2023 年上学期高二期中考试
数学参考答案
一、单项选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
B D A D B C C A
二、多项选择题
9 10 11 12
ABD ABC BC ACD
三、填空题
16
13. 24 14. 6 15.33 16.① ② 2 5 2,4 3 5
四、解答题
2
17.【解析】(1)最小正周期为T ，
2
1 1 3
(2) f C sin 2C ，
2 6 4 4
即 sin 2C 1，
6
所以2C 2k ， k Z，
6 2
所以C k ， k Z，
3
因为C 0, ，
所以C ，
3
1 3
由三角形面积公式 S absin C ab 2 3 ，且a 2，
2 4
解得b 4，
c2 a2 b2
1
由余弦定理 2abcosC 4 16 2 2 4 12，
2
解得c 2 3 .
a8 a1 7d 9
18.【解析】(1)由于 an 是等差数列，设公差为 d ，当选①②时： ，
S5 5a1 10d 20
a1 2
解得 ，
d 1
所以 an 的通项公式an 2 n 1 1 n 1，n N* .
a8 a1 7d 9
选①③时： ，
a2 a9 2a1 9d 13
a1 2
解得 .
d 1
所以 an 的通项公式an 2 n 1 1 n 1，n N* .
S5 5a1 10d 20
选②③时： ，
a2 a9 2a1 9d 13
a1 2
解得 ，
d 1
所以 an 的通项公式an 2 n 1 1 n 1，n N .
(2)由(1)知，an n 1，n N
，
1 1 1 1
所以bn ，
anan 1 n 1 n 2 n 1 n 2
1 1 1 1 1 1 1 1 n
所以Tn .
2 3 3 4 n 1 n 2 2 n 2 2 n 2
19.【解析】(1)证明： E 、 F 、G 分别为PC 、BC 、CD的中点，
∴ EF / /PB ，FG / /BD，
∵ EF 平面PBD ， PB 平面PBD ，
∴ EF / / 平面PBD ，
同理可证FG / / 平面 PBD ，
∵ EF FG F ，EF 、 FG 平面EFG，
∴平面EFG / / 平面PBD ，
∵ FH 平面EFG，
∴ FH / / 平面PBD .
(2)∵ PA 平面 ABCD，四边形 ABCD为矩形，以点 A 为坐标原点， AB 、 AD 、 AP 所在直线分
别为 x、 y 、 z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
1
则 B 1,0,0 、C 1, 2,0 、P 0,0, 2 、F 1,1,0 、E ,1,1 、
2
1 1 3 1
G , 2,0 、 H , , ，
2 2 2 2
1 1 1
BC 0,2,0 ， BP 1,0,2 ，FH , , ，
2 2 2
设平面PBC 的法向量为n x, y, z ，
n BC 2y 0
则 ，
n BP x 2z 0
取 x 2，可得n 2,0,1 ，
1
FH n 2 15
∴ cos FH ,n ，
FH n 3 15
5
2
15
所以，直线FH 与平面PBC 所成角的正弦值为 .
15
1 1
20.【解析】(1)由题意知，该市所有参赛学生中分数在 90,100 的概率为 ，且 X ~ B 3, ，
5 5
所以 X 的可能取值有0 、1、2 、3，
0 3 2 2
0 1 4 64 1 1 4 48故 P X 0 C3 ，P X 1 C3 ，
5 5 125 5 5 125
2 1 3 0
2 1 4 12 1 4 1P X 2 C3 ， P X 3 C
3
3 .
5 5 125 5 5 125
故 X 的分布列如下：
X 0 1 2 3
64 48 12 1
P
125 125 125 125
1 3
E X np 3 .
5 5
(2)得分位于 70,80 的共有4 人，得分位于 80,90 的有3人，
记事件 A ：第一次抽出1名学生分数在区间 70,80 内，记事件 B ：后两次抽出的 2 名学生分数在同
一分组区间 80,90 内，
1 2
4 2 C A 4 3 2 1
则 P A ，P AB 4 3 ， 3
10 5 A10 10 9 8 30
P AB 1 5 1
由条件概率公式可得P B A .
P A 30 2 12
c 3
21.【解析】(1)由题知， ，a 3c，b 2c，
a 3
x2 y2 2 3 4 2
所以椭圆C 为 1，由点 2, 在椭圆上得 1，
3c2 2c2 3
3c2 3c2
解得c2 2，
x2 y2
故椭圆方程为 1 .
