7.1行星的运动 学案（含答案解析）

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7.1 行星的运动
一、考点梳理
考点一、开普勒定律的理解
1.开普勒第一定律解决了行星运动的轨道问题
行星绕太阳运行的轨道都是椭圆，如图2所示．不同行星绕太阳运动的椭圆轨道是不同的，但所有轨道都有一个共同的焦点——太阳．开普勒第一定律又叫轨道定律．
图2
2.开普勒第二定律比较了某个行星在椭圆轨道上不同位置的速度大小问题
如图3所示，在相等的时间内，面积SA＝SB，这说明离太阳越近，行星在相等时间内经过的弧长越长，即行星的速率越大．离太阳越远，行星速率越小.开普勒第二定律又叫面积定律．
近日点、远日点分别是行星距离太阳最近、最远的点．同一行星在近日点时速度最大，在远日点时速度最小．
图3
3.开普勒第三定律比较了不同行星周期的长短问题
如图4所示，由＝k知椭圆轨道半长轴越长的行星，其公转周期越长．比值k是一个与太阳质量有关而与行星无关的常量．开普勒第三定律也叫周期定律．
图4
该定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕地球的运动，对于地球卫星，常量k只与地球有关，而与卫星无关，也就是说k值的大小由中心天体决定．
【典例1】火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知(　　)
A.太阳位于木星运行轨道的中心
B.火星绕太阳运行速度的大小始终相等
C.火星和木星公转周期之比的二次方等于它们轨道半长轴之比的三次方
D.相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
【答案】C
【解析】根据开普勒第一定律可知，太阳位于木星运行椭圆轨道的一个焦点上，选项A错误；由于火星沿椭圆轨道绕太阳运行，由开普勒第二定律知，火星绕太阳运行的速度大小在不断变化，选项B错误；根据开普勒第三定律可知，火星与木星公转周期之比的二次方等于它们轨道半长轴之比的三次方，选项C正确；相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积不等于木星与太阳连线扫过的面积.
练习1、如图所示，B为绕地球做椭圆轨道运行的卫星，椭圆的半长轴为a，运行周期为TB；C为绕地球做圆周运动的卫星，圆周的半径为r，运行周期为TC.下列说法或关系式正确的是(　　)
A.地球位于B卫星轨道的一个焦点上，位于C卫星轨道的圆心上
B.B卫星和C卫星运动的速度大小均不变
C.＝，该比值的大小与地球和卫星都有关
D.≠，该比值的大小不仅与地球有关，还与太阳有关
【答案】A
【解析】由开普勒第一定律可知，选项A正确；由开普勒第二定律可知，B卫星绕地球转动时速度大小在不断变化，选项B错误；由开普勒第三定律可知，＝，该比值的大小仅与地球有关.
练习2、关于开普勒行星运动定律，下列理解错误的是(　　)
A．行星绕太阳运动的轨道都是椭圆
B．开普勒第三定律中的T表示自转周期
C．远日点速度比近日点速度小
D．绕同一天体运动的多个天体，运动半径越大的天体，其公转周期越大
【答案】B
【解析】开普勒第一定律的内容为：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上，故A正确；开普勒第三定律中的T表示公转周期，故B错误；开普勒第二定律的内容为：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等，行星绕太阳运动有近日点和远日点之分，由开普勒第二定律可知，近日点速度最大，远日点速度最小，故C正确；根据开普勒第三定律，所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的二次方的比值都相等，所以绕同一天体运动的多个天体，运动半径越大的天体，其公转周期越大．
考点二、开普勒定律的应用
1.当比较一个行星在椭圆轨道不同位置的速度大小时，选用开普勒第二定律；当比较或计算两个行星的周期问题时，选用开普勒第三定律.
2.由于大多数行星绕太阳运动的轨道与圆十分接近，因此，在中学阶段的研究中我们可以按圆轨道处理，且把行星绕太阳的运动看作是匀速圆周运动，这时椭圆轨道的半长轴取圆轨道的半径.
【典例1】如图所示是行星m绕太阳M运行情况的示意图，A点是远日点，B点是近日点，CD是椭圆轨道的短轴.下列说法中正确的是(　　)
A.行星运动到A点时速度最大
B.行星运动到C点或D点时速度最小
C.行星从C点顺时针运动到B点的过程中做加速运动
D.行星从B点顺时针运动到D点的时间与从A点顺时针运动到C点的时间相等
【答案】C
【解析】由开普勒第二定律知，行星在A点速度最小，在B点速度最大，所以行星从A向B顺时针运动的过程中速度在增大，行星从B点顺时针运动到D点的时间小于从A点顺时针运动到C点的时间，故A、B、D错误，C正确.
