选择题解法初探[下学期]
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第十三讲 选择题解题技巧
一、题型特点
1．题型与解答特点
数学选择题通常是由一个问句或一个不完整的句子和若干个供考生选择用的选择项组成。考生只需从选择项中提取一项或几项作为答案，便完成解答，无须写出选择依据。这些年来，高考中所用的数学选择题都是“四选一”的选择题，即提供考生选用的选择项有4个，作为答案只有一项是正确的。
2．题型的学科特点
（1）概念性强：数学中的每个术语、符号，乃至习惯用语，往往都有明确具体的含义，这个特点反映到选择题中，表现出来的就是试题的概念性强。试题的陈术和信息的传递，都是以数学的学科规定与习惯为依据，绝不标新立异。
（2）量化突出：数量关系的研究是数学的一个重要的组成部分，也是数学考试中一项主要的内容。在高考的数学选择题中，定量型的试题所占的比重很大。而且，许多从形式上看为计算定量型选择题，其实不是简单或机械的计算问题，其中往往蕴涵了对概念、原理、性质和法则的考查，把这种考查与定理计算紧密地结合在一起，形成了量化突出的试题特点。
（3）充满思辨性：这个特点源于数学的高度抽象性、系统性和逻辑性。作为数学选择题，尤其是用于选择性考试的高考数学试题，只凭简单套算或直观感知便能正确作答的试题不多，几乎可以说并不存在。绝大多数的选择题，为了正确作答，或多或少总是要求考生具备一定的观察、分析和逻辑推断能力，思辨性的要求充满题目的字里行间。
（4）形数兼备：数学的研究对象不仅是数，还有图形，而且对数和图形的讨论与研究，不是孤立开来分割进行，而是有分有合，将它辨证统一起来。这个特色在高中数学中已经得到充分的显露。因此，在高考的数学选择题中，便反映出形数兼备这一特点，其表现是：几何选择题中常常隐藏着代数问题，而代数选择题中往往又寓有几何图形的问题。因此，数形结合与形数分离的解题方法是高考数学选择题的一种重要的有效的思考方法与解题方法。
（5）解法多样化：与其他学科比较，“一题多解”的现象在数学中表现突出。尤其是数学选择题，由于它有备选项，给试题的解答提供了丰富的有用信息，有相当大的提示性，为解题活动展现了广阔的天地，大大地增加了解答的途径和方法。常常潜藏着极其巧妙的解法。有利于对考生思维深度的考查。
二、考查功能
1．能在较大的知识范围内，实现对基础知识、基本技能和基本思想方法的考查。
2．能比较确切地测试考生对概念、原理、性质和法则、定理和公式的理解和掌握程度。
3．在一定程度上，能有效考查逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力，以及灵活和综合地运用数学知识解决问题的能力。
三、思想方法
高考数学选择题每次试题多、考查面广，不仅要求应试者有正确分辨能力，还要有较快的解题速度，为此，需要研究解答选择题的一些特殊技巧。总的说来，选择题属小题，解题的基本原则是：“小题不能大做”。解题的基本策略是：要充分利用题设和选择支两方面所提供的信息作出判断。一般说来，能定性判定的，就不再使用复杂的定量计算；能使用特殊值判定的，也不必采用常规解法；能使用间接解法的，也不必采用直接解法；对于明显可以否定的选择支，应及早排除，以缩小选择的范围；对于具有多种解题思路的，宜于选择最简解法等。解题的基本方法一般可分为间接法和直接法两种。具体的说，间接法——从选择支入手，充分运用选择题中单选题的特征，既有且只有一个正确支这一信息，通过分析、推理、计算、判断，逐一排除错误支，最终达到选出正确支的目的的一种解法。它包括去谬法，逆推验证法，推理分析法等。直接法——从题设的已知信息出发，通过推理或演算，直接推导出正确的结论的方法称为直接法。它包括直接求解法，直接判断法，图像法，特殊法（特殊值法，特殊函数法，特殊角法，特殊数列法，图形特殊位置法，特殊点法，特殊方程法，特殊模型法）等。
四、例题解析
一、直接求解法——涉及数学定理、定义、法则、公式的应用的问题，通常通过直接演算得出结果，与选择支比照，作出选择，称之为直接求解法。
【例1】 已知函数y=f(x)存在反函数y=g(x)，若f(3)= -1，而函数y=g(x-1)的图像在下列各点中必经过（ ）
A．(-2,3) B．(0,3) C．(2,-1) D．(4,-1)
【解】 由题意可知函数y=f(x)的图像经过点(3,-1)，它的反函数y=g(x)的图像经过点(-1,3)，由此可得函数y=g(x-1)的图像经过点(0,3)，故选B。
【例2】 已知F1、F2是椭圆+=1的两焦点，经点F2的的直线交椭圆于点A、B，若|AB|=5，则|AF1|+|BF1|等于（ ）
A．11 B．10 C．9 D．16
【解】 由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=2a=8,|BF1|+|BF2|=2a=8，相加后将|AB|=5=|AF2|+|BF2|代入即可得A。
二、直接判断法——凡涉及数学概念的判断题或信息题，一般根据对概念的全面、正确、深刻的理解和对有关的信息提取、分析和加工而作出判断和选择的，称之为直接判断法。
【例3】 有三个命题：
①垂直于同一个平面的两条直线平行；
②过平面α的一条斜线l有且仅有一个平面与α垂直；
③异面直线a、b不垂直，那么过a的任一个平面与b都不垂直。
其中正确命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解】 利用立几中有关垂直的判定与性质定理对上述三个命题作出判断，易得都是正确的，故选D。
【例4】 某工厂8年来某种产品总产量C与时间t（年）的函数关系如图13-1，下列四种说法：
①前三年中，产量增长的速度越来越快；
②前三年中，产量增长的速度越来越慢；
③前三年后，这种产品停止生产；
④前三年后，这种产品年产量保持不变。
