7.3万有引力理论的成就 学案（含答案解析）

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7.3 万有引力理论的成就
一、考点梳理
考点一、天体质量与天体的密度
1．计算天体质量的方法
分析围绕该天体运动的行星(或卫星)，测出行星(或卫星)的运行周期和轨道半径，由万有引力提供向心力即可求中心天体的质量．由＝mr，得M＝.
2．天体密度的计算方法
根据密度的公式ρ＝，只要先求出天体的质量就可以代入此式计算天体的密度．
(1)由天体表面的重力加速度g和半径R，求此天体的密度．
由mg＝和M＝ρ·πR3，得ρ＝.
(2)若天体的某个行星(或卫星)的轨道半径为r，运行周期为T，中心天体的半径为R，则由G＝mr和M＝ρ·πR3，得ρ＝.
【典例1】(多选)一卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为r，卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T，已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，则地球的质量可表示为(　　)
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】根据G＝mr得，M＝，选项A正确，B错误；在地球的表面附近有mg＝G，则M＝，选项C正确，D错误．
【典例2】2020年7月31日“北斗三号”全球卫星导航系统正式开通．其中一颗卫星轨道近似为圆，轨道半径为r，周期为T，地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G，下列说法正确的是(　　)
该卫星运动的线速度为 B．地球的质量为
C．地球的质量为 D．地球的密度为
【答案】C
【解析】根据圆周运动的规律可知，卫星运动的线速度v＝，故A错误；在地球表面，质量为m的物体受到的重力近似等于万有引力，即mg＝，解得地球的质量M＝，故B错误；卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得G＝mr，解得地球的质量M＝，故C正确；地球的密度为ρ＝＝＝，故D错误．
练习1、一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星运行，若认为行星是密度均匀的球体，引力常量已知，那么要确定该行星的密度，只需要测量(　　)
A.飞船的轨道半径 B.飞船的运行速度
C.飞船的运行周期 D.行星的质量
【答案】C
【解析】根据密度公式得ρ＝＝，这里的R为该行星的半径，若仅已知飞船的轨道半径或行星的质量，无法求出行星的密度，A、D错误；已知飞船的运行速度，根据万有引力提供向心力得G＝m，解得M＝，代入密度公式后，无法求出行星的密度，故B错误；根据万有引力提供向心力得G＝mR，解得M＝，代入密度公式得ρ＝.
练习2、(多选)宇航员在月球表面附近高为h处以初速度v0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L.已知月球半径为R，引力常量为G.下列说法中正确的是(　　)
月球表面的重力加速度g月＝
月球的质量m月＝
月球的自转周期T＝
月球的平均密度ρ＝
【答案】AB
【解析】根据平抛运动规律，L＝v0t，h＝g月t2，联立解得g月＝，选项A正确；由mg月＝，解得m月＝，选项B正确；根据题目条件无法求出月球的自转周期，选项C错误；月球的平均密度ρ＝＝，选项D错误．
考点二、天体运动的分析与计算
1．基本思路：一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供．
2．常用关系：
(1)G＝ma向＝m＝mω2r＝mr
(2)忽略自转时，mg＝G(物体在天体表面时受到的万有引力等于物体重力)，整理可得：gR2＝GM，该公式通常被称为“黄金代换式”．
3．四个重要结论：设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动．
(1)由G＝m得v＝ ，r越大，v越小．
(2)由G＝mω2r得ω＝ ，r越大，ω越小．
(3)由G＝m()2r得T＝2π ，r越大，T越大．
(4)由G＝ma向得a向＝，r越大，a向越小．
【典例1】（多选）在星球表面发射探测器，当发射速度为v时，探测器可绕星球表面做匀速圆周运动；当发射速度达到时，可摆脱星球引力束缚脱离该星球。已知地球、火星两星球的质量比约为10:1，半径比约为2:1，下列说法正确的有（ ）
A.探测器的质量越大，脱离星球所需要的发射速度越大
B.探测器在地球表面受到的引力比火星表面大