练习1、长期以来，“卡戎星(Charon)”被认为是冥王星唯一的卫星，它的公转轨道半径r1＝19 600 km，公转周期T1＝6.39天.2006年3月，天文学家又发现两颗冥王星的小卫星，其中一颗的公转半径r2＝48 000 km，则它的公转周期T2最接近(　　)
A.15天 B.25天 C.35天 D.45天
【答案】B
【解析】根据开普勒第三定律得：＝
则T2＝T1＝6.39×≈24.5 天，最接近25天，故选B.
练习2、980年10月14日，中国科学院紫金山天文台发现了一颗绕太阳运行的小行星，2001年12月21日，经国际小行星中心和国际小行星命名委员会批准，将这颗小行星命名为“钱学森星”.若将地球和“钱学森星”绕太阳的运动都看作匀速圆周运动，它们的运行轨道如图所示.已知“钱学森星”绕太阳运行一周的时间约为3.4年，设地球绕太阳运行的轨道半径为R，则“钱学森星”绕太阳运行的轨道半径约为(　　)
A.R B.R
C.R D.R
【答案】C
【解析】根据开普勒第三定律，有＝，其中T＝1年，解得R钱＝R＝R.
考点三、天体追及相遇问题
绕同一中心天体，在同一轨道平面内不同高度上同向运行的卫星，因运行周期的不同，两颗卫星有时相距最近，有时又相距最远，这就是天体中的“追及相遇”问题。
相距最远 当两卫星位于和中心天体连线的半径上两侧时，两卫星相距最远，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t′＝(2n－1)π(n＝1,2,3，…)
相距最近 两卫星的运转方向相同，且位于和中心天体连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t＝2nπ(n＝1,2,3，…)
【典例1】2019年10月28日发生了天王星冲日现象，即太阳、地球、天王星处于同一直线，此时是观察天王星的最佳时间。已知日地距离为R0，天王星和地球的公转周期分别为T和T0，则下列说法正确的是（　　）
A．天王星与太阳的距离为
B．天王星与太阳的距离为
C．至少再经过t=时间，天王星再次冲日
D．至少再经过t=时间，天王星再次冲日
【答案】AC
【解析】AB．太阳对地球的万有引力提供地球做圆周运动的向心力，有同理，对天王星有解得选项A正确，B错误；CD．设经时间t，再次出现天王星冲日，则有其中；解得选项C正确，D错误。
练习1、2021年7月9日，我国成功将“钟子号卫星星座02组卫星”（用卫星表示）送入预定轨道。地球半径为，卫星距地面的高度为，运行周期为，如图某时刻两颗卫星相距最近，经时间两颗卫星再次相距最近。则“钟子号卫星星座02组卫星”的轨道半径为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设“钟子号卫星星座02组卫星”的运行周期为，由题意可得解得
由开普勒第三定律得解得。
二、夯实小练
1、火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知(　　)
A．太阳位于木星运行轨道的中心
B．火星绕太阳运行速度的大小始终相等
C．火星和木星公转周期之比的二次方等于它们轨道半长轴之比的三次方
D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
【答案】C
【解析】根据开普勒第一定律可知，太阳位于木星椭圆运行轨道的一个焦点上，选项A错误；由于火星沿椭圆轨道绕太阳运行，由开普勒第二定律知，火星绕太阳运行速度的大小在不断变化，选项B错误；根据开普勒第三定律可知，火星和木星公转周期之比的二次方等于它们轨道半长轴之比的三次方，选项C正确；根据开普勒第二定律，相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积不等于木星与太阳连线扫过的面积，选项D错误．
2、如图所示，火星和地球都在围绕着太阳旋转，其运火星行轨道是椭圆。根据开普勒行星运动定律可知(　　)
A．太阳位于地球运行轨道的中心
B．地球靠近太阳的过程中，运行速率减小
C．火星远离太阳的过程中，它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积逐渐增大
D．火星绕太阳运行一周的时间比地球的长
【答案】D
【解析】A．根据开普勒第一定律可知，太阳位于地球运行轨道的焦点处，选项A错误；
B．根据开普勒第二定律可知，地球靠近太阳的过程中，运行速率增加，选项B错误；
C．根据开普勒第二定律可知，火星远离太阳的过程中，它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积不变，选项C错误；
D．根据开普勒第三定律可知，火星绕太阳运行的半长轴大于地球绕太阳运行的半长轴，可知火星绕太阳运行一周的时间比地球的长。
3、如图所示，火星和地球都在围绕着太阳旋转，其运火星行轨道是椭圆。根据开普勒行星运动定律可知(　　)
A．太阳位于地球运行轨道的中心