其中说法正确的是
A．②与③ B．②与④ C．①与③ D．①与④
【解】 观察和分析总产量C与时间t(年)的函数关系图，可知前三年中，产量增长的速度越来越慢；又当t≥3时，函数为常量函数，因而总产量C没有增加，即产品停止生产。故选A。
三、图像法
【例5】 已知α、β都是第二象限角，且cosα>cosβ，则（ ）
A．α<β B．sinα>sinβ C．tanα>tanβ D．cotα【解】 在第二象限角内通过余弦函数线cosα>cosβ找出α、β的终边位置关系，再作出判断，得B。
【例6】 如果不等式≥x(a>0)的解集为{x|m≤x≤n}，且|m-n|=2a,则a的值等于（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
【解】 作出函数y=(a>0)及函数y=x的图像，由此可得m= -a，又|m-n|=2a, ∴n=a，代入方程=x(a>0)，得=a，解之得a=2，∴选B。
四、特殊法——从题干或选择支出发，通过选取特殊值代入、将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形特殊位置，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下不真这一原理，达到肯定一支或否定三支（去谬）的目的，称为特殊法。特殊法是“小题小作”的重要策略。
1．特殊值
【例7】 一个等差数列的前n项和为48，前2n项和为60，则它的前3n项和为（ ）
A．-24 B．84 C．72 D．36
【解】 结论中不含n，故本题结论的正确性与n取值无关，可对n取特殊值，如n=1，此时a1=48,a2=S2-S1=12，则a3=a1+2d= -24。前3n项和为36，选D。
【例8】 若0<|α|<，则
A．sin2α>sinα B．cos2α【解】 取α= -，可否定A、C、D。因此选B。
2．特殊函数
【例9】 定义在R上的奇函数f(x)为减函数，设a+b≤0，给出下列不等式
①f(a)·f(-a)≤0 ②f(b)·f(-b)≥0
③f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b) ④f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)
其中正确的不等式序号是（ ）
A．①②④ B．①④ C．②④ D．①③
【解】 取f(x)= -x，逐项检查可知①④正确。因此选B。
3．特殊数列
【例10】 如果等比数列{an}的首项是正数，公比大于1，那么数列{logan}（ ）
A．是递增的等比数列 B．是递减的等比数列
C．是递增的等差数列 D．是递减的等差数列
【解】 取an=3n，易知选D。
4．特殊位置
【例11】 如图13-5，在棱柱的侧棱A1A和B1B上各一动点P，Q满足A1P=BQ，过P、Q、C三点的截面把棱柱分成两部分则其体积之比为（ ）
A．3∶1 B．2∶1 C．4∶1 D．∶1
【解】 将P，Q置于特殊位置：P→A1，Q→B，此时仍满足条件A1P=BQ（=0），则有VC—AAB=，故选B。
【例12】 过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F作一条直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则+等于（ ）
A．2a B． C．4a D．
【解】 考察直线PQ与y轴垂直时的情况，此时仍满足题设条件。因此时p=q=，代入可得+=4a，故选C。
5．特殊点
【例13】 函数f(x)=+2（x≥0）的反函数f-1(x)图像是（ ）
【解】 由函数f(x)= +2（x≥0），可令x=0，得y=2；令x=4，得y=4，则特殊点(2,0)及(4,4)都应在反函数f-1(x)的图像上，观察得A、C。又由反函数f-1(x)的定义域知选C。
6．特殊方程
【例14】 双曲线b2x2-a2y2=a2b2 (a>b>0)的渐近线夹角为α，离心率为e,则cos等于（ ）
A．e B．e2 C． D．
【解】 本题是考查双曲线渐近线夹角与离心率的一个关系式，故可用特殊方程来考察。取双曲线方程为-=1，易得离心率e=,cos=，故选C。
7．特殊模型
【例15】 如果实数x,y满足等式(x-2)2+y2=3，那么的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【解】 题中可写成。联想数学模型：过两点的直线的斜率公式k=，可将问题看成圆(x-2)2+y2=3上的点与坐标原点O连线的斜率的最大值，即得D。
五、去谬法（又称筛选法）——它是充分运用选择题中单选题的特征，既有且只有一个正确选择支这一信息，通过分析、推理、计算、判断，逐一排除错误支，最终达到选出正确支的目的的一种解法，称为去谬法。
【例16】 若x为三角形中的最小内角，则函数y=sinx+cosx的值域是（ ）
A．（1， B．（0， C．[，] D．（，
【解】 因x为三角形中的最小内角，故x∈(0, )，由此可得y=sinx+cosx>1，排除错误支B,C,D。应选A。
六、逆推验证法——当题干提供的信息较少或结论是一些具体的数字时，我们可以从选择支入手，逐一检验是否与题干相容，这种方法称为逆推验证法。
七、推理分析法
1．特征分析法——根据题目所提供的信息，如数值特征、结构特征、位置特征等，进行快速推理，迅速作出判断的方法，称为特征分析法。
【例17】 已知sinθ=,cosθ=(<θ<π)，则tan等于（ ）
A． B．|| C． D．5
【解】 由于受条件sin2θ+cos2θ=1的制约，故m为一确定的值，于是sinθ,cosθ的值应与m的值无关，进而推知tan的值与m无关，又<θ<π，<<,∴tan>1，故选D。
