一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知向量＝（x，2），＝（1，﹣1），且∥，则 ＝（ ）
A．4 B．2 C．0 D．﹣4
【答案】D
【分析】根据∥即可求出x值，从而可得出的坐标，进而可求出的值．
【解答】解：∵∥，
∴﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣2，
∴，．
故选：D．
2.设i为虚数单位，复数z满足z（1﹣i）＝2i，则|z|＝（ ）
A．1 B． C．2 D．2
【答案】B
【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算，再由复数模的计算公式求解．
【解答】解：由z（1﹣i）＝2i，得z＝，
∴|z|＝．
故选：B．
3.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据共线向量的定义即可得结论．
【解答】解：由题，点C是线段AB靠近点B的三等分点，
＝3＝﹣3，所以选项A错误；
＝2＝﹣2，所以选项B和选项C错误，选项D正确．
故选：D．
4.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．
【解答】解：∵z（3+i）＝3+i2020，i2020＝（i2）1010＝（﹣1）1010＝1，
∴z（3+i）＝4，∴z＝，
∴＝，
∴共轭复数的虚部为，
故选：D．
5.如图， ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则 的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．
【答案】C
【分析】利用图形，求出数量积的向量，然后转化求解即可．
【解答】解：由题意， ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，
延长AB至点E，且AB＝BE，
可知＝+＝，＝﹣＝﹣2，
所以 ＝（） （﹣2）
＝﹣2﹣2＝1．
故选：C．
6.如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形OA'B'C'，且直观图OA'B'C'的面积为2，则该平面图形的面积为（ ）
A．2 B．4 C．4 D．2
【分析】结合S原图＝2S直观图，可得答案．
【解答】解：由已知直观图OA'B'C'的面积为2，
∴原来图形的面积S＝2×2＝4，
故选：B．
【答案】B
7．已知高为3的棱柱ABC A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B1 ABC的体积为( )
A. B.
C. D.
[答案] D
8．如皋定慧寺原有佛塔毁于五代时期，现在的观音塔为2002年6月12日奠基，历时两年完成的，是仿明清古塔建筑，框架七层、八角彩绘。下面是观音塔的示意图，游客（视为质点）从地面点看楼顶点的仰角为，沿直线前进51米达到点，此时看点点的仰角为，若，则该八角观音塔的高约为（ ）（）
A．8米 B．9米 C．40米 D．45米
【答案】D
【解析】设，由得，
因为，所以，在中，，解得所以故选D
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9.下列有关向量命题，不正确的是（ ）
A．若||＝||，则＝ B．已知≠，且 ＝ ，则＝
C．若＝，＝，则＝ D．若＝，则||＝||且∥
【答案】AB
【分析】根据向量的概念与向量的模的概念逐一分析各个选项即可得解．
【解答】解：向量由两个要素方向和长度描述，A错误；
若∥，且与垂直，结果成立，当不一定等于，B错误；
若＝，＝，由向量的定义可得＝，C正确；
相等向量模相等，方向相同，D选项正确．
故选：AB．
10.若复数z满足，则（ ）
A．z＝﹣1+i B．z的实部为1 C．＝1+i D．z2＝2i
【答案】BC
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案．
【解答】解：由＝，
得z＝，
∴z的实部为1；＝1+i；z2＝（1﹣i）2＝﹣2i．
故选：BC．
11.△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量满足，则下列结论正确的是（ ）
A．是单位向量 B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据条件可求出，从而判断选项A正确；可得出，从而判断选项B正确；对两边平方即可得出，从而判断选项C错误；根据前面，可以得出，从而判断选项D正确．
【解答】解：A．∵，∴由得，，∴是单位向量，该选项正确；
B．∵，∴，该选项正确；
C.，∴由得，，即，∴，该选项错误；
D．∵，由上面得，，∴，该选项正确．
故选：ABD．
12．在中，如下判断正确的是
A．若，则为等腰三角形
B．若，则
C．若为锐角三角形，则
D．若，则
【答案】BCD
【解析】，，，
或，或，
则为等腰或直角三角形． 故错误．
，，，，故正确．
为锐角三角形，为锐角，，，，，故正确．
，，，，故正确．
故选BCD．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)
13．一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为 ．
6π [由底面周长为2π可得底面半径为1.S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝4π，所以S表＝S底＋S侧＝6π.]