B．地球靠近太阳的过程中，运行速率减小
C．火星远离太阳的过程中，它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积逐渐增大
D．火星绕太阳运行一周的时间比地球的长
【答案】D
【解析】A．根据开普勒第一定律可知，太阳位于地球运行轨道的焦点处，选项A错误；
B．根据开普勒第二定律可知，地球靠近太阳的过程中，运行速率增加，选项B错误；
C．根据开普勒第二定律可知，火星远离太阳的过程中，它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积不变，选项C错误；D．根据开普勒第三定律可知，火星绕太阳运行的半长轴大于地球绕太阳运行的半长轴，可知火星绕太阳运行一周的时间比地球的长，选项D正确。
4、如图所示是行星m绕太阳M运行情况的示意图，A点是远日点，B点是近日点，CD是椭圆轨道的短轴．下列说法中正确的是(　　)
A．行星运动到A点时速度最大
B．行星运动到C点或D点时速度最小
C．行星从C点顺时针运动到B点的过程中做加速运动
D．行星从B点顺时针运动到D点的时间与从A点顺时针运动到C点的时间相等
【答案】C
【解析】由开普勒第二定律知，行星在A点速度最小，在B点速度最大，所以行星从C向B顺时针运动的过程中速度在增大，行星从B点顺时针运动到D点的时间小于从A点顺时针运动到C点的时间，故A、B、D错误，C正确．
5、如图所示为火星绕太阳运动的椭圆轨道，M、N、P是火星依次经过的三位置，F1、F2为椭圆的两个焦点．火星由M到N和由N到P的过程中，通过的路程相等，火星与太阳中心的连线扫过的面积分别为S1和S2.已知由M到N过程中，太阳的引力对火星做正功．下列判断正确的是(　　)
A．太阳位于焦点F1处
B．S1>S2
C．在M和N处，火星的动能EkM>EkN
D．在N和P处，火星的加速度aN>aP
【答案】B
【解析】已知由M到N过程中，太阳的引力对火星做正功，所以太阳位于焦点F2处，故A错误；根据开普勒行星运动定律得火星由M到P的过程中速度增大，火星由M到N和由N到P的过程中，通过的路程相等，所以火星由M到N的运动时间大于由N到P的运动时间，所以S1＞S2，故B正确；已知由M到N过程中，太阳的引力对火星做正功，根据动能定理得火星的动能EkM＜EkN，故C错误；根据万有引力公式得火星在N处受到的引力小于在P处受到的引力，根据牛顿第二定律得aN＜aP。
6、某行星沿椭圆轨道绕太阳运行，如图6所示，在这颗行星的轨道上有a、b、c、d四个对称点．若该行星运动的周期为T，则该行星(　　)
图6
A．从a到b的运动时间等于从c到d的运动时间
B．从d经a到b的运动时间等于从b经c到d的运动时间
C．a到b的时间tab>
D．c到d的时间tcd>
【答案】D
【解析】根据开普勒第二定律可知，行星在近日点的速度最大，在远日点的速度最小．行星由a到b运动时的平均速度大于由c到d运动时的平均速度，而弧长ab等于弧长cd，故该行星从a到b的运动时间小于从c到d的运动时间，A错误；同理可知B错误；在整个椭圆轨道上tab＝tda<，tcd＝tbc>，故C错误．
7、飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为T。如果飞船要返回地面，可在轨道上某点A处，将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运动，椭圆和地球表面在B点相切，如图所示。如果地球半径为R0，求飞船由A点运动到B点所需要的时间。
【答案】T
【解析】由题图可知，飞船由A点到B点所需要的时间刚好是沿图中椭圆轨道运动周期的一半，椭圆轨道的半长轴为
设飞船沿椭圆轨道运动的周期为T′，
根据开普勒第三定律有
解得
所以飞船由A点到B点所需要的时间为
三、培优练习
1、1980年10月14日，中国科学院紫金山天文台发现了一颗绕太阳运行的小行星，2001年12月21日，经国际小行星中心和国际小行星命名委员会批准，将这颗小行星命名为“钱学森星”．若将地球和“钱学森星”绕太阳的运动都看作匀速圆周运动，它们的运行轨道如图所示．已知“钱学森星”绕太阳运行一周的时间约为3.4年，设地球绕太阳运行的轨道半径为R，则“钱学森星”绕太阳运行的轨道半径约为(　　)
A.R B.R C.R D.R
【答案】C
【解析】根据开普勒第三定律，有＝，其中T＝1年，T钱≈3.4年，
解得R钱＝R≈R。
2、某行星绕太阳沿椭圆轨道运动，远日点离太阳的距离为a，近日点离太阳的距离为b，过远日点时行星的速率为va，则过近日点时行星的速率为(　　)
A．vb＝ va B．vb＝ va
C．vb＝va D．vb＝va
【答案】C
【解析】如图所示
A、B分别为远日点、近日点，由开普勒第二定律可知，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等，取足够短的时间Δt，此时扫过的面积近似为三角形面积，则有avaΔt＝bvbΔt，所以vb＝va，故选C.