2．逻辑分析法——通过对四个选择支之间的逻辑关系的分析，达到否定谬误支，选出正确支的方法，称为逻辑分析法。
【例18】 设a,b是满足ab<0的实数，那么（ ）
A．|a+b|>|a-b| B．|a+b|>|a-b|
C．|a-b|<|a|-|b| D．|a-b|<|a|+|b|
【解】 ∵A，B是一对矛盾命题，故必有一真，从而排除错误支C，D。又由ab<0，可令a=1,b= -1，代入知B为真。
五、巩固练习
1．函数y=log(x-1)的图像是（ ）
2．如果四面体的四个顶点到平面d的距离都相等，则这样的平面d一共有（ ）
A．1个 B．3个 C．4个 D．7个
3．已知α、β为锐角，且cosα=,cosβ=，则α+β的值等于（ ）
A． B． C．或 D．或
4．若(x2+)n的展开式中只有第4项的系数最大，那么这个展开式中的常数项是（ ）
A．15 B．20 C．30 D．35
5．过椭圆+=1的一个焦点且与它的长轴垂直的弦长等于（ ）
A． B．1 C． D．3
6．已知函数f(x)=logx+2的定义域为(0,3，则它的反函数f-1(x)的定义域为（ ）
A．[-1,1] B．（-∞，1 C．[1，+∞ D．[3，+∞
7．函数y=sin(2x+)在区间[0，π]内的一个单调递减区间是（ ）
A．[0，] B．[，] C．[，] D．[，]
8．若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C：（α为参数）的极坐标方程是（ ）
A．ρ=sinθ B．ρ=2sinθ C．ρ=sinθ D．ρ=
9．把一个半径为R的实心铁球熔化后铸成两个小球（不计损耗），两个小球的半径之比为1∶2，则其中较小球半径为（ ）
A．R B．R C．R D．R
10．4名男生2名女生站成一排，要求两名女生分别站在两端，则不同排法的种数为（ ）
A．48 B．96 C．144 D．288
11．已知复数z=(t+i)2的辐角主值是，则实数t的值是（ ）
A．0 B．-1 C．1 D．不能确定
12．已知双曲线C：x2-=1,过点P(1,1)作直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
13．a、b是异面直线，以下四个命题：
①过a至少有一个平面平行于b ②过a至少有一个平面垂直于b
③至多有一直线与a、b都垂直 ④至少有一个平面分别与a、b都平行
其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
14．已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图像如图13-8所示，则（ ）
A．b∈(-∞,0) B．b∈(0,1) C．b∈(1,2) D．b∈(2,+ ∞)
15．函数y=是（ ）
A．奇函数不是偶函数 B．偶函数不是奇函数
C．奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
16．已知函数f(x)=2x –1,g(x)=1-x2,构造函数F(x)，定义如下：当|f(x)|≥g(x)时，F(x)=|f(x)|；当|f(x)|A．有最小值0，无最大值 B．有最小值为-1，无最大值
C．有最大值1，无最小值 D．无最小值，也无最大值
17．已知集合P={(x,y)|y=-,x、y∈R}及Q={(x,y)|y=x+b,x、y∈R}，若P∩Q≠，则实数b的值范围是（ ）
A．[-5，5] B．（-5，5） C．[-5，5] D．[-5，5]
18．直线y=xcosα+1(α∈R)的倾斜角的取值范围是（ ）
A．[0，] B．[0，π
C．[-，] D．[0，]∪[，π
19．如图13-9，三棱锥S—ABC，E、F、G、H分别是棱SA、SB、BC、AC的中点，截面EFGH将三棱锥分割为两个几何体：AB—EFGH、SC—EFGH，设其体积分别是V1、V2，则V1∶V2的值是（ ）
A．1∶2 B．1∶3 C．2∶3 D．1∶1
20．已知(1+2x)n的展开式中所有项系数之和等于729，那么这个展开式中x3项的系数是（ ）
A．56 B．80 C．160 D．180
21．若圆(x-1)2+(y+1)2=R2上有且只有两个点到直线4x+3y=11的距离等于1 ，则半径R的取值范围是（ ）
A．R>1 B．R<3 C．122．已知函数f(x)=x2+lg(x+)，若f(a)=M，则f(-a)等于（ ）
A．2a2-M B．M-2a2 C．2M-a2 D．a2-2M
23．已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在（-∞，4上是减函数，那么实数a的取值范围是（ ）
A．a≥ -3 B．a≤-3 C．a≤5 D．a≥3
24．已知C n0+2C n1+22C n2+…+2nCnn=729，则C n1+C n3+…的值等于（ ）
A．64 B．32 C．63 D．31
25．已知两点A(-2,0),B(0,2)，点C是圆x2+y2-2x=0上的任意一点，则△ABC面积的最小值是（ ）
A．3- B．3+ C． D．
26．已知A、B、C、D、为同一球面上的四点，且连接两点间的线段长都等于2，则球O到平面BCD距离等于（ ）
A． B． C． D．
27．已知函数f(x)在R上是增函数，若a+b>0，则（ ）
A．f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b) B．f(a)+f(b)>f(-a)-f(-b)
C．f(a)+f(-a)>f(b)+f(-b) D．f(a)+f(-a)>f(b)-f(-b)
