归纳法的原理，明确数学归纳法是一种只适用于与自然数有关的命题的证明方法；掌握数学归纳法的两个步骤：1）证明当n取第一个值n0时结论正确；2）假设当n=k(k∈N,k≥n0)时结论正确，证明n=k+1时结论也正确，从而确定对n∈N，n≥n0时结论都正确。第一步是递推的“基础”，第二步是递推的“依据”，二者缺一不可。
2．高考对数学归纳法的考察往往是结合不完全归纳法的，重点是有关数列问题的证明和不等式的证明。
例题分析：
例1．用数学归纳法证明等式 对所以n∈N均成立。
证明：i)当n=1时，左式=，右式=， ∴ 左式=右式，等式成立。
ii)假设当n=k(k∈N)时等式成立，
即，
则当n=k+1时，
即n=k+1时，等式也成立，
由i) ii)可知，等式对n∈N均成立。
小结：在利用归纳假设论证n=k+1等式成立时，注意分析n=k与n=k+1的两个等式的差别。n=k+1时，等式左边增加两项，右边增加一项，而且右式的首项由变为。因此在证明中，右式中的应与-合并，才能得到所证式。因而，在论证之前，把n=k+1时等式的左右两边的结构先作一分析是有效的。
由例1可以看出，数学归纳法的证明过程中，要把握好两个关键之处：一是f(n)与n的关系；二是f(k)与f(k+1)的关系。
例2．用数学归纳法证明：
.
证明：i) 当n=2时，左式=，
右式=， ∵ ， ∴ ，
即n=2时，原不等式成立。
ii)假设n=k(k≥2, k∈Z)时，不等式成立，即
,
则 n=k+1时， 左边=
右边=，要证左边>右边，
只要证 ，
只要证 ， 只要证 4k2+8k+4>4k2+8k+3
只要证 4>3.
而上式显然成立，所以原不等式成立，即n=k+1时，左式>右式。
由i), ii)可知，原不等式对n≥2，n∈N均成立。
小结：用数学归纳法证明不等式时，应分析f(k)与f(k+1)的两个不等式，找出证明的关键点（一般要利用不等式的传递性），然后再综合运用不等式证明的方法。如上题，关键是证明不等式。除了分析法，还可以用比较法和放缩法来解决。
例3．已知，求证：n>1时，。
证明：i) n=2时，左式=, 右式=，
∵ ， ∴ 左式>右式，不等式成立，
n=3时，左式=,
右式=， 左式-右式=，左式>右式，不等式成立。
ii)假设n=k(k∈N, k≥3)时不等式成立，
即，
当n=k+1时，
即n=k+1时，不等式也成立。
由i, ii)可知，n>1, n∈N时，都有。
小结：注意f(n)的意义，它表示连续自然数的倒数和，最后一项为。可以通过第一步验证中加强对f(n)的理解，本题中i)验证了n=2,3两个数值，正是由于此原因（当然不是必要的）。因而f(2n)的表达式应为f(2n)=1。因此在归纳法证明中，重视第一步的验证工作，许多难题的特殊情形启发我们的思路，甚至蕴含一般情形的方法。
例4．已知数列为其前n项和，计算得,
,观察上述结果，推测出计算Sn的公式，并用数学归纳法加以证明。
解：推测.
证明：i) 略
ii) 假设n=k(k∈N)时等式成立，即，
则
即 n=k+1时，等式成立。
由i), ii) 可知，对一切n∈N，等式均成立。
小结：这是一个探索性问题，需要观察（归纳），从而发现规律，得出结论，进而用数学归纳法。
例5．设{an}是正数组成的数列，其前n项和为Sn, 并且对于自然数n, an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项。
1)写出数列{an}的前三项； 2) 求数列{an}的通项公式；
3) 令， 求。
解：1) 由题意， an>0, n∈N.
令n=1时，， 得a1=2.
令n=2时，，解得a2=6.
令n=3时，，解得a3=10.
2）由此猜想 an=4n-2 (n∈N).
证明：i) 略
ii) 假设n=k(k∈N).时结论成立，即ak=4k-2,
而 ， 又 ∵ ak=4k-2, Sk+1=Sk+ak+1,
∴ ,
∴ ,
∴ ak+1=2+4k=4(k+1)-2
即n=k+1时，结论也成立。
由i),ii)可知，对一切n∈N，an=4n-2.
3) 令cn=bn-1, 由，得
从而 b1+b2+b3+……+bn-n=c1+c2+c3+……+cn
=
∴ 。
小结：本题考察了Sn与an之间的关系；另外在归纳假设这一步论证中，应利用去求Sk，而不是利用求和Sk=a1+a2+……+ak。此外，若本题没有归纳法的要求，还可用如下方法。
， ∴ 可求a1=2,
又 Sn+1=,
∴ an+1=Sn+1-Sn=,
整理，得(an+1+an)(an+1-an-4)=0
∵ an+1+an>0, ∴ an+1-an=4(n∈N)
∴ {an}是首项为2，公差为4的等差数列，故an=4n-2.
例6．数列{an}的前n项和Sn=npan(n∈N)，且a1≠a2，
1) 求常数p的值； 2) 证明：数列{an}是等差数列。
解：1) 令n=1, S1=1·pa1, 即a1=pa1,
若p=1, 则Sn=nan,令n=2， 有S2=2a2, a1+a2=2a2,
∴ a1=a2与已知矛盾！ ∴ p≠1，从而a1=0,
再令 n=2, 在S2=2pa2,a1+a2=2pa2, ∵ a1=0.
∴ (2p-1)a2=0, 而 a2≠a1, ∴a2≠0, 从而p=.
2)证明：只要证明：存在d，使得对任意n∈N都有an=a1+(n-1)d，取d=a2-a1.而a1=0, ∴ d=a2,
i) n=1时，a1=a1+(1-1)d, 等式成立，
n=2时，左式=a2, 右式=a1+(2-1)d=a1+d=a1+a2-a1=a2 等式成立。
ii) 假设n=k(k≥2,k∈N)时，ak=a1+(k-1)d=(k-1)d,
n=k+1时，Sk=, ,
∴ ,
即 ,
∴ (k-1)ak+1=kak=k(k-1)d ∵ k≥2,
∴ k-1>0, ∴ ak+1=kd=a1+(k+1-1)d,
∴ n=k+1时，命题成立。
由i),ii)可知an=a1+(n-1)d 恒成立,{an}为等差数列。
小结：本题是一道综合题，注意等差数列的概念。
例7．已知数列{an}是等差数列，a1=1, 前n项和为Sn,数列{bn}是等比数列，前n项和为Tn，
若a4=b2, S6=2T2-1,
1)求{an}和{bn}的通项公式；
2)判断是否存在最小的自然数n0使得大于n0的一切自然数n, 总有成立。
解：i)设{an}的公差为d, {bn}的公比为q,
由已知得方程组
得 消元，得 12q2-20q+7=0.
解得： 或（舍），从而，
∴
ii) , 考察不等式,
当n=5时不成立，n=6时成立，猜想取n0=5,
i) 当n=6时，不等式成立。
ii) 假设n=k, (k≥6, k∈N)时，不等式成立，
则当n=k+1时， 不等式也成立。
由i), ii) 可知，对任意n≥6，n∈N，都有 成立。
练习：
1．n∈N,求证：
2．n∈N， 求证：
3．已知数列{an}中，a2=6, 且满足。
i)求a1, a3, a4; ii)求数列{an}的通项公式；
iii)是否存在常数c，使数列成等差数列，若有，求出对应的c值及公差；若无，说明理由。
4．已知数列{an}的各项均为正数，它的前n项和Sn与通项an有关系.
i)写出数列{an}的前四项；
ii)猜想{an}的通项公式，并给出证明。本周复习内容：数列的极限
本周复习重点：数列的极限运算，数列及其极限的综合问题
<一>关于数列极限的运算
1．运算法则：an=A, bn=B.
(1) (2)
(3)
注意：运算法则只可应用于有限个数列的运算当中。
2．几个基本数列的极限
(1) c=c (2) (3) qn=0 (0<|q|<1)
3．数列极限运算的几种基本类型：
(1) 关于n的分式型 (2) 关于n的指数型
(3) 无穷多项的和与积 (4) 无穷递缩等比数列
<二> 本周例题
例1．求下列数列的极限：
(1) (2)
(3)
(4)
(5)
(6) (7)
(8) (9) (a,b>0)
分析：求数列的极限首先应判断属于哪一种基本类型，然后考虑如何转化哪一种基本数列的极限解决问题。
解: (1)
(2) =.
(3)
=
=
=
(4)
=
=
或另解：原式=
(5) 分析：应能够很快地由数列的通项可识别出此数列为公比为(-)的无穷递缩等比数列。
。
(6) =
===
注：数列{}不存在极限，不能直接用运算法则，因此变形后化为基本数列的极限解决。
(7) ==
① 当0|a|<3时，=.
② 当|a|>3时，=.
③ 当a=3时，=。
④ 当a=-3时，=（极限不存在）。
∴ 综①-④ ，
(8)
=
=
=
(9) ①a>b>0时，=。
② 当b>a>0时，=。
③ 当b=a>0时，=。
综上：=
小结：求数列的极限难点问题有几类， 无穷多项的和与积；如上例中第(3),(4),(5),(7),(8)，不能直接用极限的运算法则，先要将所给形式变形，化简，如(3)是约分化简，(4) 是转化为两个等比数列的和，(5) 的关键是能够判断其为无穷递缩等比数列，(7) 则是光用等比数列求和公式化简，(8)却应用的是特殊数列求和的基本方法——裂项求和达到化简的目的。关于n的指数型数列的极限，若含有参数的幂的形式（关于n的），则需要讨论，以确保符合条件0<|q|<1，才可应用来解决问题。
例2. (1) 已知 求a, b.
(2) 已知, , 求：。
(3) 已知： , 求a.
解：(1) ∵
即有：，，则有
(2)∵ , ∴ , ∴.....①
又 , ∴ , ∴ .......②
又 =,
由①，②得 ， ∴ =6。
(3) ∵ ,
∴ 当|a2|>4时，= 不存在，
当0<|a2|<4时，=，
当a2=4时，=，
∴ 有：a2=4, 即a=±2.
