怀化市重点中学 2023 年上学期期中考试
高二数学试题
参考答案
一、单选题（每小题 5 分，共 40 分）
1、B 2、C 3、B 4、A 5、A 6、C 7、D 8、D
二、多选题（每小题 5 分，部分选对记 2 分，选错或不选记 0 分，共 20 分）
9、ABC 10、ABD 11、ABD 12、AB
三、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
80x613、（-4，2） 14、 15、 y 2x 3 16、16
四、解答题（共 70 分）
17、（10 分）
5 分
10 分
18、（12 分）【详解】（1）先排甲有 4 种，再排其余人有 A6 种，故共有 6 A6 =4320（种）排法.………4 分6 6
（2）先排甲、乙，再排其余 5 人，共有 A2 A5 240（种）排法.…………………………8 分2 5
（3）（插空法）先排 3 名男生有 A3 种方法，再将 4 名女生插空，有 A4种方法，故共有 A3 A43 4 3 4 144
（种）
排法．…………………………………………12 分
C1C2 C2C1 8
19、（12 分）【详解】（1）依题意，既有豆沙粽又有白粽的概率为 2 8 2 83 .…………………4 分C10 15
（2） X 的可能取值为 0,1, 2，
0 3 1 2 2 1
则 P X C C 7 C C 1 0 2 8 ， P X 1 C 2C8 7 ， P X 2 2 8
C3 3 3
，……………………8 分
10 15 C10 15 C10 15
所以 X 的分布列如下：
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X 0 1 2
7 7 1
P
15 15 15
7
所以 E X 0 1 7 1 3 2 .…………………………………………12 分
15 15 15 5
20 12 2、（ 分）【详解】（1） f (x)的定义域为 R，且 f (x) 9x 9 9 x 1 x 1 ，
令 f (x) 0得 x 1或x 1，令 f (x) 0得 1 x 1，
所以递增区间为 , 1 ， 1, ，递减区间 1,1 ；…………………………………………6 分
（2）
x -3 (-3，-1) -1 (-1，1) 1 (1，3) 3
f (x) + 0 - 0 +
y f (x) -49 单调递增 极大值 11 单调递减 极小值-1 单调递增 59
函数最大值为 59，最小值为-49. …………………………………………12 分
21、（12 分）【详解】设质点向右移动的次数为 X ，又质点每隔 1s等可能地向左或向右移动一个单位，共
1
移动 6 次，且每次移动是相互独立，则 X (6, ) .…………………………………………2 分
2
（1）质点回到原点，则 X 3，
P(X 3) C 36(
1) 3 1 5 ( ) 3 ，
2 2 16
5
所以质点回到原点的概率是 ；…………………………………………6 分
16
（2）当质点位于 4 的位置时，则 X 5，
P(X 5) C5(1)5 (1 3 6 ) ，2 2 32
3
所以质点位于 4 的位置的概率是 .…………………………………………12 分
32
22 X ~ B 3, p 、（12 分）【详解】（1）设甲答对题目的个数为 X ，由题意，得 ，
P1 C
2 2
3 p 1 p p3 3p 2 2p3 2则甲被录用的概率为 ，乙被录用的概率为P2 p ．………………4 分
（2） 的可能取值为 0，1，2，
第 2 页 共 3 页
P 0 1 P1 1 P2 P 1 P1 1 P2 1 P1 P2 P 2 PP则 ， ， 1 2，…………………6 分
E 0 1 P 1 P 1 P 1 P 1 P P 2 PP P P 3p2 2p3 p2 4p2 2p3
∴ 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ，…8 分
f p 4p 2 2p 3 0 p 1 f p 8p 6p2 2p 4 3p 0
设 ，则 ．
∴当 0 p 1
f
时， p 为增函数．…………………………………………10 分
f 0 0 f 1 2
又 ， ，
f p 1.5 E 1.5
所以存在唯一的 p的值 p0，使得 0 ，即 ．…………………………………………12 分
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高二数学试题
时量：120 分钟 满分：150 分
一、单选题（每小题 5 分，共 40 分）
1、已知集合 A x | 1 x 3 ，集合 B x | 2 x 2 ，则 A B （ ）
A．（-1，3） B．（-1，2） C．（-2，2） D．（-2，3）
2、已知复数 z i 1， i是虚数单位，则 z z （ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
3、若C2 n5 C5 ，则 n （ ）
A． 2 B． 2或3 C．3 D．4
4、若 a 1, b 6,a b 3,则a与b的夹角为（ ）
2
A． B． C． D．
3 6 3 4
5、湖南省从 2020 年秋季入学高一新生开始进入“ 3 1 2 ”的新高考模式，新高考“3 1 2 ”模式指的是，“3”
即语文、数学、外语 3 门统一高考科目：“1”和“2”为选择性考试科目，其中“1”是从物理或历史科目中选择
1 门；“2”是从思想政治、地理、化学、生物学中选择 2 门.则新高考模式下考生选择政治历史地理三个科目