28．如图13-10，已知正四棱柱ABCD——A1B1C1D1，底面边长为1，侧棱长为2，E为BB1的中点，则异面直线AD1与A1E的成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
29．设双曲线-=1(a>0,b>0)的一条准线与两条渐近线交于A、B两点，相应的焦点为F，若对AB为直径的圆恰过F点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
30．一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第七项等于（ ）
A．22 B．21 C．19 D．18
31．某体育采票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元。某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，则这人把这种特殊要求的号买全，至少要花（ ）
A．3360元 B．6720元 C．4320元 D．8640元
32．函数y=2sinxsin2x的最大值是（ ）
A． B． C．2 D．
33．无穷等比数列{an}的各项和为S，若数列{bn}满足bn=a3n-2+a3n-1+a3n,则数列{bn}的各项和等于（ ）
A．S B．3S C．S2 D．S3
34．已知复数Z1=3-i,|z2|=2，则|z1+z2|的最大值是（ ）
A．-2 B．5 C．2+ D．2+2
35．如图13-11，把边长为a的正方形剪去图中的阴影部分，沿图中所画的线折成一个正三棱锥，则这个正三棱锥的高为（ ）
A．a B． a C． a D． a
36．为了使函数y=sinωx(ω>0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是（ ）
A．98π B．π C．π D．100π
37．将曲线C向右平移3个单位，再向下平移1个单位得到曲线C′，若曲线C′的方程为-=1，则曲线C的焦点坐标为（ ）
A．(6,-1),(0,-1) B．(-6,1),(0,1) C．(-3,2),(-3,-4) D．(3,2),(3,-4)
38．方程3 x +4 x =5 x的一个解是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
39．若x∈(1,2)时，不等式(x-1)2A．(0,1) B．(1,2) C．(1,2 D．[1,2]
40．某商场开展促销抽奖活动，摇奖器摇出的一组中奖号码是8、2、5、3、7、1，参加抽奖的每位顾客从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个号码中任意抽出六个组成一组，如果顾客抽出的六个号码中至少有5个与摇奖器摇出的号码相同（不计顺序）就可以得奖。一位顾客可能抽出的不同号码组共有m组，其中可以中奖的号码共有n组。则的值为（ ）
A． B． C． D．
41．已知点P(x,y)在直线x+2y=3上，那么2 x +4 y的的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．16 D．不存在
42．一批货物随17列货车从A市以V千米/小时匀速直达B市，已知两地铁路线长为400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于（）2千米，那么这批物质全部运到B市，最快需要（ ）
A．6小时 B．8小时 C．10小时 D．12小时
43．若z1，z2∈C，且z12-2z1z2+4z22=0,|z2|=2，则直径等于|z1|的圆的面积是（ ）
A．4π B．2π C．16π D．
44．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额。此项税款按下表分段累进计算：
全月应纳税所得额 税率
不超过500元的部分 5%
超过500元至2000元的部分 10%
超过2000元至5000元的部分 15%
… …
某人一月份应交纳此项税26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于（ ）
A．800~900元 B．900~1200元 C．1200~1500元 D．1500~2800元
45．已知△AOB的三个顶点A、O、B（O为原点）对应的复数分别为z1,0,z2,若|z1|=3,|z2|=5,|z1-z2|=7，则等于（ ）
A．-±i B．--i C．-+i D．-I
46．函数y=sin2kπx+cos2kπx的最小正周期T=1，则实数k的值等于（ ）
A．0 B．1 C．π D．
47．已知平面内有一条线段AB，其长度为4，动点P满足|PA|-|PB|=3，O为AB的中点，则|PO|的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
48．|x|≤2的必要但不充分条件是（ ）
A．|x+1|≤3 B．|x+1|≤2 C．|x+1|≤1 D．|x-1|≤1
49．已知图13-12为y=f(x)的图像，则y=f(1-x)的图像为图13-13中的（ ）
图13-12
50．某城市郊区对200户农民的生活水平进行调查，统计结果是：有彩电的128户，有电冰箱的162户，二者都有的105户，则彩电和电冰箱至少有一样的有（ ）
A．162户 B．200户 C．196户 D．185户
参考答案
1.D 2.D 3.B 4.B 5.D 6.C 7.D 8.C 9.B 10.A 11.C 12.D 13.B 14.A 15.A 16.B 17.C 18.D 19.D 20.C 21.C 22.A 23.B 24.B 25.A 26.B 27.A 28.D 29.A 30.D 31.D 32.B 33.A 34.C 35.D 36.B 37.B 38.B 39.C 40.D 41.B 42.B 43.A 44.C 45.A 46.B 47.A 48.A 49.A 50.D