C.探测器分别脱离两星球所需要的发射速度相等
D.探测器脱离星球的过程中，势能逐渐增大
【答案】BD
【解析】设星球的质量为M，探测器的质量为m。则当探测器绕星球表面做圆周运动时有
R是星球半径，可见,。探测器脱离星球所需要的发射速度与探测器的质量无关：A、C皆错；由有：故B正确；探测器脱离星球的过程中星球对探测器的万有引力做负功，故其势能增大，D正确。
【典例2】（多选）现有两颗绕地球匀速圆周运动的人造地球卫星A和B，它们的轨道半径分别为和。如果，则 ( )
A.卫星A的运动周期比卫星B的运动周期大
B.卫星A的线速度比卫星B的线速度大
C.卫星A的角速度比卫星B的角速度大
D.卫星A的加速度比卫星B的加速度大
【答案】BCD
【解析】由得， 轨道半径 r越大，T越大。A错。
由得 轨道半径越大，线速度越小，B对。
由得，所以轨道半径r越大，越小；C对。
由 得 ， 所以轨道半径r越大，加速度越小，D对。
练习1、地球同步卫星到地心的距离r可由求出。已知式中a的单位是m，b的单位是s，c的单位是m/s2，则 （ ）
A．a是地球半径，b是地球自转的周期，c是地球表面处的重力加速度
B．a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是同步卫星的加速度
C．a是赤道周长，b是地球自转周期，c是同步卫星的加速度
D．a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是地球表面处的重力加速度
【答案】AD
【解析】由 和黄金代换 解得 根据a、b、c的单位可以分析出BC错误，AD正确。
练习2、在轨卫星碰撞产生的大量碎片会影响太空环境.假定有甲、乙两块碎片绕地球运动的轨道都是圆，甲的运行速率比乙的大，则下列说法中正确的是(　　)
A.甲的运行周期一定比乙的长
B.甲距地面的高度一定比乙的高
C.甲的向心力一定比乙的小
D.甲的向心加速度一定比乙的大
【答案】D
【解析】由G＝m，得v＝，甲的运行速率大，甲碎片的轨道半径小，故B错；由G＝mr，得T＝，可知甲的周期短，故A错；由于两碎片的质量未知，无法判断向心力的大小，故C错；由＝man得an＝，可知甲的向心加速度比乙的大.
练习3、如图所示，a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造地球卫星，它们距地面的高度分别是R和2R(R为地球半径).下列说法中正确的是(　　)
A.a、b的线速度大小之比是∶1
B.a、b的周期之比是1∶2
C.a、b的角速度大小之比是3∶4
D.a、b的向心加速度大小之比是9∶2
【答案】C
【解析】两卫星均做匀速圆周运动，则有F万＝F向.
由＝m得＝＝＝，故A错误；
由＝mr2得＝＝，故B错误；
由＝mrω2得＝＝，故C正确；
由＝man得＝＝，故D错误.
考点三、卫星相距“最近”“最远”问题
两颗卫星在同一轨道平面内同向绕地球做匀速圆周运动，a卫星的角速度为ωa，b卫星的角速度为ωb.
若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，相距最近，如图甲所示．
当它们转过的角度之差Δθ＝π，即满足ωaΔt－ωbΔt＝π时，两卫星第一次相距最远，如图乙所示．
当它们转过的角度之差Δθ＝2π，即满足ωaΔt－ωbΔt＝2π时，两卫星再次相距最近．
【典例1】某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆．每过N年，该行星会运行到日地连线的延长线上，如图4所示．该行星与地球的公转半径之比为多少？
【答案】
【解析】地球公转周期T1＝1年，经过N年地球比行星多转一圈，即多转2π，角速度之差为－，所以(－)N＝2π，即T2＝，由开普勒第三定律可得＝，化简得＝＝.
练习1、a、b两颗卫星均在赤道正上方绕地球做匀速圆周运动，a为近地卫星，b卫星离地面高度为3R，已知地球半径为R，表面的重力加速度为g，试求：(忽略地球的自转影响)
(1)a、b两颗卫星的周期；
(2)a、b两颗卫星的线速度大小之比；
(3)若某时刻两卫星正好同时通过赤道同一点的正上方，则至少经过多长时间两卫星相距最远．
【答案】(1)2π　16π　(2)2∶1　(3)或
【解析】(1)卫星做匀速圆周运动，万有引力提供所需向心力，则有F引＝Fn
对地球表面上质量为m的物体，有G＝mg
对a卫星，有＝maR 解得Ta＝2π
对b卫星，有＝mb·4R 解得Tb＝16π
(2)卫星做匀速圆周运动，则有F引＝Fn
对a卫星，有＝ 解得va＝
对b卫星有G＝mb 解得vb＝ 所以va∶vb＝2∶1
(3)设经过时间t，二者第一次相距最远，若两卫星同向运转，此时a比b多转半圈，则－＝π
解得t＝
若两卫星反向运转，则(＋)t＝π 解得t＝.