14.已知向量，的夹角为45°，若＝（1，1），||＝2，则|2+|＝ ．
【分析】可得出，从而可求出，然后根据进行数量积的运算即可求出的值．
【解答】解：，
∴，
∴＝＝．
故答案为：．
15.设复数z1，z2满足|z1|＝1，|z2|＝2，，则|z1﹣z2|＝ ．
【分析】根据复数的几何意义得到对应向量的表示，再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理即可求解．
【解答】解：设z1，z2在复平面内对应的向量为，
z1+z2对应的向量为，如图所示，
因为，
所以|z1+z2|＝2，
所以，
又因为∠OZ1Z3+∠Z1OZ2＝180°，
所以，
所以＝1+4+1＝6，
所以，故|z1﹣z2|＝．
故答案为：．
16．设的内角所对的边分别为，已知，则的取值范围为__________.
【答案】
【解析】因为中，，，
由余弦定理可得，，
即，
当且仅当时，等号成立，
所以，则，
又在三角形中，两边之和大于第三边，则，
综上，.
四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.已知，．
（1）若与同向，求；
（2）若与的夹角为120°，求．
【分析】（1）设＝λ＝（2λ，0），由||＝1可得2λ＝1，解可得λ的值，即可得答案，
（2）根据题意，由数量积的计算公式可得 ＝﹣1，设＝（x，y），由数量积的坐标计算公式可得 ＝2x＝﹣1，即可得x的值，由向量模的计算公式可得y的值，即可得的坐标，由向量的坐标计算公式计算可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，与同向，且，
设＝λ＝（2λ，0），
又由||＝1，则有2λ＝1，即λ＝，
则＝（1，0）；
（2），则||＝2，
若与的夹角为120°，则 ＝||||cos120°＝2×1×cos120°＝﹣1，
设＝（x，y），则 ＝2x＝﹣1，则x＝﹣，
又由||＝1，则x2+y2＝1，解可得y＝±，
故＝（，±），
则+＝（，±）．
【知识点】平面向量数量积的性质及其运算、数量积表示两个向量的夹角
18.已知复数z＝m（m﹣1）+（m2﹣1）i，其中m∈R，i是虚数单位．
（Ⅰ）当m为何值时，复数z是纯虚数？
（Ⅱ）若复数z对应的点在复平面内第二、四象限角平分线上，求z的模|z|．
【分析】（Ⅰ）直接由实部为0且虚部不为0列式求解；
（Ⅱ）由实部与虚部的和等于0列式求得m，进一步求得z，则|z|可求．
【解答】解：（Ⅰ）由，解得m＝0；
（Ⅱ）∵复数z对应的点在复平面内第二、四象限角平分线上，
∴m（m﹣1）+m2﹣1＝0，即2m2﹣m﹣1＝0，解得m＝或m＝1．
当m＝﹣时，z＝，则|z|＝＝；
当m＝1时，z＝0，则|z|＝0．
【知识点】复数的代数表示法及其几何意义
19．（本小题满分12分）
已知三个点，，。
(1)求证：；
(2)若四边形为矩形，求点的坐标以及矩形两对角线所夹锐角的余弦值。
【解析】(1)证明：∵，，，∴，， 2分
∵，∴，即； 4分
(2)解：∵，四边形为矩形，∴， 5分
设点坐标为，则， 6分
∴，解得，∴点坐标为， 7分
从而，，
且，，， 9分
设与的夹角为，则， 11分
∴矩形的两条对角线所夹锐角的余弦值为。 12分
20.已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，a＝4，b＝6，cosA＝﹣．
（1）求c；
（2）求cos2B的值．
【分析】（1）由余弦定理即可求得c的值；
（2）先由同角三角函数的平方关系求得sinA的值，再由正弦定理求出sinB的值，最后根据cos2B＝1﹣2sin2B，得解．
【解答】解：（1）由余弦定理知，a2＝b2+c2﹣2bccosA，即48＝36+c2﹣2×6×c×（﹣），
整理得，c2+4c﹣12＝0，
解得c＝2或﹣6（舍负），
故c＝2．
（2）∵cosA＝﹣，且A∈（0，π），
∴sinA＝＝，
由正弦定理知，＝，即＝，
∴sinB＝，
∴cos2B＝1﹣2sin2B＝﹣．
21．（本小题满分12分）在①，，②，这两组条件中任选一组补充在下面问题的横线上，并进行解答.