一、题型特点
1．题型与解答特点
数学选择题通常是由一个问句或一个不完整的句子和若干个供考生选择用的选择项组成。考生只需从选择项中提取一项或几项作为答案，便完成解答，无须写出选择依据。这些年来，高考中所用的数学选择题都是“四选一”的选择题，即提供考生选用的选择项有4个，作为答案只有一项是正确的。
2．题型的学科特点
（1）概念性强：数学中的每个术语、符号，乃至习惯用语，往往都有明确具体的含义，这个特点反映到选择题中，表现出来的就是试题的概念性强。试题的陈术和信息的传递，都是以数学的学科规定与习惯为依据，绝不标新立异。
（2）量化突出：数量关系的研究是数学的一个重要的组成部分，也是数学考试中一项主要的内容。在高考的数学选择题中，定量型的试题所占的比重很大。而且，许多从形式上看为计算定量型选择题，其实不是简单或机械的计算问题，其中往往蕴涵了对概念、原理、性质和法则的考查，把这种考查与定理计算紧密地结合在一起，形成了量化突出的试题特点。
（3）充满思辨性：这个特点源于数学的高度抽象性、系统性和逻辑性。作为数学选择题，尤其是用于选择性考试的高考数学试题，只凭简单套算或直观感知便能正确作答的试题不多，几乎可以说并不存在。绝大多数的选择题，为了正确作答，或多或少总是要求考生具备一定的观察、分析和逻辑推断能力，思辨性的要求充满题目的字里行间。
（4）形数兼备：数学的研究对象不仅是数，还有图形，而且对数和图形的讨论与研究，不是孤立开来分割进行，而是有分有合，将它辨证统一起来。这个特色在高中数学中已经得到充分的显露。因此，在高考的数学选择题中，便反映出形数兼备这一特点，其表现是：几何选择题中常常隐藏着代数问题，而代数选择题中往往又寓有几何图形的问题。因此，数形结合与形数分离的解题方法是高考数学选择题的一种重要的有效的思考方法与解题方法。
（5）解法多样化：与其他学科比较，“一题多解”的现象在数学中表现突出。尤其是数学选择题，由于它有备选项，给试题的解答提供了丰富的有用信息，有相当大的提示性，为解题活动展现了广阔的天地，大大地增加了解答的途径和方法。常常潜藏着极其巧妙的解法。有利于对考生思维深度的考查。
二、考查功能
1．能在较大的知识范围内，实现对基础知识、基本技能和基本思想方法的考查。
2．能比较确切地测试考生对概念、原理、性质和法则、定理和公式的理解和掌握程度。
3．在一定程度上，能有效考查逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力，以及灵活和综合地运用数学知识解决问题的能力。
三、思想方法
高考数学选择题每次试题多、考查面广，不仅要求应试者有正确分辨能力，还要有较快的解题速度，为此，需要研究解答选择题的一些特殊技巧。总的说来，选择题属小题，解题的基本原则是：“小题不能大做”。解题的基本策略是：要充分利用题设和选择支两方面所提供的信息作出判断。一般说来，能定性判定的，就不再使用复杂的定量计算；能使用特殊值判定的，也不必采用常规解法；能使用间接解法的，也不必采用直接解法；对于明显可以否定的选择支，应及早排除，以缩小选择的范围；对于具有多种解题思路的，宜于选择最简解法等。解题的基本方法一般可分为间接法和直接法两种。具体的说，间接法——从选择支入手，充分运用选择题中单选题的特征，既有且只有一个正确支这一信息，通过分析、推理、计算、判断，逐一排除错误支，最终达到选出正确支的目的的一种解法。它包括去谬法，逆推验证法，推理分析法等。直接法——从题设的已知信息出发，通过推理或演算，直接推导出正确的结论的方法称为直接法。它包括直接求解法，直接判断法，图像法，特殊法（特殊值法，特殊函数法，特殊角法，特殊数列法，图形特殊位置法，特殊点法，特殊方程法，特殊模型法）等。
四、例题解析
一、直接求解法——涉及数学定理、定义、法则、公式的应用的问题，通常通过直接演算得出结果，与选择支比照，作出选择，称之为直接求解法。
【例1】 已知函数y=f(x)存在反函数y=g(x)，若f(3)= -1，而函数y=g(x-1)的图像在下列各点中必经过（ ）
A．(-2,3) B．(0,3) C．(2,-1) D．(4,-1)
【解】 由题意可知函数y=f(x)的图像经过点(3,-1)，它的反函数y=g(x)的图像经过点(-1,3)，由此可得函数y=g(x-1)的图像经过点(0,3)，故选B。
【例2】 已知F1、F2是椭圆+=1的两焦点，经点F2的的直线交椭圆于点A、B，若|AB|=5，则|AF1|+|BF1|等于（ ）
A．11 B．10 C．9 D．16
【解】 由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=2a=8,|BF1|+|BF2|=2a=8，相加后将|AB|=5=|AF2|+|BF2|代入即可得A。
二、直接判断法——凡涉及数学概念的判断题或信息题，一般根据对概念的全面、正确、深刻的理解和对有关的信息提取、分析和加工而作出判断和选择的，称之为直接判断法。
【例3】 有三个命题：
①垂直于同一个平面的两条直线平行；
②过平面α的一条斜线l有且仅有一个平面与α垂直；
③异面直线a、b不垂直，那么过a的任一个平面与b都不垂直。
其中正确命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解】 利用立几中有关垂直的判定与性质定理对上述三个命题作出判断，易得都是正确的，故选D。
【例4】 某工厂8年来某种产品总产量C与时间t（年）的函数关系如图13-1，下列四种说法：
①前三年中，产量增长的速度越来越快；
②前三年中，产量增长的速度越来越慢；
③前三年后，这种产品停止生产；
