2022—2023 学年下学期期中质量监测
高 二 数 学
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟．
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 从甲、乙、丙3幅不同的画中选出 2幅，送给甲、乙两人，则共有 种不同的送法.
A. 6 B. 5 C. 3 D. 2
2.某人翻开电话本给自己的一位朋友打电话时，发现电话号码的最后一位数字变得模糊不清了，
因此决定随机拨号进行尝试，那么该人尝试两次但都拨不对电话号码的概率为
81 18 4 3
A. B. C. D.
100 25 5 5
3. 有一散点图如图所示，在 5 个数据(x,y)中去掉 D(3,10)后，下列说法正确的是
A. 相关系数 r 变小 B. 残差平方和变小
C. 变量 x,y负相关 D. 解释变量 x与预报变量 y 的相关性变弱
4.已知随机变量 X 服从参数为0.3的两点分布，若Y = 2X +1， E(Y ) =
A. 0.3 B. 0.7 C. 1.6 D. 2.4
若 x45. + (x+1)7 = a0 + a1(x+ 2)+ a2(x+ 2)
2 + + a7 (x+ 2)
7，则a = 3
A. 45 B. 27 C. 15 D. 3
6.甲、乙两选手进行乒乓球比赛的初赛，已知每局比赛甲获胜的概率是 0.4 ，乙获胜的概率是0.6 ，
若初赛采取三局两胜制，则乙最终获胜的概率是
A. 0.144 B. 0.352 C. 0.432 D. 0.648
7. 小李的手机购物平台经常出现她喜欢的商品，这是电商平台推送的结果．假设电商平台第一次
3
给小李推送某商品时，她购买此商品的概率为 ;从第二次推送起，若前一次不购买此商品，则此
4
1 2
次购买的概率为 ；若前一次购买了此商品，则此次仍购买的概率为 ，那么电商平台在第 2 次
3 5
推送时小李不购买此商品的概率为
37 3 1 9
A. B. C. D.
60 5 6 20
8. 祖冲之是我国古代的数学家，他是世界上第一个将“圆周率 π”精算到小数点后第七位，即
3.1415926 和 3.1415927 之间，它提出的“祖率”对数学的研究有重大贡献.某教师为了帮助同
学们了解 π，让同学们把小数点后的 7 位数字 1,4,1,5,9,2,6 进行随机排列，整数部分 3 的位置
不变，那么可以得到大于 3.15 的不同数的个数为
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A．328 B．360 C．2160 D．2260
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.
9. 在 5 道数学试题中有函数题 3 道，概率题 2 道，每次从中抽出 1 道题，抽出的题不再放回，则
A.“从 5 道试题中不放回的随机抽取 2 道”中包含 10 个等可能的样本点
2
B. 第 1 次抽到函数题的概率 P =
5
3
C. 第 1 次抽到函数题且第 2 次抽到概率题的概率 P =
10
1
D.第 1 次抽到函数题的条件下，第 2 次抽到概率题的概率P =
2
10.下列关于变量间的线性相关系数 r 说法正确的是
A. 相关系数 r 的取值范围为[-1,1]
B.| r |=1 的充要条件是成对数据构成的点都在回归直线上
C. 两个变量正相关的充要条件是 r 0
D.相关系数 r 越小,则变量间的线性相关性越弱
11. 某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数 A = a1a2a3a4a5 （例如 10100）其中 A
1 2
的各位数中ak (k = 2,3,4,5)出现 0 的概率为 ，出现 1 的概率为 ，记 X = a2 + a3 + a4 + a5，
3 3
则当程序运行一次时
8
A．X 服从二项分布 B． P (X = 2) =
81
8 8
C．X 的期望 E (X ) = D．X 的方差 D (X ) =
3 3
12. 下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，
小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程
中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别
编号为 1，2，3，……，6，用 X 表示小球落入格子的号码，则
1 7
A. P (X =1) = B. E (X ) =
32 2
5
C. 当P 最大时， X = 3 D. D (X ) =
4
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分.
13. 将一枚质地均匀的硬币重复抛掷 10 次，恰好出现 3 次正面朝上的概率为 .
1 4 .某超市热销的一种袋装面粉质量 X（单位： k g）服从正态分布 N ( 1 5 . σ 2 )且满足
P(X<15.5)=0.8，若从该超市中任意抽取一袋这种面粉，则其质量在14.5 15.5kg 之间
的概率为_________.
