2006年高考按知识点分类归纳[下学期]

透视高考中立体几何的考查
广东省中山市东升高中 高建彪
在近年高考中，立体几何的考查形式为1～2道选择或填空，1道大题，我们复习的重点应当放在对大题的训练上. 立几大题的考查角度主要是两个方面，角度与距离的计算，垂直与平行的证明. 下面以2005年的春季高考题进行浅析.
例1.（05年春季高考北京卷.理16）如图，正三角形ABC的边长为3，过其中心G作BC边的平行线，分别交AB、AC于、. 将沿折起到的位置，使点在平面上的射影恰是线段BC的中点M. 求：
（1）二面角的大小；
（2）异面直线与所成角的大小（用反三角函数表示）.
点评：立体几何的计算，需要我们走好三步：作（作出所求角度或距离）→证（简单证明所作为所求）→求（解直角三角形或斜三角形）.这里求二面角时，牢牢抓住二面角的平面角的定义（两线垂棱），找出其平面角，再解直角三角形；求两异面直线所成角时，由“平移法”作出所求角，最后由余弦定理求出，各条线段的计算，充分体现了立几计算中要抓住各线段之间的关系. 三角形的重心定理（三中线的交点，分中线为2:1），点在平面的射影转化为线面垂直，翻折问题的变与不变等，都是此题求解的奠基石.
例2.（05年春季高考上海卷.19）已知正三棱锥的体积为，侧面与底面所成的二面角的大小为.
（1）证明：；
（2）求底面中心到侧面的距离.
点评：立体几何中的证明，我们要牢牢抓住“转化”这一武器，线与线、线与面、面与面之间的垂直与平行，都可互相转化，转化的理论依据是这三种平行与垂直的判定定理、性质定理等. 此题的证明，就是由线线垂直转化为线面垂直，再转化为线线垂直而得到结论. 求点面的距离，先过点作线的垂线证得为平面的垂线，然后一系列的解三角形，最后运用锥体的体积公式解方程而得.
小结语：高考中对立体几何的考查，主要是通过一道大题综合一些知识点，第一问简单易解，第二问有些坡度，但也不会过难. 我们要相信自己，通过一些训练，掌握角度与距离的计算方法，平行与垂直的证明思路，形成空间想象能力与解题的技能技巧，轻车熟路地解答立体几何的问题.
（本文适合高一、高二、高三学生阅读） （写于2005年2月16日）
答案：例1. 60°，， 例2. 3.
如何解答广东高考立体几何大题
广东省中山市东升高中 高建彪
广东高考连续几年实行单独命题，在广东省范围内，高二（下）数学教材统一使用的是人教版高二(下)B，其内容含空间向量，所以在立体几何命题上，也趋向于立体几何题用向量解较为简单. 立体几何的大题，命题规律如何，怎样解答最为简单，下面我们以近两年的广东高考数学卷的立体几何大题进行分析.
例1.（04年广东卷.18题）如右下图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB= 4, AD =3, AA1= 2. E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1.
(1) 求二面角C—DE—C1的正切值;
(2) 求直线EC1与FD1所成的余弦值.
【解法一】
点评：用向量方法解决二面角问题时，找出两个与二面角的半平面垂直的向量，即法向量，利用法向量的夹角与二面角的平面角相等或互补. 此题中一个半平面的法向量容易找出，而另一个半平面的法向量，用巧设的办法，然后由向量的垂直求出. 用向量方法求两直线的夹角较为简单，利用公式即可.
【解法二】
点评：立体几何中的计算，常用“作→证→求”三步，即作出所求的角度或距离，简单进行推证“谁为所求”，最后常用“解三角形”求角度或距离. 在此，几何方法求二面角较简单. 解法中，还用到了“等面积法”与“平移法”。
例2.（03年广东卷.17题）已知正四棱柱，，，点E为中点, 点F为中点.
（Ⅰ）证明为与的公垂线；
（Ⅱ）求点到面的距离.
点评：用向量方法简单的证明了垂直问题.用等体积的方法简单地求解了点面距离，其中也包含了等价转化的思想方法.向量法与几何法的有机结合，使解答过程最为简单.
小结语：比较近两年广东卷立体几何大题的解法，可以看出，有时用几何方法容易求解，有时用向量方法容易求解，由此告诫我们解题时，一定要注意选择最恰当的方法.特别是求线线角或证垂直时，我们可以优先考虑用向量方法解答.对于广东省高考的立几大题，我们要善于有机结合“向量法”与“几何法”求解. （写于2005年1月28日）
答案：例1. ，; 例2.
2004年高考卷归类练习（立几大题）
例1.（05年春季高考北京卷.理16）如图，正三角形ABC的边长为3，过其中心G作BC边的平行线，分别交AB、AC于、. 将沿折起到的位置，使点在平面上的射影恰是线段BC的中点M. 求：
（1）二面角的大小；
（2）异面直线与所成角的大小（用反三角函数表示）.
例2.（05年春季高考上海卷.19）已知正三棱锥的体积为，侧面与底面所成的二面角的大小为.
（1）证明：；
（2）求底面中心到侧面的距离.
例3.（04年广东卷.18题）如右下图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB= 4, AD =3, AA1= 2. E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1.
(1) 求二面角C—DE—C1的正切值;
(2) 求直线EC1与FD1所成的余弦值.
例4.（03年广东卷.17题）已知正四棱柱，，，点E为中点, 点F为中点.
（Ⅰ）证明为与的公垂线；
（Ⅱ）求点到面的距离.
1
D
1
C
1
A
D
B
A
C
B
1
E
F
P
·
B1
E
A
C
D
A1
C1
D1
B
F
·
B1
E
A
C
D
A1
C1
D1
B
F导数在2004年高考中的基础知识考查
广东省中山市东升高中 高建彪
导数是新教材的内容，是与大学内容接轨最重要的知识点，所以高考中有时以大题出现，有时也以小题出现，它常与函数式、单调性、最大值与最小值等问题综合在一起，下面以2004年的高考题中的基础性问题进行分析.
一、曲线的切线：
例1.（04年全国卷二.文3）曲线在点处的切线方程为（ ）.
A. B. C. D.
【解】
点评：利用导数求曲线的切线，先求导数，过曲线上某点的切线斜率就是该点导数值，即.
练1.（04年重庆卷.理14）曲线与在交点处的切线夹角是 .（以弧度数作答）
练2.（04年重庆卷.文15）已知曲线，则过点的切线方程是 .
练3.（04年湖南卷.文13）过点且与曲线在点处的切线平行的直线方程是 .
二、函数单调性：
例2.（04年全国卷一.理19）已知，求函数的单调区间.
【解】
点评：利用导数求函数的单调区间，先求函数导数，再解得到递增区间，解得到递减区间. 此题中，解不等式时要对参数分“、、”三种情况讨论，为何如此分，同学们可以思考后说说.
练4.（04年全国卷一.文19）已知函数在R上是减函数，求的范围.
三、函数的最大值、最小值：
例3.（04年全国卷四.理18）求在区间的最大值和最小值.
【解】
点评：利用导数求函数的最大值与最小值，先求函数的导数，再解得到极值点，最后列表分析得出结论. 注意区间、端点、定义域.
练5.（04年江苏卷.10）函数在闭区间的最大值、最小值分别是（ ）. A. 1,－1 B. 1,－17 C. 3,－17 D. 9,－19
四、含参数的问题：
例4.（04年全国卷二.文21）若函数在区间内为减函数，在区间为增函数，试求实数的取值范围.
【解】
点评：关键由利用导数求单调区间的理论，将已知转化为在递增区间内为正，在递减区间内为负.将导数式的研究变成二次函数的图像分布研究，由的图像分布规律得到值的符号不等式.此解先用等价转化思想方法，再用数形结合思想方法.
练6.（04年浙江卷.文21）已知为实数，. （Ⅰ）求导数；（Ⅱ）若，求在上的最大值和最小值；（Ⅲ）若在和上都是递增，求的范围.
小结语：利用导数可以求曲线的切线斜率，函数单调性，函数最大值与最小值. 解决这三类问题时，我们一定要注意基本的解题步骤，且不能混淆，例如，解得到的是单调区间，而解是研究极值，且还需要列表分析. 已知函数式的单调区间或极值，求函数式中参数的值或范围的问题，也是常考之题型，它是逆向思维的运用.
（写于2005年1月30日）
答案： 例1～4. B， 略， 最大值,最小值为0， ，
练1～6. ，，，，C，最大值,最小值,
2004年高考卷归类练习（导数基础）
一、曲线的切线：
例1.（04年全国卷二.文3）曲线在点处的切线方程为（ ）.
练1.（04年重庆卷.理14）曲线与在交点处的切线夹角是 .（以弧度数作答）
练2.（04年重庆卷.文15）已知曲线，则过点的切线方程是 .
练3.（04年湖南卷.文13）过点且与曲线在点处的切线平行的直线方程是 .
二、函数单调性：
例2.（04年全国卷一.理19）已知，求函数的单调区间.
练4.（04年全国卷一.文19）已知函数在R上是减函数，求的范围.
三、函数的最大值、最小值：
例3.（04年全国卷四.理18）求在区间的最大值和最小值.
练5.（04年江苏卷.10）函数在闭区间的最大值、最小值分别是（ ）.
四、含参数的问题：
例4.（04年全国卷二.文21）若函数在区间内为减函数，在区间为增函数，试求实数的取值范围.
练6.（04年浙江卷.文21）已知为实数，. （Ⅰ）求导数；（Ⅱ）若，求在上的最大值和最小值；（Ⅲ）若在和上都是递增，求的范围.分布列及期望在高考中的考查形式
广东省中山市东升高中 高建彪
离散型随机变量概率的分布列及期望，是理科学习的内容，为了突出文理试卷的差别，所以高考理科卷中也常以大题出现. 由于它以概率统计为基础，所以我们对其进行认真复习，既掌握本知识点的内容，也可以加强对前面知识的熟练.下面以2004年高考卷分析.
一、离散型随机变量的分布列的性质：
例1. （04年湖北卷.理13）设随机变量ξ的概率分布为P（ξ=）=，为常数，1，2，…，则=______.
【解】
点评：随机变量概率分布列的性质有与. 由这两个性质，我们可以根据分步列表，求出其中表中某个未知的概率或参数.
练1.（04年辽宁卷.8）已知随机变量的概率分布如下：
ξ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P m
则( ). A. B. C. D.
二、离散型随机变量的分布列及期望：
例2.（04年全国卷一.理18）一接待中心有A、B、C、D四部热线电话，已知某一时刻电话A、B占线的概率均为0.5，电话C、D占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响. 假设该时刻有ξ部电话占线. 试求随机变量ξ的概率分布和它的期望.
【解】
点评：求离散型随机变量的分布列，有三个主要步骤，第一步是分析出随机变量ξ的可能取值，第二步是求出ξ各种取值时的概率，第三步是列出表格，即写出分布列. 在分布列的基础上，再按公式求期望Eξ.
ξ 0 1 2
P
练2.（04年全国卷二.理13）从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的概率分布为
练3.（04年全国卷四.理19）某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题. 竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分. 假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响.（Ⅰ）求这名同学回答这三个问题的总得分ξ的概率分布和数学期望；（Ⅱ）求这名同学总得分不为负分（即ξ≥0）的概率.
练4.（04年天津卷.理18）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数.（Ⅰ）求的分布列；（Ⅱ）求的数学期望；（Ⅲ）求“所选3人中女生人数”的概率.
练5.（04年浙江卷.理18）盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个，第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球（假设取到每个球的可能性都相同）. 记第一次与第二次取到球的标号之和为ξ. （Ⅰ）求随机变量ξ的分布列；（Ⅱ）求随机变量ξ的期望Eξ。
练6.（04年湖南卷.理14）同时抛掷两枚相同的均匀硬币,随机变量ξ=1表示结果中有正面向上, ξ=0表示结果中没有正面向上,则Eξ= .
三、离散型随机变量的分布列及期望与概率计算的交汇考查：
例3.（04年福建卷.理18）甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题。规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格。（Ⅰ）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望；（Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率。
【解】
点评：用组合计数的比计算随机变量ξ各取值时的概率，用概率公式求“至少一人考试合格”的概率.各种概率的计算是此题的关键. 这里如果备选题量非常多，则ξ也服从二项分布.关键是分析出是否服从二项分布，特点是概率相等时重复试验.
练7.（04年重庆卷.理18）设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯的概率为，遇到红灯（禁止通行）的概率为。假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进，表示停车时已经通过的路口数，求：（1）的概率的分布列及期望E; (2 ) 停车时最多已通过3个路口的概率。
四、期望在实际中的运用：
例4.（04年湖北卷.理21）某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失. 现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用. 单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率为0.9和0.85. 若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少.
（总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值.）
【解】
点评：此题的期望，简单易求，它是一个简单概率分布的随机变量期望值，关键是结合各种方案求出损失的期望值，抓住总费用的公式进行计算后比较得出最优的方案.
小结语：高三教材选修（Ⅱ）中，概率与统计共有6个考点，离散型随机变量的分布列、离散型随机变量的期望值和方差、抽样方法、总体分布的估计、正态分布、线性回归. 其中分布列及期望是理科卷中考查概率统计的重点题型，我们在复习中要十分重视，掌握求分布列的三步，掌握求期望的基本公式，结合概率计算，可以解决一切分布列与期望的问题.
（写于2005年2月13日）
答案：例1～4. 4； 1.8； ，； 联合采取甲、乙两种预防措施；
练1～5. C； 0.1，0.6，0.3； 180, 0.896； 1,； 5.2；
练6～7. 0.75； ，.
2004年高考卷归类练习（分布列及期望）
一、离散型随机变量的分布列的性质：
例1. （04年湖北卷.理13）设随机变量ξ的概率分布为P（ξ=）=，为常数，1，2，…，则=______.
练1.（04年辽宁卷.8）已知随机变量的概率分布如下：
ξ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P m
则( ). A. B. C. D.
二、离散型随机变量的分布列及期望：
例2.（04年全国卷一.理18）一接待中心有A、B、C、D四部热线电话，已知某一时刻电话A、B占线的概率均为0.5，电话C、D占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响. 假设该时刻有ξ部电话占线. 试求随机变量ξ的概率分布和它的期望.
【解】
ξ 0 1 2
P
练2.（04年全国卷二.理13）从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的概率分布为
练3.（04年全国卷四.理19）某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题. 竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分. 假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响.（Ⅰ）求这名同学回答这三个问题的总得分ξ的概率分布和数学期望；（Ⅱ）求这名同学总得分不为负分（即ξ≥0）的概率.
练4.（04年天津卷.理18）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数.（Ⅰ）求的分布列；（Ⅱ）求的数学期望；（Ⅲ）求“所选3人中女生人数”的概率.
