7.2万有引力定律 学案（含答案解析）
文档属性
| 名称 | 7.2万有引力定律 学案（含答案解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 2.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版（2019） | ||
| 科目 | 物理 | ||
| 更新时间 | 2023-04-20 17:41:56 | ||
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文档简介
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7.2 万有引力定律
一、考点梳理
考点一、万有引力定律
1．万有引力定律的表达式：F＝G，其中G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，叫引力常量，由英国物理学家卡文迪什在实验中测出．
2．万有引力定律公式的适用条件
(1)两个质点间的相互作用．
(2)一个质量分布均匀的球体与球外一个质点间的相互作用，r为球心到质点的距离．
(3)两个质量分布均匀的球体间的相互作用，r为两球心间的距离．
【典例1】设想把质量为m的物体放置地球的中心，地球质量为M，半径为R，则物体与地球间的万有引力是（ ）
A. 零 B. 无穷大 C. D. 无法确定
【答案】A
【解析】
将地球分成无数块，每一块都对物体有引力作用，根据力的对称性，知最终引力的合力为0，所以物体与地球间的万有引力等于0，故A正确，BCD错误。
练习1、关于太阳与行星间引力的公式，下列说法正确的是（ ）
A．公式中的是引力常量，是人为规定的
B．太阳与行星间的引力是一对平衡力
C．公式中的是比例系数，与太阳、行星都没有关系
D．公式中的是比例系数，与太阳的质量有关
【答案】C
【解析】ACD．太阳与行星间引力的公式，公式中的是引力常量，不是人为规定的，与太阳、行星都没有关系，故AD错误，C正确；
B．太阳与行星间的引力是一对相互作用力，故B错误。
练习2、如图所示，两质量均匀分布的小球半径分别为R1、R2，相距R，质量为m1、m2，则两球间的万有引力大小为(引力常量为G)( )
A．G B．G
C．G D．G
【答案】B
【解析】两质量均匀分布的小球均可看作质点，两球间的万有引力大小F＝G.
考点二、万有引力定律的应用
1.对万有引力定律的理解
1）．万有引力公式的适用条件
(1)F＝只适用于质点间的相互作用，但当两物体间的距离远大于物体本身的线度时，物体可视为质点，公式也近似成立。
(2)当两物体是质量分布均匀的球体时，它们间的引力也可直接用公式计算，但式中的r是指两球心间的距离。
2）．万有引力的特性
特点 内容
普遍性 宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力
相互性 两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力。
宏观性 地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间，或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用
【典例1】1、如图所示，一个质量均匀分布的半径为R的球体对球外质点P(图中未画出)的万有引力为F.如果在球体中央挖去半径为r的一部分球体，且r＝，则原球体剩余部分对质点P的万有引力变为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】原来物体间的万有引力为F，根据球体的体积公式，及密度均匀，挖去的半径为的球体的质量为原来球体质量的，其他条件不变，故剩余部分对质点P的万有引力为F－＝F
【典例2】一宇航员为了估测一星球的质量，他在该星球的表面做自由落体实验：让小球在离地面h高处自由下落，他测出经时间t小球落地，又已知该星球的半径为R，试估算该星球的质量
【答案】
【解析】由自由落体规律：
可得：
在星球表面物体所受万有引力等于物体所受重力，即
解得：
【典例3】一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为，已知引力常量为G，则这颗行星的质量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设星球半径为R，星球质量为M，卫星质量为，卫星做圆周运动向心力由万有引力提供即，而星球表面物体所受的重力等于万有引力即：;结合两式可解的星球质量为。
练习1、如图所示为一质量为M的球形物体，质量分布均匀，半径为R，在距球心2R处有一质量为m的质点。若将球体挖去一个半径为R/2的小球，两球心和质点在同一直线上，且挖去的球的球心在原来球心和质点连线外，两球表面相切。已知引力常量为G，则剩余部分对质点的万有引力的大小为（ ）
B． C． D．
【答案】C
【解析】
根据
由于挖去的球体半径是原球体半径的，则挖去的球体质量是原球体质量的，所以挖去的球体质量，未挖时，原球体对质点的万有引力
挖去部分对质点的万有引力
则剩余部分对质点的万有引力大小
故ABD错误， C正确。
练习2、（多选）如图所示，三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M、半径为R。下列说法正确的是（ ）
A．地球对一颗卫星的引力大小为
B．一颗卫星对地球的引力大小为
C．两颗卫星之间的引力大小为
D．三颗卫星对地球引力的合力大小为
【答案】AC
【解析】AB．根据万有引力定律可知卫星与地球之间的引力大小为
r应为卫星到地球球心间的距离也就是卫星运行轨道半径r，故A正确，B错误；
C．做出卫星之间的关系图如图
根据几何关系可知，两同步卫星间的距离
故两卫星间的引力大小为
练习3、一个质量均匀分布的球体，半径为2r，在其内部挖去一个半径为r的球形空穴，其表面与球面相切，如图所示。已知挖去小球的质量为m，在球心和空穴中心连线上，距球心d＝6r处有一质量为m2的质点，求：
(1) 被挖去的小球挖去前对m2的万有引力为多大？
(2) 剩余部分对m2的万有引力为多大？
【答案】(1)G；(2)G
【解析】(1)被挖去的小球挖去前对m2的万有引力为
F2＝G＝G
(2)将挖去的小球填入空穴中，由V＝πR3，m＝ρV可知，大球的质量为8m，则挖去小球前大球对m2的万有引力为
F1＝G＝G
m2所受剩余部分的万有引力为
F＝F1－F2＝G
练习4、地球质量约为月球质量的81倍，地球半径约为月球半径的4倍,一飞行器在近地圆轨道1上,经一系列变轨后在近月圆轨道2上运行,已知地球中心到月球中心的距离为r求：
(1)飞行器在近地圆轨道1上受到地球的引力F1与在近月圆轨道2上受到月球的引力F2的比值；
(2)O为地月连线上一点,飞行器在该点受到地球和月球的引力的合力为零，求O点到地心的距离r1.