考点四、阴影及盲区问题
1.注意辅助图的应用；2注意盲区的理解；3.注意角速度的关系
【典例1】2021年2月10日，天问一号探测器成功实现近火制动开始绕火星运行，2月15日，天问一号探测器实现了完美的“侧手翻”，将轨道调整为经过火星两极的环火星轨道。天问一号在绕火星运动过程中由于火星遮挡太阳光，也会出现类似于地球上观察到的日全食现象，如图所示。已知天问一号绕火星运动的轨道半径为r，火星质量为M，引力常量为G，天问一号相对于火星的张角为(用弧度制表示)，将天问一号环火星看作匀速圆周运动，天问一号、火星和太阳的球心在同一平面内，太阳光可看作平行光，则(　　)
A．火星表面的重力加速度为 B．火星的第一宇宙速度为
C．天问一号每次日全食持续的时间为 D．天问一号运行的角速度为
【答案】C
【解析】A．天问一号相对于火星的张角为，根据几何关系可得火星半径为，质量为的物体在火星表面，有，两式联立解得火星表面的重力加速度为，选项A错误；
B．根据质量为的物体在火星表面运动时万有引力提供向心力，有
与，联立解得火星的第一宇宙速度，选项B错误；
C．作出天问一号发生日全食的示意图，日全食持续的时间为运行在之间的时间，如图所示，根据几何关系可得三角形与三角形全等，则，平行于OA，则
同理可得，则发生日全食时天问一号转过的角度为
设天间一号的周期为T，根据万有引力提供向心力，有，解得周期
发生日全食的时间为，选项C正确；
D．设天问一号的角速度为，根据万有引力提供向心力，有，解得角速度为
【典例2】某颗地球同步卫星正下方的地球表面有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星。试问：春分那天（太阳光直射赤道）在日落后12小时内有多长时间该观察者看不见此卫星？已知地球半径为R，地球表面处的重力加速度为g，地球自转周期为T，不考虑大气对光的折射。
【答案】
【解析】设所求的时间为t，用m、M分别表示卫星和地球的
质量，r表示卫星到地心的距离。有
春分时，太阳光直射地球赤道，如图所示，图中圆E表示
赤道，S表示卫星，A表示观察者，O表示地心。 由图可
看出当卫星S绕地心O转到图示位置以后（设地球自转是沿图中逆时针方向），其正下方的观察者将看不见它. 据此再考虑到对称性，有
利用黄金代换
由以上各式可解得
练习1、(多选)我国的“天链一号”地球同步轨道卫星，可为载人航天器及中、低轨道卫星提供数据通讯服务。如图为“天链一号”a、赤道平面内的低轨道卫星b、地球三者的位置关系示意图，为地心，地球相对卫星a、b的张角分别为和(图中未标出)，卫星a的轨道半径是b的4倍，已知卫星a、b绕地球同向运行，卫星a周期为，在运行过程中由于地球的遮挡，卫星b会进入与卫星a通讯的盲区。卫星间的通讯信号视为沿直线传播，忽略信号传输时间，下列分析正确的是( )
A．张角和满足 B．卫星b的周期为T/4
C．卫星b每次在盲区运行的时间 D．卫星b每次在盲区运行的时间为
【答案】B
【解析】A．设地球半径为，由题意可知，，，解得
故选项A错误；
B．由开普勒第三定律得，又，，可得，故选项B错误；
CD．由题意可知，图中A、B两点为盲区的两临界点，由数学知识可得，因而，解得。
练习2、晴天的晚上，人能看到人造卫星的条件是：卫星直接被太阳照亮，且在人所在地理位置的视野内。现有一个可看成漫反射体的人造卫星，其圆形轨道与地球的赤道共面。卫星自西向东运行，在春分期间，太阳光垂直射向赤道，位于赤道上的某位观察者，在当地日落之后8小时时刻，在该位置西边的地平线附近恰好能看到这颗卫星，之后又极快地变暗消失了。已知地球半径为R = 6.4106m，地球表面的重力加速度取g = 10m/s2，试估算：
（1）卫星轨道离地面的高度h
（2）卫星的线速度的大小v(结果保留2位有效数字)
【答案】（1）h=R；（2）
【解析】 从北极沿地轴往下看的地球俯视图如图所示，
设卫星离地高h，Q点日落后8h时能看到它反射的阳光，
日落8h，Q点转过的角度设为θ。
轨道高度
（2）因为卫星轨道半径根据万有引力定律，引力与距离的平方成反比，卫星轨道处的重力加速度
（2）或者：轨道半径 根据万有引力定律，黄金代换
解得
知识点五、双星系统
1.双星系统：如图，绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，称之为双星系统．
2.模型特点：
(1)两星的运行轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点。
(2)各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即
＝m1ωr1，＝m2ωr2
(3)两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2
(4)两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L
3.处理方法
双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即 ＝m1ω2r1＝m2ω2r2。
4.两个结论
(1)运动半径：m1r1＝m2r2，即某恒星的运动半径与其质量成反比。
(2)质量之和：由于ω＝，r1＋r2＝L，所以两恒星的质量之和m1＋m2＝。
【典例1】（多选）宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转称之为双星系统，设某双星系统A、B绕其连线上的某固定点O点做匀速圆周运动，如图所示，现测得两星球球心之间的距离为L，运动周期为T，已知万有引力常量G，若AO＞OB，则（　　）
