人教A版（2019）必修第二册8.4.2.1空间中直线与直线的位置关系同步练习（含答案）

第四节空间中直线与直线的位置关系 同步练习
一、单选题（8题）
1．若，且与的方向相同，则与（ ）
A．一定平行且方向相同 B．一定平行且方向相反
C．一定不平行 D．不一定平行
2．若空间三条直线、、满足，，则直线与（ ）
A．一定平行 B．一定垂直 C．一定是异面直线 D．一定相交
3．下列命题正确的是（ ）
A．过两条直线有且只有一个平面
B．过一点和一条直线有且只有一个平面
C．过梯形两腰所在直线有且只有一个平面
D．过三点有且只有一个平面
4．在正方体各条棱所在的直线中，与直线异面且垂直的可以是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，直线平面，垂足为，正四面体ABCD的棱长为8，在平面内，是直线上的动点，则当到AD的距离为最大时，正四面体在平面上的射影面积为（ ）
A． B． C． D．16
6．已知异面直线a、b所成角为，P为空间一定点，则过P点且与a、b所成角都是的直线有且仅有（ ）条．
A．2 B．3 C．4 D．6
7．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°；④DM与BN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）
A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④
8．空间四边形的两对边，、分别是、上的点，且，，则与所成角大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
二、填空题（2题）
9．边长为1的正方体中，直线和之间的距离为______.
10．对于命题：①若、与成等角，则；②若，，则；③若，，则；④若，，，则、不可能平行．其中正确命题的序号是______．
三、解答题（2题）
11．在长方体中，，，点E是棱AB上的点，当.
(1)求异面直线与EC所成角的大小；
(2)求此时点C到平面的距离．
12．在长方体中，，求
(1)与所成角的度数；
(2)与所成角的度数．
参考答案：
1．D
【分析】画出图形，当满足题目中的条件时，根据出现的情况可得出结论．
【详解】如图，
若，且与的方向相同，与不一定平行．
故选：D．
2．B
【分析】根据等角定理可得出结论.
【详解】，则、所成的角为直角，
又因为，所以，、所成的角为直角，即.
故选：C.
3．C
【分析】根据点线、线线位置关系，结合平面的相关性质判断各项的正误即可.
【详解】A：若两条直线异面，不存在过这两条直线的平面，错误；
B：若点在直线上，过该点和直线的平面有无数个，错误；
C：由梯形各线段都在一个平面上，故其两腰所在直线有且只有一个平面，正确；
D：若三点共线，则有无数个平面，错误.
故选：C
4．C
【分析】根据空间中直线的位置关系逐一判断即可.
【详解】直线与直线异面但不垂直，直线与直线异面但不垂直，
直线与直线异面且垂直，直线与直线共面，
故选：C
5．B
【分析】由题意知点是以为直径的球面上的点，得到到的距离为四面体上以为直径的球面上的点到的距离，最大距离为与的公垂线半径．再由取得最大距离时，垂直平面，且平行平面求解.
【详解】因为直线平面，垂足为，
所以点是以为直径的球面上的点，
所以到的距离为四面体上以为直径的球面上的点到的距离，
最大距离为到球心的距离半径，即与的公垂线半径，如图所示：
取BC的中点E，AD的中点F，连接AE，ED，EF，因为AE=ED，所以， ，,所以到AD的最大距离为，此时，,
当取得最大距离时，垂直平面，且平行平面，
所以投影是以为底，到 的距离投影，即为高的等腰三角形，
其面积．
故选：B．
6．B
【分析】在空间取一点，经过点P分别作，分析直线满足它的射影在所成角的平分线上时的情况可得出答案.
【详解】在空间取一点，经过点P分别作，
设直线确定平面，
当直线满足它的射影在所成角的平分线上时，与所成的角等于与所成的角，
因为直线a、b所成角为，得所成锐角为，
所以当直线的射影在所成锐角的平分线上时，与所成角的范围是，
这种情况下，过P点有2条直线与a、b所成角都是；
当直线的射影在所成钝角的平分线上时，与所成角的范围是，
这种情况下，过P点有且仅有1条直线（即时）与a、b所成角都是；
综上所述，过P点且与a、b所成角都是的直线有3条.
故选：B.
7．C
【分析】根据平面展开图可得原正方体，根据各点的分布逐项判断可得正确的选项．
【详解】由平面展开图可得原正方体如图所示：
由图可得：为异面直线，与不是异面直线，故①②错误；
连接，则为等边三角形，
而，故或其补角为与所成的角，
因为，故与所成的角为，故③正确；
因为，又平面，所以，故平面
又平面，所以，则④正确；
综上，正确命题的序号为：③④．
故选：C．
8．C
【分析】根据题意，作交于，连接，可证得，得是与所成的角或其补角，由平行线性质求得，由余弦定理求得，从而得与所成的角．
【详解】
作交于，如图，连接，
则，又，所以，所以，
所以是与所成的角或其补角，
，，所以，，
，所以，
中，，
是三角形内角，所以，
所以与所成的角是，
故选：C．
9．1
【分析】把直线和之间的距离转化为公垂线问题，即可求解．
【详解】如图所示，连接，
因为平面，平面，所以，
又，
则直线和之间的距离为，又，
即直线和之间的距离为1.
故答案为：.
10．③
【分析】利用特例判断①②④，根据平行公理判断③.
【详解】解：对于①，直线和与直线所成角都是，但与不平行，故①不正确；
对于②，直线和与直线所成角都是，但与不平行，故②不正确；
对于③，若，，则，故③正确；
对于④，若，，，则、可能平行，
如图令，平面为平面，，平面为平面，
则，显然，故④错误；
故答案为：③
11．(1)
(2)
【分析】（1）平移直线找到异面直线所成的角，然后计算角的大小即可；
（2）利用等体积法转化顶点即可求得点面距离.
【详解】（1）在线段上取靠近点的三等分点，
连接，，如图，由平面几何的知识易知,
故或其补角即为异面直线与所成角，
由于,故为等边三角形，
，即异面直线与所成角为.
（2）如上图所示，利用等体积法，
，设点到平面的距离为，
则，
即，
解得，即点到平面的距离为.
12．(1)
(2)
【分析】（1）由长方体的性质得到，即可得到时与所成角（或补角），从而得解；
（2）依题意可得是与所成角（或补角），设，即可求出，再根据锐角三角函数得到，从而得到四边形为正方形，即可得解.
【详解】（1）解：因为，
所以时与所成角（或补角），
因为，
所以与所成角是.
（2）解：因为，
所以是与所成角（或补角），
设，在直角三角形中，所以，
在直角三角形中，所以，所以，
即，所以四边形为正方形，
所以，即与所成角为.