已知的内角，，所对的边分别是，，，若，__________.
（1）求；
（2）求的面积.
【解析】（1）解法一：由正弦定理，得，
由，得，
即，整理得，
由，得，
所以.
解法二：由余弦定理，得，
整理得，
所以
（2）选择条件①. 由余弦定理，得，即，
即，
又，得，解得，
在中，由，得，
由面积公式，得.
选择条件②. 在中，由，得，
由，得，
由正弦定理，得，
联立，解得，，
由，
由面积公式，得.
22. 记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.
（1）证明：；
（2）若，求
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有，结合已知即可证结论.
（2）由题设，应用余弦定理求、，又，可得，结合已知及余弦定理即可求.
【详解】
（1）由题设，，由正弦定理知：，即，
∴，又，
∴，得证.
（2）由题意知：，
∴，同理，
∵，
∴，整理得，又，
∴，整理得，解得或，
由余弦定理知：，
当时，不合题意；当时，；
综上，.喀什二中2022-2023学年第二学期高一年级3月考试
数学试卷
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知向量＝（x，2），＝（1，﹣1），且∥，则 ＝（ ）
A．4 B．2 C．0 D．﹣4
2.设i为虚数单位，复数z满足z（1﹣i）＝2i，则|z|＝（ ）
A．1 B． C．2 D．2
3.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
4.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
5.如图， ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则 的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．
6.如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形OA'B'C'，且直观图OA'B'C'的面积为2，则该平面图形的面积为（ ）
A．2 B．4 C．4 D．2
7．已知高为3的棱柱ABC A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B1 ABC的体积为( )
A. B.
C. D.
8．如皋定慧寺原有佛塔毁于五代时期，现在的观音塔为2002年6月12日奠基，历时两年完成的，是仿明清古塔建筑，框架七层、八角彩绘，下面是观音塔的示意图，游客（视为质点）从地面点看楼顶点的仰角为，沿直线前进51米达到点，此时看点点的仰角为，若，则该八角观音塔的高约为（ ）（）
A．8米 B．9米 C．40米 D．45米
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9.下列有关向量命题，不正确的是（ ）
A．若||＝||，则＝ B．已知≠，且 ＝ ，则＝
C．若＝，＝，则＝ D．若＝，则||＝||且∥
10.若复数z满足，则（ ）
A．z＝﹣1+i B．z的实部为1 C．＝1+i D．z2＝2i
11.△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量满足，则下列结论正确的是（ ）
A．是单位向量 B．
C． D．
12．在中，如下判断正确的是
A．若，则为等腰三角形
B．若，则
C．若为锐角三角形，则
D．若，则
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)
13．一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为 ．
14.已知向量，的夹角为45°，若＝（1，1），||＝2，则|2+|＝ ．
15.设复数z1，z2满足|z1|＝1，|z2|＝2，，则|z1﹣z2|＝ ．
16．设的内角所对的边分别为，已知，则的取值范围为__________.
四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.已知，．
（1）若与同向，求；
（2）若与的夹角为120°，求．
18.已知复数z＝m（m﹣1）+（m2﹣1）i，其中m∈R，i是虚数单位．
（Ⅰ）当m为何值时，复数z是纯虚数？
（Ⅱ）若复数z对应的点在复平面内第二、四象限角平分线上，求z的模|z|．
19．（本小题满分12分）
已知三个点，，。
(1)求证：；
(2)若四边形为矩形，求点的坐标以及矩形两对角线所夹锐角的余弦值。
20.已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，a＝4，b＝6，cosA＝﹣．
（1）求c；
（2）求cos2B的值．
21．（本小题满分12分）在①，，②，这两组条件中任选一组补充在下面问题的横线上，并进行解答.
已知的内角，，所对的边分别是，，，若，__________.
（1）求；
（2）求的面积.
22. 记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.
（1）证明：；
（2）若，求