【答案】（1）（2）
【解析】
（1）由万有引力定律得飞行器在近地圆轨道1上受到地球的引力
在近月圆轨道2上受到月球的引力
所以
（2）由题意可得
联立解得
考点三、万有引力与重力的关系
1．重力是由于地球的吸引而产生的．如图所示，设地球的质量为M，半径为R，A处物体的质量为m，物体受到地球的吸引力为F，方向指向地心O，由万有引力公式得F＝G.
由于地球自转，地球上的物体随之做圆周运动，所受的向心力F1＝mω2r＝mω2Rcos θ，F1是引力F提供的，它是F的一个分力，F的另一个分力F2就是物体所受的重力，即F2＝mg.
由此可见，地球对物体的万有引力是物体受到重力的原因．由于物体随地球自转，需要有一部分万有引力来提供向心力，因此地球自转是产生重力和万有引力差异的原因．
2．重力和万有引力间的大小关系
(1)重力与纬度的关系
在赤道上满足mg＝F－F向(物体受万有引力和地面对物体的支持力FN的作用，其合力充当向心力，FN的大小等于物体的重力的大小)．
在地球两极处，由于F向＝0，即mg＝F，在其他位置，mg、F与F向间符合平行四边形定则．同一物体在赤道处重力最小，并随纬度的增加而增大．
(2)重力、重力加速度与高度的关系
在距地面高为h处，若不考虑地球自转的影响时，则mg′＝F＝G；而在地面处mg＝G.
距地面高为h处，其重力加速度g′＝，在地面处g＝.
说明：虽然重力和万有引力不同，但数值差异很小，在一般计算中，可认为地球表面及附近的物体所受重力大小等于万有引力．即mg＝G，g＝为地球表面的重力加速度．
【典例1】宇航员王亚平在“天宮1号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象。若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为( B )
A．0 B．
C． D．
【答案】B
【解析】飞船在距地面高度为h处，由万有引力定律得：＝mg′
解得：g′＝。
【典例2】英国《新科学家(New Scientist)》杂志评选出了2008年度世界8项科学之最，在XTEJ1650－500双星系统中发现的最小黑洞位列其中，若某黑洞的半径R约45km，质量M和半径R的关系满足＝(其中c为光速，G为引力常量)，则该黑洞表面重力加速度的数量级为( C )
A．108m/s2 B．1010m/s2
C．1012m/s2 D．1014m/s2
【答案】C
【解析】黑洞实际为一天体，天体表面的物体受到的重力近似等于物体与该天体之间的万有引力，对黑洞表面某一质量为m的物体有：
G＝mg，又有＝，
联立解得g＝，带入数据得重力加速度的数量级为1012m/s2。
练习1、如图所示，火箭内平台上放有测试仪器，火箭从地面启动后，以加速度竖直向上匀加速运动，升到某一高度时，测试仪对平台的压力为启动前压力的。已知地球半径为R，求火箭此时离地面的高度。(g为地面附近重力加速度)
【答案】R
【解析】在地面附近的物体，所受重力近似等于物体所受到的万有引力。
取测试仪为研究对象，其先后受力如图(甲)(乙)所示，据物体的平衡条件有FN1＝mg1，g1＝g，
当升到某一高度时，根据牛顿第二定律有FN2－mg2＝m，
∴FN2＝＋mg2＝mg，
∴g2＝g。设火箭距地面高度为H，
∴mg2＝G·，∴g＝，∴H＝R。
练习2、已知月球质量是地球质量的1/81，月球半径是地球半径的1/3.8
(1)在月球和地球表面附近，以同样的初速度分别竖直上抛一个物体时，上升的最大高度之比是多少？
(2)在距月球和地球表面相同高度处(此高度较小)，以同样的初速度分别水平抛出一个物体时，物体的水平射程之比为多少？
【答案】(1)5.6 (2)2.37
【解析】(1)在月球和地球表面附近竖直上抛的物体都做匀减速直线运动，其上升的最大高度分别为：h月＝v/2g月，h地＝v/2g地。式中，g月和g地是月球表面和地球表面附近的重力加速度，根据万有引力定律得：
g月＝，g地＝
于是得上升的最大高度之比为：
＝＝＝81×()2＝5.6。
(2)设抛出点的高度为H，初速度为v0，在月球和地球表面附近做平抛运动的物体在竖直方向做自由落体运动，从抛出到落地所用时间分别为：
t月＝，t地＝
在水平方向做匀速直线运动，其水平射程之比为
＝＝＝＝＝2.37。
练习3、设地球自转周期为T，质量为M。引力常量为G。假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为R。同一物体在南极和赤道水平面上静止时所受到的支持力之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】假设物体质量为m，物体在南极受到的支持力为N1，则；假设物体在赤道受到的支持力为N2，则；联立可得。
二、夯实小练
1、(多选)关于引力常量G，下列说法中正确的是( )
A.在国际单位制中，引力常量G的单位是N·m2/kg2
B.引力常量G的大小与两物体质量的乘积成反比，与两物体间距离的平方成正比
C.引力常量G在数值上等于两个质量都是1 kg的可视为质点的物体相距1 m时的相互吸引力
D.引力常量G是不变的，其数值大小由卡文迪什测出，与单位制的选择无关
【答案】AC
【解析】由F＝G得G＝，所以在国际单位制中，G的单位为N·m2/kg2，选项A正确；引力常量是一个常数，其大小与两物体质量以及两物体间的距离无关，选项B错误；根据万有引力定律可知，引力常量G在数值上等于两个质量都是1 kg的可视为质点的物体相距1 m时的相互吸引力，选项C正确；引力常量是定值，其数值大小由卡文迪什测出，但其数值大小与单位制的选择有关，选项D错误.