练5.（04年浙江卷.理18）盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个，第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球（假设取到每个球的可能性都相同）. 记第一次与第二次取到球的标号之和为ξ. （Ⅰ）求随机变量ξ的分布列；（Ⅱ）求随机变量ξ的期望Eξ。
练6.（04年湖南卷.理14）同时抛掷两枚相同的均匀硬币,随机变量ξ=1表示结果中有正面向上, ξ=0表示结果中没有正面向上,则Eξ= .
三、离散型随机变量的分布列及期望与概率计算的交汇考查：
例3.（04年福建卷.理18）甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题。规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格。（Ⅰ）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望；（Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率。
【解】
练7.（04年重庆卷.理18）设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯的概率为，遇到红灯（禁止通行）的概率为。假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进，表示停车时已经通过的路口数，求：（1）的概率的分布列及期望E; (2 ) 停车时最多已通过3个路口的概率。
四、期望在实际中的运用：
例4.（04年湖北卷.理21）某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失. 现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用. 单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率为0.9和0.85. 若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少.
（总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值.）二项式定理在2004年高考中的考查形式
广东省中山市东升高中 高建彪
学习二项式定理，需要理解定理和性质的得出，同时熟练记忆定义与公式，掌握常用的方法. 在高考中如何考，我们看看2004年的高考卷.
一、运用二项展开式的通项公式研究常数项：
例1. （04年湖南卷.理15）若的展开式中的常数项为84，则= .
【解】
点评：研究二项展开式的常数项，抓住两个关键：一是正确写出二项展开式的通项公式，二是由幂的运算性质化简通项，当字母的幂指数为零时，即为常数项.此题中由反求时，运用了简单试值法.
练1.（04年全国卷三.文6）的展开式中的常数项为（ ）
A. 15 B. －15 C. 20 D. －20
练2.（04年浙江卷.文理7）若展开式中存在常数项，则的值可以是（ ）.
A. 8 B. 9 C. 10 D. 12
练3.（04年湖南卷.文14）的展开式中的常数项为 .（用数字作答）
练4. （04年全国卷一.文理5）的展开式中常数项是（ ）.
A. 14 B. －14 C. 42 D. －42
二、运用二项展开式的通项公式研究某项系数：
例2.（04年全国卷二.文13）已知为实数，展开式中的系数是,则= .
【解】
点评：研究某项系数的问题，与常数项的研究类似，写出展开式的通项并化简后，由已知项的幂指数列出方程求，再代入通项公式求出系数.
练5.（04年全国卷四.文理13）展开式中的系数为 .
练6.（04年江苏卷.7）的展开式中的系数是（ ）.
A. 6 B. 12 C. 24 D. 48
练7.（04年重庆卷.文理13）若在展开式中的系数为－80，则= .
三、运用二项展开式研究系数和：
例3.（04年天津卷.理15）若，则= .（用数字作答）
【解】
点评：特值代入法是解决二项展开式系数和问题的利刃. 代入可以得到各项系数和，代入可以求，代入与可以解方程组得到奇、偶项的系数和.
练8.（04年福建卷.文9）已知展开式常数项为1120, 其中实数是常数，则展开式中各项系数的和是（ ）. A. B. C. 1或 D. 1或
练9.（04年湖北卷.文14）已知的展开式中各项系数的和是128，则展开式中的系数是 . （以数字作答）
四、二项式定理与其它知识的交汇考查：
例4.（04年上海卷.9）若在二项式的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是 .（结果用分数是表示）
【解】
点评：由二项展开式得到各项系数，由组合数的性质及计算得到奇数个数，从而任取一项为奇数的概率简单易求.
练10.（04年福建卷.理9）若展开式的第3项为288，则）的值是（ ）. A. 2 B. 1 C. D.
小结语：二项式定理的学习，需要牢记二项展开式的通项公式，理解并掌握等特值代入法求系数和，也要理解二项式系数的性质.学习的关键是理解知识，记住公式，掌握方法.
补充练习：
练11.（04年春上海卷.11）如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第_____行中从左至右第14与第15个数的比为.
练12（03年全国卷.理13）的展开式中系数是
答案：
例1～4 9, ， 2004，
练1～5 A, C, 84, A, 28
练6～10 C, -2, C, 35，A
练11～13 34，
2004年高考卷归类练习（二项式定理）
一、运用二项展开式的通项公式研究常数项：
例1. （04年湖南卷.理15）若的展开式中的常数项为84，则= .
练1.（04年全国卷三.文6）的展开式中的常数项为 .
练2.（04年浙江卷.文理7）若展开式中存在常数项，则的值可以是 .
练3.（04年湖南卷.文14）的展开式中的常数项为 .（用数字作答）
练4. （04年全国卷一.文理5）的展开式中常数项是 .
二、运用二项展开式的通项公式研究某项系数：
例2.（04年全国卷二.文13）已知为实数，展开式中的系数是,则= .
练5.（04年全国卷四.文理13）展开式中的系数为 .
练6.（04年江苏卷.7）的展开式中的系数是 .
练7.（04年重庆卷.文理13）若在展开式中的系数为－80，则= .
三、运用二项展开式研究系数和：
例3.（04年天津卷.理15）若，则= .（用数字作答）
练8.（04年福建卷.文9）已知展开式常数项为1120, 其中实数是常数，则展开式中各项系数的和是 .
练9.（04年湖北卷.文14）已知的展开式中各项系数的和是128，则展开式中的系数是 . （以数字作答）
四、二项式定理与其它知识的交汇考查：
例4.（04年上海卷.9）若在二项式的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是 .（结果用分数是表示）
练10.（04年福建卷.理9）若展开式的第3项为288，则）的值是 .
…… …… ……
第5行 1 5 10 10 5 1
第4行 1 4 6 4 1
第3行 1 3 3 1
第2行 1 2 1
第1行 1 1
第0行 1导数在2004年高考中的综合性问题
广东省中山市东升高中 高建彪
利用导数直接可以解决许多问题，例如，求曲线的切线，函数的单调区间，函数的极值等. 同时导数也常与其它知识交汇考查，如不等式、三角、数列、解析几何等，下面以2004年的高考题谈谈是怎样交汇的.
一、导数与函数、不等式的交汇：
例1.（04年天津卷.文21）已知函数是R上的奇函数，当时取得极值－2. （Ⅰ）求的单调区间和极大值；（Ⅱ）证明对任意，不等式恒成立.
【解】
点评：函数知识是由奇函数定义得到恒等式，根据恒等原理可求出部分系数. 导数知识则是由已知时取极值m，列出与两个方程.不等式知识是运用均值不等式完成证明. 三者交汇时，各部分的知识都要熟练，再综合运用.
练1.（04年重庆卷.理20）设函数. （Ⅰ）求导数，并证明有两个不同的极值点； （Ⅱ）若不等式成立，求的取值范围.
练2.（04年全国卷二.理22）已知函数，.（Ⅰ）求函数的最大值；（Ⅱ）设，证明.
练3.（04年湖南卷.理20）已知函数，其中，为自然对数的底数.（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值.
练4.（04年广东卷.21）设函数，其中常数为整数.（Ⅰ）当为何值时，；（Ⅱ）定理：若函数在上连续，且与异号，则至少存在一点，使得.试用上述定理证明：当整数时，方程在内有两个实根
二、导数与三角、数列的交汇：
例2.（04年全国卷四.理22）已知函数，将满足的所有正数从小到大排成数列. （Ⅰ）证明数列为等比数列；（Ⅱ）记是数列的前项和，求.
【解】
点评：此题中对导数与三角知识考查较简单，关键是数列知识的综合运用，等比数列的定义证明，逆序求和法，分组求和法等. 同时注意无穷递缩等比数列各项和公式.
三、导数与解析几何的交汇：
例3.（04年浙江卷.理20）设曲线在点处的切线与轴、轴所围成的三角形面积为. （Ⅰ）求切线的方程； （Ⅱ）求的最大值.
【解】
点评：导数与解析几何的交汇关键点是曲线的切线，理论依据是曲线在的切线斜率为.此题还用导数方法研究了最值问题.
练5.（04年全国卷四.文19）已知直线为曲线在点处的切线，为该曲线的另一条切线，且. （Ⅰ）求直线的方程；（Ⅱ）求由直线、和轴所围成的三角形的面积.
小结语：导数知识与其它数学知识的交汇，是高考考查中大题的主要形式.
2004年高考卷归类练习（导数综合）
一、导数与函数、不等式的交汇：
例1.（04年天津卷.文21）已知函数是R上的奇函数，当时取得极值－2. （Ⅰ）求的单调区间和极大值；（Ⅱ）证明对任意，不等式恒成立.
练1.（04年重庆卷.理20）设函数. （Ⅰ）求导数，并证明有两个不同的极值点； （Ⅱ）若不等式成立，求的取值范围.
练2.（04年全国卷二.理22）已知函数，.（Ⅰ）求函数的最大值；（Ⅱ）设，证明.
练3.（04年湖南卷.理20）已知函数，其中，为自然对数的底数.（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值.
练4.（04年广东卷.21）设函数，其中常数为整数.（Ⅰ）当为何值时，；（Ⅱ）定理：若函数在上连续，且与异号，则至少存在一点，使得.试用上述定理证明：当整数时，方程在内有两个实根
二、导数与三角、数列的交汇：
例2.（04年全国卷四.理22）已知函数，将满足的所有正数从小到大排成数列. （Ⅰ）证明数列为等比数列；（Ⅱ）记是数列的前项和，求.
三、导数与解析几何的交汇：
例3.（04年浙江卷.理20）设曲线在点处的切线与轴、轴所围成的三角形面积为. （Ⅰ）求切线的方程； （Ⅱ）求的最大值.
练5.（04年全国卷四.文19）已知直线为曲线在点处的切线，为该曲线的另一条切线，且. （Ⅰ）求直线的方程；（Ⅱ）求由直线、和轴所围成的三角形的面积.极限章节知识在高考中如何考
广东省中山市东升高中 高建彪
新教材高中数学第三册选修（Ⅱ）的第二章内容是《极限》，其中的数学归纳法是旧教材中数列研究时学习的内容，而极限与函数的连续性，是新教材中增添的知识点，本章知识点在高考中如何考，下面以2004年的高考卷进行分析.
一、函数与数列的极限：
例1. （04年辽宁卷.14）= .
【解】
例2.（04年广东卷.4）的值为（ ）.
A. B. C. D.
【解】
点评：当时，求数列或函数的极限，代数式类型为“”时，约分是主要途径，再代入；类型为“”时，除以最大项是重要的手段，再用极限运算法则. 与数列的和综合时，一定要优先求数列的和. 式子的代数变形过程中，要注意乘法公式的运用，如平方差公式、立方和差公式、因式分解等.
练1.（04年全国卷二.理2）（ ）. A. B.1 C. D.
二、分段函数的连续性：
例3.（04年广东卷.3）函数在处连续，则（ ） A. B. C. D.
【解】
点评：函数连续性的考查，常常是给出含参的分段函数，已知某点处连续，求参数的值. 这种题型的解答，需要我们对分段函数理解，抓住各段定义域的函数式，理解并运用函数连续的重要关系式.
练2.（04年福建卷.理14）设函数在处连续，则实数的值为 .
三、无穷递缩等比数列各项和：
例4.（04年上海卷.4）设等比数列的公比，且，则 .
【解】
点评：无穷等比数列，当时，其各项和.在这里，将看成一个新的等比数列，公比为.
练3.（04年福建卷.理9）若展开式的第3项为288，则）的值是（ ）. A. 2 B. 1 C. D.
练4.（04年重庆卷.理15）如图P1是一块半径为1的半圆形纸板，在P1的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形P2，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形P3、P4、…..Pn…,记纸板Pn的面积为，则.
四、极限与大题的综合：
例5.（04年全国卷四.理22）已知定义在R上的函数和数列满足下列条件：
，
其中为常数，为非零常数.（I）令，证明数列是等比数列；（II）求数列的通项公式； （III）当时，求
【解】
点评：极限常与数列大题综合，作为第二问或第三问，难点不是极限的知识，而是求出数列相关的式子，正确求出表达式，也是解题的关键.
小结语：极限章节知识的考查，主要是四种形式：一是求极限，注意通法（除、约分、代入）与常见式的极限；二是研究函数的连续性，注意牢固掌握定义；三是求无穷等比数列各项和，理论依据是运用；四是以一问形式出现在大题中.
（写于2005年1月30日）
答案：例1～5. ；A；B；2；
练1～4. A；0.5；A；
P2
P1
P3
P4高考创新思维题型速递
广东省中山市东升高中 高建彪
创新是一个民族的灵魂，创新意识在高考卷中常呈现于一道新颖小题，它需要对新颖的信息、情景与设问，选择有效的方法和手段分析信息，综合与灵活应用数学知识、思想和方法，提高创新思维能力，下面将近期的各地区创新试题进行归类学习.
一、运算定义型：
例1.（05年襄樊.1月调研16）对任意实数x、y，定义运算＝ax＋by＋cxy，其中a、b、c为常数，等号右边的运算是通常意义的加、乘运算．现已知1*2＝3，2*3＝4，且有一个非零实数m，使得对任意实数x，都有，则m＝　　　　　．（4）
【解】
点评：定义一种新的运算规则，我们首先要理解规则的含义并直接按规则进行运算，即用“代入法”进行运算. 这里还考查了恒等式的处理，即合并后各项系数为0，也体现了方程思想与待定系数法的运用.
练1.（05年南京师大附中.质检15）定义一种运算“※”，对任意正整数n满足：（1）1※1=3，（2）(n+1)※1=3+n※1，则2004※1的值为 ．
练2.（05年虹口.1月质检）定义集合A，B的一种运算“*”，A*B {p|p x y，xA，yB}。若A {1,2,3}，B {1,2}，则集合A*B中所有元素的和 ________.
练3.（05年惠州.调研9）编辑一个运算程序：1&1 = 2 , m&n = k , m&(n + 1) = k + 2，则 1&2005 的输出结果为（ ）.
A. 4008 B. 4006 C. 4012 D. 4010
二、找寻规则型：
例2.（05年惠州.二研16）黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：
则第n个图案中有白色地面砖 块.
【解】
点评：对所给出的已知条件进行观察与分析，找出存在的规律. 此题的规律是构成等差数列，关键是比较相邻的两个图形，找出公差.
练4.（05年虹口.1月质检）一个七位电话号码a1a2a3a4a5a6a7，如果前面三位数码a1a2a3的顺序与a4a5a6或a5a6a7相同(可能三者都一样)，则称此号码为“可记忆的”. 如果a1,a2,…,a7可取数码0,1,2,…,9中的任一个，则不同的“可记忆的”号码共有 个.