④前三年后，这种产品年产量保持不变。
其中说法正确的是
A．②与③ B．②与④ C．①与③ D．①与④
【解】 观察和分析总产量C与时间t(年)的函数关系图，可知前三年中，产量增长的速度越来越慢；又当t≥3时，函数为常量函数，因而总产量C没有增加，即产品停止生产。故选A。
三、图像法
【例5】 已知α、β都是第二象限角，且cosα>cosβ，则（ ）
A．α<β B．sinα>sinβ C．tanα>tanβ D．cotα
【例6】 如果不等式≥x(a>0)的解集为{x|m≤x≤n}，且|m-n|=2a,则a的值等于（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
【解】 作出函数y=(a>0)及函数y=x的图像，由此可得m= -a，又|m-n|=2a, ∴n=a，代入方程=x(a>0)，得=a，解之得a=2，∴选B。
四、特殊法——从题干或选择支出发，通过选取特殊值代入、将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形特殊位置，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下不真这一原理，达到肯定一支或否定三支（去谬）的目的，称为特殊法。特殊法是“小题小作”的重要策略。
1．特殊值
【例7】 一个等差数列的前n项和为48，前2n项和为60，则它的前3n项和为（ ）
A．-24 B．84 C．72 D．36
【解】 结论中不含n，故本题结论的正确性与n取值无关，可对n取特殊值，如n=1，此时a1=48,a2=S2-S1=12，则a3=a1+2d= -24。前3n项和为36，选D。
【例8】 若0<|α|<，则
A．sin2α>sinα B．cos2α
2．特殊函数
【例9】 定义在R上的奇函数f(x)为减函数，设a+b≤0，给出下列不等式
①f(a)·f(-a)≤0 ②f(b)·f(-b)≥0
③f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b) ④f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)
其中正确的不等式序号是（ ）
A．①②④ B．①④ C．②④ D．①③
【解】 取f(x)= -x，逐项检查可知①④正确。因此选B。
3．特殊数列
【例10】 如果等比数列{an}的首项是正数，公比大于1，那么数列{logan}（ ）
A．是递增的等比数列 B．是递减的等比数列
C．是递增的等差数列 D．是递减的等差数列
【解】 取an=3n，易知选D。
4．特殊位置
【例11】 如图13-5，在棱柱的侧棱A1A和B1B上各一动点P，Q满足A1P=BQ，过P、Q、C三点的截面把棱柱分成两部分则其体积之比为（ ）
A．3∶1 B．2∶1 C．4∶1 D．∶1
【解】 将P，Q置于特殊位置：P→A1，Q→B，此时仍满足条件A1P=BQ（=0），则有VC—AAB=，故选B。
【例12】 过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F作一条直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则+等于（ ）
A．2a B． C．4a D．
【解】 考察直线PQ与y轴垂直时的情况，此时仍满足题设条件。因此时p=q=，代入可得+=4a，故选C。
5．特殊点
【例13】 函数f(x)=+2（x≥0）的反函数f-1(x)图像是（ ）
【解】 由函数f(x)= +2（x≥0），可令x=0，得y=2；令x=4，得y=4，则特殊点(2,0)及(4,4)都应在反函数f-1(x)的图像上，观察得A、C。又由反函数f-1(x)的定义域知选C。
6．特殊方程
【例14】 双曲线b2x2-a2y2=a2b2 (a>b>0)的渐近线夹角为α，离心率为e,则cos等于（ ）
A．e B．e2 C． D．
【解】 本题是考查双曲线渐近线夹角与离心率的一个关系式，故可用特殊方程来考察。取双曲线方程为-=1，易得离心率e=,cos=，故选C。
7．特殊模型
【例15】 如果实数x,y满足等式(x-2)2+y2=3，那么的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【解】 题中可写成。联想数学模型：过两点的直线的斜率公式k=，可将问题看成圆(x-2)2+y2=3上的点与坐标原点O连线的斜率的最大值，即得D。
五、去谬法（又称筛选法）——它是充分运用选择题中单选题的特征，既有且只有一个正确选择支这一信息，通过分析、推理、计算、判断，逐一排除错误支，最终达到选出正确支的目的的一种解法，称为去谬法。
【例16】 若x为三角形中的最小内角，则函数y=sinx+cosx的值域是（ ）
A．（1， B．（0， C．[，] D．（，
【解】 因x为三角形中的最小内角，故x∈(0, )，由此可得y=sinx+cosx>1，排除错误支B,C,D。应选A。
六、逆推验证法——当题干提供的信息较少或结论是一些具体的数字时，我们可以从选择支入手，逐一检验是否与题干相容，这种方法称为逆推验证法。
七、推理分析法
1．特征分析法——根据题目所提供的信息，如数值特征、结构特征、位置特征等，进行快速推理，迅速作出判断的方法，称为特征分析法。
【例17】 已知sinθ=,cosθ=(<θ<π)，则tan等于（ ）
A． B．|| C． D．5
【解】 由于受条件sin2θ+cos2θ=1的制约，故m为一确定的值，于是sinθ,cosθ的值应与m的值无关，进而推知tan的值与m无关，又<θ<π，<<,∴tan>1，故选D。
2．逻辑分析法——通过对四个选择支之间的逻辑关系的分析，达到否定谬误支，选出正确支的方法，称为逻辑分析法。