2、两个完全相同的实心均质小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为F.若将两个用同种材料制成的半径是小铁球2倍的实心大铁球紧靠在一起，则两个大铁球之间的万有引力为( )
A.2F B.4F
C.8F D.16F
【答案】D
【解析】两个小铁球之间的万有引力为F＝G＝G.实心小铁球的质量为m＝ρV＝ρ·πr3，大铁球的半径是小铁球的2倍，则大铁球的质量为m′，则＝＝8，故两个大铁球间的万有引力为F′＝G＝16F，
3、如图所示，两球间的距离为r，两球的质量分布均匀，质量大小分别为m1、m2，半径大小分别为r1、r2，则两球间的万有引力大小为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】两球质量分布均匀，可认为质量集中于球心，由万有引力定律可知两球间的万有引力应为
4、要使两物体间的万有引力减小到原来的，下列办法不正确的是( )
A.使两物体的质量各减小一半，距离不变
B.使其中一个物体的质量减小到原来的，距离不变
C.使两物体间的距离增大到原来的2倍，质量不变
D.使两物体的质量和两物体间的距离都减小到原来的
【答案】D
【解析】根据万有引力定律可知F＝G.使两物体的质量各减小一半，距离不变，则万有引力变为原来的，A正确；使其中一个物体的质量减小到原来的，距离不变，则万有引力变为原来的，B正确；使两物体间的距离增大到原来的2倍，质量不变，则万有引力变为原来的，C正确；使两物体的质量和两物体间的距离都减小到原来的，则万有引力大小不变，D错误.
5、地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，若高空中某处的重力加速度为，则该处距地球表面的高度为( )
A.(－1)R B.R C.R D.2R
【答案】A
【解析】设地球的质量为M，物体质量为m，物体距地面的高度为h，根据万有引力近似等于重力，则有＝mg，＝m，联立可得2R2＝(R＋h)2，解得h＝(－1)R.
7、2020年12月1日嫦娥五号探测器实施月面“挖土”成功，“挖土”采用了钻取和表取两种模式。假设月球可看作质量分布均匀的球体，其质量为M，半径为R。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零，万有引力常量为G。某次钻取中质量为m的钻尖进入月球表面以下h深处，则此时月球对钻尖的万有引力为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【解析】月球质量与剩余质量关系为
设月球密度为，月球对钻尖的万有引力为
8、最近几十年，人们对探测火星十分感兴趣，先后曾发射过许多探测器。称为“火星探路者”的火星探测器曾于1997年登上火星。2004年，又有“勇气”号和“机遇”号探测器登上火星。已知地球质量约是火星质量的9.3倍，地球直径约是火星直径的1.9倍。探测器在地球表面和火星表面所受引力大小的比值是多少？
【答案】2.6
【解析】
设探测器的质量为m，根据万有引力定律，它在地面和火星表面分别受到地球和火星的引力大小为
和
所以
即探测器在地球表面受到的引力大小是在火星表面所受到的2.6倍
9、如图所示，等边三角形ABC边长为L，在三角形的三顶点A、B、C各固定质量均为m的三个小球，已知引力常量为G，则C点小球受A、B两点小球的万有引力的合力为多少？
【答案】
【解析】C点小球受引力如图所示，则
F1=F2=G
据平行四边形定则
F合=2F1cos30°=
10、已知太阳的质量为M，地球的质量为m1，月球的质量为m2，当发生日全食时，太阳、月球、地球几乎在同一直线上，且月球位于太阳与地球之间，如图所示.设月球到太阳的距离为a，地球到月球的距离为b，则太阳对地球的引力F1和太阳对月球的引力F2的大小之比为多少？
【答案】
【解析】由公式F＝G得
太阳对地球的引力F1＝G
太阳对月球的引力F2＝G
联立可得＝.
培优练习
1、2022 年 6 月，我国神舟十四号载人飞船成功发射，在飞船发射过程中，用 h 表示飞船与地球表面的距离，F 表示它受到的地球引力，下图能够正确描述 F 随 h 变化关系的图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设地球半径为，根据万有引力定律可得月球对探测器的引力为
可知随的增大而减小，但不是线性关系。
2、如图所示，一个质量均匀分布的半径为R的球体对球外质点P(图中未画出)的万有引力为F.如果在球体中央挖去半径为r的一部分球体，且r＝，则原球体剩余部分对质点P的万有引力变为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】原来物体间的万有引力为F，挖去的半径为的球体的质量为原来球体质量的，其他条件不变，故剩余部分对质点P的万有引力为F－＝F.
3、某地区的地下发现了天然气资源，如图所示，在水平地面P点的正下方有一球形空腔区域内储藏有天然气.假设该地区岩石均匀分布且密度为ρ，天然气的密度远小于ρ，可忽略不计.如果没有该空腔，地球表面正常的重力加速度大小为g；由于空腔的存在，现测得P点处的重力加速度大小为kg(k<1).已知引力常量为G，球形空腔的球心深度为d，则此球形空腔的体积是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】如果将近地表的球形空腔填满密度为ρ的岩石，则该地区重力加速度便回到正常值，因此，如果将空腔填满密度为ρ的岩石，地面质量为m的物体的重力为mg，没有填满时重力是kmg，故空腔填满的岩石对物体m的引力为(1－k)mg，根据万有引力定律有(1－k)mg＝G，解得V＝.