练5.（05年南京师大附中.质检16）一同学在电脑中打出如下若干个圆（图中●表示实圆，○表示空心圆）：●○●●○●●●○●●●●○●●●●●○……若将此若干个圆依次规律继续下去得到一系列圆，那么在前2004个圆中有 个空心圆.
练6.（05年江苏东海中学质检.12）一个机器猫每秒前进或后退一步，程序设计人员让机器猫以每前进3步，然后再后退2步的规律移动；如果将此机器猫放在数轴的原点上，面向正的方向，以1步的距离为1个单位长，令P（n）表示第n秒时机器猫所在的位置的坐标，且P（0）=0，那么下列结论中错误的是（ ）
A. P(3)=3 B. P(5)=1 C. P(101)=21 D. P(103)练7.（05年南通.九校联考16）一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于n2，则算过关，那么，连过前二关的概率是_______.
三、类比归纳型：
例3.（04年黄冈.秋调研16）当 成等差数列时，有a0-2a1+a2=0，当成等差数列时，有a0-3a1+3a2-a3=0，当a0，a1，a2，a3，a4成等差数列时，有a0-4a1+6a2-4a3+a4=0，由此归纳：当成等差数列时有,如果成等比数列，类比上述方法归纳出的等式为 ．
【解】
点评：分析已知条件的规律，通过类比归纳思想，将规律转化到需探索的结论. 此题的类比归纳，既有同一个数列之间，从有限到无限的类比归纳；也有两个数列之间，从等差数列到等比数列的类比归纳.
四、函数研究型：
例4.（05年南京师大附中.质检7）拟定从甲地到乙地通话分钟的话费由给出，其中是大于或等于的最小正整数，如：，从甲地到乙地通话5.2分钟的话费是（ ）.
A．3.71 B．4.24 C．4.77 D．7.95
【解】
点评：解题关键是理解符号的概念，抓住分段函数的对应函数式.
练8.（05年1月东城区.质检13）定义“符号函数” ，则不等式的解集是 .
五、排列组合型：
例5.（05年江苏.15市模拟15）“渐减数”是指每个数字比其左边数字小的正整数（如98765），若把所有五位渐减数按从小到大的顺序排列，则第55个数为 .
【解】
点评：理解渐减数的定义，明确组成渐减数的方法。个数的计算过程中应用排列组合的计数方法进行解答.
练9.（05年朝阳区.1月质检13）将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为 .
六、图表分析型：
例6.（04年黄冈.秋调研9）把正整数按下图所示的规律排序，则从2003到2005的箭头方向依次为（ B ）.
【解】
点评：分析所给出图形的特征，抓住其内在规律，根据规律解答项数较大的图形情况，这里的项数一般与年份接近.
练10.（05年湛江市.1月质检14）某住宅小区有居民2万户，从中随机抽取200户，调查是否安装宽带，调查结果如下表所示：
宽带 动迁户 原住户
已安装 60 35
未安装 45 60
则该小区已安装宽带的户数估计有 户.
小结语：解决创新问题，需要理解题中的新情景，发现已知条件中的规律，转化为熟悉的数学知识与数学方法求解. 创新意识是理性思维的高层次表现，对数学问题的“观察、猜测、概括、证明”，是发现问题和解决问题的重要途径，对数学知识的“迁移、组合、融会”，是较强创新意识的展现. （写于2005年2月27日）
答案：例1～6. 4；；；B；76542；B
练1～5. 6012；14；D；19990；61；
练6～10. D ；；；420；9500
高考创新思维题型速递
一、运算定义型：
例1.（05年襄樊.1月调研16）对任意实数x、y，定义运算＝ax＋by＋cxy，其中a、b、c为常数，等号右边的运算是通常意义的加、乘运算．现已知1*2＝3，2*3＝4，且有一个非零实数m，使得对任意实数x，都有，则m＝　　　　　．（4）
练1.（05年南京师大附中.质检15）定义一种运算“※”，对任意正整数n满足：（1）1※1=3，（2）(n+1)※1=3+n※1，则2004※1的值为 ．
练2.（05年虹口.1月质检）定义集合A，B的一种运算“*”，A*B {p|p x y，xA，yB}。若A {1,2,3}，B {1,2}，则集合A*B中所有元素的和 ________.
练3.（05年惠州.调研9）编辑一个运算程序：1&1 = 2 , m&n = k , m&(n + 1) = k + 2，则 1&2005 的输出结果为（ ）.
A. 4008 B. 4006 C. 4012 D. 4010
二、找寻规则型：
例2.（05年惠州.二研16）黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：
则第n个图案中有白色地面砖 块.
练4.（05年虹口.1月质检）一个七位电话号码a1a2a3a4a5a6a7，如果前面三位数码a1a2a3的顺序与a4a5a6或a5a6a7相同(可能三者都一样)，则称此号码为“可记忆的”. 如果a1,a2,…,a7可取数码0,1,2,…,9中的任一个，则不同的“可记忆的”号码共有 个.
练5.（05年南京师大附中.质检16）一同学在电脑中打出如下若干个圆（图中●表示实圆，○表示空心圆）：●○●●○●●●○●●●●○●●●●●○……若将此若干个圆依次规律继续下去得到一系列圆，那么在前2004个圆中有 个空心圆.
练6.（05年江苏东海中学质检.12）一个机器猫每秒前进或后退一步，程序设计人员让机器猫以每前进3步，然后再后退2步的规律移动；如果将此机器猫放在数轴的原点上，面向正的方向，以1步的距离为1个单位长，令P（n）表示第n秒时机器猫所在的位置的坐标，且P（0）=0，那么下列结论中错误的是（ ）
A. P(3)=3 B. P(5)=1 C. P(101)=21 D. P(103)练7.（05年南通.九校联考16）一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于n2，则算过关，那么，连过前二关的概率是_______.
三、类比归纳型：
例3.（04年黄冈.秋调研16）当 成等差数列时，有a0-2a1+a2=0，当成等差数列时，有a0-3a1+3a2-a3=0，当a0，a1，a2，a3，a4成等差数列时，有a0-4a1+6a2-4a3+a4=0，由此归纳：当成等差数列时有,如果成等比数列，类比上述方法归纳出的等式为 ．
四、函数研究型：
例4.（05年南京师大附中.质检7）拟定从甲地到乙地通话分钟的话费由给出，其中是大于或等于的最小正整数，如：，从甲地到乙地通话5.2分钟的话费是（ ）.
A．3.71 B．4.24 C．4.77 D．7.95
练8.（05年1月东城区.质检13）定义“符号函数” ，则不等式的解集是 .
五、排列组合型：
例5.（05年江苏.15市模拟15）“渐减数”是指每个数字比其左边数字小的正整数（如98765），若把所有五位渐减数按从小到大的顺序排列，则第55个数为 .
练9.（05年朝阳区.1月质检13）将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为 .
六、图表分析型：
例6.（04年黄冈.秋调研9）把正整数按下图所示的规律排序，则从2003到2005的箭头方向依次为（ B ）.
练10.（05年湛江市.1月质检14）某住宅小区有居民2万户，从中随机抽取200户，调查是否安装宽带，调查结果如下表所示：
宽带 动迁户 原住户
已安装 60 35
未安装 45 60
则该小区已安装宽带的户数估计有 户.高考中立体几何小题的理论性题型
广东省中山市东升高中 高建彪
立体几何中的计算和证明是我们高考复习的重点，但立体几何理论知识的考查也不能忽视，它一般通过小题的方式进行. 下面我们以2004年高考卷探索常见理论性题型。.
一、命题真假判断型问题：
例1.（04年北京卷.文理3）设m、n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若，，则
②若，，，则
③若，，则
④若，，则
其中正确命题的序号是（ ）.
A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和④
【解】
点评：线线、线面、面面垂直与平行的判定和性质定理，是解决此类问题的依据，实物的简单演示法、特例法，是解决问题的法宝.
练1.（04年福建卷.理5）已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题：
①若mα，n∥α，则m∥n；
②若m∥α，m∥β，则α∥β；
③若α∩β=n，m∥n，则m∥α且m∥β；
④若m⊥α，m⊥β，则α∥β.
其中真命题的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
练2.（04年全国卷二.文理16）下面是关于四棱柱的四个命题：
①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱
②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱
③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱
④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱
其中，真命题的编号是 （写出所有正确结论的编号）.
二、轨迹探讨型问题：
例2.（04年北京卷.理4）如图，在正方体中，P是侧面内一动点，若P到直线BC与直线的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（ ）.
A. 直线 B. 圆 C. 双曲线 D. 抛物线
【解】
点评：将已知的几何特征进行转化，把问题变成易知的几何轨迹的定义.这里应用了抛物线的定义：平面内到定点和定直线的距离相等的点的距离.
练3.（04年天津卷.文8）如图，定点A和B都在平面内，定点，，C是内异于A和B的动点，且。那么，动点C在平面内的轨迹是（ ）
A. 一条线段，但要去掉两个点 B. 一个圆，但要去掉两个点
C. 一个椭圆，但要去掉两个点 D. 半圆，但要去掉两个点
练4.（04年重庆卷.理12）若三棱锥A-BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的面积与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与组成图形可能是（ ）
（A） (B) (C) (D)
三、充要条件讨论型问题：
例3.（04年辽宁卷.3）已知α、β是不同的两个平面，直线，命题无公共点；命题. 则的（ ）.
A．充分而不必要的条件 B．必要而不充分的条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件
【解】
点评：牢记时，A是B的充分条件，B是A的必要条件.判别两个命题之间的关系，就是探讨存在怎样的因果关系和不能出现的因果关系.
四、图像特征分析型问题：
例4.（04年湖北卷.理11）已知平面α与β所成的二面角为80°，P为α、β外一定点，过点P的一条直线与α、β所成的角都是30°，则这样的直线有且仅有（D）.
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
【解】
练5.（04年全国卷一.文理16）已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是 .
①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线
③同一条直线 ④一条直线及其外一点
在一面结论中，正确结论的编号是 （写出所有正确结论的编号）.
小结语：立体几何理论性题型，需要我们对理论知识理解透彻，掌握理论的本质，熟练的运用所学的理论知识，通过反复的训练而形成一定的解题方法与技能技巧.
（写于2005年2月20日）
答案：例1～4. A; D; B; D
练1～5. B; ②④； B; D; ①②④
2004年高考卷归类练习（立几理论小题）
一、命题真假判断型问题：
例1.（04年北京卷.文理3）设m、n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若，，则
②若，，，则
③若，，则
④若，，则
其中正确命题的序号是（ ）.
A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和④
练1.（04年福建卷.理5）已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题：
①若mα，n∥α，则m∥n；
②若m∥α，m∥β，则α∥β；
③若α∩β=n，m∥n，则m∥α且m∥β；
④若m⊥α，m⊥β，则α∥β.
其中真命题的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
练2.（04年全国卷二.文理16）下面是关于四棱柱的四个命题：
①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱
②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱
③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱
④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱
其中，真命题的编号是 （写出所有正确结论的编号）.
二、轨迹探讨型问题：
例2.（04年北京卷.理4）如图，在正方体中，P是侧面内一动点，若P到直线BC与直线的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（ ）.
A. 直线 B. 圆 C. 双曲线 D. 抛物线
练3.（04年天津卷.文8）如图，定点A和B都在平面内，定点，，C是内异于A和B的动点，且。那么，动点C在平面内的轨迹是（ ）
A. 一条线段，但要去掉两个点 B. 一个圆，但要去掉两个点
C. 一个椭圆，但要去掉两个点 D. 半圆，但要去掉两个点
练4.（04年重庆卷.理12）若三棱锥A-BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的面积与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与组成图形可能是（ ）
（A） (B) (C) (D)
三、充要条件讨论型问题：
例3.（04年辽宁卷.3）已知α、β是不同的两个平面，直线，命题无公共点；命题. 则的（ ）.
A．充分而不必要的条件 B．必要而不充分的条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件
四、图像特征分析型问题：
例4.（04年湖北卷.理11）已知平面α与β所成的二面角为80°，P为α、β外一定点，过点P的一条直线与α、β所成的角都是30°，则这样的直线有且仅有（D）.
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
练5.（04年全国卷一.文理16）已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是 .
①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线
③同一条直线 ④一条直线及其外一点
在一面结论中，正确结论的编号是 （写出所有正确结论的编号）.不等式在高考中的基础性考查
广东省中山市东升高中 高建彪
在高考中，不等式常以1～2道小题出现，并综合出现在一个大题中. 下面我们以2004年全国各地高考卷为例，浅析不等式的基础知识的考查形式.
一、解不等式：
例1.（04年重庆卷.文理4）不等式的解集是（ ）.
A. B. C. D.
【解】
点评：“数轴标根法”是解答分式不等式和高次不等式的法宝. 分解因式是正确解答的关键. 注意用函数的思想理解解法.
练1.（04年天津卷.文理2）不等式的解集为（ ）.
A. B. C. D.
练2.（04年全国卷一.文13）不等式x+x3≥0的解集是 .
例2.（04年全国卷一.理13）不等式|x+2|≥|x|的解集是 .
【解】
点评：绝对值不等式的通法是，，其中.常用方法还有：平方法、分零点讨论去绝对值法、数轴分析法.
练3.（04年全国卷一.文9理8）不等式的解集为（ ）.
A.　　　B. 　　　C. 　　　D.
例3.（04年浙江卷.理13）已知则不等式≤5的解集是 .
【解】
点评：解分段不等式，注意各段的函数解析式.
练4.（04年江苏卷.13）二次函数的部分对应值如下表：
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6
则不等式的解集是_____________.
练5.（04年浙江卷.文13）已知则不等式的解集是 .
二、研究不等式是否成立：
例4.（04年辽宁卷.2）对于，给出下列四个不等式
① ②
③ ④
其中成立的是（ ）.
A．①与③ B．①与④ C．②与③ D．②与④
【解】
点评：利用函数的单调性，是研究不等式的常用方法. 关键是分析并构造一个函数，判别函数的单调性及比较自变量的大小.
例5.（04年湖北卷.理5）若则下列不等式①；②；③；④中，正确的不等式有（ ）.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【解】
点评：不等式的性质是研究不等式式进行变形的重要理论基础，注意如何利用性质进行变形.同时要善于利用均值不等式.
练6.（04年北京卷.文4理6）已知a、b、c满足，且，那么下列选项中一定成立的是（ ）.
A. B. C. D.
练7.（04年湖北卷.文10）若则下列结论中不正确的是（ ）.
A． B．
C． D．
练8.（04年湖南卷.理7）设a＞0, b＞0，则以下不等式中不恒成立的是（ ）.