小结：本例中几问共同特点是已知数列的极限，反过来求式子中待定的系数。解决的方法仍是化归为求数列的极限问题。如(1)中，已知一个关于n的分式型的极限，实际上考察了对关于n的分式型极限求法的掌握情况。应使学生明确形如：的极限问题关键看分子，分母中关于n的项的最高次项的系数，如果不能确定其系数时，即需要讨论。
例3．(1)在等比数列 {an}中，a1>1，且前n项和Sn满足，求a1的取值范围。
(2) 数列{an}, {bn}均是公差不为0的等差数列，且，求。
解：(1) ∵ {an}为等比数列，又a1>1,且 , 因此{an}为无穷递缩等比数列，
设 {an}公比为q.∴ , ∴ 1-q=a12,
∵ 0<|q|<1, ∴ 0<|1-a12|<1,
解得：a∈.
(2) 设 {an}公差为d, {bn}公差为d',∴ ,
∵ , na2n=n[a1+(2n-1)d],
∴ .
小结：数列的极限与等差，等比数列的知识的结合是经常考察的问题，尤其要注意对于无穷递缩等比数列的识别，及求和公式的正确运用。
例4．已知数列{an}前n项和为Sn, 此无穷数列对于不小于2的正整数n, 满足1-Sn=an-1-an.
(1) 求a1, a2, a3. (2) 证明{an}为等比数列。
(3) 设，求(b1+b2+……+bn)的值。
解：(1) ∵S2=a1+a2, ∴1-(a1+a2)=a1-a2, 解得:,
∵ S3=a1+a2+a3, 同理解得：, .
(2) <方法1>,由a1,a2,a3推测 (n∈N).
用数学归纳法证明
① 当n=1时，上式成立
②假设当n=k(k≥1, k∈N)时，成立。
欲证当n=k+1时，成立，
∵ 1-Sk+1=ak-ak+1, ∴1-(Sk+ak+1)=ak-ak+1,
∴ 1-Sk=ak...(I)
同理，1-Sk+1=ak+1...(II)
(II)-(I)得：1-Sk+1-(1-Sk)=ak+1-ak -ak+1=ak+1-ak, ∴ 2ak+1=ak,
∴ , ∴ n=k+1时，命题也成立。
由①②对于 n∈N, 均成立。
<方法2> 当n≥2时，1-Sn=an-1-an..①
1-Sn+1=an-an+1...②
①-②得：Sn+1-Sn=an-1-2an+an+1,
∴ an+1=an-1-2an+an+1, ∴ ,
即 ， ∴{an}为等比数列。
(3) ∵
∴ (b1+b2+b3+……+bn)
=
=.
小结：数列，极限，数学归纳法常常将几个知识点综合起来考察，因此需要清理解决问题的方法及知识体系，这是提高能力的关键。
<二> 本周参考练习：
(1) {an}为等比数列，a1=-1，前n项和为Sn, 若，求Sn.
(2) 在数列{an}中，若(2n-1)an=1, 求nan的值。
(3) 数列{an}的前n项和记为Sn，已知an=5Sn-3(n∈N), 求(a1+a3+a5+……+a2n-1)的值。
练习答案：(1) - (2) (3)高三数学基础测试
参考公式：
三角函数的积化和差公式
正棱台、圆台的侧面积公式其中c'、c分别表示上、下底面周长, l表示斜高或母线长
台体的体积公式（S'、S分别表示上、下底面积，h表示高）
一、选择题：本大题30小题，每小题4分，共120分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合M={x|,x,yR}, N={y|y=2x2-3x-2, x,yR}，则M∩N=（ ）。
A、(-∞,-2]∪[0,+∞) B、
C、 D、[-2，0]
2．数轴上三点A、B、C的坐标分别为2、3、5，则点C分有向线段所成的比为（ ）。
A、 B、 C、 D、
3．函数的反函数的图象是（ ）。
4．“存在”是“x∈(-1,0)∪(0,1]”的（ ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充分必要条件 D、既不充分又不必要条件
5．已知函数f(x)是以2为周期的偶函数且x∈(0,1)时，f(x)=x+1,则f(x)在(1,2)上的解析式是（ ）。
A、f(x)=1-x B、f(x)=3-x C、f(x)=x-3 D、f(x)=-x-1
6．下列函数：①y=x·sinx,②, ③, ④ y=-x2+2x+1,x[-2,2]中，其函数图象具有对称性的有（）。
A、①②③ B、①③④ C、②③④ D、①②④
7．直线cos=2关于直线对称的直线的极坐标方程是（ ）。
A、cos=-2 B、sin=-2 C、sin=2 D、=2sin
8．若直线2ax-by+2=0(a,bR)始终平分圆x2+y2+2x-4y+1=0的周长，则a·b的取值范围是（ ）。
A、 B、 C、 D、
9．设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x-2)=-f(x)。给出下列四个结论：
①f(2)=0; ②f(x)是以4为周期的函数；
③f(x)图象关于直线x=0对称；④f(x+2)=f(-x).
其中以上结论正确的是（ ）
A、①③ B、②④ C、①④ D 、①②④
10．已知a、b是空间不同的直线，、是空间不同的平面，则下列条件中不能判定ab的是（ ）。
A、a, b且 B、a, b, //
C、a//, b//, D、a, a, b//
11．已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1，侧棱长为2，E为棱BB1的中点，则异面直线AD1与A1E所成的角的余弦值为（ ）。
A、 B、 C、 D、0
12．若，则的值为（ ）。
A、 B、 C、 D、
13．设函数的图象关于直线对称，它的周期是，则（ ）。
A、f(x)的图象过点 B、f(x)在上是减函数
C、f(x)的一个对称中心是点 D、f(x)的最大值为A
14．在等差数列{an}中，前n项和为Sn, 若S3=15， S6=48，则=（）。
A、1 B、2 C、3 D、4
15．已知，则a、b、c的大小顺序是（ ）。
A、a>b>c B、c>a>b C、b>a>c D、b>c>a
16．在极坐标系中，关于曲线C:的下列判断中正确的是（ ）。
A、曲线C关于直线对称 B、曲线C关于直线对称
C、曲线C关于点(2,对称 D、曲线C关于极点（0，0）对称
17．已知双曲线C：，给出以下四个命题：
(1)双曲线C的渐近线方程是；
(2)直线与双曲线C只有一个交点；
(3)将双曲线向左平移1个单位，并向上平移2个单位可得到双曲线C；
(4) 双曲线C的一个焦点到一条渐近线的距离为3。
其中所有正确命题的序号是（ ）。
A、(1)(4) B、(2)(4) C、(2)(3) D、(3)(4)
18．如果复数z适合|z+2+2i|=|z|，那么|z-1+i|的最小值是（ ）。
A、4 B、 C、2 D、
19．已知F1、F2是椭圆的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A、B两点，在ΔAF1B中，若有两边之和是11，则第三边的长度为（ ）。
A、5 B、4 C、3 D、10
20．如图，半径为2的⊙O切直线MN于点P，射线PK从PN出发绕点P逆时针方向旋转到PM，旋转过程中，PK交⊙O于点Q，设∠POQ为x，弓形PmQ的面积为S=f(x)，那么f(x)的图象大致是（ ）。
21．不等式组有解，则实数a的取值范围是（ ）。
A、(-1,3) B、(-3,1) C、(-∞,-1)∪(3,+∞) D、(-∞,-3)∪(1,+∞)
22．用1、2、3、4、5、6六个数字组成没有重复数字的四位数中，是9的倍数的共有（ ）。
A、360个 B、180个 C、120个 D、24个
23．已知定义在R上的奇函数f(x)是减函数，设a+b≤0，给出下列不等式：
①f(a)·f(-a)≤0; ②f(b)·f(-b)≥0;
③f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b); ④f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).
其中成立的不等式是（）。
A、①和③ B、②和③ C、①和④ D、②和④
24．已知下列命题：
①若直线a//平面，直线b，则a//b;
②若直线a//平面，a平面，∩=b,a在内的射影为a', 则a'//b;
③若直线a⊥直线c，直线b⊥直线c，则直线a//直线b；
④若、、、是不同的平面，且满足∩=a, , , , , 则//
其中正确命题的序号是（ ）。
A、①③ B、②④ C、② D、④
25．在轴截面为直角三角形的圆锥内有一个内接圆柱，已知此圆柱的全面积等于该圆锥的侧面积，则圆锥顶点到圆柱上底面的距离是圆锥母线长的（ ）。
A、 B、 C、 D、
26．抛物线的焦点是F(1,1)，其准线方程是x+y+1=0，那么它的顶点坐标是（ ）。
A、 B、
C、 D、
27．若a,b∈R，则使|a|+|b|>1成立的充分不必要条件是：（ ）。
A、|a+b|>1 B、 C、|a|≥1 D、b>-1
28．拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f(m)=1.06(0.5·[m]+1)（元）决定，其中m>0, [m]是大于或等于m的最小整数，（如[3]=3， [3.8]=4， [3.1]=4），则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的电话费为（ ）。
A、3.71元 B、3.97元 C、4.24元 D、4.77元
29．三人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有（ ）。
A、6种 B、8种 C、10种 D、16种
30．已知函数f(x)=log2(x+1)且a>b>c>0，则的大小关系是（ ）。
A、 B、
C、 D、
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上。
1．已知，、为锐角，则+的值为_____。
2．球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3个点的小圆的周长为4，那么这个球的半径为________。
3．若双曲线的一条准线恰好是圆x2+y2+2x=0的一条切线，则实数b=_____.
4．如图， 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，若G、E分别为BB1、C1D1的中点，点F是正方形ADD1A1的中心，则四边形BGEF在正方体侧面及底面共六个面内的射影图形面积的最大值为_______。
5．有一系列中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆，它们的离心率分别为，(n为正整数)，且都以x=1为准线，则所有这些椭圆的长半轴之和为______。
6．已知数列{an}的通项an=(2n+1)·2n-1,前n项和为Sn, 则Sn=_______.
答案：
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C B B A C A D C
题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
答案 C D C D D A B D A D
题号 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
答案 A D C D C D A C C B
二、填空题：
1. 2. 3. 48 4. 5. 1 6. (2n-1)2n+1
提示与解答：
一、选择题：
1．提示：研究集合之间的关系或作集合运算，首先应研究集合的元素是什么，即研究集合所表达的意义。M表示函数的定义域，N表示函数的值域，不应将函数解析式联立求交点。
3．提示：原函数与反函数的图象关于直线y=x对称。而原函数可变形为的椭圆的一部分，应选C。
4．提示：注意三种说法的区别
{an}等比，前n项和为Sn, 则
5．解：∵ f(x)为周期为2的偶函数，
∴ f(-t)=f(t), f(t+2)=f(t),
当x∈(1,2),f(x)=f(x-2)=f(2-x)(∵2-x∈(0,1)
=2-x+1=3-x.