的概率是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
12 10 9 8
6、 (a b)n n N* ，当 n＝1，2，3，4，5，6 时展开式的二项式系数表示形式
借助上面的表示形式，判断λ与μ的值分别是（ ）
A．5，9 B．5，10 C．6，10 D．6，9
3 7
7、．已知 P(A | B) ， P(B) ，则 P(AB) （ ）
7 9
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3 4 27 1
A． B． C． D．
7 7 49 3
8、第 24 届冬奥会奥运村有智能餐厅A，人工餐厅 B，运动员甲第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一
天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为 0.6；如果第一天去 B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为 0.5，
运动员甲第二天去 A 餐厅用餐的概率为（ ）
A．0.6 B．0.75 C．0.45 D．0.55
二、多选题（每小题 5 分，部分选对记 2 分，选错或不选记 0 分，共 20 分）
9、已知 8 件产品中有 2 件次品，从中任取 3 件，取到次品的件数为随机变量 ，那么 的可能取值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．8
10 7 x 7、关于 的展开式，下列判断正确的是（ ）
A．展开式共有 8 项 B．展开式的各二项式系数的和为 128
C．展开式的第 7 项的二项式系数为 49 D．展开式的各项系数的和为67
11、下列计算正确的有（ ）
(x2A． ) 2x sin x
cos x (e x ) e xB． C． D． ln(x 1) 1
x 1
12、已知随机变量 X 服从正态分布 N 1,4 ，则下列说法中正确的有（ ）
A． P X 2 1 B． P 0 X
1
P
3
X 2
2 2 2
C．P 0 X
3
5
P
1 X D． X 的方差为 2
2 2
三、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13 2、不等式8 - x 2x的解集是__________________.
5
14、二项式 x3 2 的展开式中，第 4 项为____________．
15、函数 f (x)
1
ln x 在点 (1, 1)处的切线方程为____________
x
16、如图，西米组长需要到怀化五中竞辉楼的 5 楼上政治课，已
知竞辉楼只有东和西两处楼梯，请问西米组长从 1 楼开始有
______种不同的路径到达 5 楼。
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四、解答题（共 70 分）
1
17、（10 分）在 ABC 中，内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c，已知 a 1,b 2,cosC .
4
（1）求 c 的值；
（2）求 ABC 的面积.
18、（12 分）有 3 名男生，4 名女生，全排成一行，下列情形各有多少种排法？
(1)甲不在中间也不在两端；
(2)甲、乙两人必须排在两端；
(3)男女相间.
19、（12 分）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有 10 个粽子，其中豆沙粽 2 个，白粽 8 个，这
两种粽子的外观完全相同，从中任意选取 3 个．
(1)求既有豆沙粽又有白粽的概率；
(2)设 X表示取到的豆沙粽个数，求 X的分布列与数学期望．
20、（12 分）已知函数 f (x) 3x3 9x 5 .
(1)求函数 f (x)的单调区间；
(2)求函数 f (x)在 3,3 上的最大值和最小值.
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21、（12 分）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点 0 出发，每隔 1s等可能地向左或向右移动一个
单位，共移动 6 次.求下列事件的概率.
（1）质点回到原点；
（2）质点位于 4 的位置.
22、（12 分）近日，某芯片研发团队表示已自主研发成功多维先进封装技术 XDFOI，可以实现 4nm 手机 SOC
芯片的封装，这是中国芯片技术的又一个重大突破，对中国芯片的发展具有极为重要的意义．可以说国产
4nm 先进封装技术的突破，激发了中国芯片的潜力，证明了知名院士倪光南所说的先进技术是买不来的、
求不来的，自主研发才是最终的出路．研发团队准备在国内某著名大学招募人才，准备了 3 道测试题，答
对两道就可以被录用，甲、乙两人报名参加测试，他们通过每道试题的概率均为 p 0 p 1 ，且相互独立，
若甲选择了全部 3 道试题，乙随机选择了其中 2 道试题，试回答下列问题．（所选的题全部答完后再判断
是否被录用）
(1)求甲和乙各自被录用的概率；
(2)设甲和乙中被录用的人数为 ，请判断是否存在唯一的 p值 p0 ，使得E 1.5？并说明理由．
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