6 4
(2)设 P 0, t ， A x1, y1 ， B x2 , y2 ，
x2 y2
1
由 6 4 ，
y kx 1
2 3k 2 x2得 6kx 9 0，
2 2 2 6k 9∴ 36k 36 2 3k 144k 72 0 ， x1 x2 ， x1x2 ，
2 3k 2 2 3k 2
所以PB PM PB PA AM PB PA PB AM PB PA x1, y1 t x2 , y2 t
x1x2 kx1 1 t kx2 1 t
2 9
2 2
6k 2
1 k x1x2 k 1 t x1 x2 1 t 1 k 2 k 1 t 1 t
2 3k 2 3k
2
2
9 2 1 t 3t2 12 k 2
，
2 3k 2
2
3t 2 12 9 2 1 t
所以 ，
3 2
1
解得 t ，
4
1
所以存在定点P 0, ，
4
使得PB PM 为定值.
22.【解析】(1)证明：因为 f x ln x ax cos x a sin x ，
1 1
所以 f x a cos x axsin x a cos x axsin x，
x x
因为 x 0, ，
所以sin x 0，
又 a 0，
所以 f x 0，
所以 f x 在 0, 上单调递增.
kx
(2)当 a 1时， ln x xcos x f x ，
ex
kx
即 ln x xcos x ln x xcos x sin x ，
ex
kx
所以 sin x，
ex
即ex sin x kx 0在 0, 上恒成立.
2
令 g x ex sin x kx，
则 g x ex sin x ex cos x k ，
令 h x ex sin x ex cos x k ，
则 h x ex sin x ex cos x ex cos x ex sin x 2ex cos x .
因为 x 0, ，
2
所以cos x 0，
所以h x 0，
所以h x 在 0, 上单调递增，
2
所以h x h 0 1 k .
①当1 k 0，即 k 1时，在 0, 上，h x 0 ，
2
即 g x 0，
所以 g x 在 0, 上单调递增，
2
所以对 x 0, ， g x g 0 0 ，
2
即 g x 0 在 0, 上恒成立，符合；
2
②1 k 0，即 k 1时，h 0 0 ，
又 h e
2 k ，
2
若 h e
2 k 0，则在 0, 上，h x 0，
2 2
即 g x 0，
所以 g x 在 0, 上单调递减，
2
所以 g x g 0 0 ，不合题意；
若 h e
2 k 0，则存在 x0 0, ，
2 2
使得h x0 0，
所以在 0, x0 上，h x 0，
即 g x 0，
所以在 0, x0 上， g x 单调递减，
所以对 x 0, x0 ， g x g 0 0 不合题意.
综上所述，实数 k 的取值范围为 ,1 .2023 年上学期高二期中考试
数 学
时量：120 分钟 满分：150 分
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.
1.已知集合 A x 1 x 2 ，B 1,0,1, 2 ，则 A B ( )
A. 1,0,1, 2 B. 1,0,1
C. 0,1,2 D. x 1 x 2
2.若复数 z i 2 i ，则 z ( )
A.1 B. 2 C. 5 D. 5
x2 1, x 1
3.已知函数 f x ，若 f a 10，则实数a的值是( )
2x, x 1
A. 3或5 B. 3或 3 C.5 D.3或 3或5
4.数列 a 为正项等比数列，前nn 项和为 Sn ，且满足a2 2，a6 32，则S5 ( )
A.36 B.35 C.32 D.31
5. 2023年，中国空间站将正式进入运营阶段.假设空间站要安排6 名航天员开展实验，每个舱中都有2 人，
则不同的安排方法有( )
A. 72 种 B.90种 C.360种 D.540种
6.函数 f x Asin x A 0, 0, 的部分图象如图所示，将函数 f x 的图象上所有点
2
的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移 个单位长度，得到函数 g x 的图
3 6
象，则下列关于函数 g x 的说法正确的是( )
A. g x 的最小正周期为
3
B. g x 在区间 , 上单调递增
9 3
4
C. g x 的图象关于直线 x 对称
9
D. g x 的图象关于点 ,0 中心对称
9
2 2
7.直线2x y 4 0分别与 x轴， y 轴交于M ， N 两点，点 A 在圆C : x 2 y 1 5 上运动，
则△AMN 面积的最大值为( )
A.8 B.8 5 C.14 D.14 5
8.设 ，b e0.1a 1.2 ，c 1 ln1.1，则( )
A.b a c B.c b a
C. a b c D.b c a
二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得
0 分.