7．提示：利用极坐标与直角坐标互化是解决这一类问题的基本方法。
8．提示：直线平分圆的周长，即直线过圆心C(-1,2),
∴ 2a×(-1)-b×2+2=0即a+b=1.
∴ ab=a(1-a)=
注意a,b并非均为正，因而不能用均值定理。
9．提示：∵f(-x)=-f(x), f(x)=-f(x-2)
∴ 令x=2, f(2)=-f(2-2)=-f(0),
而f(-x)=-f(x)中令x=0，∴ f(-0)=-f(0)得f(0)=0,
∴ f(2)=0, 命题①正确。
又任取 x∈R,f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x).
∴命题②正确。
又f(x+2)=-f(x)=f(-x)命题③正确。
13．提示：∵, ∴ w=2,
又f(x)图象关于直线对称，∴时，，
， ∴ ，
又，令k=1，∴因而f(x).
f(x)的单调区间及最值受A的符号的影响，经验证应选C。
17．提示：（1）双曲线渐近线方程为。
（3）将双曲线向左平移一个单位，并向上平移两个单位得到的应为。从而应选B。
20．提示：f(x)=2(x-sinx)(0≤x≤2)
当00,
∴ f(x)=2(x-sinx)<2x
当2x, 应选D。
22．提示：当各个数位上的数字之和为9的倍数时，此数能被9整除。其中最小的四个数字之和1+2+3+4=10。最大的四个数字之和为18，因而只有3，4，5，6组成的数符合要求，共种。
23．提示：∵f(x)为奇函数，∴ f(a)·f(-a)=-f2(a)≤0,
又 a≤-b, b≤-a且f(x)在R上单减，
∴ f(a)≥f(-b), f(b)≥f(-a),
∴ f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),应选C。
26．提示：明确圆锥曲线的组成要素之间的关系。抛物线的顶点在过F且垂直x+y+1=0的垂线段的中点。
29．提示：分类
30．提示：本题即考虑的单调性。
而看成曲线f(x)上的点与原点连线的斜率。由图可知，随x的增大，k逐渐减小。
∴ 。
二、填空题
1．解：∵,
∴ 。
又+(0,), ∴.
2．提示：A、B、C任三点球面距离为大圆周长的，则∠AOB=∠BOC=∠AOC=60。
而等边ΔABC的外接圆半径为2，从而可求球半径。
4．提示：应分别计算并作比较。
5．提示：设第n个椭圆的长半轴为an,
∴ ,
而所有椭圆长半轴之和指长半轴之和的极限，
即。
6．解：Sn=3·20+5·21+7·22+9·23……+(2n-1)2n-2+(2n+1)2n-1 ①
2Sn= 3·21+5·22+7·23+…… +(2n-1)2n-1+(2n+1)2n ②
①-②
-Sn=3·20+(2·21+2·22+2·23+……+2·2n-1)-(2n+1)2n
∴ Sn=(2n-1)2n+1.本周授课内容：复习排列与组合
考试内容：两个原理；排列、排列数公式；组合、组合数公式。
考试要求：1）掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析和解决一些简单的问题。
2）理解排列、组合的意义。掌握排列数、组合数的计算公式，并能用它们解决一些简单的问题。
试题安排：一般情况下，排列组合为一道以选择或填空题的形式出现的应用题。有时还另有一道排列、组合与其他内容的综合题（大都与集合、立体几何、不等式证明等相综合）。
重点：两个原理尤其是乘法原理的应用。
难点：不重不漏。
知识要点及典型例题分析：
1．加法原理和乘法原理
两个原理是理解排列与组合的概念，推导排列数及组合数公式；分析和解决排列与组合的应用问题的基本原则和依据；完成一件事共有多少种不同方法，这是两个原理所要回答的共同问题。而两者的区别在于完成一件事可分几类办法和需要分几个步骤。
例1．书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书。
（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？
（2）若从这些书中取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？
（3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法。
解：（1）由于从书架上任取一本书，就可以完成这件事，故应分类，由于有3种书，则分为3类然后依据加法原理，得到的取法种数是：3+5+6=14种。
（2）由于从书架上任取数学书、语文书、英语书各1本，需要分成3个步骤完成，据乘法原理，得到不同的取法种数是：3×5×6=90（种）。
（3）由于从书架上任取不同科目的书两本，可以有3类情况（数语各1本，数英各1本，语英各1本）而在每一类情况中又需分2个步骤才能完成。故应依据加法与乘法两个原理计算出共得到的不同的取法种数是：3×5+3×6+5×6=63（种）。
例2．已知两个集合A={1，2，3}，B={a,b,c,d}，从A到B建立映射，问可建立多少个不同的映射？
分析：首先应明确本题中的“这件事是指映射，何谓映射？即对A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应。”
因A中有3个元素，则必须将这3个元素都在B中找到家，这件事才完成。因此，应分3个步骤，当这三个步骤全进行完，一个映射就被建立了，据乘法原理，共可建立不同的映射数目为：5×5×5=53（种）。
2．排列数与组合数的两个公式
排列数与组合数公式各有两种形式，一是连乘积的形式，这种形式主要用于计算；二是阶乘的形式，这种形式主要用于化简与证明。
连乘积的形式 阶乘形式
Pnm=n(n-1)(n-2)……(n-m+1) =
Cnm=
例3．求证：Pnm+mPnm-1=Pn+1m
证明：左边=
∴ 等式成立。
评述：这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质。
n!(n+1)=(n+1)!.可使变形过程得以简化。
例4．解方程.
解：原方程可化为：
解得x=3.
评述：解由排列数与组合数形式给出的方程时，在脱掉排列数与组合数的符号时，要注意把排列数与组合数定义中的取出元素与被取元素之间的关系以及它们都属自然数的这重要限定写在脱掉符号之前。
3．排列与组合的应用题
历届高考数学试题中，排列与组合部分的试题主要是应用问题。一般都附有某些限制条件；或是限定元素的选择，或是限定元素的位置，这些应用问题的内容和情景是多种多样的而解决它们的方法还是有规律可循的。常用的方法有：一般方法和特殊方法两种。
一般方法有：直接法和间接法
（1）在直接法中又分为两类，若问题可分为互斥各类，据加法原理，可用分类法；若问题考虑先后次序，据乘法原理，可用占位法。
（2）间接法一般用于当问题的反面简单明了，据A∪=I且A∩=的原理，采用排除的方法来获得问题的解决。
特殊方法：
（1）特元特位：优先考虑有特殊要求的元素或位置后，再去考虑其它元素或位置。
（2）捆绑法：某些元素必须在一起的排列，用“捆绑法”，紧密结合粘成小组，组内外分别排列。
（3）插空法：某些元素必须不在一起的分离排列用“插空法”，不需分离的站好实位，在空位上进行排列。
（4）其它方法。
例5．7人排成一行，分别求出符合下列要求的不同排法的种数。
（1）甲排中间；（2）甲不排两端；（3）甲，乙相邻；
（4）甲在乙的左边（不要求相邻）；（5）甲，乙，丙连排；
（6）甲，乙，丙两两不相邻。
解：（1）甲排中间属“特元特位”，优先安置，只有一种站法，其余6人任意排列，故共有：1×=720种不同排法。
（2）甲不排两端，亦属于“特元特位”问题，优先安置甲在中间五个位置上任何一个位置则有种，其余6人可任意排列有种，故共有·=3600种不同排法。
（3）甲、乙相邻，属于“捆绑法”，将甲、乙合为一个“元素”，连同其余5人共6个元素任意排列，再由甲、乙组内排列，故共有·=1400种不同的排法。
（4）甲在乙的左边。考虑在7人排成一行形成的所有排列中：“甲在乙左边”与“甲在乙右边”的排法是一一对应的，在不要求相邻时，各占所有排列的一半，故甲在乙的左边的不同排法共有=2520种。
（5）甲、乙、丙连排，亦属于某些元素必须在一起的排列，利用“捆绑法”，先将甲、乙、丙合为一个“元素”，连同其余4人共5个“元素”任意排列，现由甲、乙、丙交换位置，故共有·=720种不同排法。
（6）甲、乙、丙两两不相邻，属于某些元素必须不在一起的分离排列，用“插空法”，先将甲、乙、丙外的4人排成一行，形成左、右及每两人之间的五个“空”。再将甲、乙、丙插入其中的三个“空”，故共有·=1440种不同的排法。
例6．用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的五位数，分别求出下列各类数的个数：
（1）奇数；（2）5的倍数；（3）比20300大的数；
（4）不含数字0，且1，2不相邻的数。
解：（1）奇数：要得到一个5位数的奇数，分成3步，第一步考虑个位必须是奇数，从1，3，5中选出一个数排列个位的位置上有种；第二步考虑首位不能是0，从余下的不是0的4个数字中任选一个排在首位上有种；第三步：从余下的4个数字中任选3个排在中间的3个数的位置上，由乘法原理共有=388（个）。
（2）5的倍数：按0作不作个位来分类
第一类：0作个位，则有=120。
第二类：0不作个位即5作个位，则=96。
则共有这样的数为：+=216（个）。
（3）比20300大的数的五位数可分为三类：
第一类：3xxxx, 4xxxx, 5xxxx有3个；
第二类：21xxx, 23xxx, 24xxx, 25xxx, 的4个；
第三类：203xx, 204xx, 205xx, 有3个，因此，比20300大的五位数共有：
3+4+3=474（个）。
（4）不含数字0且1，2不相邻的数：分两步完成，第一步将3，4，5三个数字排成一行；第二步将1和2插入四个“空”中的两个位置，故共有=72个不含数字0，且1和2不相邻的五位数。
例7．直线与圆相离，直线上六点A1，A2，A3，A4，A5，A6，圆上四点B1，B2，B3，B4，任两点连成直线，问所得直线最多几条？最少几条？
解：所得直线最多时，即为任意三点都不共线可分为三类：第一类为已知直线上与圆上各取一点连线的直线条数为=24；第二类为圆上任取两点所得的直线条数为=6；第三类为已知直线为1条，则直线最多的条数为N1=++1=31（条）。
所得直线最少时，即重合的直线最多，用排除法减去重合的字数较为方便，而重合的直线即是由圆上取两点连成的直线，排除重复，便是直线最少条数：
N2=N1-2=31-12=19（条）。专题复习：应用题
复习目标：
1．学会审题：题意较难理解是应用题的特点，所以对应用题必须认真仔细反复阅读，弄清题目所反映的实际背景，弄清每一个名词、概念的含义，分析已知条件，明确所求结论，把实际问题转化为数学问题。
2．正确建模与解模：在审题的基础上，联想数学知识和方法恰当地引入参数或适当坐标系，列出满足题意的数学关系式或作出满足题意的几何图形。解模时要特别注意：
（1）所建模型中函数自变量的实际意义。
（2）解模涉及的近似计算要保持一定的精确度。
·应用题的常见类型及对策：
（1）与函数、方程（组）、不等式（组）有关的题型
常涉及物价、路程、产值、环保、土地等实际问题，也常涉及角度、长度、面积、造价、利润等最优化问题。
解决这类问题一般要利用数量关系，列出有关解析式，然后运用函数、方程、不等式有关知识和方法加以解决，尤其对函数最值，均值定理用的较多。
（2）与数列有关的问题
常涉及到产量、产值、繁殖、利息、物价、增长率、植树造林、土地沙化等有关的实际问题。
解决这类问题常构造等差数列、等比数列，利用其公式解决或通过递推归纳得到结论，再利用数列知识求解。
（3）与空间图有关的题型：
常与空间观测、面积、体积、地球的经纬度等问题有关。
解决此类问题常利用立体几何，三角方面的有关知识 。
（4）与直线、圆锥曲线有关的题型
常涉及定位，人造地球卫星，光的折射，反光灯、桥梁等实际问题。
常通过建立直角坐标系，运用解析几何来解决。
（5）与正余弦定理及三角变换有关题型，常涉及实地测量、计算山高、河宽、最大视角等。
（6）与排列组合有关的问题，适用排列组合知识解决。
·典型例题分析：
例1．（1994年全国高考试题，难度：文0.16, 理0.29）
在测量某物理量的过程中，因仪器和观测的误差，使得几次测量分别得到a1,a2,……an共n个数据，我们规定的测量的物理量的“最佳近似值”a是这样的一个量：与其他近似值比较，a与各数据的差的平方和最小，依此规定，从a1,a2,……,an推出的a=____________。
分析：依题意，这里求使f(a)=(a-a1)2+(a-a2)2+……+(a-an)2取最小值时，a的取值。
由于f(a)=na2-2(a1+a2+……+an)a+(+……+), n∈N.