【例18】 设a,b是满足ab<0的实数，那么（ ）
A．|a+b|>|a-b| B．|a+b|>|a-b|
C．|a-b|<|a|-|b| D．|a-b|<|a|+|b|
【解】 ∵A，B是一对矛盾命题，故必有一真，从而排除错误支C，D。又由ab<0，可令a=1,b= -1，代入知B为真。
五、巩固练习
1．函数y=log(x-1)的图像是（ ）
2．如果四面体的四个顶点到平面d的距离都相等，则这样的平面d一共有（ ）
A．1个 B．3个 C．4个 D．7个
3．已知α、β为锐角，且cosα=,cosβ=，则α+β的值等于（ ）
A． B． C．或 D．或
4．若(x2+)n的展开式中只有第4项的系数最大，那么这个展开式中的常数项是（ ）
A．15 B．20 C．30 D．35
5．过椭圆+=1的一个焦点且与它的长轴垂直的弦长等于（ ）
A． B．1 C． D．3
6．已知函数f(x)=logx+2的定义域为(0,3，则它的反函数f-1(x)的定义域为（ ）
A．[-1,1] B．（-∞，1 C．[1，+∞ D．[3，+∞
7．函数y=sin(2x+)在区间[0，π]内的一个单调递减区间是（ ）
A．[0，] B．[，] C．[，] D．[，]
8．若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C：（α为参数）的极坐标方程是（ ）
A．ρ=sinθ B．ρ=2sinθ C．ρ=sinθ D．ρ=
9．把一个半径为R的实心铁球熔化后铸成两个小球（不计损耗），两个小球的半径之比为1∶2，则其中较小球半径为（ ）
A．R B．R C．R D．R
10．4名男生2名女生站成一排，要求两名女生分别站在两端，则不同排法的种数为（ ）
A．48 B．96 C．144 D．288
11．已知复数z=(t+i)2的辐角主值是，则实数t的值是（ ）
A．0 B．-1 C．1 D．不能确定
12．已知双曲线C：x2-=1,过点P(1,1)作直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
13．a、b是异面直线，以下四个命题：
①过a至少有一个平面平行于b ②过a至少有一个平面垂直于b
③至多有一直线与a、b都垂直 ④至少有一个平面分别与a、b都平行
其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
14．已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图像如图13-8所示，则（ ）
A．b∈(-∞,0) B．b∈(0,1) C．b∈(1,2) D．b∈(2,+ ∞)
15．函数y=是（ ）
A．奇函数不是偶函数 B．偶函数不是奇函数
C．奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
16．已知函数f(x)=2x –1,g(x)=1-x2,构造函数F(x)，定义如下：当|f(x)|≥g(x)时，F(x)=|f(x)|；当|f(x)|
C．有最大值1，无最小值 D．无最小值，也无最大值
17．已知集合P={(x,y)|y=-,x、y∈R}及Q={(x,y)|y=x+b,x、y∈R}，若P∩Q≠，则实数b的值范围是（ ）
A．[-5，5] B．（-5，5） C．[-5，5] D．[-5，5]
18．直线y=xcosα+1(α∈R)的倾斜角的取值范围是（ ）
A．[0，] B．[0，π
C．[-，] D．[0，]∪[，π
19．如图13-9，三棱锥S—ABC，E、F、G、H分别是棱SA、SB、BC、AC的中点，截面EFGH将三棱锥分割为两个几何体：AB—EFGH、SC—EFGH，设其体积分别是V1、V2，则V1∶V2的值是（ ）
A．1∶2 B．1∶3 C．2∶3 D．1∶1
20．已知(1+2x)n的展开式中所有项系数之和等于729，那么这个展开式中x3项的系数是（ ）
A．56 B．80 C．160 D．180
21．若圆(x-1)2+(y+1)2=R2上有且只有两个点到直线4x+3y=11的距离等于1 ，则半径R的取值范围是（ ）
A．R>1 B．R<3 C．1
A．2a2-M B．M-2a2 C．2M-a2 D．a2-2M
23．已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在（-∞，4上是减函数，那么实数a的取值范围是（ ）
A．a≥ -3 B．a≤-3 C．a≤5 D．a≥3
24．已知C n0+2C n1+22C n2+…+2nCnn=729，则C n1+C n3+…的值等于（ ）
A．64 B．32 C．63 D．31
25．已知两点A(-2,0),B(0,2)，点C是圆x2+y2-2x=0上的任意一点，则△ABC面积的最小值是（ ）
A．3- B．3+ C． D．
26．已知A、B、C、D、为同一球面上的四点，且连接两点间的线段长都等于2，则球O到平面BCD距离等于（ ）
A． B． C． D．
27．已知函数f(x)在R上是增函数，若a+b>0，则（ ）
A．f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b) B．f(a)+f(b)>f(-a)-f(-b)
C．f(a)+f(-a)>f(b)+f(-b) D．f(a)+f(-a)>f(b)-f(-b)
28．如图13-10，已知正四棱柱ABCD——A1B1C1D1，底面边长为1，侧棱长为2，E为BB1的中点，则异面直线AD1与A1E的成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