A. ≥4 B. ≥
C. ≥ D. ≥
三、研究最大值与最小值：
例6.（04年全国卷一.文理12）则的最小值为（ ）.
A． B． C． D．
【解】
点评：方程思想求出三个平方值，对代数式的分析得到取最小值时的可能情况.
练9.（04年重庆卷.文14）已知,则的最小值是____.
练10.（04年天津卷.文3）对任意实数a、b、c，在下列命题中，真命题是（ ）.
A.“”是“”的必要条件
B.“”是“”的必要条件
C.“”是“”的充分条件
D.“”是“”的充分条件
小结语：不等式的性质应用，解不等式的基本方法，均值不等式的重要性等，都是我们复习不等式时要重点注意的内容.只有掌握基础知识与基本方法，才能形成解题的基本技能技巧. （写于2005年3月23日）
答案：例1～6. A; {x|x≥0}; ; D; B; B
练1～5. A; {x|x≥－1}; D; 或;
练6～10. C; D; B; 6; B
2004年高考卷归类练习（不等式基础）
一、解不等式：
例1.（04年重庆卷.文理4）不等式的解集是（ ）.
A. B. C. D.
练1.（04年天津卷.文理2）不等式的解集为（ ）.
A. B. C. D.
练2.（04年全国卷一.文13）不等式x+x3≥0的解集是 .
例2.（04年全国卷一.理13）不等式|x+2|≥|x|的解集是 .
练3.（04年全国卷一.文9理8）不等式的解集为（ ）.
A.　　　B. 　　　C. 　　　D.
例3.（04年浙江卷.理13）已知则不等式≤5的解集是 .
练4.（04年江苏卷.13）二次函数的部分对应值如下表：
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6
则不等式的解集是_____________.
练5.（04年浙江卷.文13）已知则不等式的解集是 .
二、研究不等式是否成立：
例4.（04年辽宁卷.2）对于，给出下列四个不等式
① ②
③ ④
其中成立的是（ ）.A．①与③ B．①与④ C．②与③ D．②与④
例5.（04年湖北卷.理5）若则下列不等式①；②；③；④中，正确的不等式有（ ）.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
练6.（04年北京卷.文4理6）已知a、b、c满足，且，那么下列选项中一定成立的是（ ）.
A. B. C. D.
练7.（04年湖北卷.文10）若则下列结论中不正确的是（ ）.
A． B．
C． D．
练8.（04年湖南卷.理7）设a＞0, b＞0，则以下不等式中不恒成立的是（ ）.
A. ≥4 B. ≥
C. ≥ D. ≥
三、研究最大值与最小值：
例6.（04年全国卷一.文理12）则的最小值为（ ）.
A． B． C． D．
练9.（04年重庆卷.文14）已知,则的最小值是____.
练10.（04年天津卷.文3）对任意实数a、b、c，在下列命题中，真命题是（ ）.
A.“”是“”的必要条件
B.“”是“”的必要条件
C.“”是“”的充分条件
D.“”是“”的充分条件概率高考题型解答思路之概率公式基本方法篇
广东省中山市东升高中 高建彪
由于概率与统计紧密联系生活实际，所以高考卷中出现的频率比较高，在复习中要引起重视. 在高考中，概率计算有哪些类型，解答思路有哪些？下面从概率题直接用概率公式解决的角度，以2004年的高考题进行分析.
一、用互斥事件、独立事件、重复试验等概率公式求概率：
例1.（04年重庆卷.文18）设甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5. （Ⅰ）三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标的概率；（Ⅱ）若甲单独向目标射击三次，求他恰好命中两次的概率.
【解】
例2.（04年浙江卷.20）某地区有5个工厂,由于用电紧缺,规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电（选哪一天是等可能的）.假定工厂之间选择互不影响. （Ⅰ）求5个工厂均选择星期日停电的概率；（Ⅱ）求至少有两个工厂选择同一天停电的概率.
【解】（
点评：“至少”问题可分类考虑，这用排除法则更简单，实际也是对立事件的概率公式.“恰有n人”问题，先分类，然后用互斥事件有一个发生的概率公式. “恰好k次”问题，可以用重复试验的概率公式：事件发生的概率为p，重复试验n次，恰有k次发生的概率是.
练1.（04年江苏卷.9）将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上和概率是 ( ) A. B. C. D.
练2.（04年广东卷.6）一台X型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8000,有四台这中型号的自动机床各自独立工作,则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是 ( ) A.0.1536 B. 0.1808 C. 0.5632 D. 0.9728
练3.（04年福建卷.15）某射手射击1次，击中目标的概率是0.9.他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响.有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1；③他至少击中目标1次的概率是1-0.14. 其中正确结论的序号是 （写出所有正确结论的序号）.
二、用方程思想结合概率公式求概率：
例3.（04年湖南卷.理18）甲,乙,丙三台机床各自独立加工同一零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲,丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为. （Ⅰ）分别求甲,乙,丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；（Ⅱ）从甲,乙,丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率.
【解】
点评：已知独立事件同时发生的结果，求独立事件的概率，方程的思想是解决问题的利刃，这里列方程时结合了概率公式与
三、用概率的计算实现最优方案的设计：
例4.（04年湖北卷.文21）为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概率（记为P）和所需费用如下表：
预防措施 甲 乙 丙 丁
P 0.9 0.8 0.7 0.6
费用（万元） 90 60 30 10
预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施，在总费用不超过120万元的前提下，请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大.
【解】
点评：关键是分析清楚方案的可能性，然后用概率公式求各种方案的概率，再加以比较，得出最优的设计方案.
小结语：概率的计算，以分类加与分步乘两大基本原理为分析基础，以组合计数与排列计数为工具，以概率计算公式为主要手段. 关键是正确分析事件的情况、步骤和实施方法等，然后用我们的数学知识求解.
（写于2005年2月1日）
答案：例1～4. 0.44，0.441； ，；
，； 联合使用乙、丙、丁.
练1～3. D； D； ①③；
2004年高考卷归类练习（概率之公式方法篇）
一、用互斥事件、独立事件、重复试验等概率公式求概率：
例1.（04年重庆卷.文18）设甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5. （Ⅰ）三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标的概率；（Ⅱ）若甲单独向目标射击三次，求他恰好命中两次的概率.
例2.（04年浙江卷.20）某地区有5个工厂,由于用电紧缺,规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电（选哪一天是等可能的）.假定工厂之间选择互不影响. （Ⅰ）求5个工厂均选择星期日停电的概率；（Ⅱ）求至少有两个工厂选择同一天停电的概率.
练1.（04年江苏卷.9）将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上和概率是 ( ) A. B. C. D.
练2.（04年广东卷.6）一台X型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8000,有四台这中型号的自动机床各自独立工作,则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是 ( ) A.0.1536 B. 0.1808 C. 0.5632 D. 0.9728
练3.（04年福建卷.15）某射手射击1次，击中目标的概率是0.9.他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响.有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1；③他至少击中目标1次的概率是1-0.14. 其中正确结论的序号是 （写出所有正确结论的序号）.
二、用方程思想结合概率公式求概率：
例3.（04年湖南卷.理18）甲,乙,丙三台机床各自独立加工同一零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲,丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为. （Ⅰ）分别求甲,乙,丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；（Ⅱ）从甲,乙,丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率.
三、用概率的计算实现最优方案的设计：
例4.（04年湖北卷.文21）为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概率（记为P）和所需费用如下表：
预防措施 甲 乙 丙 丁
P 0.9 0.8 0.7 0.6
费用（万元） 90 60 30 10
预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施，在总费用不超过120万元的前提下，请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大.高考中立体几何小题的常见计算类题型
广东省中山市东升高中 高建彪
立体几何的计算在大题中可以考查，同时在小题中也考查较多，常见小题的计算类题型如何，下面以2004年高考卷浅析：
一、空间角度的计算：
例1.（04年天津卷.理6）如图，在棱长为2的正方体中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是、AD的中点，那么异面直线OE和所成的角的余弦值等于（ ）.
A. B. C. D.
【解法一】
【解法二】
点评：求两异面直线所成角，方法一是“平移法”，将其中的一条或两条直线平移后相交，然后通过解三角形求角度，这里运用的是余弦定理. 方法二是“向量法”，建立空间直角坐标系，求出两异面直线的向量式，再运用向量的夹角公式求出，还需要我们掌握两个空间向量公式，.角度的考查还有线面角、面面角，解答的关键是找出直线垂面、垂棱，即转化为线线角.
练1.（04年浙江卷.文理10）如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，若AD与平面AA1C1C所成的角为α，则α=（ ）.
A. B. C. D.
练2.（04年全国卷二.文6）正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（ ） A．75° B．60° C．45° D．30°
练3.（04年湖南卷.理4文5）把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A、B、C、D四点为顶点的正棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为（ ）
A. 90° B. 60° C. 45° D. 30°
二、空间距离的计算：
例2.（04年辽宁卷.15）如图，四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，侧棱与底面边长均为2a，且，则侧棱AA1和截面B1D1DB的距离是 .
【解】
点评：线面距离转化为点面距离，过点作平面的垂线即为点面距离，作图时往往是间接作线的垂线，证得线垂面. 这里也用到了三面角的一个余弦公式.
练4.（04年浙江卷.理16）已知平面α和平面β交于直线，P是空间一点，PA⊥α，垂足为A，PB⊥β，垂足为B，且PA=1，PB=2，若点A在β内的射影与点B在α内的射影重合，则点P到的距离为 .
练5.（04年浙江卷.文15）已知平面α⊥β， =，P是空间一点，且P到α、β的距离分别是1、2，则点P到的距离为 .
练6.（04年重庆卷.理8）设P是的二面角内一点，为垂足，则AB的长为（ ）.
A. B. C. D.
三、空间表面积与体积的计算：
例3. （04年福建卷.理16）如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器。当这个正六棱柱容器的底面边长为 时，其容积最大.
【解】
点评：柱体的体积计算公式较为简单，将其与几何最值综合，先设一个几何变量，将要研究的几何量表示为该变量的函数，这里用三元均值不等式 （）研究了目标函数的最大值，还可用“求导法”进行研究
练7.（04年湖北卷.文6）四面体ABCD四个面的重心分别为E、F、G、H，则四面体EFGH的表面积与四面体ABCD的表面积的比值是（ ）
A． B． C． D．
练8.（04年全国卷一.文理10）已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H.设四面体EFGH的表面积为T，则等于（ ）.
A． B． C． D．
练9.（04年天津卷.理10文11）如图，在长方体中，AB=6，AD=4，。分别过BC、的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为，，。若，则截面 的面积为（ ）
A. B. C. D. 16
练10.（04年广东卷.7）在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是 ( )
A. B. C. D.
练11.（04年广东卷.15）由图(1)有面积关系: 则由(2) 有体积关系:
四、球体中的相关计算：
例4.（04年辽宁卷.10）设A、B、C、D是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是（ ）.
A． B． C． D．
【解】
点评：解答球体中相关计算，一定要牢记球的截面性质，体积，表面积. 复习时要重视与球面距离的计算，关键是理解球面距离是大圆劣弧长.
练12.（04年全国卷二.理7）已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，则球心O到平面ABC的距离为（ ）
A． B． C． D．
练13.（04年北京卷.理11文12）某地球仪上北纬纬线的长度为，该地球仪的半径是________cm，表面积是________cm2.
练14.（04年江苏卷.4）一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是 ( )
A． B. C. D.
练15.（04年福建卷.文理10）如图，A、B、C是表面积为的球面上三点，，，，O为球心，则直线OA与截面ABC所成的角是( ).
A. B. C． D.
小结语：解答立体几何中计算类小题，要理解与掌握常用的公式、常用的方法，同时掌握常见题型的解题步骤，也注意联系到其它数学知识. （写于2005年2月18日）
答案：例1～4. B，a，，A； 练1～5. D，C，C，，；
练6～10. C，C，A，D，D； 练11～15. ，B，,，C，D.
2004年高考卷归类练习（立几计算小题）
一、空间角度的计算：
例1.（04年天津卷.理6）如图，在棱长为2的正方体中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是、AD的中点，那么异面直线OE和所成的角的余弦值等于（ ）.
A. B. C. D.
练1.（04年浙江卷.文理10）如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，若AD与平面AA1C1C所成的角为α，则α=（ ）.
A. B. C. D.
练2.（04年全国卷二.文6）正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（ ） A．75° B．60° C．45° D．30°
练3.（04年湖南卷.理4文5）把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A、B、C、D四点为顶点的正棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为（ ）
A. 90° B. 60° C. 45° D. 30°
二、空间距离的计算：
例2.（04年辽宁卷.15）如图，四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，侧棱与底面边长均为2a，且，则侧棱AA1和截面B1D1DB的距离是 .
练4.（04年浙江卷.理16）已知平面α和平面β交于直线，P是空间一点，PA⊥α，垂足为A，PB⊥β，垂足为B，且PA=1，PB=2，若点A在β内的射影与点B在α内的射影重合，则点P到的距离为 .
练5.（04年浙江卷.文15）已知平面α⊥β， =，P是空间一点，且P到α、β的距离分别是1、2，则点P到的距离为 .
练6.（04年重庆卷.理8）设P是的二面角内一点，为垂足，则AB的长为（ ）.
A. B. C. D.
三、空间表面积与体积的计算：
例3. （04年福建卷.理16）如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器。当这个正六棱柱容器的底面边长为 时，其容积最大.
练7.（04年湖北卷.文6）四面体ABCD四个面的重心分别为E、F、G、H，则四面体EFGH的表面积与四面体ABCD的表面积的比值是（ ）
A． B． C． D．
练8.（04年全国卷一.文理10）已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H.设四面体EFGH的表面积为T，则等于（ ）.
A． B． C． D．
练9.（04年天津卷.理10文11）如图，在长方体中，AB=6，AD=4，。分别过BC、的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为，，。若，则截面 的面积为（ ）
A. B. C. D. 16
练10.（04年广东卷.7）在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是 ( )
A. B. C. D.
练11.（04年广东卷.15）由图(1)有面积关系: 则由(2) 有体积关系:
四、球体中的相关计算：
例4.（04年辽宁卷.10）设A、B、C、D是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是（ ）.
A． B． C． D．
练12.（04年全国卷二.理7）已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，则球心O到平面ABC的距离为（ ）
A． B． C． D．
练13.（04年北京卷.理11文12）某地球仪上北纬纬线的长度为，该地球仪的半径是________cm，表面积是________cm2.
练14.（04年江苏卷.4）一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是 ( )
A． B. C. D.
练15.（04年福建卷.文理10）如图，A、B、C是表面积为的球面上三点，，，，O为球心，则直线OA与截面ABC所成的角是( ).