故当a=时，f(a)最小。
评述：本题首先要正确理解题意，并能把文字语言转化成符号语言，还要熟悉有关的数学模型。
例2．某工厂产值连续三年持续增长，这三年的增长率分别为x1,x2,x3,则年平均增长率P=_________。
分析：首先要解决两个问题：什么叫年增长率，什么叫年平均增长率，年增长率是指，三年的年平均增长率不是，如果设去年的产值为a，则今年开始的第三年的产值为a(1+P)3，依题意，今年 （第一年）产值为a(1+x1)，第二年产值为a(1+x1)(1+x2)，第三年的产值为a(1+x1)(1+x2)(1+x3)，所以：
a(1+P)3=a(1+x1)(1+x2)(1+x3)
∴ P=-1.
例3．某电脑用户计划使用不超过500元的奖金购买单价分别为60元，70元的单片软件和盒装磁盒，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（ ）。
A、5种 B、6种 C、7种 D、8种
解析：设软件和磁盘分别为x片，y盒，则解该不定不等式可得：
（3，2），（3，3），（3，4），（4，2），（4，3），（5，2），（6，2）共7种。故选C。
例4．今有一组实验数据如下：
t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12
V 1.5 4.04 7.5 12 18.0
现准备下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的是（ ）
A、V=log2t B、V=t C、V= D、V=2t-2
解析一：描点，作图，观察，图象近似的抛物线上的点，故选C。
解析二：将数据分别代入函数检验，比较时，法（1）可用求出的各个V值与实际表中V值作差求
和。法（2）可用求出的各个V值与实际表中V值作差取绝对值求和。
例5．铁路线上的AB段长100公里，工厂C到铁路的距离CA为20公理，已知铁路每吨公里与公路每吨公里的运费之比为3∶5，为了使原料从供应站B运到工厂C的运费最省，D点应改在何处？
分析：设参数并找出其与总运费y之间的函数关系再求最值取到时D点的位置。
解法一：设总运费为y，铁路每吨公里运费为3k，公路每吨公里运费为5k，其中k
为正常数，设∠ADC=，则AD=20ctg, BD=100-20ctg，CD=，
则y=5k·+3k(100-20ctg) =20k()+300k(k>0, k为常数)
令P= 记 tg=t(t>0)
故 cos=, sin=.
∴P=+4t≥4(t≥0).
当且仅当=4t, t=时，P取最小值4，即 tg=, tg=.
∴ AD=AC ctg=20×=15(公里）
当D点距A为15公里处时运费最低。
解法二：设AD=x, 则BD=100-x, CD=,设总运费为y,
则y=3k(100-x)+5k
=k(300-3x+5)
=k[300+(4-4x)+(+x)]
=k[300++(+x)]
≥k[300+2]
=380k.
当且仅当=+x时取等号。
解此方程，求得=15公里。
即当点D距A为15公里处时运费最低。
解法三：同解法二先得y=3k(100-x)+5k
设-300=t, 则t=-3x+5>0
则 (t+3x)2=25(400+x2)
t2+6xt+9x2=25×400+25x2
16x2-6tx+400×25-t2=0
Δ=36t2-4×16×(400×25-t2)≥0
即t2≥16×400
∵ t>0
∴ t≥4×20=80, ∴ 当且仅当，t=80时，y最小。
此时，x=-==15 ∈(0,100).
即当点D距A为15公里时，运费最低。
例6．已知舰A在舰B的正东，距离6公里，舰C在舰B的北偏西30，距离4公里，它们准备围找海洋动物，某时刻舰A发现动物信号，4秒后，舰B，C同时发现这种信号，A于是发射麻醉炮弹，设舰与动物都是静止的，动物信号的传播速度为1公里/1秒，求舰A炮击的方位角。
分析：求方位角应在水平面内求，所以应建立直角坐标系。
解：为确定海洋动物的位置，首先的直线BA为x轴，线段BA的中垂线为y轴建立直角坐标系（如图），据题设，得B(-3,0), A(3,0), C(-5, 2)且动物P(x,y)在BC的中垂线l上，
∵BC中点M的坐标为(-4,)， kBC=-.
∴ l的方程为y-=(x+4)即：y=(x+7).................①
又∵ |PB|-|PA|=4(公里)
∴ P又在以B，A为焦点的双曲线右支上。
双曲线方程为=1 (x≥2)...............②
由①②消去y得 11x2-56x-256=0，解的x1=-(舍去)， x2=8。
∴ P点坐标为(8,5), 于是tg∠xAP=kAP==,
∴ ∠xAP=60, 故舰A炮击的方位角为北偏东30。
1．4个茶杯和5包茶叶的价格之和小于22元，而6个茶杯与3包茶叶的价格之和大于24元，则2个茶杯和3
包茶叶的价格比较（ ）
A、2个茶杯贵 B、3包茶叶贵 C、二者相同 D、无法确定
2．今有一组实验数据如下：
t 1.99 3.1 4.1 5.1 6.12
v 1.5 4.04 7.5 12 18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（ ）
A、v=log2t B、v=-log2t C、v= D、v=2t-2
3．某书店对学生实行优惠购书活动，规定一次购书
①如不超过20元，则不予优惠；
②如超过20元但不超过50元的按实价给予9折优惠；
③如超过50元，其中50元按第②条给予优惠，超过50元的部分，给予8折优惠。
某学生两次去购书，分别付款16.8元 和42.3元，若他一次购买同样的书，则应付款是（ ）
A、56.04元 B、52.28元 C、51.04元 D、47.28元
4．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程，如下图，纵轴表示离学校
的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合这位学生走法的图形是（）
于
5．甲、乙两人同时从图书馆走向教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步，若
两人步行、跑步的速度一样，则先到教室的是（ ）
A、甲 B、乙 C、甲、乙同时 D、无法确定
答案：A C A D B
解析：
1．设茶杯x元/个，茶叶y元/个，则4x+5y<22.......(1), 6x+3y>24........(2)，原题即比较2x与3y的大小。
由(1)×3得出12x+15y<66，由(2)×(-2)得出-12x-6y<-48，两式相加，消去x，得出y<2，同理可以消去y，得
到x>3，所以2x>6，3y<6，答案选A。
2．代入验证答案，代入t=4.1（代4即可），则A，B差别较大，舍去。代入t=6.12，舍去D，再验证C即可。
3．16.8元是原书价，没有优惠，42.3元是9折优惠后的价格，实际书价42.3÷0.9=47.所以实际书的价格
16.8+47=63.8。一次购买应付款为50×0.9+13.8×0.8=56.04元。
4．首先d应该是越来越小的，所以答案在B，D中，另外学生走过的距离与时间的比等于速度，先快后慢。
直线斜率的相反数表示的就是速度。
5．设总路程2S，跑步的速度V1，步行的速度V2，则t甲=，因为·V1+·V2=2S，所以t乙=，
所以比较与的大小即可，可得出t甲>t乙，即乙先到。
2003年数学高考备考策略的几点建议
广大应试考生经过紧张的一、二模考试，进入了高考复习的最后冲刺阶段，如何调整好心态，制定出合理的备考策略，无疑对高考是至关重要的，据此向广大考生提出以下几点建议：
一、坚持围绕“基础与能力”这个轴心，以“三基”为依托，训练培养使用通则通法分析问题与解决问题的能力。
1．掌握基本的数学知识：以《高考考试说明》中的数学考试内容为依据，对有关概念、性质、定义、公理、公式、法则既要识记理解，更要注重正确灵活地应用。
2．掌握基本的数学方法：配方法、因式分解法、待定系数法、换元法、消去法、坐标法。比较法、参数法、数学归纳法既是基本的数学方法，又是求解问题的常用有效手段。
3．掌握基本的数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、特殊与一般、分析与综合、类比与归纳构成了分析数学问题的基本思维方法，它们是整体上分析求解问题的策略。
4．掌握基本的数学思想方法：函数与方程、数形结合、分类讨论、等价转化的数学思想是高中数学强调的四种数学思想，也是高考考查的侧重点之一。
近年高考将传统的“以知识立意”的命题思想转变为“以能力立意”的命题思路，数学高考命题要发挥数学作为基础学科的作用，既重视考察中学数学知识的掌握程度，又注意考查进入高校继续学习的潜能。因此要求考生在掌握基础知识的前提下，会对问题或资料进行观察、比较 、分析、综合、抽象与概括；会用演绎、归纳和类比进行推理；能准确、清晰、有条理地进行表述的思维能力；会根据法则、公式进行数、式、方程的正确运算及根据要求进行估计和近似计算的运算能力；能根据条件画出正确图形，根据图形想象出直观形象及对图形进行分解、组合与变形的空间想象能力；能阅读、理解对问题进行陈述的材料，能结合所学知识、思想和方法解决实际问题的能力。