29．设双曲线-=1(a>0,b>0)的一条准线与两条渐近线交于A、B两点，相应的焦点为F，若对AB为直径的圆恰过F点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
30．一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第七项等于（ ）
A．22 B．21 C．19 D．18
31．某体育采票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元。某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，则这人把这种特殊要求的号买全，至少要花（ ）
A．3360元 B．6720元 C．4320元 D．8640元
32．函数y=2sinxsin2x的最大值是（ ）
A． B． C．2 D．
33．无穷等比数列{an}的各项和为S，若数列{bn}满足bn=a3n-2+a3n-1+a3n,则数列{bn}的各项和等于（ ）
A．S B．3S C．S2 D．S3
34．已知复数Z1=3-i,|z2|=2，则|z1+z2|的最大值是（ ）
A．-2 B．5 C．2+ D．2+2
35．如图13-11，把边长为a的正方形剪去图中的阴影部分，沿图中所画的线折成一个正三棱锥，则这个正三棱锥的高为（ ）
A．a B． a C． a D． a
36．为了使函数y=sinωx(ω>0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是（ ）
A．98π B．π C．π D．100π
37．将曲线C向右平移3个单位，再向下平移1个单位得到曲线C′，若曲线C′的方程为-=1，则曲线C的焦点坐标为（ ）
A．(6,-1),(0,-1) B．(-6,1),(0,1) C．(-3,2),(-3,-4) D．(3,2),(3,-4)
38．方程3 x +4 x =5 x的一个解是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
39．若x∈(1,2)时，不等式(x-1)2
40．某商场开展促销抽奖活动，摇奖器摇出的一组中奖号码是8、2、5、3、7、1，参加抽奖的每位顾客从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个号码中任意抽出六个组成一组，如果顾客抽出的六个号码中至少有5个与摇奖器摇出的号码相同（不计顺序）就可以得奖。一位顾客可能抽出的不同号码组共有m组，其中可以中奖的号码共有n组。则的值为（ ）
A． B． C． D．
41．已知点P(x,y)在直线x+2y=3上，那么2 x +4 y的的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．16 D．不存在
42．一批货物随17列货车从A市以V千米/小时匀速直达B市，已知两地铁路线长为400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于（）2千米，那么这批物质全部运到B市，最快需要（ ）
A．6小时 B．8小时 C．10小时 D．12小时
43．若z1，z2∈C，且z12-2z1z2+4z22=0,|z2|=2，则直径等于|z1|的圆的面积是（ ）
A．4π B．2π C．16π D．
44．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额。此项税款按下表分段累进计算：
全月应纳税所得额 税率
不超过500元的部分 5%
超过500元至2000元的部分 10%
超过2000元至5000元的部分 15%
… …
某人一月份应交纳此项税26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于（ ）
A．800~900元 B．900~1200元 C．1200~1500元 D．1500~2800元
45．已知△AOB的三个顶点A、O、B（O为原点）对应的复数分别为z1,0,z2,若|z1|=3,|z2|=5,|z1-z2|=7，则等于（ ）
A．-±i B．--i C．-+i D．-I
46．函数y=sin2kπx+cos2kπx的最小正周期T=1，则实数k的值等于（ ）
A．0 B．1 C．π D．
47．已知平面内有一条线段AB，其长度为4，动点P满足|PA|-|PB|=3，O为AB的中点，则|PO|的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
48．|x|≤2的必要但不充分条件是（ ）
A．|x+1|≤3 B．|x+1|≤2 C．|x+1|≤1 D．|x-1|≤1
49．已知图13-12为y=f(x)的图像，则y=f(1-x)的图像为图13-13中的（ ）
图13-12
50．某城市郊区对200户农民的生活水平进行调查，统计结果是：有彩电的128户，有电冰箱的162户，二者都有的105户，则彩电和电冰箱至少有一样的有（ ）
A．162户 B．200户 C．196户 D．185户
参考答案
1.D 2.D 3.B 4.B 5.D 6.C 7.D 8.C 9.B 10.A 11.C 12.D 13.B 14.A 15.A 16.B 17.C 18.D 19.D 20.C 21.C 22.A 23.B 24.B 25.A 26.B 27.A 28.D 29.A 30.D 31.D 32.B 33.A 34.C 35.D 36.B 37.B 38.B 39.C 40.D 41.B 42.B 43.A 44.C 45.A 46.B 47.A 48.A 49.A 50.D
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