4、（多选）已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。假设沿地轴的方向凿通一条贯穿地球两极的隧道PQ，隧道极窄，地球仍可看作一个球心为O、半径为R、质量分布均匀的球体。以球心O为坐标原点，竖直向下为x轴正方向。从隧道口P点由静止释放一小球，小球能够在隧道PQ内运动，小球运动到某位置时受到的引力大小为F，速度大小为v。小球在运动过程中，下列图象可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】AC．设小球距离O点的距离为x，地球的质量为M，以O点为球心，半径为x的球体质量为，则
小球受到的万有引力大小为
故A正确，C错误；
BD．根据牛顿第二定律
解得
小球的加速度大小与x成正比，先减少后增大，故B错误，D正确。
5、（多选）2021 年 5 月 15 日，天问一号火星探测器所携带的祝融号火星车及其着陆组合体成功着陆于火星，这标志着我国首次火星探测任务火星车着陆火星取得圆满成功。假设火星为质量分布均匀的球体，已知火星质量是地球质量的 a 倍，火星半径是地球半径的 b倍，地球表面的重力加速度为 g，质量均匀的球壳对其内部物体的引力为零， 则（ ）
A．火星表面重力加速度为
B．火星表面重力加速度为
C．火星表面正下方距表面距离为火星半径处的重力加速度为
D．火星表面正下方距表面距离为火星半径处的重力加速度为
【答案】AC
【解析】AB．在地球表面有
在火星表面有
联立解得火星表面重力加速度为
则A正确；B错误；
CD．设火星的密度为，火星的半径为 ，由于质量均匀的球壳对其内部物体的引力为零，则在火星表面正下方距表面距离为火星半径处的重力加速度相当火星内部那部分产生的引力产生的，则火星内部那部分质量为
火星表面正下方距表面距离为火星半径处的重力加速度为，则有
联立解得
所以C正确；D错误；
(多选)宇宙中存在着由四颗星组成的孤立星系.如图所示，一颗母星处在正三角形的中心，三角形的顶点各有一颗质量相等的小星围绕母星做圆周运动.如果两颗小星间的万有引力为F，母星与任意一颗小星间的万有引力为9F.则( )
A.每颗小星受到的万有引力为(＋9)F
B.每颗小星受到的万有引力为(＋9)F
C.母星的质量是每颗小星质量的3倍
D.母星的质量是每颗小星质量的3倍
【答案】BC
【解析】假设每颗小星的质量为m，母星的质量为M，正三角形的边长为a，则小星绕母星运动的轨道半径为r＝a.
根据万有引力定律：F＝G，9F＝G
联立解得M＝3m，故C正确，D错误；
任意一颗小星受到的万有引力F总＝9F＋2F·cos 30°＝(＋9)F，故A错误，B正确.
7、若地球半径为R，把地球看作质量分布均匀的球体.“蛟龙”号下潜深度为d，“天宫一号”轨道距离地面高度为h，“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的重力加速度之比为[已知：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于质点(m)在球体内半径为r的同心球体(M′)表面受到的万有引力]( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】根据题意有，在深度为d的地球内部，“蛟龙号”受到地球的万有引力即为其在半径等于(R－d)的球体表面受到的万有引力，故“蛟龙”号的重力加速度g′＝＝πGρ(R－d)；根据万有引力提供向心力，G＝mg0，“天宫一号”所在处的重力加速度为g0＝＝，所以＝，故C正确，A、B、D错误.
8、（多选）2021年5月29日，天舟二号货运飞船太阳能帆板两翼顺利展开工作，发射取得圆满成功。前期多颗北斗导航卫星和空间站“天和”核心舱发射升空取得成功，如图所示，a为“天和"核心舱、b为第55颗北斗导航卫星（地球同步卫星，周期为24小时），若a、b在同一平面内绕地球做匀速圆周运动，引力常量为G，地球的质量为M，半径为R。下列说法正确的是（ ）
A．地球赤道上的重力加速度大小小于
B．核心舱a所受地球引力大于卫星b所受地球引力
C．核心舱a运行的周期小于24小时
D．在相同时间内，核心舱a、卫星b与地心连线扫过的面积相等
【答案】AC
【解析】A．赤道上的物体随地球自转需要向心力
所以
选项A正确；
B．由于a和b的质量未知，无法比较其受地球引力的大小，选项B错误；
C．由开普勒第三定律可知，卫星的轨道半径越大，运行的周期越长，因b运行的周期为24小时，故a运行的周期小于24小时，选项C正确；
D．根据开普勒第二定律可知，对同一行星而言，它与中心天体的连线在相等的时间内扫过的面积相等，选项D错误。
9、某物体在地面上受到的重力为160 N，将它放置在卫星中，在卫星以a＝g的加速度随火箭向上加速升空的过程中，当物体与卫星中支持物相互挤压的力为90 N时，卫星距地球表面有多远？(地球半径R地＝6.4×103 km，g表示地面处重力加速度，g取10 m/s2)
【答案】1.92×104 km
【解析】卫星的升空过程可以认为是竖直向上的匀加速直线运动，设卫星离地面的距离为h，此时受到地球的引力为F＝G
在地球表面G＝mg
在上升至离地面h时，FN－F＝ma
物体在地面上受到的重力为160 N，则m＝16 kg
联立解得＝
则h＝(－1)R地
代入数值解得h＝1.92×104 km.