二、突出重点内容的复习，注重知识的内在联系。
1．常见函数的定义域、值域、反函数、奇偶性、单调性、周期性、最值、图象变换等知识是函数问题中最重要的内容，它知识联系广泛，具有较强的应用性和综合性。
2．关于不等式，一是要掌握八种常见不等式的一般解法，二是要掌握用比较法、分析法、综合法及反证法求证不等式，三是要掌握利用平均值定理求解最值问题。
3．会根据条件和递推关系式求解数列的通项，能根据定义完成等差、等比数列的证明，掌握用并项法、裂项法及错位相减法求特殊数列的前n项和，利用极限四则运算法则及三个基本极限求解数列的极限。
4．复数的模、辐角及其运算是复数的核心内容，要理解复数运算的几何意义，注重三角变形在复数三角形式中的应用，注意用“数形结合”的思想方法求解复数问题。
5．立体几何中，平行的判定、垂直的判定、空间所成角的大小及距离是立体几何应用的主要四个方面，要熟知相关定理及位置关系转化的一般规律。
6．直线与圆锥曲线的方程及有关性质，曲线与方程的基本思想，是解析几何知识体系的主要内容，直线与圆锥曲线的位置关系是高考试题的主要题型。
7．以现实生活、现代科技、社会热点问题为背景的应用问题是高考热点之一，它意在考查阅读理解能力、获取信息的能力和应用数学方法分析、解决问题的能力。
支撑学科知识体系的重点知识在高考中保持较高比例并达到必要的深度。对学科整体上的考查会在知识网络交汇处设计试题。对数学思想和方法的考查必然与数学知识的考查结合进行。对能力的考查，以思维为核心，以解决实际问题的能力为体现。
三、给合个人学习实际，从大处着眼，从实处着手，有针对性地解决薄弱环节。
1．静下心来，认真的对各章的知识体系作一个回顾，检查是否存在知识上的漏洞。
2．整理综合训练以来在测试中出现的各类错题，真正搞清错误的原因，强化对错题的认识以避免同类错误屡屡发生。
3．对各章知识、方法中的易错点做梳理。例如使用判别式法的条件，公比q对等比数列求和的影响，所求直线是否存在斜率。参数方程消参后是否等价、换元法如何确定新元的取值范围、使用平均值定理求最值时等号是否成立、确定复数的辐角终边是否经过了复数所对应的点、函数解析式的变形是否改变了原函数的定义域等等常见问题，要尽量做到具体化。
4．坚持必要的训练，特别是针对基础知识薄弱环节的训练。提高能力不是一味的做难题，而更要侧重于对知识的理解、对问题的分析。考前对近三、四年的高考试题进行训练，可以从中体验高考的题型、难度、重点、热点。体味用时的安排、答题的节奏与策略，积累考试的经验。
在步入高考的最后阶段，既不可心浮气躁，更不能畏惧不前，多一分踏实、勤奋的努力，就多一分走向成功的把握。以平常心走向考场，正常发挥，取得属于你的好成绩。
肖国友
北 京 四 中
科 目：数 学 年 级：高 三 责 编：辛文升
撰 稿：肖 瑜 编 审：肖国友 录 入：刘红梅
立体几何总复习基础练习
1．两个平面重合的条件是它们的公共部分（ ）。
A、有两个公共点 B、有三个公共点
C、有四个公共点 D、是两条平行直线
2．有下列四个命题：
1）过三点确定一个平面 2）矩形是平面图形 3）三条直线两两相交则确定一个平面 4）两个相交平面把空间分成四个区域
其中错误命题的序号是（ ）。
A、1）和2） B、1）和3） C、2）和4） D、2）和3）
3．两条直线分别与第三条直线异面，则这两条直线的位置关系是（ ）。
A、异面 B、平行 C、相交 D、异面或平行或相交
4．设a、b异面，AB是a,b的公垂线，若l//AB，则l和a,b的交点的总个数是（ ）。
A、1个 B、2个 C、0个或1个 D、1个或2个
5．已知a,b异面，a平面，b平面，∩=c，那么直线c（ ）。
A、同时与a,b相交 B、至少和a,b中的一条相交
C、至多和a,b中的一条相交 D、与a,b中一条相交，一条不相交
6．已知a,b,c是两两互相垂直的异面直线，d是b,c的公垂线，则（ ）。
A、d与a是互不垂直的异面直线 B、d与a是相交直线
C、d与a是平行直线 D、d与a是互相垂直的异面直线
7．已知直线a,b异面，下列判断正确的是（ ）。
A、过b的平面不可能与a平行 B、过b的平面不可能与a垂直
C、过b的平面有且仅有一个与a平行 D、过b的平面有且仅有一个与a垂直
8．下列命题中正确的是（ ）。
A、已知直线a,b, a//b, 则a,b在平面内的射影也是两条平行直线
B、已知直线a,b在外，a,b在内的射影为a', b', 且a'b', 则ab
C、直线a在平面内的射影为a'，直线la', 则la.
D、平面的斜线段AB、BC在内的射影为AB', B'C, 且AB'=B'C，则AB=BC。
9．已知下列四个命题：（1）直线与平面没有公共点，则直线与平面平行
（2）直线上有两个点到平面的距离（不为0）相等，则直线与平面平行
（3）直线与平面上任意一条直线不相交，则直线与平面平行
（4）直线与平面内的无数条直线不相交，则直线与平面平行，其中正确的有（ ）。
A、(1)(2) B、(1)(3) C、(1)(2)(3) D、(1)(2)(3)(4)
10．已知下列四个命题：（1）若直线a与平面斜交，则内不存在与a垂直的直线
（2）若直线a平面，则内不存在与a不垂直的直线
（3）若直线a与平面斜交，则内不存在与a平行的直线
（4）若直线a//平面，则内不存在与a不平行的直线
其中正确的有（ ）。
A、(1)(2) B、(2)(3) C、(1)(3) D、(2)(4)
11．点P在平面ABC内的射影是O，且
①PA、PB、PC两两垂直，那么点O是ΔABC的（ ）。
②PA=PB=PC，那么点O是ΔABC的（ ）。
③面PAB，面PAC，面PBC与面ABC所成角相等，且P不在平面ABC内，那么点O是ΔABC的（ ）。
A、内心 B、外心 C、垂心 D、重心
12．下列命题正确的是（ ）。
A、一直线与一个平面内的无数条直线垂直，则此直线与平面垂直
B、两条异面直线不能同时垂直于一个平面
C、不存在四个面都是直角三角形的四面体
D、若两条斜线段在同一个平面上的射影长相等，则这两条斜线段的长也相等
13．若直线l是平面的斜线，那么在平面内（ ）。
A、不存在与l平行的直线 B、不存在与l垂直的直线
C、与l平行的直线只有一条 D、与l垂直的直线只有一条
14．与空间四点距离相等的平面有（ ）。
A、3个或7个 B、4个或10个 C、4个或无数个 D、7个或无数个
15．、是两个不重合的平面，下列结论中正确的是（ ）。
A、如果直线a，且a//，那么//
B、如果l, m是内的两条直线，且l//, m//, 那么//
C、如果内不共线的三点到的距离相等，那么//
D、如果l, m是两条异面直线，且l//, l//, m//, m//, 那么//。
16．如果//，且夹在两个平面、间的线段AB、CD的长相等，那么直线AB、CD的位置关系是（ ）。
A、异面 B、平行 C、相交 D、以上情况都有可能
17．如果//，它们之间的距离为d，直线a，则与直线a距离为2d, 且在平面内的直线有（ ）。
A、一条 B、两条 C、无数条 D、一条也没有
18．a,b,c是三条不重合直线，、、是三个不重合的平面，现有以下六个命题：
①a//c, b//ca//b ②a//, b//a//b ③c//, c////
④//, //// ⑤a//c, c//a// ⑥a//, //a//
其中正确的命题是（ ）。
A、①③⑥ B、①④⑤ C、①②④ D、①④
19．如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的平面角的大小（ ）。
A、相等 B、互补 C、相等或互补 D、无法确定
20．如果一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的平面角的大小（ ）。
A、相等 B、互补 C、相等或互补 D、无法确定
21．下列命题正确的是（ ）。
A、如果两个平面互相垂直，则分别在这两个面内的直线也互相垂直
B、过平面外的一条直线，有且仅有一个平面与已知平面垂直
C、经过平面外的两点，有且仅有一个平面与已知平面垂直
D、如果两个平行平面中的一个平面与第三个平面垂直，则另一个平面也与第三个平面垂直
22．等于90的二面角-l-内有一点P，过P有PA于点A，PB于点B，如果PA=PB=a, 则P到l的距离为（ ）。
A、2a B、 C、 D、2
23．二面角-AB-的平面角小于90，C是内一点，CD⊥平面于D点，E是AB上任意一点，且CEB是锐角，则CEB与DEB的大小关系是（ ）。
A、CEB>DEB B、CEB=DEB C、CEB24．对于直线m, n和平面、，的充分条件是（ ）。
A、mn, m//, n B、mn, ∩=m, n
C、m//n, n, m D、m//n, m, m
25．在直二面角-AB-的棱AB上取一点P，过P分别在、两个面内作与棱成45的射线，则这两条射线所成的角为（ ）。
A、45 B、60 C、120 D、60或120
26．下列命题中正确的是（ ）。
A、设二面角-l-的平面角为，AB，ABl于A，AC，若BAC=，则必有ACl.