A．星球A的线速度一定等于星球B的线速度
B．星球A所受向心力大于星球B所受向心力
C．双星的质量一定，双星之间的距离减小，其转动周期减小
D．两星球的总质量等于
【答案】CD
【解析】A．双星的角速度相等，根据v=ωR，由于AO＞OB，可知星球A的线速度一定大于星球B的线速度，故A错误；
B．双星靠相互间的万有引力提供向心力，根据牛顿第三定律知向心力大小相等，故B错误；
CD．双星A、B之间万有引力提供向心力，有
其中，，联立解得
可知双星的质量一定，双星之间的距离减小，其转动周期减小，故CD正确。
【典例2】2020年3月天文学家通过中国“天眼”——500米口径球面射电望远镜（FAST）在武仙座球状星团（M13）中发现一个脉冲双星系统，并通过观测认证，该双星系统由一颗脉冲星和一颗白矮星组成。若该脉冲星质量为m1，白矮星质量为m2，两星间距为l，已知万有引力常量为G。求：
(1)该双星系统的转动周期；
(2)该脉冲星与白矮星线速度大小之和。
【答案】(1)；(2)
【解析】(1)对质量为m1的脉冲星有
对质量为m2的白矮星有
解得
(2)速度大小之和v=v1+v2
解得
练习1、所谓“双星系统”，是指在相互间引力的作用下，绕连线上某点O做匀速圆周运动的两个星球A和B，如图所示，星球A、B绕O点做匀速圆周运动的周期为T，其中A星球表面重力加速度为g，半径为R，A星球的自转忽略不计，B星球的质量为m，引力常量为G，则A、B两星球间的距离L可表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由万有引力提供向心力得
且
A星球的自转忽略不计，则有
联立解得。
练习2、（多选）2016年2月11日，美国科学家宣布探测到了引力波，证实了爱因斯坦的预测，弥补了爱因斯坦广义相对论中缺失的最后一块“拼图”。双星的运动是引力波的来源之一，假设宇宙中有一双星系统由a、b两颗星体组成，这两颗星体绕它们连线中的某一点在万有引力作用做匀速圆周运动，测得a的周期为T，a、b两颗星体的距离为l，a、b两颗星体的轨道半径之差为△r（a星的轨道半径大于b星的），则（　　）
A．b星的周期为
B．a星的线速度大小为
C．a、b两颗星体的轨道半径之比为
D．a、b两颗星体的质量之比为
【答案】BD
【解析】A．a、b两颗星体是围绕同一点运动的，故周期相同，选项A错误；
BC．由
得，
所以
星的线速度
选项B正确，选项C错误；
D．由，得。
练习3、2020年3月天文学家通过中国“天眼”——500米口径球面射电望远镜（FAST）在武仙座球状星团（M13）中发现一个脉冲双星系统，并通过观测认证，该双星系统由一颗脉冲星和一颗白矮星组成。若该脉冲星质量为m1，白矮星质量为m2，两星间距为l，已知万有引力常量为G。求：
(1)该双星系统的转动周期；
(2)该脉冲星与白矮星线速度大小之和。
【答案】(1)；(2)
【解析】(1)对质量为m1的脉冲星有
对质量为m2的白矮星有
解得
(2)速度大小之和v=v1+v2
解得.
练习4、如图所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧，引力常量为G。求：
(1)A星球做圆周运动的半径R和B星球做圆周运动的半径r；
(2)两星球做圆周运动的周期；
(3)如果把星球A质量的搬运到B星球上，并保持A和B两者中心之间距离仍为L。则组成新的稳定双星后那么星球A半径和周期如何变化？
【答案】(1)； (2) (3) 半径变大；周期不变
【解析】(1)令A星的轨道半径为R，B星的轨道半径为r，则由题意有
两星做圆周运动时的向心力由万有引力提供，则有
可得
又因为
所以可以解得
(2)根据(1)可以得到
两式联立解得
(3)根据
知 M变大 R变大
根据
知周期不变。
考点六、三星系统
1.概念：
是指有三颗恒星组成的恒星系统，一般是由一对双星和另一颗距离较远的星组成的一个双星系统，也就是两层双星系统的叠套。这三颗恒星的距离相对于其他恒星很远，因此三星系统受其他星体引力影响通常忽略不计。
所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．
2.三星模型：
（1）三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)．
（2）三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．
【典例1】（多选）太空中在一些离其他恒星很远的、由三颗星体组成的三星系统，可忽略其他星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是直线三星系统A（三颗星体始终在一条直线上)；另一种是三角形三星系统(三颗星体位于等边三角形的三个顶点上)，已知某直线三星系统A每颗星体的质量均为m，相邻两颗星体中心间的距离都为R；某三角形三星系统B的每颗星体的质量恰好也均为m，且三星系统A外侧的两颗星体做匀速圆周运动的周期和三星系统B每颗星体做匀速圆周运动的周期相等，引力常量为G，则( )
A．三星系统B的运动周期为
B．三星系统A外侧两颗星体运动的角速度大小为
C．三星系统A外侧两颗星体运动的线速度大小为
D．三星系统B任意两颗星体中心间的距离为
【答案】BC
【解析】BC、对三星系统A:三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；其中边上的一颗星受中央星和另一颗边上星的万有引力提供向心力：
解之得：，v=
故周期为，
故B正确，C正确；
A. 三星系统A外侧的两颗星作匀速圆周运动的周期和三星系统B每颗星作匀速圆周运动的周期相等，故：