9.如图所示的圆锥的底面半径为3，高为4 ，且 AB BC ，则( )
A.三棱锥 S ABC 的体积为12
B.该圆锥的体积为12
C.该圆锥的表面积为14
D.该圆锥的母线长为5
10.下列说法正确的是( )
2
A.已知P 3.841 0.05 ，若根据 22 2 列联表得到 的观测值为4.153，则有95%的把握认为
两个分类变量有关
B.已知向量a 1, 2 ，b 6, 3 ，则a b
C.随机变量 X 服从正态分布 N 4,1 ，且P X 5 0.1587 ，则P 3 X 5 0.6826
D.已知一组数据 x1，x2 ，x3 ，x4 ，x5 ，x6 的方差是5，则数据4x1 1，4x2 1，4x3 1，4x4 1，
4x5 1，4x6 1的标准差是12
11.已知数列 an 的前n项和为 Sn ，则下列说法正确的是( )
2
A.若an n ，则 an 是等差数列
n
1
B.若 S 1，则 an 是等比数列 n
2
C.若 an 是等差数列，则 S199 199a100
D.若 a 2n 是等比数列，则 S99 S101 S100
12.蒙日(图1)是18 19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的
切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”(图2 ).已知长方形R 的四边
x2 y2
均与椭圆C : 1相切，则下列说法正确的是( )
6 3
2
A.椭圆C 的离心率为e
2
B.椭圆C 的蒙日圆方程为 x2 y2 6
C.椭圆C 的蒙日圆方程为 x2 y2 9
D.长方形 R 的面积最大值为18
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
4
2
13.二项式 x 的展开式中，常数项为________(用数值表示).
x
x2 y2
14.若抛物线 y2 2px的焦点与双曲线 1的右焦点重合，则 p 的值为________.
6 3
15.蟋蟀鸣叫是大自然优美和谐的音乐，蟋蟀鸣叫的频率 x (单位：次/分钟)与气温 y (单位：℃)有较强的线
1
性相关关系.某同学在当地通过观测，得到如下数据，并建立了 y 关于 x的线性回归方程 y x a .当蟋
4
蟀每分钟鸣叫52次时，该地当时的气温预报值为________.
x (次/分钟) 24 36 40 60
y ℃ 26 28.6 30 35.4
16.传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的
高相等，如图是一个圆柱容球，O1、O2 为圆柱两个底面的圆心，O为球心，EF 为底面圆O1的一条直径，
若球的半径 R 2，则
①平面DEF 截得球的截面面积最小值为________；
②若 P 为球面和圆柱侧面的交线上一点，则PE PF 的取值范围为________.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分 10 分)
1 1
已知函数 f x sin 2x .
2 6 4
(1)求 f x 的最小正周期；
3
(2)在△ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为a，b ，c，若 f C ，a 2，且△ABC 的面
4
积为2 3，求c的值.
18.(本小题满分 12 分)
在①a8 9，② S5 20，③a2 a9 13这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并进行解答.已知
等差数列 a nn 的前 项和为 Sn ，n N* ，________，________.
(1)求数列 an 的通项公式；
1
(2)设bn ，求数列 b n
a a n
的前 项和Tn .
n n 1
19.(本小题满分 12 分)
已知四棱锥P ABCD的底面 ABCD为矩形，PA 底面 ABCD，且PA AD 2AB 2，设E 、F 、
G 分别为PC 、BC 、CD的中点，H 为EG 的中点.
(1)求证：FH / / 平面PBD ；
(2)求直线FH 与平面PBC 所成角的正弦值.
20.(本小题满分 12 分)
明德中学开展了120周年校庆知识问答竞赛，参赛人员所得分数的分组区间为 60,70 ， 70,80 ， 80,90 ，
90,100 ，由此得到总体的频率统计表：
分数区间 60,70 70,80 80,90 90,100
频率 0.1 0.4 0.3 0.2
(1)视样本的频率为概率，在该校所有参赛学生中任取3人，记取出的3人中分数在 90,100 的人数为
X ，求 X 的分布列和数学期望；
(2)若从总体中利用分层抽样的方式随机抽取10名学生进行进一步调研.从这10名参赛学生中依次抽
取3名进行调查分析，求在第一次抽出1名学生分数在区间 70,80 内的条件下，后两次抽出的2 名学生分
数在 80,90 的概率.
21.(本小题满分 12 分)
x2 y2 3 2 3
已知椭圆C : 1 a b 0 的离心率为 ，且过点 2, .
a2 b2 3 3
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若直线 l : y kx 1与椭圆C 交于 A ，B 两点，点P 是 y 轴上的一点，过点 A 作直线PB 的垂线，
垂足为M ，是否存在定点P ，使得PB PM 为定值？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
22.(本小题满分 12 分)
已知 f x ln x axcos x a sin x a R .
(1)证明：当a 0时， f x 在 0, 上单调递增；
kx
(2)当 a 1时，关于 x的不等式 ln x xcos x f xx 在 0, 上恒成立，求实数 k 的取值范围. e 2