10、如图所示，一个质量为M分布均匀半径为R的球体，挖去直径为R的两个球，把挖去的其中一个球放在大球球心正右边，左右球心间的距离为。已知引力常量为G，质量均匀分布的球壳对壳内物体引力为零，球的体积，求它们之间的万有引力。（结果可以用分式和根号表示）
【答案】
【解析】根据题意，由公式可得，球体的密度为
挖去小球的体积为
挖去小球的质量为
将挖去的小球再填入空穴中，根据万有引力公式可得，大球和小球间的万有引力为
根据几何关系可知，每个挖去的小球与右侧小球球心间的距离为
每个挖去的小球与右侧小球间的引力为
设小球间圆心连线与水平方向的夹角为，由几何关系可得
则右侧小球与挖去小球后的大球的万有引力为
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7.2 万有引力定律
一、考点梳理
考点一、万有引力定律
1．万有引力定律的表达式：F＝G，其中G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，叫引力常量，由英国物理学家卡文迪什在实验中测出．
2．万有引力定律公式的适用条件
(1)两个质点间的相互作用．
(2)一个质量分布均匀的球体与球外一个质点间的相互作用，r为球心到质点的距离．
(3)两个质量分布均匀的球体间的相互作用，r为两球心间的距离．
【典例1】设想把质量为m的物体放置地球的中心，地球质量为M，半径为R，则物体与地球间的万有引力是（ ）
A. 零 B. 无穷大 C. D. 无法确定
【答案】A
【解析】
将地球分成无数块，每一块都对物体有引力作用，根据力的对称性，知最终引力的合力为0，所以物体与地球间的万有引力等于0，故A正确，BCD错误。
练习1、关于太阳与行星间引力的公式，下列说法正确的是（ ）
A．公式中的是引力常量，是人为规定的
B．太阳与行星间的引力是一对平衡力
C．公式中的是比例系数，与太阳、行星都没有关系
D．公式中的是比例系数，与太阳的质量有关
【答案】C
【解析】ACD．太阳与行星间引力的公式，公式中的是引力常量，不是人为规定的，与太阳、行星都没有关系，故AD错误，C正确；
B．太阳与行星间的引力是一对相互作用力，故B错误。
练习2、如图所示，两质量均匀分布的小球半径分别为R1、R2，相距R，质量为m1、m2，则两球间的万有引力大小为(引力常量为G)( )
A．G B．G
C．G D．G
【答案】B
【解析】两质量均匀分布的小球均可看作质点，两球间的万有引力大小F＝G.
考点二、万有引力定律的应用
1.对万有引力定律的理解
1）．万有引力公式的适用条件
(1)F＝只适用于质点间的相互作用，但当两物体间的距离远大于物体本身的线度时，物体可视为质点，公式也近似成立。
(2)当两物体是质量分布均匀的球体时，它们间的引力也可直接用公式计算，但式中的r是指两球心间的距离。
2）．万有引力的特性
特点 内容
普遍性 宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力
相互性 两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力。
宏观性 地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间，或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用
【典例1】1、如图所示，一个质量均匀分布的半径为R的球体对球外质点P(图中未画出)的万有引力为F.如果在球体中央挖去半径为r的一部分球体，且r＝，则原球体剩余部分对质点P的万有引力变为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】原来物体间的万有引力为F，根据球体的体积公式，及密度均匀，挖去的半径为的球体的质量为原来球体质量的，其他条件不变，故剩余部分对质点P的万有引力为F－＝F
【典例2】一宇航员为了估测一星球的质量，他在该星球的表面做自由落体实验：让小球在离地面h高处自由下落，他测出经时间t小球落地，又已知该星球的半径为R，试估算该星球的质量
【答案】
【解析】由自由落体规律：
可得：
在星球表面物体所受万有引力等于物体所受重力，即
解得：
【典例3】一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为，已知引力常量为G，则这颗行星的质量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设星球半径为R，星球质量为M，卫星质量为，卫星做圆周运动向心力由万有引力提供即，而星球表面物体所受的重力等于万有引力即：;结合两式可解的星球质量为。
练习1、如图所示为一质量为M的球形物体，质量分布均匀，半径为R，在距球心2R处有一质量为m的质点。若将球体挖去一个半径为R/2的小球，两球心和质点在同一直线上，且挖去的球的球心在原来球心和质点连线外，两球表面相切。已知引力常量为G，则剩余部分对质点的万有引力的大小为（ ）
B． C． D．
【答案】C
【解析】
根据
由于挖去的球体半径是原球体半径的，则挖去的球体质量是原球体质量的，所以挖去的球体质量，未挖时，原球体对质点的万有引力
挖去部分对质点的万有引力
则剩余部分对质点的万有引力大小
故ABD错误， C正确。
练习2、（多选）如图所示，三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M、半径为R。下列说法正确的是（ ）
A．地球对一颗卫星的引力大小为
B．一颗卫星对地球的引力大小为
C．两颗卫星之间的引力大小为
D．三颗卫星对地球引力的合力大小为
【答案】AC
【解析】AB．根据万有引力定律可知卫星与地球之间的引力大小为
r应为卫星到地球球心间的距离也就是卫星运行轨道半径r，故A正确，B错误；
C．做出卫星之间的关系图如图
根据几何关系可知，两同步卫星间的距离
故两卫星间的引力大小为
练习3、一个质量均匀分布的球体，半径为2r，在其内部挖去一个半径为r的球形空穴，其表面与球面相切，如图所示。已知挖去小球的质量为m，在球心和空穴中心连线上，距球心d＝6r处有一质量为m2的质点，求：
(1) 被挖去的小球挖去前对m2的万有引力为多大？
(2) 剩余部分对m2的万有引力为多大？
【答案】(1)G；(2)G
【解析】(1)被挖去的小球挖去前对m2的万有引力为
F2＝G＝G
(2)将挖去的小球填入空穴中，由V＝πR3，m＝ρV可知，大球的质量为8m，则挖去小球前大球对m2的万有引力为
F1＝G＝G
m2所受剩余部分的万有引力为
F＝F1－F2＝G
练习4、地球质量约为月球质量的81倍，地球半径约为月球半径的4倍,一飞行器在近地圆轨道1上,经一系列变轨后在近月圆轨道2上运行,已知地球中心到月球中心的距离为r求：
(1)飞行器在近地圆轨道1上受到地球的引力F1与在近月圆轨道2上受到月球的引力F2的比值；
(2)O为地月连线上一点,飞行器在该点受到地球和月球的引力的合力为零，求O点到地心的距离r1.