T′=，故A错误；
D. 三星系统B是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，
由万有引力定律和牛顿第二定律得：
由于两种系统的运动周期相同,即
故解得：L=，故D错误；
【典例2】由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的影响，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做角速度相同的圆周运动（图示为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况）若A星体的质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，万有引力常量G已知，求：
（1）A星体所受合力的大小FA；
（2）B星体所受合力的大小FB；
（3）C星体的轨道半径RC；
（4）三星体做圆周运动的周期T。
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】（1）由万有引力定律，A星体所受B、C星体引力大小为
,
则合力大小为
（2）同上，B星体所受A、C星体引力大小分别为
则合力大小为
．
可得
（3）通过分析可知，圆心O在中垂线AD的中点，
（4）三星体运动周期相同，对C星体，由
可得
考点七、四星系统
模型一：
如图，四颗质量相等的行星位于正方形的四个顶点上，沿外接于正方形的圆轨道做匀速圆周运动，
×2×cos 45°＋＝ma，其中r＝ L。
四颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。
模型二：
如图，三颗质量相等的行星位于正三角形的三个顶点，另一颗恒星位于正三角形的中心O点，三颗行星以O点为圆心。绕正三角形的外接圆做匀速圆周运动。
×2×cos 30°＋＝ma。其中L＝2rcos 30°。
外围三颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小均相等。
【典例1】（多选）宇宙中存在一些离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统。若某个四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R，忽略其他星体对它们的引力作用和忽略星体自转效应，则可能存在如下运动形式：四颗星分别位于边长为L的正方形的四个顶点上(L远大于R)，在相互之间的万有引力作用下，绕某一共同的圆心做角速度相同的圆周运动。已知万有引力常量为G，则关于此四星系统，下列说法正确的是（ ）
A．四颗星做圆周运动的轨道半径均为
B．四颗星表面的重力加速度均为
C．四颗星做圆周运动的向心力大小为
D．四颗星做圆周运动的角速度均为
【答案】BD
【解析】任一颗星体在其他三个星体的万有引力作用下，合力方向指向对角线的交点，围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，任一星体在其他三个星体的万有引力作用下围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，轨道半径均：r=L，故A错误．星球表面的物体受到的万有引力等于它受到的重力，即：G=m′g，解得：g=，故B正确；星体在其他三个星体的万有引力作用下围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由万有引力定律可得四颗星做圆周运动的向心力大小为： ，选项C错误； 由牛顿第二定律得： ，解得： ，故D正确；故选BD．
练习1、假设宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的四颗星组成的四星系统，设其它星体对它们的引力作用可忽略．已知稳定的四星系统存在两种基本的构成形式，一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，第四颗位于其中心，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行；另一种形式是四颗星位于正方形的四个顶点上，围绕正方形的中心做圆轨道运行．设每颗星体的质量均为m，它们做圆周运动的半径为R，试分别求出这两种情况下四星系统的运动周期T1和T2.(已知万有引力常量为G)
【答案】； ；
【解析】第一种情况，O对A的作用力为：
设A、C距离为r，则：r＝2Rcos 30°
C对A的作用力为：
B、C对A的合力为：F2＝2F′cos 30°＝
故对A有：F1＋F2＝
联立解得：T1＝
第二种情况，D对A的作用力为：F1＝
C对A的作用力为： ；B、C对A的合力为
故对A有：F1＋F2＝
联立解得：T2＝4πR
二、夯实小练
1、a、b、c、d是在地球大气层外的圆形轨道上运行的四颗人造卫星.其中a、c的轨道相交于P，b、d在同一个圆轨道上，b、c轨道在同一平面上.某时刻四颗卫星的运行方向及位置如图所示，下列说法中正确的是(　　)
A.a、c的加速度大小相等，且大于b的加速度
B.b、c的角速度大小相等，且小于a的角速度
C.a、c的线速度大小相等，且小于d的线速度
D.a、c存在在P点相撞的危险
【答案】A
【解析】由G＝m＝mω2r＝mr＝man可知，选项B、C错误，A正确；因a、c轨道半径相同，周期相同，由题图可知当c运动到P点时与a不会相撞，以后也不可能相撞，选项D错误.