3、如图所示，一颗卫星与同步卫星在同一轨道面内，运行方向相同，其轨道半径为同步卫星轨道半径的二分之一，地球自转的周期为T。从该卫星与同步卫星距离最近的位置开始计时，到第一次两卫星连线与该卫星轨道相切所经历的时间为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示，以同步卫星为参考系，当两卫星连线与该卫星轨道相切时，设该卫星相对同步卫星转过的角度为θ，由图可知θ＝60°＝
同步卫星的周期为T，该卫星的周期为T1，该卫星相对同步卫星的角速度ω相＝ω1－ω＝
由开普勒第三定律可得该卫星的周期为T1＝则
则经历的时间为故B正确，ACD错误。
4、为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的8倍，P与Q的周期之比约为（　　）
A．2：1 B．4：1 C．2：1 D．16：1
【答案】C
【解析】设地球半径为R，根据题述，地球卫星P的轨道半径为RP=16R，地球卫星Q的轨道半径为RQ=8R，根据开普勒定律==8，所以P与Q的周期之比为TP∶TQ=2∶1。
5、若“嫦娥五号”卫星在距月球表面高度为H的环月轨道上做匀速圆周运动，其运行的周期为T；随后“嫦娥五号”在该轨道上某点采取措施，使卫星降至椭圆轨道Ⅱ上，如图所示，若近月点接近月球表面，而H等于月球半径，忽略月球自转及地球对卫星的影响，则“嫦娥五号”在轨道Ⅱ上的运行周期为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在Ⅰ轨道上，r1=R+H=2R，在Ⅱ轨道上，半长轴为
根据开普勒第三定律知
解得。
6、（多选）如图所示，P、Q两颗卫星绕地球做匀速圆周运动的周期分别为T0和2T0，某时刻P、Q刚好位于地球同侧同一直线上，经△t又出现在地球同侧同一直线上，则下列说法正确的是(　　)
A．P、Q两颗卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径之比为
B．P、Q两颗卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径之比为
C．△t可能为
D．△t可能为4T0
【答案】AD
【解析】AB．根据开普勒第三定律可得P、Q两颗卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径之比为故A正确，B错误；CD．两卫星从图示位置到相距最近，满足条件是P比Q多转n圈，则有 可得 当n=1时，当n=2时，故C错误，D正确。故选AD。
7、如图所示，三个质点a、b、c质量分别为、、M（，）。在c的万有引力作用下，a、b在同一平面内绕c沿顺时针方向做匀速圆周运动，它们的轨道半径之比，从图示位置开始，在b运动一周的过程中，则（　　）
A．角速度大小之比为9：1
B．a、b、c共线的次数为53次
C．a、b距离最近的次数为27次
D．a、b距离最远的次数为26次
【答案】D
【解析】A．根据开普勒第三定律
可得
根据
可得
故A错误；
BCD．设题中图示位置ac、bc的夹角为()，由于b转动一周，a转动27周，则a、b距离最远和最近各26次，即共线52次，故D正确，BC错误。
8、如图所示，一颗近地卫星轨道半径近似等于地球半径R，另一颗卫星轨道是椭圆，与近地圆轨道相切于A点，远地点B距地心的距离是3R，已知引力常量G。求：
（1）近地卫星与椭圆轨道卫星周期的比值；
（2）椭圆轨道上卫星在近地点A和远地点B的线速度大小的比值。
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）根据开普勒第三定律，有
根据题意，有
解得
（2）根据开普勒第二定律，有
即
所以
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