B、一个二面角的两个半平面分别与另一个二面角的两个半平面垂直，则这两个二面角相等或互补
C、设AB'为斜线AB在平面上的射影，AC平面，AB和平面所成角为1，B'AC=2, BAC=, 则cos=cos1cos2(其中1, 2, 均为锐角)
D、若两个平面都与一条直线相交成等角，则这两个平面必平行
27．已知直二面角-l-，直线m，直线n, 且m,n均不与直线l垂直，则（ ）。
A、m,n不可能垂直，但可能平行 B、m,n可能垂直，但不能平行
C、m, n可能垂直，也可能平行 D、m,n不可能垂直，也不能平行
28．给出下列命题：①正棱锥的高和底面边长都缩小为原来的时，它的体积是原来的；②过正n棱锥的高的截面，把锥体分成两部分，则这两部分体积相等；③两个球的体积比是1∶2，则其半径比为1∶；④过圆锥的顶点作它的截面，这些截面的面积都不大于它的轴截面的面积。
其中正确的个数为（ ）。
A、0 B、1 C、2 D、3
29．圆锥的母线长为l,轴截面的顶角为120，则过锥顶的圆锥截面面积的取值范围是（ ）。
A、 B、 C、 D、
30．一个直角梯形，以与两底垂直的腰为轴而形成的圆台的上底面面积、下底面面积和侧面积的比为1∶4∶9，那么圆台的上、下底面半径和高的比是（ ）。
A、1∶2∶ B、1∶2∶2
C、1∶2∶3 D、1∶4∶9
31．侧棱长为4的正四棱锥V-ABCD中，∠AVB=∠BVC=∠CVD=∠DVA=30，过A作截面AEFG与棱分别交于E、F、G点，则截面四边形AEFG的周长的最小值为_________。
32．用一平面去截三棱锥S-ABC，若SA1=SA，SB1=SB，SC1=SC，=1，则多面体ABC-A1B1C1的体积为（ ）。
A、3 B、5 C、7 D、8
33．直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V，又P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且AP=C1Q，则四棱锥B-APQC的体积为（ ）。
A、V B、V C、V D、V
34．斜三棱柱的一个侧面面积为S，且这侧面到它相对棱间的距离是a，则它的体积为________。
35．三棱锥P-ABC中，若PA⊥BC，PA=BC=l, PA、BC公垂线段ED=h, 则VP-ABC=_____。
36．一个四面体的一条棱长为6，其余棱长均为5，则这个四面体的体积为______。
37．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，并且PD=a, PA=PC=a,
(1)求证：PD⊥平面ABCD
(2)求异面直线PB与AC所成的角；
(3)求二面角A-PB-D的大小；
(4)在这个四棱锥中放入一个球，求这个球的最大半径
38．在三棱锥P-ABC中，平面PAC平面ABC，∠APC=∠ACB=90，∠CAB=30，PA=PC=1。
（1）求证：平面PAB⊥平面PBC。
（2）求点B到平面APC的距离及点P到平面ABC的距离；
（3）求二面角P-AB-C的平面角的正切值
39．正方体中ABCD-A1B1C1D1，E、F分别是AA1、CC1的中点，求A1到平面D1EBF的距离。
40．四棱锥P-ABCD，底面边长为a的菱形，ABC=120，PC面ABCD，PC=a，E为PA中点；
1）求证：面EBD面ABCD；
2）求E到面PBC距离；
3）求二面角A-BE-D的正切值。
答案：
1.D 2.B 3.D 4.C 5.B 6.C 7.C 8.D 9.B 10.B 11.CBA 12.B 13.A
14.D 15.D 16.D 17.B 18. D 19.C 20.D 21.D 22.C 23. A 24.C 25.D 26.C 27.A 28.A 29. C 30. B
31. 12 32.C 33.B
34. Sa 35.l2h 36. 37. 2) 90 3) 60 4)a
38. 2) 3) 2 39. a 40. 2)a 3)
参考解答：
4．考察异面直线的公垂线段的概念。
7．（D）不正确，因为若过b的平面有且仅有一个与a垂直，则a,b一定互相垂直，而题目中无此前提条件。
8．考察对三垂线定理及逆定理的理解等。
A、a,b在平面上的射影可能是两条平行直线，一条直线或两个点。
C、缺少l这个条件
D、强调了从同一个点B'引出的两条斜线段AB', B'C，因而正确。
9．命题（1）为线面平行的定义，正确。
命题（2）中的直线有可能与平面斜交，不正确。
11．①∵PA⊥面PBC， ∴ PA⊥BC，
∵ PA在平面ABC上的射影为AO，
∴ AO⊥BC， 同理BO⊥AC，CO⊥AB， ∴ O为ΔABC的垂心。
②∵PA=PB=PC，∴ AO=BO=CO，∴ O为ΔABC的外心。
③ 过P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，PG⊥AC于G，
∵ PE，PF，PG在ΔABC上的射影为OE，OF，OG，
∴ OE⊥AB， OF⊥BC，OG⊥AC，
∴∠PEO，∠PFO，∠PGO分别为各侧面与底面所成二面角的平面角，
∴∠PEO=∠PFO=∠PGO，可证OE=OG=OF，
∴ O为ΔABC的内心。
12．C．如图，PA⊥面ABC，AB⊥BC，则四面体P-ABC为所求。
D.必须强调“从同一点出发的两条斜线段”，才有此结论。
14．当四点共面时，所求平面有无数个，当四点不共面时，所求平面或者如右图①所示，E、F、G为所在棱中点，则面EFG为所求，有四个这样的平面；或者如右图②所示，E、F、G、H为所在棱中点，则面EFGH为所求，有三个这样的平面。
综上，本题选D。
17．注意内的直线b若与a异面，则a,b之间的距离只能为d，因而a//b，这样的直线有两条。
18．注意对定理的条件，定理的叙述的准确把握。
20．选D。若这两个二面角的棱互相平行，则它们相等或互补。
26．A，当=90时，AC与l之间不须垂直。
27．m,n可能平行，下面证m,n不垂直，
假设m⊥n, 在n上取一点P，过P作PM⊥l于M。
∵， PMl于M，PM，
∴ PM， ∴ PMm，
又nm, ∴ mml与已知矛盾，
∴m, n不可能垂直。
29．当圆锥的轴截面顶角小于等于90时，过圆锥顶点的截面中，轴截面面积最大。
当圆锥的轴截面顶角大于90时，过圆锥顶点的截面中，截得的两条母线互相垂直时截面面积最大。
31．利用侧面展开图展成一个平面图形即可。
32．在体积的计算中，经常会用到转换顶点和底面的方法。
∴ 。
33．利用割补的办法求体积。
VB-APQC=
=()
=(V-V)=V.
35.方法同上题，∵ PA⊥面EBC，
∴ VP-ABC=VP-EBC+VA-EBC
=SΔEBC·PE+SΔEBC·AE
=SΔEBC·（PE+AE）=×BC×ED×PA=l2h.
36．如图AB=6，其余棱长为5，取AB中点E，则可证AB⊥面ECD，以下同上题做法。
37．4）所求球必与四棱锥内切，球心到各面的距离均为球半径R，从而可利用体积求解。
39．（法一），∵A1C1//EF，∴ A1C1//面D1EBF，
∴ A1到面D1EBF的距离等于O到面D1EBF的距离，
∵ A1C1⊥面BB1D1，
EF//A1C1，
∴ EF⊥面BB1D1，过O作OH⊥BD1于H， 又OH⊥EF，
∴ OH⊥面D1EBF， ∴ OH的长即为的求（以下略）。
（法二）A1到面D1EBF的距离即为A1到面EBF的距离，也即为三棱锥A1-EBF的高h,
∵
·h=·a
∴ h=a.三角函数
教学目标:进一步强调三角函数知识，方法体系
重点难点:（1）三角公式的综合应用，化简，求值及证明；（2）三角形中有关问题；
（3）三角函数的性质的应用
典型题目
例1．求下列各函数的值域
(1) y=sin(cosx) (2)y=cos2x-cosx (3)y=arcsin(cosx)
(4)
解:(1) 函数的定义域为R，令u=cosx, x∈R，则y=sinu,
∵ x∈R, ∴ u∈[-1,1]，而y=sinu在[-1，1]上单调递增，∴y∈[-sin1,sin1].
(2)函数的定义域为R，令u=cosx(x∈R), 则y=u2-u,
∵x∈R ∴ u∈[-1,1], 而y=u2-u的对称轴为，
， ∴ .
(3)函数的定义域为R，令u=cosx(x∈R),则y=arcsinu,
∵ x∈R, ∴ u∈[-1,1], ∴ .
(4)函数的定义域为
∵
∵， ∴ ,，
∴ , ∴ y∈[-2,1].
小结:三角函数的值域问题，一般有三种处理途径:
一是用三角变形为y=Asin(x+)+B型，利用sin(x+)的值域处理如例1（4）；
二是用换元法转化为代数函数，再用代数函数求最值的不同方法处理，如例1（2）；
三是用复合规律分好内外层函数，再用各层函数处理，如例1①③.
在各种处理方法中，一定要注意函数的定义域.
例2．函数sinx是（ ）.
A、周期为2的奇函数； B、周期为2的偶函数；
C、周期为的奇函数； D、周期为的偶函数
解:∵sinx，∴ ,
∴ ,
∴ 函数f(x)的定义域D为，可知其关于原点对称.
又 sinx
其图象如下:
∴ 选A.
小结:处理三角函数的周期，一般（一）需先把函数解析式化简为Asin(x+)，Acos(x+), Atg(x+)或Actg(x+)的形式，然后再利用周期公式求周期；或（二）利用函数图象求周期.
在应用上述各法处理周期问题时，应注意函数的定义域，否则易错，如例2，若不考虑定义域，则可能错选C.
例3．（1）已知函数f(x)=Asin(x+)(A0, >0, )的图象关于对称，且周期为，则:
A、f(x)的图象过点； B、f(x)在上为减函数；
C、f(x)的一个对称中心为 D、f(x)的最大值为A.
（2）已知函数f(x)=tg(2x+)的图象的一个对称中心是，则绝对值最小的的值为:
A、 B、 C、 D、
解:（1）∵ T=， ∴ ，∴ =2,
又∵f(x)=Asin(2x+)的图象关于对称，
∴ 又A0，
∴ ， ∴ ，
∴ ， 又∵ ，∴ k=1, ,∴ ,
∵A0决定了单调区间，最值，过的定点，但不影响对称中心，故选C.