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15. 已知两个离散型随机变量 ξ,η，满足η = 3ξ +1,ξ的分布列如下：
ξ 0 1 2
1
P a b
6
2
当Eξ = 时，Dη = .
3
k
16.Poisson 分布是常见的离散型概率分布，其概率分布列为P(X = k) = e
k !
(k = 0,1,2, ) ， 其中 e 为自然对数的底数， 是 Poisson 分布的均值.当二项分布的n 很大
(n 20)而 p 很小 ( p 0.05)时， Poisson 分布可作为二项分布的近似，假设每个大肠杆菌基因组
含有 10000 个核苷酸对，采用 0.05J / m2 紫外线照射大肠杆菌时，每个核苷酸对产生嘧啶二体的
概率均为 0.0003，则 = ；已知该菌株基因组有一个嘧啶二体就致死，则致死率为_________.
四、解答题：本题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10 分) 甲、乙、丙 3 台车床加工同一型号的零件，甲加工的次品率为 6%，乙、丙加工的次品
率均为 5%，加工出来的零件混放在一起.已知甲、乙、丙加工的零件数分别占总数的 25%，30%，
45%.
(1)任取一个零件，求它是次品的概率；
(2)如果取到的零件是次品，求它是丙车床加工的概率.
18.（12分）根据交管部门有关规定，驾驶电动自行车必须佩戴头盔，保护自身安全，某市去年上
半年对此不断进行安全教育.下表是该市某主干路口去年连续5个月监控设备抓拍到的电动自行车驾
驶员不戴头盔的统计数据：
月份 x 1 2 3 4 5
（1）请利用所给数据求不戴头盔人数 y 与月份 x 之
间的回归直线方程 y = b
不戴头盔人数 y
x + a ；
120 100 90 75 65
（2）交管部门统计连续 5年来通过该路口的电动车出事故的 100人，分析不戴头盔行为与事故是
否伤亡的关系，得到下表，能否有 95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关？
不戴头盔 戴头盔
伤亡 15 10
不伤亡 25 50
n
5 xi yi nxy
参考数据和公式： x y =1215 ， b = i=1i i , n
i=1
x2 nx 2i
i=1
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2 n(ad bc)
2
=
(a + b)(c + d )(a + c)(b + d ) P ( 2 k ) 0.10 0.05 0.01 0.005
k 2.706 3.841 6.635 7.879
4A37 + 2A
4
7
19.（12 分）（1）计算： ；
A77 A
4
8
1 1 7
2 = m m+1 m+2 m+3（ ）已知 m m ，求C +C +C +C 的值． C5 C6 10C
m 6 6 7 8
7
20. （12 分）请从下列两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题.
1
①第 4 项的系数与倒数第 4 项的系数之比为 ；
2
②展开式中第四项和第五项的二项式系数相等且最大.
m
2
已知 x2 + 的展开式中， .
x
（1）求展开式中所有项的系数和与二项式系数和；
（2）将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率.
21.（12 分）某学校高一年级上学期有 3 次英语素养测评，测评结果为一等奖和二等奖，已知甲同
1 1
学每次测评获一等奖的概率为 ，乙同学每次测评获一等奖的概率为 ．
3 2
(1）求甲同学在 3 次测评中恰有 1 次获得一等奖且第 2 次测评未获得一等奖的概率；
(2）由于客观因素，这个学期第一次测评成绩作废，后两次成绩作为评价学生的依据.每次测评获
得一等奖记 5 分，二等奖记 3 分，甲同学英语素养测评得分为 X ，乙同学得分为Y ，设随机变量
= X Y ,求 的分布列与期望．
22.（12 分）某中学以学生为主体，以学生的兴趣为导向，注重培育学生广泛的兴趣爱好，开展了
丰富多彩的社团活动，其中一项社团活动为《奇妙的化学》，注重培养学生的创新精神和实践能
力.本社团在选拔赛阶段，共设两轮比赛．第一轮是实验操作，第二轮是基础知识抢答赛．第一轮
给每个小组提供 5 个实验操作的题目，小组代表从中抽取 2 个题目，若每个题目的实验流程操作
规范可得 10 分，否则得 0 分.