A. B. C． D.高考中直线和圆的基础考查题型
广东省中山市东升高中 高建彪
在高考中，直线与圆的考查常以一个小题形式出现. 我们把2004年全国各地的高考卷归类如下：
一、相切问题：
例1．（04年辽宁卷.13）若经过点的直线与圆相切，则此直线在y轴上的截距是 .
【解】
点评：研究直线和圆的相切，简捷的方法是利用公式，还可以由方程组只有一个实根进行解答. 选择恰当的方法，是我们解题的一种能力.
练1．（04年全国卷三. 文5理4）圆在点处的切线方程为（ ）.
A.　 B. C. 　D.
练2．（04年江苏卷.14）以点为圆心，与直线相切的圆的方程是_________.
练3．（04年全国卷一. 文15理14）由动点P向圆引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60°，则动点P的轨迹方程为 .
练4．（04年湖北卷.文4）两个圆与
的公切线有且仅有（ ）.
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
练5．（04年重庆卷.文理3）圆的圆心到直线的距离为（ ）. A . 2 B. C. 1 D.
二、公共点问题：
例2．（04年北京卷.理12）曲线C：（为参数）的普通方程是________，如果曲线C与直线有公共点，那么实数a的取值范围是_______.
【解】
点评：研究直线与圆的公共点，可以比较圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系. 当时，直线与圆相交，有两个公共点；当时，直线与圆相切，只有一个公共点；当时，直线与圆相离，没有公共点. 当然，我们还可用方程思想解答.
练6．（04年天津卷文7）若过定点且斜率为的直线与圆在第一象限内的部分有交点，则的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
练7．（04年北京卷.文11）圆的圆心坐标是 ，如果直线与该圆有公共点，那么实数a的取值范围是______.
练8．（04年福建卷.文理13）直线被曲线所截得的弦长等于 .
三、方程问题：
例3．（04年上海卷.文理8）圆心在直线上的圆C与y轴交于两点, 则圆C的方程为 .
【解】
点评：直接由已知条件与几何性质求出圆心和半径，写出圆的标准方程. 也可以用待定系数法，设圆标准方程或一般方程，代入已知条件列出三个方程并求解,待定系数法、代入法、方程思想、几何性质都离不开.
练9．（04年天津卷理7）若为圆的弦AB的中点，则直线AB的方程是（ ）.
A. B. C. D.
练10．（04年全国卷二.文8）已知点A（1，2）、B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（ ）.
A． B． C． D．
四、对称问题：
例4．（04年全国卷二.文理4）已知圆C与圆关于直线对称，则圆C的方程为（ ）.
A. B. C. D.
【解】
点评：圆关于直线的对称图形仍然是圆，半径不变，圆心关于直线对称. 我们要掌握一些常见对称问题的解答思路，例如点关于直线的对称，曲线关于直线的对称，曲线关于点的对称等，解答理论基础有中点坐标公式、垂直时斜率乘积为－1、代入法、转化思想.同时，我们也要掌握一些简单对称，如点关于直线的对称点为.
五、最值问题：
例5．（04年全国卷三. 文16）设P为圆上的动点，则点P到直线的距离的最小值为 .
【解】
点评：通过参数法，将几何问题转化为三角值域研究. 也可设切线，由求出C，最后由两平行线间距离公式求出最小值.
六、线性规划问题：
例6．（04年广东卷.10）变量x、y满足下列条件：
, 则使z=3x+2y的值最小的（x，y）是（ ）.
A. ( 4.5 ,3 ) B. ( 3,6 ) C. ( 9, 2 ) D. ( 6, 4 )
【解】
点评：线性规划的关键是作出线性约束条件的可行域，此题的可行区域只是一条线段. 同时，要理解目标函数的几何意义，作图时要注意比较直线的斜率而确定位置.
练11．（04年浙江卷.理5）设z=x—y ,式中变量x和y满足条件则z的最小值为（ ）. A. 1 B. –1 C. 3 D. –3
七、图像研究：
例7．（04年全国卷二.理8）在坐标平面内，与点距离为1，且与点距离为2的直线共有（ ）.
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【解】
点评：将直线条数的研究，巧妙地转化为两圆公切线的条数.也可以通过对图像的分析，比较线段AB长与两个距离和或差的关系.
练12．（04年湖北卷.文2）已知点和. 直线与线段M1M2的交点M分有向线段M1M2的比为3：2，则m的值为（ ）.
A． B． C． D．4
练13．（04年湖南卷.文2）设直线的倾斜角为，且sin+cos=0，则a,b满足（ ）.
A． B． C． D．
练14．（04年广东卷.12）如右图,定圆半径为a，圆心为 ( b ,c ), 则直线与直线 的交点在( ).
A. 第四象限 B. 第三象限
C. 第二象限 D. 第一象限
练15．（04年浙江卷.文2）直线与直线的夹角是（ ）.
（A） （B） （C） （D）
小结语：直线与圆的相切研究，是高考考查的重要内容. 同时，我们要熟记直线与圆的各种方程、几何性质，也要掌握一些常用公式，例如点线距离公式、两直线夹角公式等. 只有知识熟练，灵活运用方法，才能迅速解题.
答案：例1～7. 1；，；C；1；B；
练1～5. D；；； B； D
练6～10. A； ；；A；B
练11～15. A；D; D; B; A
2004年高考卷归类练习（直线与圆基础）
一、相切问题：
例1．（04年辽宁卷.13）若经过点的直线与圆相切，则此直线在y轴上的截距是 .
练1．（04年全国卷三. 文5理4）圆在点处的切线方程为（ ）.
A.　 B. C. 　D.
练2．（04年江苏卷.14）以点为圆心，与直线相切的圆的方程是_________.
练3．（04年全国卷一. 文15理14）由动点P向圆引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60°，则动点P的轨迹方程为 .
练4．（04年湖北卷.文4）两个圆与
的公切线有且仅有（ ）.
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
练5．（04年重庆卷.文理3）圆的圆心到直线的距离为（ ）. A . 2 B. C. 1 D.
二、公共点问题：
例2．（04年北京卷.理12）曲线C：（为参数）的普通方程是________，如果曲线C与直线有公共点，那么实数a的取值范围是_______.
练6．（04年天津卷文7）若过定点且斜率为的直线与圆在第一象限内的部分有交点，则的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
练7．（04年北京卷.文11）圆的圆心坐标是 ，如果直线与该圆有公共点，那么实数a的取值范围是______.
练8．（04年福建卷.文理13）直线被曲线所截得的弦长等于 .
三、方程问题：
例3．（04年上海卷.文理8）圆心在直线上的圆C与y轴交于两点, 则圆C的方程为 .
练9．（04年天津卷理7）若为圆的弦AB的中点，则直线AB的方程是（ ）.
A. B. C. D.
练10．（04年全国卷二.文8）已知点A（1，2）、B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（ ）.
A． B． C． D．
四、对称问题：
例4．（04年全国卷二.文理4）已知圆C与圆关于直线对称，则圆C的方程为（ ）.
A. B. C. D.
五、最值问题：
例5．（04年全国卷三. 文16）设P为圆上的动点，则点P到直线的距离的最小值为 .
六、线性规划问题：
例6．（04年广东卷.10）变量x、y满足下列条件：
, 则使z=3x+2y的值最小的（x，y）是（ ）.
A. ( 4.5 ,3 ) B. ( 3,6 ) C. ( 9, 2 ) D. ( 6, 4 )
练11．（04年浙江卷.理5）设z=x—y ,式中变量x和y满足条件则z的最小值为（ ）. A. 1 B. –1 C. 3 D. –3
七、图像研究：
例7．（04年全国卷二.理8）在坐标平面内，与点距离为1，且与点距离为2的直线共有（ ）.
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
练12．（04年湖北卷.文2）已知点和. 直线与线段M1M2的交点M分有向线段M1M2的比为3：2，则m的值为（ ）.
A． B． C． D．4
练13．（04年湖南卷.文2）设直线的倾斜角为，且sin+cos=0，则a,b满足（ ）.
A． B． C． D．
练14．（04年广东卷.12）如右图,定圆半径为a，圆心为 ( b ,c ), 则直线与直线 的交点在( ).
A. 第四象限 B. 第三象限
C. 第二象限 D. 第一象限
练15．（04年浙江卷.文2）直线与直线的夹角是（ ）.
（A） （B） （C） （D）从2004年高考题看三角性质如何考
广东省中山市东升高中 高建彪
三角知识的考查，在高考中占有较大的比例，试卷中常有2个以上小题，1个大题.而三角性质又是三角知识的重中之中. 我们在学习中，要掌握三角性质考查的基本题型及常用方法. 下面以2004年高考数学题进行分析.
一、图像变换：
例1.（04年全国卷一.文理9）为了得到函数的图像，可以将函数的图像（ ）.
A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度
【解】
点评：利用诱导公式“化同名”，再运用变换，理解熟记变换尤其重要.
二、最小正周期：
例2.（04年全国卷二.文理11）函数的最小正周期为（ ）.
A. B. C. D.
【解】
点评：目标是“化一”，手段是三角变形，关键是活用平方关系、倍角公式与.
练1.（04年全国卷三.文理2）函数的最小正周期是（ ）.
A. B. C. D.
练2.（04年全国卷四.文14）已知函数的最小正周期为，则= .
练3.（04年北京卷.文9）函数的最小正周期是 .
练4.（04年北京卷.理9）函数的最小正周期是 .
练5.（04年江苏卷.2）函数的最小正周期为（ ）.
A. B. C. D.
三、最小值与最大值：
例3. （04年全国卷三.理14）函数在区间上的最小值为 .
【解】
点评：形如的函数都可“化一”为进行研究.若是研究给定区间上的最小值或最大值，需求出.若是研究范围内，则与无关.
例4 （04年广东卷.9）当时，函数的最小值是（ ）. A. B. C. 2 D. 4
【解】
点评：通过“弦化切”、“配方法”与“二次函数的性质”等途径,研究三角值域.
练6：（04年全国卷三.文15）函数的最大值为 .
练7.（04年全国卷四.文10）函数的最小值等于（ ）. A. －3 B. －2 C. －1 D.
练8.（04年全国卷四.理15）函数的最大值等于 .
四、单调区间：
例5.（04年天津卷.理9）函数为增函数的区间是（ ）.
A. B. C. D.
【解】
点评：三角函数单调区间的研究，常用“整体思想”，注意结合三角函数的图像.在这里，的系数符号影响了单调性.
五、图像特征：
例6.（04年辽宁卷.11）若函数的图象（部分）如图所示，则的取值是（ ）.
A． B．
C． D．
【解】
点评：由所给出部分图像，看出振幅、周期与初相等相关联系. 关键是关注最高点与最低点，图像与坐标轴的交点等.
练9.（04年全国卷二.5）已知函数的图像过点，则可以是（ ）. A. B. C. D.
六、性质综合：
例7. （04年重庆卷.文理17）求函数的最小正周期和最小值；并写出该函数在的单调递增区间.
【解】
点评：三角性质的研究，“化一”是主要手段，同时要结合三角函数的图像进行分析，并注意整体意识.
练10.（04年广东卷.5）函数是（ ）.
A.周期为的奇函数 B.周期为的偶函数
C.周期为的奇函数 D.周期为的偶函数
练11.（04年广东卷.11）若，则（ ）.
A. B.
C. D.
练12.（04年辽宁卷.1）若，且，则角的终边所在象限是（ ）.
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
练13.（04年全国卷一.理17）求函数的最小正周期、最大值和最小值.
小结语：常见的题型，常用的解题方法，常考的知识点，这些都需要我们反复练习，达到熟能生巧的程度，从而形成一定的解题能力和解题技巧.（写于2005年1月18日）
答案：例1～7. B, B, 1, D, C, C,
练习1～5,C,,,,B；练习6～10,,C,,A,A；练习11~13,A,D,,,.
2004年高考卷归类练习（三角性质）
一、图像变换：
例1.（04年全国卷一.文理9）为了得到函数的图像，可以将函数的图像（ ）.
A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度
二、最小正周期：
例2.（04年全国卷二.文理11）函数的最小正周期为（ ）.
A. B. C. D.
练1.（04年全国卷三.文理2）函数的最小正周期是（ ）.
A. B. C. D.
练2.（04年全国卷四.文14）已知函数的最小正周期为，则= .
练3.（04年北京卷.文9）函数的最小正周期是 .
练4.（04年北京卷.理9）函数的最小正周期是 .
练5.（04年江苏卷.2）函数的最小正周期为（ ）.
A. B. C. D.
三、最小值与最大值：
例3. （04年全国卷三.理14）函数在区间上的最小值为 .
例4 （04年广东卷.9）当时，函数的最小值是（ ）. A. B. C. 2 D. 4
练6：（04年全国卷三.文15）函数的最大值为 .
练7.（04年全国卷四.文10）函数的最小值等于（ ）. A. －3 B. －2 C. －1 D.
练8.（04年全国卷四.理15）函数的最大值等于 .
四、单调区间：
例5.（04年天津卷.理9）函数为增函数的区间是（ ）.
A. B. C. D.
五、图像特征：
例6.（04年辽宁卷.11）若函数的图象（部分）如图所示，则的取值是（ ）.
A． B．
C． D．
练9.（04年全国卷二.5）已知函数的图像过点，则可以是（ ）. A. B. C. D.
六、性质综合：
例7. （04年重庆卷.文理17）求函数的最小正周期和最小值；并写出该函数在的单调递增区间.
练10.（04年广东卷.5）函数是（ ）.
A.周期为的奇函数 B.周期为的偶函数
C.周期为的奇函数 D.周期为的偶函数
练11.（04年广东卷.11）若，则（ ）.
A. B.
C. D.
练12.（04年辽宁卷.1）若，且，则角的终边所在象限是（ ）.
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
练13.（04年全国卷一.理17）求函数的最小正周期、最大值和最小值.概率高考题型解答思路之排列组合基本方法篇
广东省中山市东升高中 高建彪
由于概率与统计紧密联系生活实际，所以高考卷中出现的频率比较高，在复习中要引起重视. 在高考中，概率计算有哪些类型，解答思路有哪些？下面从概率题用排列组合基本方法解决的角度，以2004年的高考题进行分析.
一、用组合计数法求概率：
例1.（04年全国卷一.文20）从10位同学（其中6女，4男）中随机选出3位参加测验. 每位女同学能通过测验的概率均为，每位男同学能通过测验的概率均为.试求：（I）选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；（II）10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率.
【解】
点评：“至少”与“至多”问题，可用“排除法”或“分类加法”，特别注意不能用优先法. 有比较明确的选择条件时，才采用“优先法”，先考虑所提的选择条件. 这种概率题型，考查较多，它是有条件的挑选，且不需考虑顺序，解答时，关键是组合计数，概率计算用组合计数的比值来求，即符合条件的组合数与选出的组合总数之比.