【答案】（1）（2）
【解析】
（1）由万有引力定律得飞行器在近地圆轨道1上受到地球的引力
在近月圆轨道2上受到月球的引力
所以
（2）由题意可得
联立解得
考点三、万有引力与重力的关系
1．重力是由于地球的吸引而产生的．如图所示，设地球的质量为M，半径为R，A处物体的质量为m，物体受到地球的吸引力为F，方向指向地心O，由万有引力公式得F＝G.
由于地球自转，地球上的物体随之做圆周运动，所受的向心力F1＝mω2r＝mω2Rcos θ，F1是引力F提供的，它是F的一个分力，F的另一个分力F2就是物体所受的重力，即F2＝mg.
由此可见，地球对物体的万有引力是物体受到重力的原因．由于物体随地球自转，需要有一部分万有引力来提供向心力，因此地球自转是产生重力和万有引力差异的原因．
2．重力和万有引力间的大小关系
(1)重力与纬度的关系
在赤道上满足mg＝F－F向(物体受万有引力和地面对物体的支持力FN的作用，其合力充当向心力，FN的大小等于物体的重力的大小)．
在地球两极处，由于F向＝0，即mg＝F，在其他位置，mg、F与F向间符合平行四边形定则．同一物体在赤道处重力最小，并随纬度的增加而增大．
(2)重力、重力加速度与高度的关系
在距地面高为h处，若不考虑地球自转的影响时，则mg′＝F＝G；而在地面处mg＝G.
距地面高为h处，其重力加速度g′＝，在地面处g＝.
说明：虽然重力和万有引力不同，但数值差异很小，在一般计算中，可认为地球表面及附近的物体所受重力大小等于万有引力．即mg＝G，g＝为地球表面的重力加速度．
【典例1】宇航员王亚平在“天宮1号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象。若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为( B )
A．0 B．
C． D．
【答案】B
【解析】飞船在距地面高度为h处，由万有引力定律得：＝mg′
解得：g′＝。
【典例2】英国《新科学家(New Scientist)》杂志评选出了2008年度世界8项科学之最，在XTEJ1650－500双星系统中发现的最小黑洞位列其中，若某黑洞的半径R约45km，质量M和半径R的关系满足＝(其中c为光速，G为引力常量)，则该黑洞表面重力加速度的数量级为( C )
A．108m/s2 B．1010m/s2
C．1012m/s2 D．1014m/s2
【答案】C
【解析】黑洞实际为一天体，天体表面的物体受到的重力近似等于物体与该天体之间的万有引力，对黑洞表面某一质量为m的物体有：
G＝mg，又有＝，
联立解得g＝，带入数据得重力加速度的数量级为1012m/s2。
练习1、如图所示，火箭内平台上放有测试仪器，火箭从地面启动后，以加速度竖直向上匀加速运动，升到某一高度时，测试仪对平台的压力为启动前压力的。已知地球半径为R，求火箭此时离地面的高度。(g为地面附近重力加速度)
【答案】R
【解析】在地面附近的物体，所受重力近似等于物体所受到的万有引力。
取测试仪为研究对象，其先后受力如图(甲)(乙)所示，据物体的平衡条件有FN1＝mg1，g1＝g，
当升到某一高度时，根据牛顿第二定律有FN2－mg2＝m，
∴FN2＝＋mg2＝mg，
∴g2＝g。设火箭距地面高度为H，
∴mg2＝G·，∴g＝，∴H＝R。
练习2、已知月球质量是地球质量的1/81，月球半径是地球半径的1/3.8
(1)在月球和地球表面附近，以同样的初速度分别竖直上抛一个物体时，上升的最大高度之比是多少？
(2)在距月球和地球表面相同高度处(此高度较小)，以同样的初速度分别水平抛出一个物体时，物体的水平射程之比为多少？
【答案】(1)5.6 (2)2.37
【解析】(1)在月球和地球表面附近竖直上抛的物体都做匀减速直线运动，其上升的最大高度分别为：h月＝v/2g月，h地＝v/2g地。式中，g月和g地是月球表面和地球表面附近的重力加速度，根据万有引力定律得：
g月＝，g地＝
于是得上升的最大高度之比为：
＝＝＝81×()2＝5.6。
(2)设抛出点的高度为H，初速度为v0，在月球和地球表面附近做平抛运动的物体在竖直方向做自由落体运动，从抛出到落地所用时间分别为：
t月＝，t地＝
在水平方向做匀速直线运动，其水平射程之比为
＝＝＝＝＝2.37。
练习3、设地球自转周期为T，质量为M。引力常量为G。假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为R。同一物体在南极和赤道水平面上静止时所受到的支持力之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】假设物体质量为m，物体在南极受到的支持力为N1，则；假设物体在赤道受到的支持力为N2，则；联立可得。
二、夯实小练
1、(多选)关于引力常量G，下列说法中正确的是( )
A.在国际单位制中，引力常量G的单位是N·m2/kg2
B.引力常量G的大小与两物体质量的乘积成反比，与两物体间距离的平方成正比
C.引力常量G在数值上等于两个质量都是1 kg的可视为质点的物体相距1 m时的相互吸引力
D.引力常量G是不变的，其数值大小由卡文迪什测出，与单位制的选择无关
【答案】AC
【解析】由F＝G得G＝，所以在国际单位制中，G的单位为N·m2/kg2，选项A正确；引力常量是一个常数，其大小与两物体质量以及两物体间的距离无关，选项B错误；根据万有引力定律可知，引力常量G在数值上等于两个质量都是1 kg的可视为质点的物体相距1 m时的相互吸引力，选项C正确；引力常量是定值，其数值大小由卡文迪什测出，但其数值大小与单位制的选择有关，选项D错误.
