1.4 充分条件与必要条件（含解析）

1.4 充分条件与必要条件
一、单选题
1．已知向量，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．命题成立的充要条件是
A． B．
C． D．
3．“”是 “”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知，则“”是“关于x的一元二次方程没有实数根”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知：不等式的解集为R；：指数函数为增函数，则p是q成立的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分条件也不必要条件
二、多选题
7．设、是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，则的一个充分条件是（ ）
A．存在一条直线，，
B．存在一条直线，，
C．存在一个平面，满足，
D．存在两条异面直线，，，，，
8．给出如下命题，下列说法正确的是（ ）
A．是的必要不充分条件；
B．且是的充分不必要条件；
C．是的充分不必要条件；
D．是的充分不必要条件.
三、填空题
9．若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是___________.
10．已知空间向量，，则是的______条件.
11．“”是“”的__________条件（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中选一个填空）．
12．已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则的取值范围_________.
四、解答题
13．若集合，，试写出：
（1）的一个充要条件；
（2）的一个必要不充分条件.
14．已知集合
（1）若，求实数的值；
（2）若命题命题且是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
15．已知.
（1）求中关于x的不等式的解集；
（2）求中关于x的不等式的解集；
（3）若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围.
16．已知，．
(1)若是的充分条件，求实数的取值范围；
(2)若是的必要条件，求实数的取值范围．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】由两边平方后进行化简，得到，由此判断出“”是“”的充要条件
【详解】由，则，
所以，有，
故“”是“”的充要条件．
故选：C
【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量模的运算，属于基础题.
2．B
【分析】根据题意，设，计算其最小值即可．
【详解】解：，则，故.
设，故当时，函数有最小值为．
故．
故选：．
【点睛】本题考查充要条件的概念，主要考查学生的计算能力和推断能力，转化为求函数的最小值是解题的关键，属于基础题．
3．B
【分析】由等价于，或，再根据充分、必要条件的概念，即可得到结果.
【详解】因为，所以，或，
所以“”是 “”的充分而不必要条件.
故选:B.
4．D
【解析】通过举反例，结合不等式的性质，由充分条件与必要条件的概念，即可判定出结果.
【详解】若，，则满足，不满足；
由可得，不能推出，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
【点睛】结论点睛：
判定充分条件与必要条件时，一般根据概念直接判断，有时也需要可根据如下规则判断：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；
（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．
5．B
【分析】由关于x的一元二次方程没有实数根可得，然后利用充分条件、必要条件的定义即得.
【详解】由关于x的一元二次方程没有实数根，
可得，即，
由可推出，而由推不出，
所以“”是“关于x的一元二次方程没有实数根”的必要不充分条件.
故选：B.
6．A
【详解】p:;q:,
因为,所以p是q成立的充分不必要条件
7．CD
【解析】A、B选项，直接判断出、的位置关系；C选项，利用面面平行的性质可判断、的位置关系；D选项，根据面面平行的判定定理可判断、的位置关系.结合充分条件的定义可得出结论.
【详解】对于选项A，若存在一条直线，，，则或与相交.
若，则存在一条直线，使得，，
所以选项A的内容是的一个必要条件而不是充分条件；
对于选项B，存在一条直线，，，则或与相交.
若，则存在一条直线，，，
所以，选项B的内容是的一个必要条件而不是充分条件；
对于选项C，平行于同一个平面的两个平面显然是平行的，故选项C的内容是的一个充分条件；
对于选项D，可以通过平移把两条异面直线平移到其中一个平面中，成为相交直线，由面面平行的判定定理可知，，则，
所以选项D的内容是的一个充分条件.
故选：CD.
【点睛】本题考查面面平行充分条件的判断，可利用面面平行的判定定理和模型来判断，考查推理能力，属于中等题.
8．BD
【分析】利用充分性和必要性的定义逐一判断即可．
【详解】解：可以推出，但是不能推出，比如是负数时，所以是的充分不必要条件，故A错误；
且可以推出，但是不能推出且，比如时，所以且是的充分不必要条件，故B正确；
不能推出，比如时，但是可以推出，所以是的必要不充分条件，故C错误；
是可以推出，但是不能推出，所以是的充分不必要条件，故D正确．
故选：BD．
【点睛】本题考查充分性和必要性的定义和判断，是基础题．
9．
【分析】可先将化简得，由充分不必要条件再确定参数满足条件即可
【详解】由，“”是“”的充分不必要条件，，解得
故答案为
【点睛】本题考查由充分不必要条件求参数，属于中档题
10．充分不必要
【分析】由题意分别考查充分性和必要性是否成立即可.
【详解】当时，，，很明显可得，即充分性成立，
注意到，当时，，，此时可得，据此可得必要性不成立，
综上可知：是的充分不必要条件.
【点睛】本题主要考查空间向量垂直的判定，充分不必要条件的考查等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
11．既不充分也不必要
【解析】通过举反例进行判断即可
【详解】解：令，则，所以由得不到，
若令，满足，此时，所以由得不到，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件，
故答案为：既不充分也不必要
12．
【分析】根据必要不充分条件得到集合之间的关系，从而求解出参数的取值范围.
【详解】因为“”是“”的必要不充分条件，所以，又因为，所以，因为，所以，即的取值范围是：.
【点睛】集合：
若“”是“”的必要不充分条件，则有：；
若“”是“”的充分不必要条件，则有：.
13．（1）；（2）.
【解析】（1）首先求出集合，再根据集合，求出参数的取值范围，
（2）由（1）即可求出的一个必要不充分条件；
【详解】解：因为集合，
所以集合，，
（1）若，则，
故的一个充要条件是.
（2）由（1）知的充要条件是，
所以的一个必要不充分条件可以是.（答案不唯一）
14．(1) .
(2) 或.
【详解】分析：（1）分a＞0和a＜0两种情况讨论是否存在满足条件的实数a的值，综合讨论结果，可得答案；
（2）若p是q充分不必要条件，则A B，分类讨论，可得满足条件的a的取值范围．
详解：(1) 当时
当时显然故时，
，
（2）
当时， 则解得
当时，则
综上是的充分不必要条件，实数的取值范围是或.
点睛：注意区别：“命题是命题的充分不必要条件”与“命题的充分不必要条件是命题”
15．（1）；（2）答案不唯一，具体见解析；（3）.
【解析】（1）解二次不等式，可得中对应的取值范围．
（2）先因式分解，求得集合．讨论的取值情况，表示出集合．
（3）利用（1）和（2）的结论，根据p是q的必要不充分条件，即可求得a的取值范围.
【详解】（1）因为，
所以
即，
所以
即中对应x的取值范围为
（2）设对应的集合为，对应的集合为B.
解集合q：，得
当时，不等式的解为，对应的解集为
当时，不等式的解为，对应的解集为
当时，不等式的解为，对应的解集为
（3）若p是q的必要不充分条件， 由（1）和（2）得
当时，满足条件；
当时，因为，，
则满足；
当时，因为，，
则满足；
综上，实数a的取值范围为
【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，解含参数的不等式，充分必要条件的应用求参数取值范围，属于中档题．
16．(1)；
(2)
【分析】（1）先化简条件，再利用是的充分条件列出关于实数的不等式，解之即可求得实数的取值范围；
（2）按实数分类讨论，利用是的必要条件列出关于实数的不等式，解之即可求得实数的取值范围.
【详解】（1）由，可得，则
又，且是的充分条件，
可得，解之得，则实数的取值范围为；
（2）由（1）得，
当时， ，，此时，是的必要条件，符合要求；
当时，由是的必要条件，
可得，解之得，
综上，实数的取值范围为.
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