2、(多选)如图所示，a、b、c是地球大气层外圈圆形轨道上运动的三颗卫星，a和b质量相等，且小于c的质量，则(　　)
A.b所需向心力最小
B.b、c的周期相同且大于a的周期
C.b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度
D.b、c的线速度大小相等，且小于a的线速度
【答案】ABD
【解析】因卫星运动的向心力是由它们所受的万有引力提供的，即Fn＝，则b所需向心力最小，A对；由＝mr()2得T＝2π，即r越大，T越大，所以b、c的周期相等且大于a的周期，B对；由＝man，得an＝，即an∝，所以b、c的向心加速度大小相等且小于a的向心加速度，C错；由＝，得v＝，即v∝，所以b、c的线速度大小相等且小于a的线速度，D对.
3、2021年4月29日，中国空间站天和核心舱发射升空，准确进入预定轨道，任务取得成功。若天和核心舱运行在距地球表面高度为h的圆形轨道上，其运行周期为T，已知引力常量为G。地球的半径为R，则地球的质量为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】天和核心舱绕地球运动时，有
地球的质量为
。
4、有一宇宙飞船到了某行星上（该行星没有自转运动），以速度v接近行星赤道表面匀速飞行，测出运动的周期为T，已知引力常量为G，则可得（　　）
A．该行星的半径为 B．该行星的平均密度为
C．该行星的质量为 D．该行星表面的重力加速度为
【答案】B
【解析】A．根据
可得该行星的半径为
A错误；
BC．根据
可得该行星的质量
平均密度为
B正确，C错误；
D．根据
该行星表面的重力加速度为
D错误。
5、中国首次火星探测任务“天问一号”已于2021年6月11日成功着陆火星。火星的半径为地球半径的，火星的质量为地球质量的，火星探测器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动（探测器可视为火星的近地卫星），探测器绕火星运行周期为T。已知火星和地球绕太阳公转的轨道都可近似为圆轨道，地球和火星可看作均匀球体，地球半径为R，则（　　）
A．地球的质量为
B．火星表面的重力加速度为
C．地球的密度为
D．探测器环绕火星表面运行速度与环绕地球表面运行速度之比为
【答案】B
【解析】
A．探测器绕火星表面附近运行时，有
整理得火星质量为
火星的质量为地球质量的，则地球质量为
A错误；
B．探测器绕火星表面附近运行时，有
又因为
整理得火星表面的重力加速度为
B正确；
C．因为地球的质量为，根据公式
解得，地球的密度为
C错误；
D．设火星、地球的半径分别为R1、R2，探测器质量为m，运行速度分别为v1、v2，则
解得
D错误。
6、“神九”载人飞船与“天宫一号”成功对接及“蛟龙”号下潜突破7000米入选2012年中国十大科技进展新闻。若地球半径为R，把地球看作质量分布均匀的球体（质量分布均匀的球壳对球内任一质点的万有引力为零）。“蛟龙”号下潜深度为d，“天宫一号”轨道距离地面高度为h，“天宫一号”所在处与“蛟龙”号所在处的重力加速度之比为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】“天宫一号”绕地球运行，所以
“蛟龙”号在地表以下，所以
“天宫一号”所在处与“蛟龙”号所在处的重力加速度之比为
故ACD错误，B正确。
7、2021年5月15日，我国首个火星探测任务天问一号探测器成功着陆火星。如图所示为天问一号在某阶段的运动示意图，天问一号在P点由椭圆轨道II变轨到近火圆形轨道I（可认为运行半径等于火星半径）。已知火星半径为R，引力常量为G，天问一号在椭圆轨道II上的远火点Q离火星表面高度为6R，火星表面重力加速度为g0，忽略火星自转的影响。求∶
（1）火星的平均密度；
（2）天问一号在椭圆轨道II由P点运动到Q点所用时间。
【答案】(1)；(2)
【解析】(1)在火星表面，物体所受重力等于万有引力
解得
火星的平均密度为
(2)在轨道I运行时，由重力作为向心力可得
在轨道I和轨道II运行时，由开普勒第三定律可得
联立解得
故天问一号在椭圆轨道II由P点运动到Q点所用时间为
8、如图所示，返回式月球软着陆器在完成了对月球表面的考察任务后，由月球表面回到绕月球做圆周运动的轨道舱.已知月球表面的重力加速度为g，月球的半径为R，轨道舱到月球中心的距离为r，引力常量为G，不考虑月球的自转.求：
(1)月球的质量M；
(2)轨道舱绕月球飞行的周期T.
