人教A版（2019）必修第二册 8.6.1直线与直线垂直 课件（共18张）

(共18张PPT)
8.6.1直线与直线垂直
学习目标
1.会求给定两条异面直线所成的角的大小；
2.理解异面直线所成的角的概念；
3.理解异面直线垂直的定义；
4.会证明空间中两条直线垂直．
复习回顾
回顾1 你能将下面的判定定理与性质进行描述吗？
直线与直线平行
直线与平面平行
平面与平面平行
观察可能导致发现，观察将揭示某种规律模式或定律.——波利亚
新知探究
回顾2 空间中两条直线的位置关系有哪些？
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点
共面直线
平行直线：同一平面内，没有公共点
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点
思考：它们都是异面直线吗，A′D与AC相对于BC′的位置关系相同吗？
思考：如何描述这种差异？
初中我们已经研究了平行直线和相交直线，本节主要研究异面直线
新知探究
在平面内,两条直线相交成四个角, 其中不大于90度的角称为它们的夹角, 它刻画了一条直线相对于另一条直线倾斜的程度, 如图.
O
思考：异面直线有没有夹角呢？若有，那如何找出这个夹角？
如图,已知两条异面直线a，b,经过空间任一点O作直线a′//a，b′//b,则把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角).
思考：这个角的大小与O点的位置有关吗 即O点位置不同时, 这一角的大小是否改变
不会，等角定理
新知探究
特别地,如果θ=90 ,我们就称这两条直线
互相垂直,记为a ⊥ b.
范围：
异面直线夹角的范围是什么？
异面直线夹角的定义体现了什么思想？
转化思想 ①将空间图形转化为平面图形
②异面直线夹角转化为相交直线的夹角
异面垂直
新知探究
例1 如右图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′.
(1)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？
(2)求直线BA′与CC′所成角的大小.
(3)求直线BA′与AC所成角的大小.
解：(1)与直线AA1垂直的棱所在直线有AB, BC, CD, DA, A′B′, B′C′, C′D′, D′A′.
(2) 在正方体ABCD-A′B′C′D′中, ∵CC′∥BB′, ∴∠B′BA为直线BA′与CC′所成的角. 而∠B′BA=45°. ∴直线BA′与CC′所成角的大小为45°.
(3) 连接A′C′, BC′. ∴∠BA′C′为直线BA′与AC所成的角. 在正方体ABCD-A′B′C′D′中，△A′BC′是等边三角形，∴∠BA′C′ =60°，∴直线BA′与AC所成的角等于60°.
新知探究
(1)作角：通过平移直线，作出夹角；
(2)求角：常利用解三角形知识；
(3)定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角.
你能归纳求两条异面直线所成的角的一般步骤吗？
简记：一作、二求、三定
新知探究
例2 如右图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O1为底面A1B1C1D1的中心，求证：AO1⊥BD.
证明：如图示，连接B1D1.
∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，∴ BB1 DD1.
∴四边形BB1D1D是平行四边形. ∴B1D1//BD .
∴直线AO1与B1D1所成的角即为AO1与BD所成的角.
连接AB1，AD1，易证AB1=AD1.
又O1为底面A1B1C1D1的中心，∴ O1是B1D1的中点，∴ AO1⊥B1D1，∴ AO1⊥BD.
B
D
C
A1
B1
C1
D1
A
O1

新知探究
变式1 四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为_______
解：画出图如图所示，将AP平移到BE的位置，连接DE，则角DBE即是两条异面直线所成的角.由于三角形BDE为等边三角形，故两条异面直线所成的角为60°.
新知探究
变式2 在棱长为4的正四面体ABCD中，求异面直线AB和CD所成的角.
解：取BC中点E,AC中点M,AD中点F,连接EM,MF,FE,FB,FC.MF//CD,EM//AB
∴∠EMF即异面直线AB和CD所成的角或其补角
MF=ME=2，EF=
∴MF +ME =EF
∴∠EMF=90°
∴异面直线AB和CD的夹角是90°.
新知探究
新知探究
新知探究
1. 如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，AB＝AD＝ ，AA'＝2，求:(1) 直线BC和A'C'所成的角的大小；
(2) 直线AA'和BC'所成的角的大小.
B
D
C
A'
B'
C'
D'
A
解：(1) 在长方体ABCD-A′B′C′D′中, ∵BC∥B′C′,
∴∠B′C′A′为直线BC与A′C′所成的角.
在Rt△A′B′C′中， A′B′=B′C′，∴∠B′C′A′=45°.
∴直线BC与A′C′所成的角的大小为45°.
巩固练习
2. 如图，在正三棱柱ABC-A′B′C′中，D为棱AC的中点，AB=BB′=2.
求证：BD⊥AC′.
证明 如图示，取AC′的中点E，连接DE，取B′B的中点F，连接AF，EF.
B
D
C
A′
B′
C′
A
E

F

巩固练习
梳理总结
2.异面直线垂直证明方法
简记：一作、二求、三定
1.异面直线所成角的求法
夹角为90度
再 见