2、两个完全相同的实心均质小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为F.若将两个用同种材料制成的半径是小铁球2倍的实心大铁球紧靠在一起，则两个大铁球之间的万有引力为( )
A.2F B.4F
C.8F D.16F
【答案】D
【解析】两个小铁球之间的万有引力为F＝G＝G.实心小铁球的质量为m＝ρV＝ρ·πr3，大铁球的半径是小铁球的2倍，则大铁球的质量为m′，则＝＝8，故两个大铁球间的万有引力为F′＝G＝16F，
3、如图所示，两球间的距离为r，两球的质量分布均匀，质量大小分别为m1、m2，半径大小分别为r1、r2，则两球间的万有引力大小为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】两球质量分布均匀，可认为质量集中于球心，由万有引力定律可知两球间的万有引力应为
4、要使两物体间的万有引力减小到原来的，下列办法不正确的是( )
A.使两物体的质量各减小一半，距离不变
B.使其中一个物体的质量减小到原来的，距离不变
C.使两物体间的距离增大到原来的2倍，质量不变
D.使两物体的质量和两物体间的距离都减小到原来的
【答案】D
【解析】根据万有引力定律可知F＝G.使两物体的质量各减小一半，距离不变，则万有引力变为原来的，A正确；使其中一个物体的质量减小到原来的，距离不变，则万有引力变为原来的，B正确；使两物体间的距离增大到原来的2倍，质量不变，则万有引力变为原来的，C正确；使两物体的质量和两物体间的距离都减小到原来的，则万有引力大小不变，D错误.
5、地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，若高空中某处的重力加速度为，则该处距地球表面的高度为( )
A.(－1)R B.R C.R D.2R
【答案】A
【解析】设地球的质量为M，物体质量为m，物体距地面的高度为h，根据万有引力近似等于重力，则有＝mg，＝m，联立可得2R2＝(R＋h)2，解得h＝(－1)R.
7、2020年12月1日嫦娥五号探测器实施月面“挖土”成功，“挖土”采用了钻取和表取两种模式。假设月球可看作质量分布均匀的球体，其质量为M，半径为R。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零，万有引力常量为G。某次钻取中质量为m的钻尖进入月球表面以下h深处，则此时月球对钻尖的万有引力为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【解析】月球质量与剩余质量关系为
设月球密度为，月球对钻尖的万有引力为
8、最近几十年，人们对探测火星十分感兴趣，先后曾发射过许多探测器。称为“火星探路者”的火星探测器曾于1997年登上火星。2004年，又有“勇气”号和“机遇”号探测器登上火星。已知地球质量约是火星质量的9.3倍，地球直径约是火星直径的1.9倍。探测器在地球表面和火星表面所受引力大小的比值是多少？
【答案】2.6
【解析】
设探测器的质量为m，根据万有引力定律，它在地面和火星表面分别受到地球和火星的引力大小为
和
所以
即探测器在地球表面受到的引力大小是在火星表面所受到的2.6倍
9、如图所示，等边三角形ABC边长为L，在三角形的三顶点A、B、C各固定质量均为m的三个小球，已知引力常量为G，则C点小球受A、B两点小球的万有引力的合力为多少？
【答案】
【解析】C点小球受引力如图所示，则
F1=F2=G
据平行四边形定则
F合=2F1cos30°=
10、已知太阳的质量为M，地球的质量为m1，月球的质量为m2，当发生日全食时，太阳、月球、地球几乎在同一直线上，且月球位于太阳与地球之间，如图所示.设月球到太阳的距离为a，地球到月球的距离为b，则太阳对地球的引力F1和太阳对月球的引力F2的大小之比为多少？
【答案】
【解析】由公式F＝G得
太阳对地球的引力F1＝G
太阳对月球的引力F2＝G
联立可得＝.
培优练习
1、2022 年 6 月，我国神舟十四号载人飞船成功发射，在飞船发射过程中，用 h 表示飞船与地球表面的距离，F 表示它受到的地球引力，下图能够正确描述 F 随 h 变化关系的图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设地球半径为，根据万有引力定律可得月球对探测器的引力为
可知随的增大而减小，但不是线性关系。
2、如图所示，一个质量均匀分布的半径为R的球体对球外质点P(图中未画出)的万有引力为F.如果在球体中央挖去半径为r的一部分球体，且r＝，则原球体剩余部分对质点P的万有引力变为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】原来物体间的万有引力为F，挖去的半径为的球体的质量为原来球体质量的，其他条件不变，故剩余部分对质点P的万有引力为F－＝F.
3、某地区的地下发现了天然气资源，如图所示，在水平地面P点的正下方有一球形空腔区域内储藏有天然气.假设该地区岩石均匀分布且密度为ρ，天然气的密度远小于ρ，可忽略不计.如果没有该空腔，地球表面正常的重力加速度大小为g；由于空腔的存在，现测得P点处的重力加速度大小为kg(k<1).已知引力常量为G，球形空腔的球心深度为d，则此球形空腔的体积是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】如果将近地表的球形空腔填满密度为ρ的岩石，则该地区重力加速度便回到正常值，因此，如果将空腔填满密度为ρ的岩石，地面质量为m的物体的重力为mg，没有填满时重力是kmg，故空腔填满的岩石对物体m的引力为(1－k)mg，根据万有引力定律有(1－k)mg＝G，解得V＝.