【答案】(1)　(2)
【解析】(1)设月球表面上质量为m1的物体，其在月球表面有：G＝m1g
月球质量：M＝
(2)轨道舱绕月球做圆周运动，设轨道舱的质量为m
由牛顿第二定律得：G＝m()2r解得：T＝.
9、若宇航员登上月球后，在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地.若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面.已知引力常量为G，月球的半径为R.求：(不考虑月球自转的影响)
(1)月球表面的自由落体加速度大小g月；
(2)月球的质量M；
(3)月球的平均密度ρ.
【答案】(1)　(2)　(3)
【解析】(1)月球表面附近的物体做自由落体运动，
则h＝g月t2，
解得g月＝.
(2)因不考虑月球自转的影响，则有G＝mg月，
月球的质量M＝.
(3)月球的平均密度ρ＝＝＝.
10、我国首个月球探测计划“嫦娥工程”分三个阶段实施，大约用十年左右时间完成，这极大地提高了同学们对月球的关注程度.以下是某同学就有关月球的知识设计的两个问题，请你解答：
(1)已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，月球绕地球运动的周期为T，且把月球绕地球的运动近似看作匀速圆周运动，忽略地球的自转.试求出月球绕地球运动的轨道半径r.
(2)若某位宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面某处以速度v0竖直向上抛出一个小球，经过时间t小球落回抛出点.已知月球半径R月，引力常量G，忽略月球的自转.试求出月球的质量m月.
【答案】(1)　(2)
【解析】(1)设地球的质量为m，根据万有引力定律和向心力公式：
G＝m月()2r
在地球表面有：g＝G
联立解得：r＝
(2)设月球表面处的重力加速度为g月，根据题意知t＝
在月球表面有：g月＝G
联立解得：m月＝
三、培优练习
1、假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d（矿井宽度很小）。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，则矿井底部和地面高h处的重力加速度大小之比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】地球的质量
根据万有引力定律，在地面高h处
可得
根据题意，在矿井底部，地球的有效质量为
则
可得
可得
2、月球，地球唯一的一颗天然卫星，是太阳系中第五大的卫星。航天员登月后，观测羽毛的自由落体运动，得到羽毛的速度随时间变化的图像如图所示。已知月球半径为，引力常量为，则（　　）
A．月球表面的重力加速度大小为
B．月球表面的重力加速度大小为
C．月球的平均密度为
D．月球的平均密度为
【答案】D
【解析】AB．由图像斜率表示加速度，得月球表面的重力加速度大小为
故AB错误；
CD．根据月球表面上的物体受到的万有引力等于重力，即
月球密度
联立以上各式得月球的平均密度为
故C错误，D正确。
3、2021年2月10日19时52分，我国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制动，成功实现环绕火星运动，成为我国第一颗人造火星卫星。我国航天局发布了由“天问一号”拍摄的首张火星图像（如图）。在“天问一号”环绕火星做匀速圆周运动时，周期为，轨道半径为，已知火星的半径为，引力常量为，不考虑火星的自转。下列说法正确的是（　　）
A．火星的质量
B．火星的质量
C．火星表面的重力加速度的大小
D．火星表面的重力加速度的大小
【答案】A
【解析】AB．设“天问一号”的质量为，万有引力提供向心力，有
得
故A正确，B错误；
CD．不考虑火星自转，则万有引力提供重力，有
将代入可得
故CD错误。
4、某行星为质量分布均匀的球体，半径为R，质量为M。科研人员研究同一物体在该行星上的重力时，发现物体在“两极”处的重力为“赤道”上某处重力的1.2倍。已知引力常量为G，则该行星自转的角速度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设赤道处的重力加速度为g，物体在两极时万有引力等于重力，有
在赤道时万有引力可分解为重力和自转所需的向心力，则有
联立解得该行星自转的角速度为
5、(多选)地球半径为R0，地面重力加速度为g(忽略地球自转的影响)，若卫星在距地面R0处做匀速圆周运动，则(　　)
A.卫星的线速度为
B.卫星的角速度为
C.卫星的周期为4π
D.卫星的加速度为
【答案】ABC
【解析】万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力，即＝man＝m＝mω2(2R0)，由地球表面重力等于万有引力可得GM＝gR02，则卫星的向心加速度an＝，线速度v＝，角速度ω＝，T＝＝4π，所以A、B、C正确，D错误.
6、如图所示是美国的“卡西尼”号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道.若“卡西尼”号探测器在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t，已知引力常量为G，则下列关于土星质量M和平均密度ρ的表达式正确的是(　　)
A.M＝，ρ＝
B.M＝，ρ＝
C.M＝，ρ＝
D.M＝，ρ＝
【答案】D
【解析】设“卡西尼”号的质量为m，它围绕土星的中心做匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供，G＝m(R＋h)()2，其中T＝，解得M＝；又土星体积V＝πR3，所以ρ＝＝，故D正确.