（1）已知某小组会 5 个实验操作题目中的 3 个，求该小组在第一轮得 20 分的概率；
（2）已知恰有甲、乙、丙、丁四个小组参加化学基础知识的抢答比赛，每一次由四个小组中的一
个回答问题，无论答题对错，该小组回答后由其他小组抢答下一问题，且其他小组有相同的机会
抢答下一问题．记第n 次回答的是甲的概率是Pn ，若P1 =1.
①求P3 和P4 ；②写出Pn与Pn 1之间的关系式，并比较第 9 次回答的是甲和第 10 次回答的是甲的可
能性的大小．
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高二数学 参考答案 2023.04
一、单项选择题
1-4 ACBC 5-8 BDAC
二、多项选择题：
9. CD 10. ABC 11. AC 12. ABD
三、填空题：
15
13. 14. 0.6 15. 5 16. 3 1 e 3 （第一空 2 分，第二空 3 分）
128
四、解答题：本题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.解：设 B=“任取一个零件是次品”，A 甲=“零件为甲车床加工”，A 乙=“零件为乙
= A
车床加工”，A =“零件为丙车床加工”，则 甲
A乙 A丙
丙 ，且 A 甲,A 乙,A 丙,两两
互斥，根据题意得
P (A甲 ) = 0.25, P(A乙) = 0.3, P(A丙) = 0.45,
( ) . …………3 分 P B | A甲 = 0.06, P(B | A乙) = P(B | A丙) = 0.05
(1)由全概率公式得
P(B) = P(A甲)P (B | A甲 )
+ P(A乙)P(B | A乙)+ P(A丙)(P(B | A丙)
………6 分
= 0.25 0.06+0.3 0.05+0.45 0.05 = 0.0525.
(2)由题意知“如果取到的零件是次品，它是丙车床加工的概率”就是计算在 B 发生的条
件下事件 A 丙发生的概率.
P(A丙B) P(A丙)P(B | A丙) 0.45 0.05 3 . ………10 分 P(A丙 | B) = = = = .
P(B) P(B) 0.0525 7
18.解：（1）由题意知，
1+ 2+3+ 4+ 5 120 +100+ 90+ 75+ 65
x = = 3 y = = 90 ……2 分
5 5
n
xi yi nxy
i=1 1215 5 3 90b = = = 13.5
n 2 …………4 分
x2 2
55 5 3
i nx
i=1
a = y b x = 90+13.5 3=130.5 ……………5 分
高二数学试题 第1页 (共 4 页)
所以，回归直线方程为 y = 13.5x +130.5 ………6 分
2 100 (15 50 25 10)
2
= 5.556 3.841 …………………10 分
40 25 60 75
故有 95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关 …………………12 分
4A37 + 2A
4
7 4 7 6 5+ 2 7 6 5 4
19. 解:（1） =7 A7 A
4
8 7 6 5 4 3 2 1 8 7 6 5
7 6 5 4 3 12 3
= = = . ……………………………4 分
7 6 5 (4 3 2 1 8) 16 4
1 1 7 m!(5 m)! m!(6 m)! 7 m! (7 m)!
（2）由 =m m m 可得 = ， C5 C6 10C7 5! 6! 10 7!
m!(5 m)! m! (6 m) (5 m)! 7 m! (7 m)(6 m)(5 m)!
即 = ，
5! 6 5! 10 7 6 5!
(6 m) (7 m)(6 m)
可得1 = ，整理可得：m2 23m + 42 = 0， …………8 分
6 10 6
解得m = 2或m = 21，因为0 m 5，可得m = 2， ………………10 分
2 3 4 5 3 4 5 4 5 5
所以C6 +C6 +C7 +C8 =C7 +C7 +C8 =C8 +C8 =C9 =126. …………12 分
20.解：选择①：（1）展开式的通项为
r
1 5r
m r 2m
T =C r (x2 ) 2x 2 =C r 2r x 2 ，…… ……… 2 分 r+1 m m
3 3 m 3 m 3
∴展开式中第 4 项的系数为Cm 2 ，倒数第 4 项的系数为Cm 2 ，
C3 3m 2 1 1 1 = ，即 = , m = 7 . …… ………4
Cm 3 2m 3
分
m 2 2
m 6 2
令 x =1可得展开式中所有项的系数和为37 = 2187，展开式中所有项的二项式系数和为
27 =128 . …… ……… 8 分
5r
（2）展开式共有 8 项，由（1）可得当2m 为整数，即 r = 0,2,4,6 时为有理项，
2
共 4 项， …… …… …… ……… 10 分
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A44 A
4
5 1
∴由插空法可得有理项不相邻的概率为 = . …… ……… 12 分
A88 14
r
1
m r 5r2m
选择②（1）展开式的通项为T r 2 2 r r 2 ，…… 2 分 r+1 =Cm (x ) 2x =Cm 2 x
由展开式中第四项和第五项的二项式系数相等且最大，则展开式共有 8 项，所以
m = 7 . …… …………… ……… …… ………5 分
令 x =1可得展开式中所有项的系数和为37 = 2187，展开式中所有项的二项式系数和为
27 =128 . …… …………… …… …… …………… …… …… ……… 8 分
(2)同选择①.