4、（多选）已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。假设沿地轴的方向凿通一条贯穿地球两极的隧道PQ，隧道极窄，地球仍可看作一个球心为O、半径为R、质量分布均匀的球体。以球心O为坐标原点，竖直向下为x轴正方向。从隧道口P点由静止释放一小球，小球能够在隧道PQ内运动，小球运动到某位置时受到的引力大小为F，速度大小为v。小球在运动过程中，下列图象可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】AC．设小球距离O点的距离为x，地球的质量为M，以O点为球心，半径为x的球体质量为，则
小球受到的万有引力大小为
故A正确，C错误；
BD．根据牛顿第二定律
解得
小球的加速度大小与x成正比，先减少后增大，故B错误，D正确。
5、（多选）2021 年 5 月 15 日，天问一号火星探测器所携带的祝融号火星车及其着陆组合体成功着陆于火星，这标志着我国首次火星探测任务火星车着陆火星取得圆满成功。假设火星为质量分布均匀的球体，已知火星质量是地球质量的 a 倍，火星半径是地球半径的 b倍，地球表面的重力加速度为 g，质量均匀的球壳对其内部物体的引力为零， 则（ ）
A．火星表面重力加速度为
B．火星表面重力加速度为
C．火星表面正下方距表面距离为火星半径处的重力加速度为
D．火星表面正下方距表面距离为火星半径处的重力加速度为
【答案】AC
【解析】AB．在地球表面有
在火星表面有
联立解得火星表面重力加速度为
则A正确；B错误；
CD．设火星的密度为，火星的半径为 ，由于质量均匀的球壳对其内部物体的引力为零，则在火星表面正下方距表面距离为火星半径处的重力加速度相当火星内部那部分产生的引力产生的，则火星内部那部分质量为
火星表面正下方距表面距离为火星半径处的重力加速度为，则有
联立解得
所以C正确；D错误；
(多选)宇宙中存在着由四颗星组成的孤立星系.如图所示，一颗母星处在正三角形的中心，三角形的顶点各有一颗质量相等的小星围绕母星做圆周运动.如果两颗小星间的万有引力为F，母星与任意一颗小星间的万有引力为9F.则( )
A.每颗小星受到的万有引力为(＋9)F
B.每颗小星受到的万有引力为(＋9)F
C.母星的质量是每颗小星质量的3倍
D.母星的质量是每颗小星质量的3倍
【答案】BC
【解析】假设每颗小星的质量为m，母星的质量为M，正三角形的边长为a，则小星绕母星运动的轨道半径为r＝a.
根据万有引力定律：F＝G，9F＝G
联立解得M＝3m，故C正确，D错误；
任意一颗小星受到的万有引力F总＝9F＋2F·cos 30°＝(＋9)F，故A错误，B正确.
7、若地球半径为R，把地球看作质量分布均匀的球体.“蛟龙”号下潜深度为d，“天宫一号”轨道距离地面高度为h，“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的重力加速度之比为[已知：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于质点(m)在球体内半径为r的同心球体(M′)表面受到的万有引力]( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】根据题意有，在深度为d的地球内部，“蛟龙号”受到地球的万有引力即为其在半径等于(R－d)的球体表面受到的万有引力，故“蛟龙”号的重力加速度g′＝＝πGρ(R－d)；根据万有引力提供向心力，G＝mg0，“天宫一号”所在处的重力加速度为g0＝＝，所以＝，故C正确，A、B、D错误.
8、（多选）2021年5月29日，天舟二号货运飞船太阳能帆板两翼顺利展开工作，发射取得圆满成功。前期多颗北斗导航卫星和空间站“天和”核心舱发射升空取得成功，如图所示，a为“天和"核心舱、b为第55颗北斗导航卫星（地球同步卫星，周期为24小时），若a、b在同一平面内绕地球做匀速圆周运动，引力常量为G，地球的质量为M，半径为R。下列说法正确的是（ ）
A．地球赤道上的重力加速度大小小于
B．核心舱a所受地球引力大于卫星b所受地球引力
C．核心舱a运行的周期小于24小时
D．在相同时间内，核心舱a、卫星b与地心连线扫过的面积相等
【答案】AC
【解析】A．赤道上的物体随地球自转需要向心力
所以
选项A正确；
B．由于a和b的质量未知，无法比较其受地球引力的大小，选项B错误；
C．由开普勒第三定律可知，卫星的轨道半径越大，运行的周期越长，因b运行的周期为24小时，故a运行的周期小于24小时，选项C正确；
D．根据开普勒第二定律可知，对同一行星而言，它与中心天体的连线在相等的时间内扫过的面积相等，选项D错误。
9、某物体在地面上受到的重力为160 N，将它放置在卫星中，在卫星以a＝g的加速度随火箭向上加速升空的过程中，当物体与卫星中支持物相互挤压的力为90 N时，卫星距地球表面有多远？(地球半径R地＝6.4×103 km，g表示地面处重力加速度，g取10 m/s2)
【答案】1.92×104 km
【解析】卫星的升空过程可以认为是竖直向上的匀加速直线运动，设卫星离地面的距离为h，此时受到地球的引力为F＝G
在地球表面G＝mg
在上升至离地面h时，FN－F＝ma
物体在地面上受到的重力为160 N，则m＝16 kg
联立解得＝
则h＝(－1)R地
代入数值解得h＝1.92×104 km.
10、如图所示，一个质量为M分布均匀半径为R的球体，挖去直径为R的两个球，把挖去的其中一个球放在大球球心正右边，左右球心间的距离为。已知引力常量为G，质量均匀分布的球壳对壳内物体引力为零，球的体积，求它们之间的万有引力。（结果可以用分式和根号表示）
【答案】
【解析】根据题意，由公式可得，球体的密度为
挖去小球的体积为
挖去小球的质量为
将挖去的小球再填入空穴中，根据万有引力公式可得，大球和小球间的万有引力为
根据几何关系可知，每个挖去的小球与右侧小球球心间的距离为
每个挖去的小球与右侧小球间的引力为
设小球间圆心连线与水平方向的夹角为，由几何关系可得
则右侧小球与挖去小球后的大球的万有引力为
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