练1.（04年全国卷二.理18）已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A、B两组，每组4支，求：（Ⅰ）A、B两组中有一组恰有两支弱队的概率；（Ⅱ）A组中至少有两支弱队的概率.
练2.（04年天津卷.文18）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛. （Ⅰ）求所选3人都是男生的概率；（Ⅱ）求所选3人中恰有1名女生的概率；（Ⅲ）求所选3人中至少有1名女生的概率.
练3.（04年广东卷.13）某班委会由4名男生与3名女生组成,现从中选出2人担任正副班长,其中至少有1名女生当选的概率是 (用分数作答)
二、用排列计数法求概率：
例2.（04年重庆卷.理11）某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为（ ） A. B. C. D.
【解】
点评：关键是求出符合条件的排列数. 在排列计数时，相邻问题用“捆绑法”，不相邻问题用“插空法”.有序排列的概率计算就是符合条件的排列数与总排列数之比.
练4.（04年重庆卷.文11）已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯炮，这些灯炮的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯炮使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第3次才取得卡口灯炮的概率为（ ）
A. B. C. D.
三、用“分类加”与“分步乘”两大基本原理求概率：
例3.（04年全国卷一.理11）从数字1,2,3,4,5中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（ ）
A. B. C. D.
【解】
点评：此题与抛2～3枚筛子问题的研究思路相同，关键是将1～5的数字组成三位数的数字和问题，类比为抛筛子的点数和问题，按个位数字将前两位数字和分类，用“纵横轴图示法”分析前两位数字和的情况.分类加法原理求出符合条件的计数，分步乘法原理求出总计数，两个计数结果的比就是所求概率.
练5.（04年全国卷一.文11）从1,2,…,9这九个数种，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是（ ）. A. B. C. D.
练6.（04年辽宁卷.5）甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是（ ）.
A. B. C. D.
练7.（04年全国卷四.文20）某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题. 竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得零分. 假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8，0.7，0.6. 且各题答对与否相互之间没有影响.（Ⅰ）求这名同学得300分的概率；（Ⅱ）求这名同学至少得300分的概率.
小结语：概率的计算，以分类加与分步乘两大基本原理为分析基础，以组合计数与排列计数为工具，以概率计算公式为依据. 关键是正确分析事件的情况、步骤和实施方法等，然后用我们的数学知识求解.
（写于2005年2月1日）
答案：例1～3. ，； B； D；
练1～7. ，； ； ； D； C； B； 0.228, 0.564
2004年高考卷归类练习（概率之排列组合方法篇）
一、用组合计数法求概率：
例1.（04年全国卷一.文20）从10位同学（其中6女，4男）中随机选出3位参加测验. 每位女同学能通过测验的概率均为，每位男同学能通过测验的概率均为.试求：（I）选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；（II）10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率.
练1.（04年全国卷二.理18）已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A、B两组，每组4支，求：（Ⅰ）A、B两组中有一组恰有两支弱队的概率；（Ⅱ）A组中至少有两支弱队的概率.
练2.（04年天津卷.文18）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛. （Ⅰ）求所选3人都是男生的概率；（Ⅱ）求所选3人中恰有1名女生的概率；（Ⅲ）求所选3人中至少有1名女生的概率.
练3.（04年广东卷.13）某班委会由4名男生与3名女生组成,现从中选出2人担任正副班长,其中至少有1名女生当选的概率是 (用分数作答)
二、用排列计数法求概率：
例2.（04年重庆卷.理11）某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为（ ） A. B. C. D.
练4.（04年重庆卷.文11）已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯炮，这些灯炮的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯炮使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第3次才取得卡口灯炮的概率为（ ）
A. B. C. D.
三、用“分类加”与“分步乘”两大基本原理求概率：
例3.（04年全国卷一.理11）从数字1,2,3,4,5中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（ ）
A. B. C. D.
练5.（04年全国卷一.文11）从1,2,…,9这九个数种，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是（ ）. A. B. C. D.
练6.（04年辽宁卷.5）甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是（ ）.
A. B. C. D.
练7.（04年全国卷四.文20）某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题. 竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得零分. 假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8，0.7，0.6. 且各题答对与否相互之间没有影响.（Ⅰ）求这名同学得300分的概率；（Ⅱ）求这名同学至少得300分的概率.从2004年高考题看复数如何考
广东省中山市东升高中 高建彪
新的高中数学教学大纲中，复数仅被列为理科限定的选修内容，在高考试题中所占的比例逐渐下降，目前一般以一道选择题或填空题的形式出现，分值为4分～5分. 考查的知识点主要是：复数的相关概念，例如复数的相等、复数的模、共轭复数、复数是实数或纯虚数的条件；复数的代数运算，例如加、减、乘、除等；复数的一些性质，例如几何意义、的幂式性质等. 下面以2004年的高考数学题为例，谈谈在高考中复数如何考.
一、复数的概念：
例1.（2004年辽宁卷.4）设复数满足，则=（ ）.
A. 0 B. 1 C. D. 2
【解】
点评：由已知求出，根据复数的模完成解答. 关键是先求.
例2.（2004年浙江卷.理6）已知复数，，且是实数，则实数=（ ）. A. B. C. D.
【解】
点评：本题考查了复数的两个概念，复数的共轭复数是，复数. 考查概念的同时，复数的乘法运算也交汇进来.
练1：（2004年广东卷.14）已知复数与均是纯虚数，则= .
二、复数的代数运算：
例3.（2004年全国卷一.理1）（ ）.
A. B. C. －2 D. 2
【解】
点评：本题考查了复数乘法中乘法公式的运用，特别注意虚数单位的性质“”.
例4.（2004年全国卷四.理4）=（ ）.
A. B. C. D.
【解】
点评：本题考查了复数运算中的乘法与除法，乘法中注意乘法公式的运用，及. 除法中注意乘以分母共轭而实数化. 本题若先乘以将分母实数化，计算将较繁琐.
复数代数运算的考查重点是乘法、除法，特别是两种运算的交汇，解答的关键是三点：乘法公式的运用；分母乘以共轭而分母实数化；. 复数代数运算的熟练情况如何？同学们试试解答以下几个高考小题.
练2.（2004年天津卷.理1）是虚数单位，=（ ）.
A. B. C. D.
练3.（2004年湖北卷.理2）复数的值是（ ）.
A. －16 B. 16 C. D.
练4.（2004年湖南卷.理1）复数的值是（ ）.
A. B. C. 4 D. －4
练5.（2004年重庆卷.理2）设复数，则=（ ）.
A. －3 B. 3 C. D.
三、复数的相关性质：
例5.（2004年全国卷二.理3）设复数，则=（ ）.
A. B. C. D.
【解】
点评：巧妙地利用这一性质，进行代数变形解决问题. 关键是乘法公式的运用.本题也可以将代入各选择分支进行计算，然后与进行比较.
例6.（2004年福建卷.理1）复数的值是（ ）.
A. －1 B. 1 C. －32 D. 32
【解】
点评：先由复数除法与乘法运算化简后，再运用性质“，，，”简化最后的结果.
小结语：从2004年11套高考卷的复数考题中，我们可以看到，复数的考查主要是复数的代数运算. 运算中要注意乘法公式的运用，，乘以分母共轭而分母实数化. 同时，基本概念（模、相等、纯虚数）的掌握，基本性质的利用等, 也不能忽视. 复习时，特别注意不能加深练习的难度.
答案：
例1～6 C, A, D, D, C, A
练1～5 ，D, A, D, A
2004年高考卷归类练习（复数）
一、复数的概念：
例1.（2004年辽宁卷.4）设复数满足，则=（ ）.
例2.（2004年浙江卷.理6）已知复数，，且是实数，则实数=（ ）
二、复数的代数运算：
例3.（2004年全国卷一.理1）（ ）.
例4.（2004年全国卷四.理4）=（ ）.
练2.（2004年天津卷.理1）是虚数单位，=（ ）.
练3.（2004年湖北卷.理2）复数的值是（ ）.
练4.（2004年湖南卷.理1）复数的值是（ ）.
练5.（2004年重庆卷.理2）设复数，则=（ ）.
三、复数的相关性质：
例5.（2004年全国卷二.理3）设复数，则=（ ）.
A. B. C. D.
例6.（2004年福建卷.理1）复数的值是（ ）.从2004年高考题看排列组合应用问题的解法
广东省中山市东升高中 高建彪
在高考中，排列组合应用问题常以一道选择题或填空题的形式出现，也常联系概率知识考查. 下面我们以2004年的高考题为例，探讨排列组合应用问题的常考题型与解法.
一、组数问题：
例1.（2004年全国卷二.文理12）在由数字1,2,3,4,5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（ ）. A. 56个 B. 57个 C. 58个 D. 60个
【解】
点评：组数问题，要注意是否允许数字重复. 选取符合条件的数时，要正确进行分类或分步. 分类或分布的计数过程中，要注意不遗漏，也不重复. 在进行与大小相关的组数时，解题的关键是从高位往低位依次分析，而正确分出各细类.
练1.（2004年天津卷.理16）从1,3,5,7中任取2个数字，从0,2,4,6,8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有 个.
二、分配问题：
例2.（2004年全国卷三.文理12）将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（ ）. A.12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种
【解】
点评：分析清楚分配进行的程序，是分配问题的解答关键. 此解关键是先分三组，其中一组为2人，有“捆绑法”的效应. 易错为，先挑选三人进行分配()，再分配最后1人()，这种分配计数()出现了重复.同学们可以思考如何重复的？
练2.（2004年福建卷.理6）某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为（ ）.
A. B. C. D.
练3.（2004年全国卷四.文理9）从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（ ）. A. 210种 B. 420种 C. 630种 D. 840种
三、几何问题：
例3.（2004年北京卷.理7）从长度分别为1,2,3,4,5的五条线段中，任取三条的不同取法共有种. 在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为，则等于（ ）. A. B. C. D.
【解】
点评：分析取出三边组成三角形情况时，要有一定的思维顺序.由最短边可能性，若最短边是1时，2,3,4,5都不可能；最短边是2时，有2,3,4与2,4,5两种情况；最短边是3时，只有3,4,5一种情况. 然后由“”判别哪些是钝角三角形.
练4.（2004年湖南卷.文理10）从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为（ ）. A. 56 B. 52 C. 48 D. 40
四、排队问题：
例4.（2004年辽宁卷.12）有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这两人不左右相邻，那么不同的排法的种数是（ ）. A. 234 B. 346 C. 350 D. 363
【解】
点评：本题的关键之一是对两人就坐的情况正确分类，关键之二是处理两人不相邻的问题，在这里用“排除法”与“捆绑法”两种思路解决不相邻问题，当然也可以用“插空法”，如情况一，可以计为，注意不能是，原因是不需考虑10个空位排列数.
五、与概率交汇：
例5.（2004年广东卷.13）某班委会由4名男生与3名女生组成. 现从中选出2人担任正副班长，其中至少1名女生当选的概率是 .（用分数作答）
【解】
点评：与概率交汇时，实际上是计算两个数目. 这里一个是选出2人的选法数，另一个是至少1名女生的挑选数，“至少1名”可以用“分类加”或“排除法” 完成计算.
六、创新问题：
例6.（2004年浙江卷.理15）设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿轴跳动，每次向正方向或负方向跳一个单位，经过5次跳动质点落在点（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有 种.（用数字作答）
【解】
点评：创新背景的问题，注意理解透彻，将问题转化为排列、组合计数. 关键在于理解后实施转化.本题易错为种，错误原因是没有考虑需要抵消向负方向跳.
练5.（2004年湖北卷.理14）将标号为1,2,…,10的10个求放入标号为1,2,…,10的10个盒子内，每个盒内放一个球，恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有 种.（数字作答）
小结语：排列组合的应用问题，必须掌握常见题型，常用解法. 要明确事件的过程，正确分类与分步，计数不重复不遗漏，难在理解新题并转化. （写于2004年1月15日）
(本文适合高二、高三学生阅读)
答案：例1～6. C， C， B, B, ， 5
练1～5. 300, B， B, C, 240
2004年高考卷归类练习（排列组合应用题）
一、组数问题：
例1.（2004年全国卷二.文理12）在由数字1,2,3,4,5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（ ）. A. 56个 B. 57个 C. 58个 D. 60个
练1.（2004年天津卷.理16）从1,3,5,7中任取2个数字，从0,2,4,6,8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有 个.
二、分配问题：
例2.（2004年全国卷三.文理12）将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（ ）. A.12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种
练2.（2004年福建卷.理6）某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为（ ）.
A. B. C. D.
练3.（2004年全国卷四.文理9）从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（ ）. A. 210种 B. 420种 C. 630种 D. 840种
三、几何问题：
例3.（2004年北京卷.理7）从长度分别为1,2,3,4,5的五条线段中，任取三条的不同取法共有种. 在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为，则等于（ ）. A. B. C. D.
练4.（2004年湖南卷.文理10）从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为（ ）. A. 56 B. 52 C. 48 D. 40
四、排队问题：
例4.（2004年辽宁卷.12）有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这两人不左右相邻，那么不同的排法的种数是（ ）. A. 234 B. 346 C. 350 D. 363
五、与概率交汇：
例5.（2004年广东卷.13）某班委会由4名男生与3名女生组成. 现从中选出2人担任正副班长，其中至少1名女生当选的概率是 .（用分数作答）
六、创新问题：
例6.（2004年浙江卷.理15）设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿轴跳动，每次向正方向或负方向跳一个单位，经过5次跳动质点落在点（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有 种.（用数字作答）
练5.（2004年湖北卷.理14）将标号为1,2,…,10的10个求放入标号为1,2,…,10的10个盒子内，每个盒内放一个球，恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有 种.（数字作答）从2004年高考题看三角求值的通法
广东省中山市东升高中 高建彪
三角函数的研究问题中，常常给定一个已知条件，然后求一个三角函数式的值，这是三角中常见的给值求值问题，下面我们以2004年的高考题，谈谈常用的方法。
一、直接公式法：
例1.（2004年全国卷一.文6）设，若，则=（ ）
A. B. C. D.
【解】
点评：本题直接运用及两个公式，同时结合了象限定三角符号的知识. 直接应用公式解决问题，是我们最常用的方法.关键是我们对公式须十分熟练，且能变形使用.
二、弦切互化：
例2.（2004年全国卷二.理17）已知锐角三角形ABC中，，=. （Ⅰ）求证；（Ⅱ）设AB=3，求AB边上的高.