21. 解：（1）记“甲同学在 3次测评中恰有 1次获得一等奖且第 2次测评未获得一等
奖”为事件 A，甲同学第 i 次测试获得一等奖为事件 Ai ，则 A = A1A2 A3 + A1A2 A3 ，因为
1 2
A A1， 2 ， A3相互独立，P (A1 )=P (A2 )=P (A3 )= ，P (A1 )=P (A2 )=P (A3 )= ，
3 3
8
所以P (A) = P (A1A2 A3 + A1A2 A3 ) = P (A1 )P (A2 )P (A3 )+ P (A1 )P (A2 )P (A3 ) = .
27
…… ……… …4 分
(2)由题意可得 的可能取值有 4, 2,0,2,4
1 1
X B 2, ，Y B 2, ， …… ……… …5 分
3 2
2 1 4 1
P ( = 4) = P (X = 6)P (Y =10) = ( )2 ( )2 = =
3 2 36 9
P ( = 2) = P (X = 6)P (Y = 8)+ P (X = 8) ( ) P Y =10
2 2 1 1
= ( ) C ( )2 1
2 1
+C ( )( )C2
1 2 1
2 2 2 ( ) =
3 2 3 3 2 3
P ( = 0) = P (X = 6)P (Y = 6)+ P (X = 8)P (Y = 8)+ P (X =10)P (Y =10)
2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 13= ( ) ( ) +C2 C
1 2 2
2 ( ) +( ) ( )
2 ==
3 2 3 3 2 3 2 36
P ( = 2) = P (X =10)P (Y = 8)+ P (X = 8)P (Y = 6)
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1 1
= ( )2C1( )2 +C1
2 1 1
( )2
1
2 2 ==
3 2 3 3 2 6
1 1 1
P ( = 4) = P (X =10)P (Y = 6) = ( )2 ( )2 = …… ……… 10 分
3 2 36
所以 的分布列为
4 2 0 2 4
1 1 13 1 1
P
9 3 36 6 36
1 1 13 1 1 1
E = ( 4) + ( 2) + 0 + 2 + 4 = …… ……… 12 分
9 3 36 6 36 3
1 1 1
法二：E = E (X Y ) = EX EY = 2 2 =
3 2 3
22.解：（1）该小组在第一轮得 20分的概率为 C
2
3
p = 3 = ……… 2分
C25 10
1
P3 =
(2)①由题意知，第一次是甲回答，第二次甲不回答，所以，P2 = 0，则 3 .…3分
1 1 2
P4 = (1 ) = . ……… 5 分
3 3 9
②由第n次回答的是甲的概率是 Pn，得当n 2时，第n 1次回答的是甲的概率为Pn 1，
第 n 1次回答的不是甲的概率为1 Pn 1，
1 1 1 1
则Pn = Pn 1 0+ (1 Pn 1) = (1 P )，则Pn 1 n 与 Pn 1之间的关系式Pn + Pn 1 = …8 分
3 3 3 3
1 1 1 1 3
以上关系式可化为Pn = (Pn 1 ) ，且P1 = ，
4 3 4 4 4
所以 1 是以 3 P 为首项，
1
为公比的等比数列，
n
4 4 3
3 1 1
所以，Pn = ( )
n 1 + ……… 10 分
4 3 4
3 1 1 3 1 1
P9 = ( )
8 + 9， P = ( ) + ,所以，P9 P10 10
4 3 4 4 3 4
所以第 9 次回答的是甲的可能性比第 10 次回答的是甲的可能性的大． ……… 12 分
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