1.3集合的基本运算（含解析）

1.3集合的基本运算
一、单选题
1．已知集合，则
A． B．
C． D．
2．设A、B是非空集合，定义： 且.已知， ，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．设集合，，，则
A． B． C． D．
4．已知全集是小于15的质数，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
5．已知全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
6．若全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．满足的集合A可能是（ ）
A． B． C． D．
8．我们知道，如果集合，那么S的子集A的补集为，类似地，对于集合A，B我们把集合叫做集合A和B的差集，记作，例如：，则有，下列解答正确的是（ ）
A．已知，则
B．已知，则
C．如果，那么
D．已知全集、集合A、集合B关系如上图中所示，则
三、填空题
9．已知集合，，若，则的取值范围是_____________．
10．已知,则=___________
11．设，，其中，如果，则实数的取值范围__.
12．已知全集，集合，集合，则________.
四、解答题
13．设，若，则称为集合的元“好集”；
（1）写出实数集的一个二元“好集”；
（2）问：正整数集上是否存在二元“好集”？说明理由；
（3）求出正整数集上的所有三元“好集”；
14．已知集合 ，，其中 .
(1)若 ，求 的值;
(2)若对 ，有 ，求 的取值范围.
15．求下列方程组的解集：
（1）；（2）；（3）.
16．已知，.
（1）求和；
（2）定义且，求和.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【解析】利用指数函数的单调性求出集合B，再利用集合的交运算即可求解.
【详解】由，
则.
故选：B
【点睛】本题考查了集合的角运算，同时考查了利用指数函数的单调性解不等式，属于基础题.
2．A
【详解】求出集合中的函数的定义域得到：
，即
可化为或
解得，即
，
则
故选
3．A
【详解】因为，所以，选A．
4．B
【分析】首先求出全集，再根据题意求出阴影部分表示的集合.
【详解】解：因为是小于15的质数，
，
，，.
.
故选：.
【点睛】本题考查数形结合思想，集合的运算，属于基础题.
5．C
【分析】先求出，再求出即可．
【详解】全集，集合，，
，则．
故选：C．
6．D
【分析】先求解集合的补集，再利用并集运算即可求解.
【详解】解：由题得，又，所以.
故选：D.
7．ABD
【分析】根据并集的定义即可得到答案.
【详解】因为，所以集合A的所有可能是，，，.
故选：ABD.
8．BCD
【分析】根据题干中的新定义，表示集合A与B的交集在A中的补集，据此逐一判断各选项即可.
【详解】A选项，表示集合A与B的交集在B中的补集，所以，A不正确；
B选项，，，B正确；
C选项，，则，即，C正确；
D选项，，D正确.
故选：BCD.
9．
【分析】因为，所以，建立不等关系即可求出的取值范围．
【详解】因为，所以
由已知集合，
所以当时，满足题意，此时，即
当时，要使成立，则 ，解得
综上的取值范围是
【点睛】本题考查集合的包含关系，解题的关键是不要忘了空集这一特殊情况，属于一般题．
10．
【分析】根据集合交集的定义，结合数轴直接求出,
【详解】.
【点睛】本题考查了集合的交集运算，运用数轴求出交集是解题的关键.
11．或
【分析】先求得，再根据讨论与两种情况即可
【详解】由中方程变形得：，
解得：或，即，，
由，其中，且，
分两种情况考虑：
若时，，即，满足题意；
若时，，即，
当时，，符合题意；
当时，,所以，解得，符合题意；
综上，的范围为或.
故答案为：或
12．
【分析】按照补集和交集的求法求解即可.
【详解】，，所以.
故答案为：.
【点睛】本题考查补集和交集的求法，属于基础题.
13．（1）
（2）不存在，理由见解析
（3）
【分析】（1）根据二元“好集”的定义可得，举出方程组的一组解即可；
（2）利用反证法，假设为正整数集上的一个二元“好集”，不妨设，从而得出矛盾，即可证明结论；
（3）假设为正整数集上的一个三元“好集”，不妨设（其中、 ），利用，即可求得答案.
【详解】（1）假设为实数集的一个二元“好集”
，
如等符合上式的解均可.
（2）反证法：假设为正整数集上的一个二元“好集”，
不妨设，
，且，，，
与矛盾，
假设不成立，
即不存在正整数集上的二元“好集”.
（3）假设为正整数集上的一个三元“好集”，
不妨设（其中、 ），
，
，
满足的正整数只有，，
代入，得，
正整数集上的所有三元“好集”为.
【点睛】本题考查集合新定义问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意反证法的应用.
14．(1) ，或
(2) 或 或 或
【分析】(1)由可得，由此可求，再求；(2)由条件，讨论的元素，确定 的取值范围.
（1）
因为 ，所以 ，
又方程 的解为 或 ，
当时，，
将 代入 得 ，
则 ，
所以 ，则 ，
当 时，，将 代入 得 ，
综上 ，或 .
（2）
若对 ，有 ，则 ，
当 时，或，
当 时，，由(1)可得
当 时， ，由(1)
当 ，即 或 时，集合中含两个不同元素，又中至多两个元素，，所以且，由（1）得 ，
当 时，即 时，
，对 ，都成立，
综上， 或或 或
15．（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）由②得出，代入①式，利用代入消元法可求出原方程组的解集；
（2）由②得出，代入①式，利用代入消元法可求出原方程组的解集；
（3）由②得，代入①式，利用代入消元法可求出原方程组的解集.
【详解】（1）由②得，代入①得，解得或.
当时，；当时，.
所以原方程组的解集为；
（2）由②得，代入①得，
即，解得或.
当时，；当时，.
所以原方程组的解集为；
（3）由②得，代入①得，
即，解得或.
当时，；当时，.
所以原方程组的解集为.
【点睛】本题考查二元二次方程组的求解，常用代入消元法和加减消元法求解，考查运算求解能力，属于基础题.
16．(1)，；(2)，.
【分析】(1)先分别求解出集合中的表示元素的范围，即可求解出集合，即可求解出、的结果；
(2)根据定义以及集合，即可求解出与的结果.
【详解】(1)因为，所以，所以，所以，
又因为，所以或，所以，所以，
所以，；
(2)因为且，
所以，.
【点睛】本题考查指、对数不等式与集合的交并的综合应用，难度一般.(1)解指、对数不等式可根据指、对数函数的单调性完成求解；(2)集合的新定义问题，先读懂定义再根据已知方法完成求解.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页