【解】
点评：在三角问题中，既含切又含弦时，弦切互化是我们的通法，互化的依据就是应用公式. 弦化切时，往往是除以，切化弦时，直接代入公式. 本题第Ⅰ问虽是证明，但实际上也是一种求值，如求，第Ⅰ问也可以由两已知式展开后，由方程组思想相加、相减得与，两式相除后弦化切得证.
2004年江苏高考数学卷第17题：已知，，求的值.
三、优先化简法：
例3.（2004年全国卷三.理17）已知为锐角，且，求的值.
【解】
点评：已知条件或者所求式中，若有比较复杂的式子，则优先化繁为简，关键是三角公式的熟练运用，也要注意化简的过程是等价变形，本题顺用、逆用了倍角公式.
优先化简的熟练程度如何，我们可以练习做如下试题：
练2.（2004年全国卷四.文17）已知为第二象限角，且，求的值.
练3.（2004年天津卷.文理17）已知. （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.
四、基本技能技巧法：
例4.（2004年湖南卷.文17）已知，求的值.
【解】
点评：主要技巧是“1的妙用”，将1换为. 其次是应用弦化切.
例5.（2004年湖南卷.文17）已知，，求的值.
【解】
点评：主要技巧是“变角”，将已知式和所求式的角度都转化为. 另一技巧是“降次”，依据是倍角公式. 同时有切化弦、通分等。2004年湖北卷.文理17题，已知，，求的值. 其解答的技巧“因式分解”，将先已知式因式分解，求出，再将所求式“弦化切”.
小结语：求解“三角中给值求值”一类问题，类似于代数式中的给值求值，关键在于代数变形，只是变形过程中要用到许多三角公式与技能技巧. 这里讨论的通法，也适应于求解其他三角问题，如三角中单调性、值域、周期的研究. 思想方法是我们学习的精髓.
答案：例1～5. B; ; ; ;
练1～4. ; ; ，;
2004年高考卷归类练习（三角求值）
一、直接公式法：
例1.（2004年全国卷一.文6）设，若，则=（ ）
A. B. C. D.
二、弦切互化：
例2.（2004年全国卷二.理17）已知锐角三角形ABC中，，=. （Ⅰ）求证；（Ⅱ）设AB=3，求AB边上的高.
练1.(2004年江苏高考数学卷第17题)已知，，求的值.
三、优先化简法：
例3.（2004年全国卷三.理17）已知为锐角，且，求的值.
练2.（2004年全国卷四.文17）已知为第二象限角，且，求的值.
练3.（2004年天津卷.文理17）已知. （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.
四、基本技能技巧法：
例4.（2004年湖南卷.文17）已知，求的值.
【解】
例5.（2004年湖南卷.文17）已知，，求的值.
练4.（2004年湖北卷.文理17题）已知，，求的值. 其解答的技巧“因式分解”，将先已知式因式分解，求出，再将所求式“弦化切”.
（写于2005年1月7日）数列基础题
广东省中山市东升高中 高建彪
练习.（04年全国卷一.文14）已知等比数列{则该数列的通项= 3·2n－3 .
练习.（04年全国卷三.理3）设数列是等差数列，且，，是数列的前项和，则
（A）　　　（B）　　　（C）　　　　（D）
练习.（04年全国卷三.文4）等比数列中， ，则的前4项和为（B）
A． 81 B． 120 C．168 D． 192
练习.（04年上海卷.文理12）若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设{an}是公比为q的无穷等比数列,下列{an}的四组量中,一定能成为该数列“基本量”的是第 ①、④ 组.(写出所有符合要求的组号)
①S1与S2; ②a2与S3; ③a1与an; ④q与an.
其中n为大于1的整数, Sn为{an}的前n项和.
练习.（04年北京卷.文理14）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。
已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为______________，这个数列的前n项和的计算公式为________________
(3 当n为偶数时，；当n为奇数时，)
练习.（04年天津卷.理8）已知数列，那么“对任意的，点都在直线上”是“为等差数列”的（B）
A. 必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
练习.（04年浙江卷.文理3）已知等差数列的公差为2,若成等比数列, 则=(B)
(A) –4 (B) –6 (C) –8 (D) –10
练习.（04年浙江卷.文5）设Sn是等差数列的前n项和，若 （ A ）
A．1 B．－1 C．2 D．
练习.（04年湖北卷.文9理8）已知数列{an}的前项和，其中a、b是非零常数。则存在数列{}、{}使得（C）
（A）an=+ 其中{}为等差数列，{}为等比数列
（B）an=+，其中{}和{}都为等差数列
（C）an=·，其中{}为等差数是列，{}为等比数列
（D）an=· 其中{}和{}都为等比数列
练习.（04年重庆卷.文理9）若数列是等差数列，首项，则使前n项和成立的最大自然数n是：（ B ）
A 4005 B 4006 C 4007 D 4008
练习.（04年湖南卷.理8）数列中，则=（C）
（A） （B） （C） （D）
练习.（04年全国卷一.文17）等差数列{}的前n项和记为Sn.已知
（Ⅰ）求通项；
（Ⅱ）若Sn=242，求n.
解：（Ⅰ）由得方程组
……4分 解得 所以
（Ⅱ）由得方程
……10分 解得
练习.（04年全国卷二.文17）已知等差数列{}，
（Ⅰ）求{}的通项公式；
（Ⅱ）令，求数列的前n项和Sn.
解：（Ⅰ）设数列的公差为d，依题意得方程组
解得
所以的通项公式为
（Ⅱ）由所以是首项，公式的等比数列.
于是得的前n项和
练习.（04年全国卷三.文19）设数列是公差不为零的等差数列，Sn是数列的前n项和，且
，求数列的通项公式.
解：设等差数列的公差为d，由及已知条件得
， ①
②
由②得，代入①有
解得 当舍去.
因此
故数列的通项公式
练习.（04年天津卷.文20）设是一个公差为的等差数列，它的前10项和且，，成等比数列。
（1）证明；（2）求公差的值和数列的通项公式。
（1）证明：因，，成等比数列，故
而是等差数列，有，
于是
即
化简得
（2）解：由条件和，得到
由（1），，代入上式得
故 ，
因此，数列的通项公式为，。
练习.（04年湖南卷.文20）已知数列{an}是首项为a且公比q不等于1的等比数列，Sn是其前n项的和，a1,2a7,3a4 成等差数列.
（I）证明 12S3,S6,S12-S6成等比数列；
（II）求和Tn=a1+2a4+3a7+…+na3n-2.
（Ⅰ）证明 由成等差数列， 得，
即 变形得
所以（舍去）.
由
得 所以12S3，S6，S12－S6成等比数列.
（Ⅱ）解：
即 ①
①×得：
所以广东省中山市东升高中高三数学第二轮复习讲义
（高考知识点专题）
04-1-高考2004年归类(三角性质)
04-2-高考2004年归类(三角求值)
05-1-高考2004年归类(平面向量)
06-1-高考2004年归类(不等式基础)
07-1-高考2004年归类(直线和圆基础)
08-1-高考2004年归类(圆锥曲线基础)
09-1-高考2004年归类(立体理论小题)
09-2-高考2004年归类(立几计算小题)
09-3-高考2004年归类(立体几何大题)
10-1-高考2004年归类(排列组合应用问题)
10-2-高考2004年归类(二项式定理)
10-3-高考2004年归类(概率-排列组合篇)
10-4-高考2004年归类(概率-概率公式篇)
11-1-高考2004年归类(分布列、期望与方差)
12-1-高考2004年归类(极限)
13-1-高考2004年归类(导数基础)
13-2-高考2004年归类(导数综合)
14-1-高考2004年归类(复数)
15-1-高考创新思维题型速递
说明:
（1）印发讲义为WORD版,教师用讲义为FLASH版，也可作为上课用课件（比例调整到182℅）。
（2）因某些原因，第1～3章未进行整理。只能说句抱歉。
（3）三角性质、平面向量、高考创新思维题型速递等三篇文章，分别刊于《广东教育.高中05.6》、《数学周报.高一新课标》、《数理报.高考数学》函数基础题
广东省中山市东升高中 高建彪
练习.（04年全国卷一.理2）已知函数 （ B ）
A．b B．－b C． D．－
练习.（04年全国卷一.文2）已知函数（ B ）
A． B．－ C．2 D．－2
练习.（04年全国卷一.文理4）函数的反函数是（ B ）
A．y=x2－2x+2(x<1) B．y=x2－2x+2(x≥1)
C．y=x2－2x (x<1) D．y=x2－2x (x≥1)
练习.（04年全国卷二.文7理6）函数的图象（ D ）
A．与的图象关于y轴对称 B．与的图象关于坐标原点对称
C．与的图象关于y轴对称 D．与的图象关于坐标原点对称
练习.（04年全国卷二.文2）函数的反函数是（ A ）
A． B．
C． D．
练习.（04年全国卷三.理5）函数的定义域为
（A）　　　　　　　　（B）
（C） 　　　　　　　　　　（D）
练习.（04年全国卷三.文13）函数的定义域是 .
练习.（04年全国卷三.理11）设函数，则使得的自变量的取值范围为
（A） 　　　　　　(B)
（C）　　　　　　　（D）
练习.（04年全国卷三.理15）已知函数是奇函数，则当时，，设的反函数是，则　　　　　　　　　
练习.（04年全国卷三.文3）记函数的反函数为，则（B ）
A． 2 B． C． 3 D．
练习.（04年上海卷.文理5）设奇函数的定义域为. 若当时,
的图象如右图,则不等式的
解是 .
练习.（04年上海卷.文理10）若函数f(x)=a在[0,+∞]上为增函数,则实数a、b的取值范围是 a>0且b≤0 .
练习.（04年上海卷.文15）若函数的图象与函数的图象关于直线对称,则=（ A ）.
A. B. . C. . D.
练习.（04年北京卷.文7理5）函数在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是（D）
A. B. C. D.
练习.（04年北京卷.文理13）在函数中，若a，b，c成等比数列且，则有最_____值（填“大”或“小”），且该值为________大 -3______
练习.（04年天津卷.文6理5）若函数在区间上的最大值是最小值的3倍，则a=（A）
A. B. C. D.
练习.（04年天津卷.理11）函数（）的反函数是（D）
A. B.
C. D.
练习.（04年天津卷.文9）函数的反函数是（D）
A. B.
C. D.
练习.（04年江苏卷.8）若函数的图象过两点(-1，0)和(0，1)，则( A )
(A)a=2,b=2 (B)a=,b=2 (C)a=2,b=1 (D)a=,b=
练习.（04年江苏卷.11）设k>1，f(x)=k(x-1)(x∈R) . 在平面直角坐标系xOy中，函数y=f(x)的图象与x轴交于A点，它的反函数y=f -1(x)的图象与y轴交于B点，并且这两个函数的图象交于P点. 已知四边形OAPB的面积是3，则k等于 ( B )
(A)3 (B) (C) (D)
练习.（04年浙江卷.文理12）若和g(x)都是定义在实数集R上的函数，且方程有实数解，则不可能是（B）
（A） （B） （C） （D）
练习.（04年浙江卷.文9）若函数的定义域和值域都是[0，1]，则a=（D）
（A） （B） （C） （D）2
练习.（04年福建卷.文理7）已知函数y=log2x的反函数是y=f-1(x)，则函数y= f-1(1-x)的图象是（B）
练习.（04年福建卷.理11）定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2)，当x∈[3，5]时，f(x)=2-|x-4|，则（D）
（A）f(sin)f(cos1)
（C）f(cos)f(sin2)
练习.（04年福建卷.文11）定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2)，当x∈[3，4]时，f(x)= x－2，则 （ C ）
A．f(sin)f(cos)
C．f(sin1)f(cos)
练习.（04年福建卷.文14）设函数则实数a的取值范围是 （－∞，－1） .
练习.（04年湖北卷.理3）已知，则的解析式可取为（A）
（A） （B） （C） （D）－
练习.（04年湖北卷.理7）函数在[0，1]上的最大值与最小值之和为a,则a的值为（B）
（A） （B） （C）2 （D）4
练习.（04年湖北卷.文5）若函数、三、四象限，则一定有（ C ）
A． B．
C． D．
练习.（04年湖南卷.文理3）设是函数的反函数,若,则f(a—b)的值为（B）
(A) 1 (B)2 (C)3 (D)
练习.（04年湖南卷.理6）设函数若f(--4)=f(0),f(--2)=--2,则关于x的方程的解的个数为（C）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
练习.（04年湖南卷.文1）函数 的定义域为（ D ）
A． B． C． D．
练习.（04年湖南卷.文3）设是函数f(x)=的反函数，则下列不等式中恒成立的是（ C ）
A． B．
C． D．
练习.（04年湖南卷.文7）若f(x)=-x2+2ax与在区间[1,2]上都是减函数，则a的值范围是（ D ）
A． B． C．（0，1） D．
练习.（04年湖南卷.文16）若直线 a与函数的图象有两个公共点，则a的取值范围是____.
练习.（04年广东卷.16）函数的反函数
练习.（04年重庆卷.文理1）函数的定义域是：（D ）
A B C D
练习.（04年重庆卷.文2）函数, 则 ( B )
A 1 B -1 C D
练习.（04年重庆卷.文20）某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量（吨）与每吨产品的价格（元/吨）之间的关系式为：,且生产x吨的成本为（元）。问该产每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入─成本）集合基础题
广东省中山市东升高中 高建彪
一、集合的交、并、补运算：
例1. （04年全国卷一.文1）设集合，，，则 =（ ）.
A．{2} B．{2，3} C．{3} D． {1，3}
【解】， . 所以选D.
点评：由列举法表示的集合，进行运算时，可以依次细心运算. 也可以用韦恩图示法研究.
练1. （04年浙江卷.文理1）若U={1,2,3,4}, M={1,2}, N={2,3}, 则=（ D ）.
A. {1,2,3} B. {2} C. {1,3,4} D. {4}
练2.（04年江苏卷.1）设集合，Q=，则P∩Q等于 （ A ）.
A．{1，2} B. {3，4} C. {1} D. {-2，-1，0，1，2}
练3.（04年天津卷.文1）设集合，，那么下列结论正确的是（ D ）.
A. B. C. D.
练习.（04年福建卷.文1）设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，3，5}，则等于（ A ）。
A．{1，2，4} B．{4} C．{3，5} D．
练习.（04年湖北卷.文1）设，，则等于（ D ）.
A．{1,4} B．{1,6} C．{4,6} D．{1,4,6}
练习.（04年全国卷一.理6）设A、B、U均为非空集合，且满足，则下列各式中错误的是（ B ）.
A． B．
C． D．
练习.（04年全国卷二.文理1）设已知集合，，则集合（ C ）.
A． B．
C． D．
练习.（04年北京卷.理1）设全集是实数集R，，，则等于（ A ）.