8、2021年5月15日7时18分，由祝融号火星车及进入舱组成的天问一号着陆巡视器成功着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区，由此又掀起了一股研究太空热。某天文爱好者做出如下假设：未来人类宇航员登陆火星，在火星表面将小球竖直上抛，取抛出位置O点处的位移，从小球抛出开始计时，以竖直向上为正方向，小球运动的图像如图所示（其中a、b均为已知量）。忽略火星的自转，且将其视为半径为R的匀质球体，引力常量为G。则下列分析正确的是（　　）
A．小球竖直上抛的初速度为 B．小球从O点上升的最大高度为
C．火星的质量为 D．火星的密度为
【答案】D
【解析】AB．设小球竖直上抛的初速度为，火星表面重力加速度为，则有
可得
可知图像的纵轴截距等于初速度，则有
图像的斜率绝对值为
可知星表面重力加速度为
小球从O点上升的最大高度为
AB错误；
C．根据物体在火星表面受到的重力等于万有引力，则有
解得
火星的质量为
C错误；
D．根据
可得火星的密度为
。
9、（多选）我国“天问一号”携带的“祝融号”火星车成功着陆火星。如图所示，“天问一号”首先在I轨道上绕火星做匀速圆周运动，选定好着陆地点后在B点实施变轨进入轨道II，随后在近火点A时实施降轨进入轨道III（轨道半径可看成火星半径R），随后软着陆在火星表面。已知“天问一号”在II轨道上的周期为T，II轨道半长轴为a，则（ ）
A．“天问一号”在III轨道上的周期
B．“天问一号”在III轨道上的线速度
C．火星的质量
D．火星表面重力加速度
【答案】CD
【解析】A．由开普勒第三定律可知
“天问一号”在III轨道上的周期
A错误；
B．由圆周运动公式可知，“天问一号”在III轨道上的线速度
B错误；
C．由
解得火星的质量
C正确；
D．由
解得火星表面重力加速度
10、2018年5月21日，我国在西昌卫星发射中心将“鹊桥”号中继星发射升空并成功进入预定轨道.设“鹊桥”号中继星在轨道上绕地球做匀速圆周运动的周期为T，已知地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R.求：
(1)“鹊桥”号中继星离地面的高度h；
(2)“鹊桥”号中继星运行的线速度大小v；
(3)“鹊桥”号中继星在轨道上绕地球运行的向心加速度的大小.
【答案】(1)－R　(2)　(3)
【解析】(1)设地球质量为M，“鹊桥”号中继星的质量为m，万有引力提供向心力：G＝m(R＋h)
对地面上质量为m′的物体有：G＝m′g
联立解得：h＝－R
(2)“鹊桥”号中继星线速度大小为：v＝
联立解得：v＝
(3)“鹊桥”号中继星的向心加速度大小为：a＝
联立解得：a＝.
11、a、b两颗卫星均在赤道正上方绕地球做匀速圆周运动，a为近地卫星，b卫星离地面高度为3R，已知地球半径为R，表面的重力加速度为g，试求：(忽略地球的自转)
(1)a、b两颗卫星的周期；
(2)a、b两颗卫星的线速度之比；
(3)若某时刻两卫星正好同时通过赤道同一点的正上方，则至少经过多长时间两卫星相距最远？
【答案】(1)2π　16π　(2)2∶1 (3)或
【解析】(1)卫星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，则有F引＝Fn
对地球表面上质量为m的物体，有G＝mg
对a卫星，有＝maR
解得Ta＝2π
对b卫星，有＝mb·4R
解得Tb＝16π
(2)卫星做匀速圆周运动则有F引＝Fn
对a卫星，有＝
解得va＝
对b卫星有G＝mb
解得vb＝
所以va∶vb＝2∶1
(3)设经过t时间，二者第一次相距最远，若两卫星同向运转，此时a比b多转半圈，则－＝π
解得t＝
若两卫星反向运转，则(＋)t＝π
解得t＝.
12、已知某卫星在赤道上空的圆形轨道运行，轨道半径为r1，运行周期为T，卫星运动方向与地球自转方向相同，不计空气阻力，万有引力常量为G。求：
（1）地球质量M的大小；
（2）如图所示，假设某时刻，该卫星在A点变轨进入椭圆轨道，近地点B到地心距离为r2，求卫星在椭圆轨道上的周期T1；
（3）卫星在赤道上空轨道半径为r1的圆形轨道上运行，小明住在赤道上某城市，某时刻，该卫星正处于小明的正上方，在后面的一段时间里，小明观察到每两天恰好三次看到卫星掠过其正上方，求地球自转周期T0。
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
、（1）卫星做匀速圆周运动
得
（2）根据开普勒第三定律
得
（3）每2T0时间小明与卫星相遇3次，即每时间相遇一次，得
得
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