（2）∵ f(x)=tg(2x+)的图象的一个对称中心为，
∴ 当时，tg(2x+)=0或无意义
即 或无意义 ∴
∴
∵ ||最小的是所求，∴ k=-1, , 故选B.
小结:y=sinx图象的对称轴为，对称中心为(k,0)(kZ);
y=cosx图象的对称轴为x=k(kZ),对称中心为(kZ)；
y=ctgx及y=tgx的图象的对称中心为.
在处理图象的对称中心问题时，注意不在图象上的对称中心是易错点，如例3（2）易忘选B，错选D.
例4．求值:.
解:
小结:化简，求值问题，一般的想法是合并同类项，约分消项(a-a,)或找特殊角的三角函数值，常用技巧是化同角，化同名（切割化弦），降次，运算形式间的互化即:和差化积，积化和差等.如例4，观察角间的关系，7，15，8，而15=7+8，则可建立它们的联系，把7=15-8，再注意名的关系，则可以消项，之后可分约分，15又是30的半角，则可以选公式求值了.
例5．已知
①化简f(x);②若，且，求f(x)的值；
解:①分析:注意此处角，名的关系，所以切化弦化同角，2x化x，化同角.
②求f(x)即求sinx,此处未知角x，已知角，而，∴可把x化成已知.
∵, ∴ ,
∴ ,
∴
∴ .
小结:在处理三角函数的求值及由值出角时，要注意角的范围；在求值问题中，也要注意角间的相互关系.
例6．已知ΔABC的三个内角A、B、C成等差数列，且A解:（1）法1，∵tgA·tgC,∴ ，
即
∴
∵A+B+C=180 且2B=A+C， ∴B=60，
A+C=120， ∴，
∴
∴
∵A<60∴ -120法2:∵A+B+C=180， 2B=A+C， ∴B=60， A+C=120，
∴ 又
∴ ∴
又 且0∴ tgA=1, ,
∴ A=45, ∴ C=120-45=75
(2) 由正弦定理:， ∴ ，
∴ SΔABC
小结:三角形中存在的各种关系①A+B+C= ②正余弦定理 ③各种面积公式；常见问题有化简，求值，证明及三角形形状的判定，要注意入手公式的选择，并注意由三角函数关系出角关系时，角的范围的影响.
课外练习
1．在直角三角形中，两锐角为A和B，则sinA·sinB为（ ）.
A、有最大值和最小值0
B、有最大值，但无最小值
C、既无最大值，也无最小值
D、有最大值1，但无最小值
2．函数的值域为（ ）.
A、 B、 C、 D、
3．函数y=sinx+cosx+2的最小值为（ ）.
A、 B、 C、0 D、1
4．函数y=cos2x-3cosx+2的最小值是（ ）.
A、2 B、0 C、 D、6
5．如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线对称，那么a=（ ）.
A、 B、 C、1 D、-1
6．函数的图象的一条对称轴方程为（ ）.
A、 B、 C、 D、x=
7．已知集合E={|cosA、 B、 C、 D、
8．使arcsinx>arccosx成立的x的取值范围是（ ）.
A、 B、 C、 D、[-1,0)
9．设是第二象限角，则必有（ ）.
A、 B、 C、 D、
10．设，是一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中不正确的是（ ）.
A、tantan<1 B、
C、cos+cos>1 D、
11．已知点P(sin-cos, tan)在第一象限，则在[0，2]内的取值范围是（ ）.
A、 B、 C、 D、
12．已知是第三象限角，并且，则=（ ）.
A、 B、 C、 D、
13．方程在区间[0，2）上解的个数是（ ）.
A、5 B、4 C、3 D、2
14．若，则等于（ ）.
A、 B、 C、 D、
15．函数的最小正周期是（ ）.
A、 B、 C、2 D、4
16．下列命题中正确的命题是（ ）.
A、若点P(a, 2a)(a0)为角终边上一点，则.
B、同时满足的角有且只有一个
C、当||<1时，tan(arcsin)的值恒正
D、三角方程的解集为{x|x=k, kZ}
17．已知，求tg(-2).
参考答案:
1.B 2.B 3.A 4.B 5.D 6.B 7.A 8.B
9.B 10.D 11.B 12.D 13.B 14.A 15.B 16.D
17. ∵ ∴ , ∴ ,
又, ∴ , ∴ ,
∴ .本周复习重点：函数问题专题，主要帮助学生整理函数基本知识，解决函数问题的基本方法体系，函数问题中的易错点，并提高学生灵活解决综合函数问题的能力。
本周复习难点：树立数形结合的思想，函数方程的思想解决有关问题。
本周主要内容：
（一）基本问题
1.定义域 2.对应法则 3.值域
4.图象问题 5.单调性 6.奇偶性（对称性）
7.周期性 8.反函数 9.函数值比大小
10.分段函数 11. 函数方程及不等式
（二）基本问题中的易错点及基本方法
1．集合与映射
<1>认清集合中的代表元素
<2>有关集合运算中，辨清：子集，真子集，非空真子集的区别。还应注意空集的情形，验算端点。
2．关于定义域
<1>复合函数的定义域，限制条件要找全。
<2>应用问题实际意义。
<3>求值域，研究函数性质（周期性，单调性，奇偶性）时要首先考察定义域。
<4>方程，不等式问题先确定定义域。
3．关于对应法则
注：<1>分段函数，不同区间上对应法则不同
<2>联系函数性质求解析式
4．值域问题
基本方法：<1>化为基本函数——换元（新元范围）。化为二次函数，三角函数，……并结合函数单调性，结合函数图象，求值域。
<2>均值不等式：——形如和，积，及形式。注意识别及应用条件。
<3>几何背景：——解析几何如斜率，曲线间位置关系等等。
易错点：<1>考察定义域
<2>均值不等式使用条件
5．函数的奇偶性，单调性，周期性。
关注问题：<1>判定时，先考察定义域。
<2>用定义证明单调性时，最好是证哪个区间上的单调性，在哪个区间上任取x1及x2。
<3>求复合函数单调区间问题，内、外层函数单调区间及定义域，有时需分类讨论。
<4>由周期性及奇偶性（对称性）求函数解析式。
<5>“奇偶性”+“关于直线x=k”对称，求出函数周期。
6．比大小问题
基本方法：<1>粗分。如以“0”，“1”，“-1”等为分界点。
<2>搭桥 <3>结合单调性，数形结合
<4>比差、比商 <5>利用函数图象的凸凹性。
7．函数的图象
<1>基本函数图象
<2>图象变换 ①平移 ②对称（取绝对值） ③放缩
易错点：复合变换时，有两种变换顺序不能交换。如下：
取绝对值（对称）与平移
例：由图象，经过如何变换可得下列函数图象？
<1> <2>
分析：<1>
<2>
评述：要由得到只能按上述顺序变换，两顺序不能交换。
平移与关于y=x对称变换
例：y=f(x+3)的反函数与y=f-1(x+3)是否相同？
分析：①的反函数。
②
∴两个函数不是同一个函数（也可以用具体函数去验证。）
（三）本周例题：
例1．判断函数的奇偶性及周期性。
分析：<1>定义域：
∴ f(x)定义域关于原点对称，如图：
又
∴ f(-x)=-f(x),
∴ f(x)周期的奇函数。
评述：研究性质时关注定义域。
例2．<1>设f(x)定义在R上的偶函数，且，又当x∈[-3,-2]时，f(x)=2x，求f(113.5)的值。
<2>已知f(x)是以2为周期的偶函数，且当x∈(0,1)时，f(x)=x+1.求f(x)在(1,2)上的解析式。
解：<1>∵
∴ ， ∴ f(x)周期T=6，
∴ f(113.5)=f(619-0.5)=f(-0.5).
当x∈(-1,0)时，x+3∈(2,3).
∵ x∈(2,3)时，f(x)=f(-x)=2x.
∴ f(x+3)=-2(x+3).
∴ ,
∴ .
<2>（法1）（从解析式入手）
∵ x∈(1,2), 则-x∈(-2,-1),
∴ 2-x∈(0,1), ∵ T=2.
∵ f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x+1=3-x.
∴ f(x)=3-x, x∈(1,2).
小结：由奇偶性结合周期性，将要求区间上问题转化为已知解析式的区间上。
（法2）（图象）
f(x)=f(x+2)
如图：x∈(0,1), f(x)=x+1.
x∈(-1,0)→f(x)=-x+1.
x∈(1,2)→f(x)=-(x-2)+1=3-x.
注：从图象入手也可解决，且较直观。
例3．<1>若x∈(1,2)时，不等式(x-1)2<2>已知二次函数f(x)=x2+ax+5对任意t都有f(t)=f(-4-t)，且在闭区间Z[m,0]上有最大值5，最小值1，求m的取值范围。
分析：<1>设 y1=(x-1)2, y2=logax
x∈(1,2)，即x∈(1,2）时，曲线y1在y2的下方，如图：
∴ a=2时，x∈(1,2)也成立，∴a∈(1,2].
小结：①数形结合 ②变化的观点
③注意边界点，a=2，x取不到2， ∴仍成立。
<2>∵f(t)=f(-4-t), ∴ f(-2+t)=f(-2-t)
∴ f(x)图象关于x=-2对称， ∴ a=4, ∴ f(x)=x2+4x+5.
∴ f(x)=(x+2)2+1, 动区间：[m,0],
∵ x∈[m,0], [f(x)]max=5, [f(x)]min=1,
∴ m∈[-4,0].
小结：函数问题，充分利用数形结合的思想，并应用运动变化的观点研究问题。如二次函数问题中常见问题，定函数动区间及动函数和定区间，但两类问题若涉及函数最值，必然要考虑函数的单调区间，而二次函数的单调性研究关键在于其图象对称轴的位置。以发展的眼光看，还可解决一类动直线定曲线相关问题。
例4．已知函数
(I)判定f(x)在x∈(-∞,-5)上的单调性，并证明。
(II)设g(x)=1+loga(x-3)，若方程f(x)=g(x)有实根，求a的取值范围。
分析：(I)任取x1则：,
∵ (x1-5)(x2+5)-(x1+5)(x2-5)=10(x1-x2)<0
又 (x1-5)(x2+5)>0 且(x1+5)(x2-5)>0
,
∴ 当a>1时，f(x1)-f(x2)<0, ∴ f(x)单调递增，
当00,∴f(x)单调递减。
(II)若f(x)=g(x)有实根，即：。
∴
∴ 即方程：有大于5的实根。
（法1） （∵ x>5）
∴ .