A. B. C. D.
练.（04年北京卷.文1）设，，则等于（ D ）.
A. B.
C. D.
练习.（04年广东卷.2）已知则 ( A )
A. B. C. D.
练习.（04年全国卷三.文理1）设集合，，则集合中元素的个数为（ B ）.
A．1　　　　B. 2　　　B. 3　　　　　 D. 4
二、集合的性质：
练习.（04年上海卷.文理3）设集合，集合. 若，则= . {1,2,5}
练习.（04年湖北卷.理10）设集合, Q={m∈R|mx2+4mx-4<0对任意实数恒成立}，则下列关系中立的是（ A ）.
A. B. C. P=Q D. P∩Q=
练习.（04年北京卷.文理8）函数，其中P、M为实数集R的两个非空子集，又规定，，给出下列四个判断：
①若，则
②若，则
③若，则
④若，则
其中正确判断有（ B ）.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
三、充要条件讨论：
练习.（04年福建卷.理3）命题p：若a、b∈R，则|是的充要条件. 命题q：函数的定义域是. 则（ D ）.
A.“p或q”为假 B. “p且q”为真 C. p真q假 D. p假q真
练习.（04年湖北卷.文7理4）已知为非零的平面向量. 甲：，乙：，则（ D ）.
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
练习.（04年湖北卷.文16理15）设A、B为两个集合。下列四个命题：
①对任意，有； ②A∩B=；
③； ④存在，使得。
其中真命题的序号是__4________。（把符合要求的命题序号都填上）
练习.（04年湖南卷.文12）设集合U={(x,y)|x∈R,y∈R}, A={(x,y)|2x-y+m>0}, B={(x,y)|x+y-n≤0},那么点的充要条件是（ A ）
A． B． C． D．
练习.（04年重庆卷.理7）一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ C ）.
A B C D
练习.（04年重庆卷.文7）已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件。那么p是q成立的（ A ）.
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
四、集合与其他知识的交汇：
练习.（04年上海卷.文理19）记函数的定义域为A, g(x)=lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1) 的定义域为B.
(1) 求A；
(2) 若, 求实数a的取值范围.
【解】(1)2－≥0, 得≥0, x<－1或x≥1
即A=(－∞,－1)∪[1,+ ∞)
(2) 由(x－a－1)(2a－x)>0, 得(x－a－1)(x－2a)<0.
∵a<1,∴a+1>2a, ∴B=(2a,a+1).
∵BA, ∴2a≥1或a+1≤－1, 即a≥或a≤－2, 而a<1,
∴≤a<1或a≤－2, 故当BA时, 实数a的取值范围是
(－∞,－2)∪[,1]
练习.（04年辽宁卷.18）设全集U=R
（1）解关于x的不等式
（2）记A为（1）中不等式的解集，集合，
若（ ∪A）∩B恰有3个元素，求a的取值范围.
解：（1）由
当时，解集是R；
当时，解集是……………………3分
（2）当时，（ ∪A）=；
当时， ∪A=……………………5分
因
由…………8分
当（ ∪A）∩B怡有3个元素时，a就满足 解得平面向量在高考中的基础考查形式
广东省中山市东升高中 高建彪
向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它可以作为一种解题的工具. 我们学习向量，应该以理解基础知识为源头，进一步转为解决实际问题.下面看看2004年的高考题.
一、直接运用向量的数量积定义求解：
例1.（04年全国卷一.文理3）已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么 =（ ）. A． B． C． D．4
【解】
例2.（04年全国卷二.文9）已知向量、满足：||=1，||=2，||=2，则||=（ D ）. A．1 B． C． D．
【解】
练1.（04年重庆卷.文理6）若向量与的夹角为，，,则向量的模为（ ）.
A． 2 B. 4 C. 6 D. 12
练2.（04年浙江卷.理14）已知平面上三点A、B、C满足 则的值等于 .
点评：利用公式求解向量的模. 注意理解公式的推导，即利用向量的数量积定义. 同时注意乘法公式的运用，以及向量的数量积的坐标运算公式.
二、交汇运用向量的数量积定义与坐标公式求解：
例3.（04年天津卷.文4理3）若平面向量与向量的夹角是，且，则（ ）. A. B. C. D.
【解】
点评：利用向量的数量积的两种计算方法，一是定义法，二是坐标运算公式.注意方程思想的运用，向量模的计算.
练3.（04年江苏卷.16）平面向量中，已知，，且，则向量=_______.
练4.（04年湖南卷.理13）已知向量, 向量,则的最大值是 .
练5.（04年湖南卷.文8）已知向量,向量则的最大值，最小值分别是（ ）. A． B． C．16，0 D．4，0
三、间接利用向量数量积的几何意义求解：
例4.（04年全国卷二.理9）已知平面上直线l的方向向量点和在l上的射影分别是O′和A′，则，其中=（ ）.
A． B． C．2 D．－2
【解】
点评：向量数量积的几何意义是数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积.此解的关键是抓住与在上的投影相等而得到.
四、运用共线向量的知识求解：
例5.（04年上海卷.理6）已知点,若向量与同向, =,则点B的坐标为 .
【解】
点评：向量与共线，则.注意理解公式的由来.
练6.（04年上海卷.文6）已知点A(-1,5)和向量,若,则点B的坐标为 .
练7.（04年浙江卷.文4）已知向量且,则=（ ）.
A． B. C. D.
五、运用向量垂直的知识求解：
例6.（04年天津卷.文14）已知向量，，若与垂直，则实数等于 .
【解】
例7.（04年福建卷.文理8）已知、是非零向量且满足，，则与的夹角是（ B ）. A． B. C. D.
【解】
点评：向量与垂直，则，即. 由此，证垂直或者已知垂直，可以转换成计算数量积为0.
练8.（04年广东卷.1）已知平面向量，，且，则x=（ ）.
A. –3 B. –1 C. 1 D . 3
六、向量与三角的交汇考查：
例8. （04年福建卷.文理17）设函数，其中向量，，.
（Ⅰ）若且，求；
（Ⅱ）若函数的图象按向量平移后得到函数的图象，求实数的值.
【解】
小结语：向量是沟通代数、几何与三角的重要工具，它可以把平行和垂直等图形的基本性质转化为向量的运算体系，同时，我们也要从几何意义的角度理解向量的运算.
练习.（04年湖北卷.文理19）如图，在Rt△ABC中，已知BC=a,若长为2 a的线段P Q以点A为中点，问与的夹角θ取何值时的值最大？并求出这个最大值。
答案：例1～8. C, D, A, D, , —1, B, ,
练1～5. C, -25, ， 4, D，
练6~7. (5,4), A， C,如何解答高考中圆锥曲线基础题
广东省中山市东升高中 高建彪
圆锥曲线知识在高考中常以一道大题与一道小题出现，小题的熟练求解是大题的铺路石，它代表着掌握圆锥曲线基础知识和基本方法的熟练程度. 下面分析常用解答方法.
一、利用圆锥曲线的定义求相关距离：
例1．（04年湖南卷.文4理2）如果双曲线=1上一点P到右焦点的距离等于,那么点P到右准线的距离是（ ）.
A. B. 13 C. 5 D.
【解】
点评：利用圆锥曲线的第一定义，可以在两条焦半径之间转化；利用圆锥曲线的第二定义，可以将焦半径转化为点到准线的距离.此题如果设点P后用方程组求解，计算将十分繁琐，而用第二定义求解，则比较简单.
练1．（04年全国卷一.文理7）椭圆的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则=（ ）.
A． B． C． D．4
练2．（04年辽宁卷.9）已知点、，动点P满足. 当点P的纵坐标是时，点P到坐标原点的距离是（ ）.
A． B． C． D．2
练3．（04年全国卷三.理16）设是曲线上的一个动点，则点到点的距离与点到轴的距离之和的最小值为　　　.
二、利用方程思想讨论直线与圆锥曲线的公共点：
例2．（04年天津卷.文15理14）如果过两点和的直线与抛物线没有交点，那么实数a的取值范围是 .
点评：曲线交点的讨论，常常是联立方程组，消元后分析一元二次方程根的情况，由判别式进行讨论. 对方程组根的讨论是公共点情况的理论解释.
练4．（04年全国卷一.文理8）设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是（ ）.
A． B．[－2，2] C．[－1，1] D．[－4，4]
练5．（04年重庆卷.理16）对任意实数k，直线：与椭圆： 恰有一个公共点，则b取值范围是______.
练6．（04年湖南卷.文15）F1，F2是椭圆C：的焦点，在C上满足PF1⊥PF2的点P的个数为_______.
练7．（04年浙江卷.文6理4）曲线关于直线x=2对称的曲线方程是（ ）.
A． B. C. D.
三、熟练运用圆锥曲线的几何性质解题：
例3．（04年全国卷二.理15）设中心在原点的椭圆与双曲线=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是 .
【解】
例4．（04年浙江卷.文11理9）若椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成5：3两段，则此椭圆的离心率为（ ）.
A． B. C. D.
【解】
点评：牢记圆锥曲线的几何性质，如焦点坐标、相关轴长、准线方程、离心率等，比较共同点与不同点.如椭圆和双曲线的离心率是，准线方程是，而a、b、c的关系却不同，椭圆，双曲线，这点要特别注意不能混淆.
练8．（04年全国卷三. 文8理7）设双曲线的焦点在轴上，两条渐近线为，则双曲线的离心率（ ）. A. 5　　B. 　　C. 　　D.
练9．（04年上海卷.文理2）设抛物线的顶点坐标为(2,0),准线方程为x=－1,则它的焦点坐标为 .
练10．（04年广东卷.8）若双曲线的焦点到它相对应的准线的距离是2，则k= （ ）. A. 6 B. 8 C. 1 D. 4
练11．（04年天津卷.文5理4）设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为、F2分别是双曲线的左、右焦点，若，则（ ）.
A. 1或5 B. 6 C. 7 D. 9
练12．（04年江苏卷.5）若双曲线的一条准线与抛物线的准线重合，则双曲线离心率为 （ ）. A. B. C. 4 D.
四、利用圆锥曲线的定义解答相关三角形问题：
例5．（04年湖北卷.理6）已知椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角形的三个项点，则点P到轴的距离为（ ）.
A. B. 3 C. D.
【解】
点评：圆锥曲线的第一定义，常用于解决过焦点的弦或焦半径组成的三角形研究问题. 这里所已知的直角三角形的直角顶点不确定，注意分情况进行讨论.
练13．（04年福建卷.文理4）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）.
A. B. C. D.
五、利用圆锥曲线中的焦半径公式解题：
例6．（04年重庆卷.文10）已知双曲线的左，右焦点分别为,点P在双曲线的右支上，且,则此双曲线的离心率e的最大值为( ).
A. B. C. D.
【解】
点评：记住相关公式：椭圆焦半径，双曲线焦半径，抛物线焦半径. 要求能运用圆锥曲线的统一定义，熟练推导出焦半径公式，理解公式并运用.
练14．（04年湖南卷.理16）设F是椭圆的右焦点,且椭圆上至少有21个不同的点使组成公差为d的等差数列,则d的取值范围为 .
小结语：高考中对圆锥曲线的基础知识的考查，主要是两个方面：熟记圆锥曲线的几何性质并运用；能熟练运用圆锥曲线的定义解题. 同时，定义法、方程思想、转化思想等数学思想方法，巧妙的融入解题中. （写于2005年3月8日）
答案：例1～6. A，, , D, D, B 练1～5. C, A, , C, [-1,3]
练6～10. 2, C, C, (5,0) , A 练11～14. C, A, A,
2004年高考卷归类练习（圆锥曲线基础）
一、利用圆锥曲线的定义求相关距离：
例1．（04年湖南卷.文4理2）如果双曲线=1上一点P到右焦点的距离等于,那么点P到右准线的距离是（ ）.
A. B. 13 C. 5 D.
练1．（04年全国卷一.文理7）椭圆的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则=（ ）.
A． B． C． D．4
练2．（04年辽宁卷.9）已知点、，动点P满足. 当点P的纵坐标是时，点P到坐标原点的距离是（ ）.
A． B． C． D．2
练3．（04年全国卷三.理16）设是曲线上的一个动点，则点到点的距离与点到轴的距离之和的最小值为　　　.
二、利用方程思想讨论直线与圆锥曲线的公共点：
例2．（04年天津卷.文15理14）如果过两点和的直线与抛物线没有交点，那么实数a的取值范围是 .
练4．（04年全国卷一.文理8）设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是（ ）.
A． B．[－2，2] C．[－1，1] D．[－4，4]
练5．（04年重庆卷.理16）对任意实数k，直线：与椭圆： 恰有一个公共点，则b取值范围是______.
练6．（04年湖南卷.文15）F1，F2是椭圆C：的焦点，在C上满足PF1⊥PF2的点P的个数为_______.
练7．（04年浙江卷.文6理4）曲线关于直线x=2对称的曲线方程是（ ）.
A． B. C. D.
三、熟练运用圆锥曲线的几何性质解题：
例3．（04年全国卷二.理15）设中心在原点的椭圆与双曲线=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是 .
例4．（04年浙江卷.文11理9）若椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成5：3两段，则此椭圆的离心率为（ ）.
A． B. C. D.
练8．（04年全国卷三. 文8理7）设双曲线的焦点在轴上，两条渐近线为，则双曲线的离心率（ ）. A. 5　　B. 　　C. 　　D.
练9．（04年上海卷.文理2）设抛物线的顶点坐标为(2,0),准线方程为x=－1,则它的焦点坐标为 .
练10．（04年广东卷.8）若双曲线的焦点到它相对应的准线的距离是2，则k= （ ）. A. 6 B. 8 C. 1 D. 4
练11．（04年天津卷.文5理4）设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为、F2分别是双曲线的左、右焦点，若，则（ ）.
A. 1或5 B. 6 C. 7 D. 9
练12．（04年江苏卷.5）若双曲线的一条准线与抛物线的准线重合，则双曲线离心率为 （ ）. A. B. C. 4 D.
四、利用圆锥曲线的定义解答相关三角形问题：
例5．（04年湖北卷.理6）已知椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角形的三个项点，则点P到轴的距离为（ ）.
A. B. 3 C. D.
练13．（04年福建卷.文理4）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）.
A. B. C. D.
五、利用圆锥曲线中的焦半径公式解题：
例6．（04年重庆卷.文10）已知双曲线的左，右焦点分别为,点P在双曲线的右支上，且,则此双曲线的离心率e的最大值为( ).
A. B. C. D.
练14．（04年湖南卷.理16）设F是椭圆的右焦点,且椭圆上至少有21个不同的点使组成公差为d的等差数列,则d的取值范围为 .