（法2）（实根分布）(1)有大于5的实根，
方程(1)化为：ax2+(2a-1)x-15a+5=0.
∵ a>0, ∴Δ=64a2-24a+1≥0.
①有一根大于5 .
②两根均大于.
小结：实根分布即利用二次函数图象及不等式组解决问题。用此数形结合方法解决问题时，具体步骤为：①二次函数图象开口方向。②图象对称轴的位置。③图象与x轴交点。④端点函数值的符号。此题(2)中，也可以用韦达定理解决。
本周小结：
函数部分是高考考察重点内容，应当对其予以充分的重视，并配备必要例题，理顺基本方法体系。
本周练习：
已知f(x)是定义在[-1，1]上的奇函数，且f(1)=1,若m,n∈[-1,1]，m+n≠0时,有。
<1>用定义证明f(x)在[-1，1]上是增函数。
<2>若f(x)≤t2-2at+1对所有x∈[-1,1]，a∈[-1,1]恒成立，求实数t的取值范围。
参考答案：
(2)|t|≥2或t=0.圆锥曲线的基本问题
一、圆锥曲线的方程，参数之间的关系的问题.
1．椭圆(a>b>0)的左焦点F到过顶点A(-a, 0), B(0,b)的直线的距离等于，则椭圆的离心率为（ ）.
A、 B、 C、 D、
分析:本题条件不易用平面几何知识转化，因而过A、B的方程为，左焦点F(-c,0)，则，化简，得5a2-14ac+8c2=0 得或（舍），
∴ 选A.
小结:应熟悉各方程的标准形式及各参数之间的关系和几何意义.若题面改为“双曲线(a>b>0)”，则由“a>b>0”这个隐含条件可知离心率e的范围限制，即a>b>0,∴ a2>b2, ∴a2>c2-a2 从而.
2．若双曲线的渐近线方程为，则其离心率为（ ）.
A、 B、 C、 D、
分析:当双曲线方程为时，其渐近线为,当双曲线方程为时，其渐近线为，从而本题对应 或，选D.
3．若表示焦点在y轴上的双曲线，则它的半焦距的取值范围是（ ）.
A、（1，+） B、（0，1） C、（1，2） D、与k有关
分析:首先应把方程标准化，方程可化为:
∴ ， ∴ k>2 c2=a2+b2=k-1+k-2=2k-3>2×2-3=1
∴ c>1，选A.
4．抛物线y2-2by+b2+4m-mx=0的准线与双曲线的右准线重合，则m的值为______.
分析:首先将方程化为标准方程(y-b)2=m(x-4)
而双曲线的右准线为x=3, 抛物线顶点（4，b）在x=3的右侧，
∴ 抛物线开口向右，m>0, 2p=m,∴ 焦准距（焦参数）,∴m=4.
5．以3x-4y-2=0, 3x+4y-10=0为渐近线，以5y+4=0为一条准线的双曲线方程为_____.
分析:注意两条渐近线的交点，或一条渐近线和一条对称轴的交点都是双曲线的中心.
，中心为（2，1），从而准线为下准线，焦点在平行于y轴的直线上，从而，中心与准线相矩……①,渐近线斜率为……②
联立①②，得a=3, b=4, c=5.方程为.
6．若椭圆(a>b>0)与圆相交，则椭圆的离心率的取值范围为_______.
分析:圆锥曲线间的位置关系不能用联立方程，用判别式判定，一般来说应结合图形分析.
由图可知圆半径r满足 b∴ , 解得.
7．若双曲线与圆x2+y2=1无公共点则k∈______.
分析:同上题用数形结合的方法知或.
二、利用曲线定义求解的问题
1．双曲线的虚轴长为4，离心率，F1、F2分别是它的左，右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且|AB|是|AF2|与|BF2|的等差中项，则|AB|为（ ）.
A、 B、 C、 D、8
分析:利用双曲线定义， ∵ AB在左支上，∴|AF2|-|AF1|=2a,
|BF2|-|BF1|=2a ∴ |AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=4a,
又∵ 2|AB|=|AF2|+|BF2|, |AF1|+|BF1|=|AB|
∴ 2|AB|-|AB|=4a. |AB|=4a,而 得， ∴ ，选A.
2．设F1、F2为椭圆两焦点，点P是以F1，F2为直径的圆与椭圆的一个交点，若∠PF1F2=5∠PF2F1，则椭圆离心率为（ ）.
A、 B、 C、 D、
分析:P在以F1F2为直径的圆上，则∠F1PF2=90，
而∠PF1F2=5PF2F1，∴ ∠PF1F2=75， ∠PF2F1=15，∴ ，
，而|PF2|+|PF2|=2a,∴ .
3．F1、F2为椭圆两个焦点，Q为椭圆上任一点，以任一焦点作∠F1QF2的外角平分线的垂线，垂足为P，则P点轨迹为（ ）.
A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线
分析:延长F2P交F1Q的延长线为M，由椭圆定义及角平分线，
∵ ∴ |F1Q|+|MQ|=|F1M|=2a,则点M(x0,y0)的轨迹方程为......① 设P点坐标(x, y), ∵ P为F2M中点，
∴ ，代入①，得 (2x-c+c)2+(2y)2=4a2, ∴ x2+y2=a2, 选A.
4．双曲线的左支上一点P，⊙O'为ΔPF1F2的内切圆，则圆心O'的横坐标为（ ）.
A、a B、-a C、 D、
分析:设PF1，PF2，F1F2与内切圆⊙O'的切点分别为M，N，Q，由双曲线定义，
∵ |PF2|-|PF1|=2a, ∴ |PN|+|NF2|-(|PM|+|MF1|)=2a,
而 |DN|=|PM| ，|MF1|=|QF1|, |NF2|=|QF2|
∴ |QF2|-|QF1|=2a 又 |QF2|+|QF1|=2c,∴ |QF2|=a+c=c-xQ, ∴ xQ=-a,
∵O'Q⊥F1F2, ∴xQ'=xQ=-a， 选B.
三、求曲线方程
1．待定系数法
例:已知椭圆D:与圆:x2+(y-m)2=9(m∈R)，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切.
1）当m=5时，求双曲线G的方程.
2）当m取何值时，双曲线的两条准线间的距离为1.
解:1）椭圆D的两个焦点F1(-5,0),F2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c=5.
设双曲线G的方程为∴ 渐近线为bx±ay=0且a2+b2=25,
m=5时，圆心M(0,5), r=3.∴ , 得 a=3, b=4， ∴G方程为.
2）双曲线两准线间距离为， ∴ ，
∵ G的渐近线与M相切， ∴ ，∴ .
2．相关点求轨迹法（代入法）
例:设抛物线过定点A（0，2），且以x轴为准线求抛物线顶点M的轨迹C的方程.
分析:A（0，2）在抛物线上，体现为
①A（0，2）的坐标满足曲线方程
②A（0，2）满足曲线定义
在本题中以方式②为佳，设M(x, y)，焦点F(x0, y0),
∵ |AF|=，∴ ， ∴ ......①
而， ∴ 代入①
∴ x2+(2y-2)2=4, 且 y≠0.
3．直接法（直接到方程化简）
例:设点O为原点，点M在直线l: x=-p(p>0)上移动，动点N在线段MO的延长线上，且满足|MN|=|MO|·|NO|. 求动点N的轨迹方程.
解:设N坐标为(x, y)，过N作NN'⊥x轴于N',
∵ M，O，N共线，
∴ ，
由已知 |MN|=|MO|·|NO|
∴
∴ 所求方程为(p2-1)x2+p2y2-2px-p2=0(x>0)
4．直接法（直接利用曲线定义）
例:如图，直线l1, l2相交于M，l1⊥l2，点N∈l1, 以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等，若ΔAMN为锐角Δ，， |AN|=3，|BN|=6，建立适当坐标系，求曲线段C的方程.
分析:以l1为x轴，以MN的中垂线为y轴建立直角坐标系，如图.
由题意，曲线段C是以N为焦点，以l2为准线的抛物线的一部分，
其中A、B分别为C的端点.
由已知条件，可求方程为y2=8x(1≤x≤4, y>0)（过程略）
5．交轨法
例:抛物线y2=2px(p>0)，O为坐标原点，A、B在抛物线上，且OA⊥OB，过O作OP⊥AB交AB于P，求P点轨迹方程.
解:设OA=y=kx, 则，
得 同理 B(2pk2, -2pk)
AB:
....①
而op: .....②
∵ P为AB与OP的交点，联立①② (1)×(2)消去k,
y2=-(x-2p)x, ∴ x2+y2-2px=0(x≠0)
即为所求.
四、直线与圆锥曲线的位置关系
1．过点（2，4）作直线与抛物线y2=8x只有一个公共点，这样的直线有（ ）.
A、一条 B、两条 C、三条 D、四条
分析:首先注意点（2，4）在抛物线上，其次只有一个公共点，包括直线平行于抛物线的对称轴，与抛物线交于一点，因而选B.
2．直线y:kx+1与椭圆恒有公共点，则m的取值范围是（ ）.
A、m≥1且m≠5 B、m≥1
C、m≠5 D、m≤5
分析:直线与椭圆恒有公共点联立方程Δ恒大于等于0，
由Δ≥0恒成立可得 m≥1-5k2恒成立，∴ m≥(1-5k2)max, ∴m≥1且m≠5，选A.
3．直线l: 与曲线x2-y2=1(x>0)相交于A，B两点，则直线l的倾角为（ ）.
A、[0，） B、 Ｃ、 Ｄ、
分析:直线与双曲线右支交于两点，不能仅仅用Δ判定，
x2-k2(x2-x+2)=1 (1-k2)x2+k2x-2k2-1=0
∴ ∴ k>1 或 k<-1. ∴ 倾角，选B.
4．在抛物线y2=4x上恒有两点关于y=kx+3对称，求k范围.
解:设B、C关于直线y=kx+3对称，则BC方程为x=-ky+m,
代入 y2=4x 得 y2+4ky-4m=0 设B(x, y), C(x2, y2), BC中点M(x0, y0),
∴ , x0=2k2+m,
∵ M(x0, y0)在l上，∴ -2k=k(2k2+m)+3
∴ , 又BC与抛物线交于两点，
∴Δ=16k2+16m>0, 即， 解得-1